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El rol de la teoría en Matemática Educativa y en particular el de la

TAD

Avenilde Romo Vázquezaromov@ipn.mxPROME – IPN

Matemática Educativa

1970 2018

¿Por qué cuestionarse sobre el rol de la teoría?

¿Encuentro o desencuentro?

Teorías desarrolladas

VS

Práctica en la enseñanza de las matemáticas

Objeto de estudio

“El objeto de estudio es la enseñanza yaprendizaje de las matemáticas, real y potencialen todas sus formas y niveles y sus relacionescon la sociedad”. (Niss, 1999, p.5)

No hay consenso al determinar los roles de la teoría

“En otras palabras la teoría didáctica podría ser construida y evaluada en relación a las necesidades y dificultades que aparece en la enseñanza, i.e., en la práctica de la enseñanza de las matemáticas. Así, la teoría didáctica, es vista como un sistema de puntos de vista, que incluyen sugerencias de estrategias que puedan ayudar en la consideración de las necesidades, así como en la oposición de las dificultades, de las cuestiones con las cuales el corazón teórico se relaciona.” (Christiansen, 1990, p. 1)

En esa visión la teoría debe permitir el mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas

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Tres niveles de generalidadTeorías globales (marcos teóricos) que tienen que ver con todo el sistema de la educación matemática.

TAD (Chevallard, 2006)

TSD (Brousseau, 1997)

Educación Matemática Crítica (Skovsmose, 1994)

• Teorías relativas a la enseñanza de la matemática en el aula

– Matemática realística (RME) (Treffers, 1987)

– APOS (Dubinsky y Mcdonald, 2001)

• Teorías relativas más específicamente a la enseñanza de la matemáticas

– Modelo para la formación del concepto en matemáticas (Sfard, 1991)

– Teoría de la génesis instrumental (Guin y Trouche, 1999)

• Todas estas teorías –y muchas otras junto con éstas- tienen gran potencial para contribuir al desarrollo de las prácticas de la enseñanza de las matemáticas. Contienen metodologías basadas teórica y empíricamente así como resultados concretos, los cuales pueden contribuir al mejoramiento de las prácticas en diferentes aspectos.

En este sentido, las teorías en la investigación en Matemática Educativa tienen la obligación de reflejar su relevancia para la práctica seriamente

Sin embargo, en general las teorías desarrolladas en el campo tienen un impacto local y limitado en el desarrollo de la práctica de la enseñanza

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Por lo tanto, la interacción entre el desarrollo de teoría y el mejoramiento de la enseñanza de las matemáticas es todavía un reto importante y pendiente para la investigación en Matemática Educativa (Blomhoj, 2008).

En general, la investigación en matemática educativa tiende a centrarse más sobre el desarrollo de teorías que sobre cómo estas teorías pueden realmente ser puestas en juego en el proceso de mejorar la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

Las aplicaciones reales de la teoría y de los resultados de la investigación son típicamente dejados por los investigadores a los profesores, a los formadores de profesores, consultantes y al sistema educativo en general para que se encargue de ello.

Actualmente el proceso de hacer investigación está separado del proceso de aplicar teoría en el proceso de desarrollar prácticas de la enseñanza de las matemáticas

Cinco niveles de influencia de la teoría en el sistema educativo de la matemática

1. Teoría para el diseño curricular

2. Teoría para el diseño de libro de texto y otros tipos de materiales de enseñanza

3. Integración de teorías y resultados de investigación en la formación de profesores de matemáticas

4. Teoría para cursos de perfeccionamiento para profesores

5. Profesores involucrados en la investigación y desarrollo de proyectos

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Las ideas teóricas necesitan ser integradas en la cultura de enseñanza de las matemáticas, y aquí, por supuesto, los profesores son los elementos clave.

¿La profesionalización docente puede ser de calidad y de equidad?

