Confiabilidad en GeotecniaAJag08 210808AJ1

7/23/2019 Confiabilidad en GeotecniaAJag08 210808AJ1

1/7

Pgina 1 de 7

Anlisis de Confiabilidad en Geotecnia, Cuatro Enfoques

Geotechnical Reliability Analysis, Four Approaches

Alberto Jaime Paredes , Investigador Instituto de Ingeniera, UNAM

Audini Montoya Orozco,Alumno Posgrado en Ingeniera, UNAM

RESUMEN: Se hace una descripcin de los conceptos fundamentales de confiabilidad en geotecnia y los principales mtodosutilizados para su evaluacin. Adems, por medio de un caso prctico de estabilidad de taludes se hace una comparacin de dichos

mtodos y se comentan las ventajas y desventajas de cada uno de ellos.

ABSTRACT: A review is made of reliability fundamental concepts, as well as of the most important methods applied in GeotechnicalEngineering. The methods are compared through the solution of a practical slope stability problem, highlighting their advantages anddisadvantages.

1. INTRODUCCIN

1.1.

Antecedentes

El diseo tradicional en geotecnia se basa en factoresde seguridad, cuyas magnitudes son dictadas por laexperiencia acumulada por la prctica profesional, atravs de muchos aos. Por su parte, los anlisis deconfiabilidad se basan en el modelo Demanda (cargas)-Capacidad (resistencia), en el cual el comportamientono deseable se define como la probabilidad de que lademanda exceda a la capacidad.

El anlisis de confiabilidad permite tomar en cuentapara fines de diseo, la incertidumbre de los parmetrosdel suelo y de las cargas a las que se ve sometido.

1.2.Objetivos

Describir de forma general los conceptosbsicos del anlisis de confiabilidad engeotecnia.

Exponer y comparar los principales mtodosutilizados para la determinacin del ndice deconfiabilidad.

Comparar entre s los resultados de losdiferentes mtodos de anlisis, a travs de uncaso prctico de estabilidad de un talud.

1.3.

Alcances

En la primera parte del artculo se establecen lasbases del anlisis de confiabilidad en geotecnia. Sedescriben los principales mtodos de anlisis empleadosy se establecen sus bases tericas. Finalmente, se haceuna comparacin de los mtodos y se discuten sus

ventajas y desventajas.

2. INCERTIDUMBRE EN EL ANLISISGEOTCNICO

La incertidumbre en los anlisis geotcnicos esresultado principalmente de dos factores: 1) laestratigrafa del sitio y, 2) las solicitaciones a las que sever sometido el suelo.

2.1.La estratigrafa del sitio

Al hablar de estratigrafa se entiende a las capas desuelo presentes en el lugar y sus espesores, y alcomportamiento de cada una de dichas capas. Losespesores de los estratos de suelo, por lo general, varan

punto a punto en el sitio, incluso pueden desaparecer

una o varias de las capas de suelo y aparecer otras o no.Las propiedades mecnicas de los suelos varantambin puntualmente y a lo largo del espesor delmismo estrato de suelo.

Por ello, el geotecnista, tradicionalmente, con baseen la informacin geolgica, en los datos de campo ylaboratorio, su experiencia y usando el juicio ingenierilhace un modelo tridimensional idealizado del suelo enel sitio, desde la superficie hasta la profundidad deinters. Asigna valores de espesores medios y de

propiedades medias del suelo y con ello disea.Como puede inferirse, la precisin del modelo

idealizado del suelo depende del conocimiento

geolgico, del nmero de sondeos y de la cantidad demuestras de suelo inalteradas y alteradas extradas, ascomo del nmero de ensayes de laboratorio paradeterminar las propiedades ndice y mecnicas. Ademsde la experiencia geotcnica previa que se tenga de lazona donde se ubica el sitio en consideracin.

An suponiendo que la extraccin de muestras desuelo fuera perfecta y no se alterara el material y quelos ensayes de laboratorio fueran tambin perfectos yrepresentativos del comportamiento del suelo, setendran variaciones puntuales y en profundidad, tantoen las propiedades del suelo como en sus espesores.Dicho de otra manera las propiedades ndice y

mecnicas del suelo son aleatorias en mayor o menorgrado. Es decir, varan alrededor de un valor medio conms o menos dispersin.

A la variabilidad intrnseca del material habra queagregar la dispersin causada por manipulacin en elcampo y en el laboratorio. Primero, por la alteracincausada al suelo al extraerlo y, segundo, debido a losmtodos de ensaye y medicin en laboratorio.