- Programa en línea y a distancia- Profesores de matemáticas en servicio- Profesores de México y de Latinoamérica- Profesores de diferentes niveles educativos

Etapa 0. Investigación en Educación Matemática

Teoría Antropológica de lo Didáctico

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Una aproximación institucional

La Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) propone un modelo epistemológico para el estudio de la actividad humana en su dimensión institucional

InstituciónLas instituciones, es decir, organizaciones sociales estables, enmarcan las actividades humanas y simultáneamente las hacen posibles por los recursos que estas instituciones ponen a disposición de sus sujetos. Estos recursos materiales e intelectuales han sido producidos por comunidades, a lo largo de procesos de enfrentamiento a situaciones problemáticas, para resolverlas con regularidad y eficacia. (Castela y Romo, 2011, p.85)

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Praxeología [T/τ/θ/Θ]

[T/τ]Bloque práctico-técnico

“saber-hacer”

[θ/Θ]Bloque tecnológico-teórico

“saber”

T tipos de tareas

τ técnicas

θ tecnologías

Θ teorías

Praxeología matemáticaTareaCalcular el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3cm y 4cm respectivamente.Técnica(3)2 +(4)2 = c2

9 + 16 = c2

25 = c2

5 = cTecnologíaTeorema de PitágorasTeoríaGeometría

Actividad de modelización matemática

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MatemáticasContexto extra-

matemático

T τθ

θ

Θ, P

Θ

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Modelo praxeológico extendido

T , τ , θ, Θ

θp

P(S)th

Iu Instituciones usuarias

Seis funciones de la tecnología1. Describir el tipo de tareas y la técnica 2. Validar la técnica3. Explicar la técnica4. Facilitar la aplicación de la técnica5. Motivar la técnica y los pasos que la componen6. Evaluar la técnica

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Formación de ingenieros, ¿de ciudadanos? Instituciones de enseñanza

E(M)Enseñanza de las

Matemáticas

E(DI)Enseñanza de

física, de teoría de control, de literatura

P(M)Matemáticas

P(DI)Disciplinas Física, Teoría de control, Resistencia de materiales, literatura

Instituciones productoras de saber

IpPráctica

profesional

Instituciones usuarias

Metodología para el diseño de actividades didácticas

• 1. Identificar y analizar un contexto extra-matemático

• 2. Analizar modelos matemáticos en uso -actividad de modelización matemática-

• 3. Analizar los modelos matemáticos en la enseñanza de las matemáticas

• 4. Diseñar una actividad didáctica

Análisis del método BSS

Diferentes tipos de registros

EGG

ECG

Es muy importante que el registro sea lo más fiel posible

10 - 20 Método de la BSS

Los registros de EEG son el resultado de la combinación de diversas fuentes s (cerebrales y extra cerebrales), esta combinación es registrada por los electrodos colocados sobre el cuero cabelludo (las observaciones) x

Electrodos

Fuentes

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La separación ciega de fuentes consiste en estimar P señales desconocidas s (las fuentes) a partir del conocimiento únicamente de Q mezclas de las señales x (las observaciones)

x=As

A-1x=s

Praxeología BSS

•

Praxeología BSSE

•

Etapa 1. Poner a disposición y a prueba los resultados de l

investigación mediante un curso en línea y a distancia

Ejemplo de un curso en línea y a distancia

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Actividad 3. Separando señalesPARTE I

Hemos colocado un archivo de audio (http://cursos.cicata.edu.mx/pluginfile.php/4300/mod_resource/content/1/Actividad%203_Audio.m4a) en el que se escuchan diferentes instrumentos, les pedimos escucharlo y contestar, por equipo, las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántos instrumentos escuchan? Describir cuáles son.2. El sonido de cada uno de los instrumentos se grabó a diferente distancia, escriban el orden del instrumento, según la distancia al grabador (el primer instrumento que escriban significa que es el que consideran está más cerca).3. Si se desea modelar matemáticamente esta situación, ¿qué variables considerarían?

Actividad 3. Separando señales

• Para responder a estas preguntas se habilitaron 4 foros, uno para cada equipo. Entren a su foro correspondiente y respondan las preguntas a más tardar mañana martes 3 de octubre (antes de la medianoche). El foro ha sido abierto para que debatan y decidan las respuestas. Es decir, se espera ver el proceso que se ha seguido para llegar a la respuesta aceptada por el equipo y no sólo una respuesta acabada.

Actividad 3. Parte II.Determinar un modelo para el estudio de mezclas

• Después de realizar la primera parte de la Actividad 3, escuchar un audio, determinar el número de instrumentos que fueron grabados y el orden de cercanía a la grabadora, ahora vamos a determinar un modelo matemático que nos permita estudiar la mezcla y separarla. Para ello, vamos a considerar primeramente una síntesis de las variables que han apreciado para modelar la mezcla de sonidos –audio-:

• -Características de la mezcla –su calidad (audible, bien grabada), su naturaleza, lineal o no lineal- -Número de instrumentos –emisores-: piano, violín y guitarra-Número de receptores: 1grabadora-Distancia entre emisores y receptores

• -Configuración geométrica –ubicación- de los emisores y de los receptores.-Naturaleza del sonido: música, intensidad, amplitud de onda, rango de frecuencias de cada instrumento,

• Para determinar el modelo matemático, es necesario tomar decisiones sobre la forma en que estas variables van a ser consideradas. Establecemos que la mezcla es lineal y que el sonido es únicamente tonos puros. Es decir, asumimos que los tonos puros se van a mezclar instantáneamente y que sólo se verán “afectados” o modificados por la distancia.

• A partir de estas variables establecidas, ustedes determinarán una configuración geométrica de emisores (productores de tonos puros: la, fa, do, re, etc.) y de receptores (micrófonos, grabadoras, celulares, etc.), que permitan obtener una mezcla que pueda ser separada. Ustedes pueden decidir el número de emisores y de receptores así como la manera de estudiar los tonos puros. Este enlace puede ser de utilidad en este estudio: http://onlinetonegenerator.com/432Hz.html

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Producir una lecciónActividad 4 parte II: En esta segunda parte de la actividad 4 se pide planificar, en parejas, una

Lección de clase para un grupo de estudiantes del nivel educativo en el que trabajan.

La Lección debe pensarse con la idea de llevar al aula una actividad de modelización similar a

la que ustedes realizaron en la Actividad 3 (contexto BSS).

Ustedes deciden el grado escolar y con base en ello, la organización didáctica de los objetivos

de aprendizaje, contenidos y tareas que consideren necesarios.

Para proponer la Lección pueden considerar el proceso que ustedes han seguido,

particularmente aquello que les ha sido útil, pero modificando todo lo que crean que puede

hacer más interesante la actividad para los estudiantes: cómo proponer el problema, qué tareas

presentarles, proponer tareas abiertas, favorecer la investigación y la reflexión, etc.

Nivel educativo: primer año de bachillerato.

Contenido: Sistemas de ecuaciones.

Producir una lecciónActividad

Se están realizando pruebas y se colocaron 3 sensores en el cuero cabelludo de una

persona (representados en la figura por puntos negros) y los valores de amplitud de onda

que se obtuvieron fueron los siguientes 11, 13 y 16 mV, sabiendo que la distribución de

los sensores y las zonas que se quiere estudiar es la que aparece en la figura, se desea

averiguar los voltajes emitidos por las tres zonas respectivas del cerebro.

Para poder resolver la actividad anterior, es necesario tener algunas otras nociones que

aprenderás mediante los siguientes ejercicios:

Actividad 1:

Objetivos:

● Evidenciar la relación existente entre el voltaje de la señal emitida (expresado en

milivoltios), el voltaje recibido por el sensor (expresado en milivoltios) y la distancia

entre ellos (expresada en centímetros).