A lo anterior hay que aadir por lo menos los cuatrofactores siguientes: a) Muestreo del suelo escaso (pocossondeos, y pocas muestras); b) Orientacin de la


2/7

Anlisis de Confiabilidad en Geotecnia, Cuatro EnfoquesAlberto Jaime Paredes, Audini Montoya Orozco

muestra, anisotropa y tamao; c) tiempo de carga en ellaboratorio vs tiempo de carga del proyecto en larealidad, ensayes de deformacin controlada o deesfuerzo controlado; y d) anlisis de deformaciones enel plano, ensayes con estados de esfuerzos aplicados alsuelo diferentes a la realidad.

Para obtener una representacin cuantitativa de la

incertidumbre de los suelos en sus propiedades ndicesy mecnicas, se recurre al anlisis estadstico de losresultados de las pruebas de campo y de laboratorio.

El anlisis estadstico de las propiedades de lossuelos se ha llevado a cabo a lo largo de la prctica dela geotecnia en diferentes grados. El valor del

parmetro se determina a ojo calculando su promedioo mediante el ajuste de la tendencia de los datosobtenidos. En esta forma de trabajo tiene granrelevancia la experiencia de la persona que lo realiza.Por tanto, los resultados obtenidos pueden variar deforma considerable de persona a persona.Desafortunadamente, constituye el mtodo de mayordifusin y aplicacin en la prctica.

En Mxico, Marsal y Masari (1959) en su obra Elsubsuelo de la ciudad de Mxico son los primerosautores en emplear el anlisis estadstico y de

probabilidad. Con ellos determinan las propiedadesmedias ndices y mecnicas de las arcillas del valle deMxico e identifican y caracterizan los distintos estratosy subestratos arcillosos.

Los resultados de los anlisis estadsticos se ajustana la funcin de densidad de probabilidad que mejorrepresente dichos resultados. Se considera al parmetrodel suelo como una variable aleatoria, y se determinan

sus primeros momentos (el valor medio de la propiedady su dispersin o varianza). Esta es la base de ladescripcin probabilista.

Pgina 2 de 7

2.2.

Las solicitaciones a las que se ver sometido elsuelo

Las fuerzas o solicitaciones a los que se ve sometidoel suelo son muy variables. Determinar solo las cargasestticas actuantes en una obra de ingeniera cubrecaptulos completos de los manuales y reglamentos deconstruccin. A stas hay que aadir las cargasdinmicas, principalmente, por sismo y por viento queson inherentemente aleatorias, tanto en el tiempo

(frecuencia) como en intensidad y duracin.En geotecnia, adems, se puede presentar un factoradicional. La presin de poro en el suelo puede variar

peridicamente o accidentalmente, por una oscilacinde temporada del nivel fretico o por avenidasextraordinarias a lo largo de diques y bordos de

proteccin, o por inundacin o rotura de tuberas. Estotiene un impacto doble, hace variar tanto la respuestadel suelo como las cargas a las que est sometido.

De lo anterior, se concluye que el ingenierogeotecnista analiza y disea en condiciones de altsima

incertidumbre. Provocada por la aleatoriedad del sueloy sus propiedades, y por las solicitaciones a las que seve sometida la obra en consideracin.

3. ANLISIS DE CONFIABILIDAD

3.1.Factor de Seguridad

Tradicionalmente, el diseo en geotecnia se realizaaplicando un Factor de Seguridad (FS) especfico parael problema en estudio, bajo condiciones de carga yresistencia establecidas. Este FS es producto de laexperiencia acumulada a lo largo de muchos aos. Engeneral, se aplican valores numricos diferentes segnel diseo de que se trate. As, por ejemplo, una zapatade cimentacin se disea con un FS = 3, un talud se

puede disear con valores tan bajos como 1.3-1.5, y unmuro de contencin contra deslizamiento con FS = 2.Esto no quiere decir que la zapata sea 2 veces mssegura que un talud o una y media veces mejor que elmuro de contencin. Significa que la experienciaacumulada en ingeniera geotcnica indica queaplicando tales FS, la probabilidad de ocurrencia defalla (catastrfica) se minimiza.

Los Reglamentos de construccin ms modernos nohablan de factores de seguridad, sino de factores decarga y factores de reduccin para los estados lmites defalla y de servicio. Es decir, acotan el diseo para evitaruna falla catastrfica, y aseguran que elcomportamiento de la obra cumpla con las condicionesde servicio para las que se disea.

El factor de seguridad, FS, se expresa como larelacin entre los valores deterministas de la capacidad

o resistencia, C, y la demanda o solicitaciones, D.

D

CFS= (1)

3.2.Probabilidad de Falla

Al considerar como variables aleatorias, tanto a lacapacidad como a la demanda, se pueden representar

por una funcin de densidad de probabilidad, fig 1. Eldiseo ptimo ser aquel que minimice la probabilidadde ocurrencia de falla, pf. Es decir, hacer que lasfunciones de C y D tengan el menor traslape posible oaceptable.