● Resignificar el concepto de función, enfatizando en el pasaje de representación

gráfica a tabular.

En un principio los científicos quisieron evidenciar la relación que existe entre la señal

emitida por una zona del encéfalo, la señal que recibe un sensor y la distancia que hay

entre ambos y para eso utilizaron dos gráficas que corresponden a las señales emitidas, y

señales recibidas por un electrodo ubicado a 4 cm de la fuente. Ayuda a los científicos

averiguar dicha relación, para ayudarte podrás completar la siguiente tabla y luego

obtener la fórmula matemática que indique cómo se relaciona la señal recibida con: la

señal emitida la distancia entre el sensor y la fuente. Es decir, completa: señal recibida.

PIME

-Reconocemos necesidades del profesor, diseñar recursos didácticos que involucren usos de las matemáticas, evaluar recursos didácticos, crear una comunidad de aprendizaje –práctica-

-Reconocemos los saberes del profesor, no decimos cómo implementar la actividad, cómo motivar y organizar el trabajo con los estudiantes, cómo gestionar la clase, etc.

-Compartimos herramientas teóricas y metodológicas de la disciplina, que ellos adoptan y por tanto adaptan, transforman y modifican. Su mirada, su reflexión, su crítica, permiten repensarlas, reorganizarlas, redefinirlas.

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Impulsar el desarrollo tecnológico

Mezclas, ¿se pueden separar?

http://research.ics.aalto.fi/ica/cocktail/cocktail_en.cgi

Separación:

de un conjunto de señales a partir de sus mezclas(observaciones)

Ciega:

desconocemos cómo se han mezclado

Fuentes:

señales inobservables directamente que deseamosrecuperar

sensores

mezcla

Efecto cocktail

S1

S2

S3

S4

?

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x1

x2

x3

x4

Mezclas

x = A⋅s

......

S1

S2

SN

Fuentes Observaciones

..

.x2

xN

x1A

BSS

B...

y1

y2

yN

Estimaciones

?BSS Ubicando elementos

Fuente 1

Fuente 2

captación 1

Captación 2

f1

f2

c1

c2

d1

d2

d3

d4

¿Cómo se relacionan?

Fuente 1

Fuente 2

captación 1

Captación 2

f1

f2

c1

c2

d1

d2

d3

d4

Valor emitido = valor captado x distancia

C1= f1 * d1 + f2 * d3C2= f1 * d2 + f2 * d4

3m3m

3m3m

C1= 3f1 + 3f2C2= 3f1 + 3f2

C1= 3f1 + 3f2C1= 3f1 + 3f2

¿Se puedeseparar esta

mezcla?

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¿Se puedeseparar esta

mezcla?3m5m

5m3m

C1= 3f1 + 5f2C2= 5f1 + 3f2

C1= 3f1 + 5f2C2= 5f1 + 3f2

C1= f1 * d1 + f2 * d3C2= f1 * d2 + f2 * d4

¿Qué es esto?

12= 4x + 2y19= 7x + 3y

Fuente 1

Fuente 2

captación 1

captación 2

f1

f2

c1

c2

d1

d2d3

d4

C1= f1 * d1 + f2 * d3+ f3*d5+f4*d9C2= f1 * d2 + f2 * d4+f3*d6+f4*d10

captación 3

captación 4

Fuente 3

Fuente 4

f3

f4

c3

c4

Un ejemplo

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Meta-lenguajes

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Modelo matemático ímplicito

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Figure 3. Interpolation linéaire de la fonction sinus Figure 4. Enveloppe convexe de la fonction sinus

El modelo espacial de la mezcla al instante k está definido por (caso ideal, sin ruido): x(k) = A s(k)donde:

x(k)=[x1(k),….xp(k)]T es el vector de señales observadas (electrodos)s(k)=[s1(k),….sq(k)]T es el vector de las fuentes de origen (desconocido)

A(Q x P) es la matriz de mezcla (desconocida)