Figura 1. Funciones de densidad de probabilidad de capacidady demanda


3/7


El rea del traslape es una medida gruesa de laprobabilidad de falla.

Si se conocen las funciones de densidad deprobabilidad de la capacidad y la demanda, la pf secalcula como:

( ) ( ) dxxfxFp CD

C

Df

max

min

= (2)

Donde:FD(x): Funcin de distribucin acumulada de la

demandafC(x): Funcin de densidad de probabilidad de la

capacidad

La confiabilidad, R, se define como el complementode la probabilidad de falla. Los anlisis de confiabilidad

buscan determinar la confiabilidad o el riesgo de falla

de un sistema o estructura, considerando a steconfiable mientras que no se presente la falla.

fp1R = (3)

La confiabilidad es la probabilidad de que un sistemalleve a cabo sus funciones de forma adecuada, dentro deun periodo de tiempo y bajo condiciones de operacinestablecidas. Este funcionamiento adecuado se puedeestablecer en trminos de los estados lmites de falla(falla catastrfica) o de servicio (por ej: Asentamientosexcesivos), o ambos.

Wolff (1997) establece que los anlisis de

confiabilidad se utilizan en los siguientes contextosgenerales:a) Calcular la confiabilidad de un sistema oestructura nueva durante su construccin y primeracarga.

b) Calcular la confiabilidad de una estructura osistema existente ante una nueva condicin de carga.c) Calcular la probabilidad de falla de una partede la estructura o sistema que funcione durante un

periodo de tiempo.A esto se puede agregar que permite calcular la

confiabilidad de un sistema o estructura nueva, de lacual o no hay experiencia previa publicada o el

diseador no tiene experiencia previa.3.3.ndice de Confiabilidad

El ndice de confiabilidad es una medida cuantitativade la confiabilidad de un sistema o estructura querefleja la mecnica del problema y la incertidumbre enlas variables de entrada. Este ndice fue desarrollado eningeniera estructural para proporcionar una medida deconfiabilidad sin tener que determinar la distribucin de

probabilidad necesaria para calcular un valor exacto dela probabilidad de falla.

El ndice de confiabilidad es funcin del valoresperado y la varianza de las distribuciones de

probabilidad de la resistencia y de las cargas aplicadas.Permite comparar la confiabilidad para diferentescondiciones sin tener que calcular los valores absolutos

de probabilidad. El ndice de confiabilidad se calculacomo, Harr (1987):

{ } { }[ ] [ ]DvarCvar

DECE

= (4)

Otra forma de expresarlo es al considerar ladistribucin de probabilidad del factor de seguridadcomo normal (estndar), y su valor esperado, as setiene:

{ }

[ ]FSvar

1FSE

= (5)

Como se aprecia, el ndice de confiabilidad es elnmero de desviaciones estndar a las que se encuentrael valor esperado del FS, con respecto alcomportamiento indeseable; por ejemplo, un factor deseguridad de 1, fig 2.

Figura 2. ndice de confiabilidad

El ndice de confiabilidad es una medida de laprobabilidad de un comportamiento indeseable dadosun modo de comportamiento del suelo y ciertascondiciones de carga.

Para calcular el ndice de confiabilidad se requierecontar con los siguientes datos: Definir el criterio delestado lmite de falla o de servicio; una funcin paracalcular el valor esperado y la desviacin estndar dedichos estados lmite dados el valor esperado y ladesviacin estndar de los parmetros del suelo y de lascargas.

4. ANLISIS DE CONFIABILIDAD

Se han propuesto diversos mtodos para haceranlisis de confiabilidad. Estos varan de acuerdo algrado de exactitud que proporcionan. Por ello seclasifican de acuerdo con dicho nivel (Harr, 1987).

Pgina 3 de 7


4/7


El mtodo exacto efecta el anlisis de confiabilidadmediante el clculo preciso de la probabilidad de falla.Para ello, se deben conocer las distribuciones de

probabilidad de las variables involucradas en el clculo.Este nivel constituye el mtodo ms complejo, por locual su aplicacin en la prctica es limitada.Difcilmente se pueden determinar con exactitud las

funciones de densidad de probabilidad de la capacidady la demanda. Por lo que usualmente se adoptandistribuciones sencillas como la normal, lognormal eincluso la uniforme. Algunos de los mtodos que seencuentran en esta categora son: la integracinnumrica y el mtodo de Monte Carlo.

Los mtodos de primer orden, corresponden aaquellos que aplican el segundo momento de la variablealeatoria o simplificaciones de stos. La base de estosmtodos es la aplicacin de las series de Taylor. Comodatos de entrada se requiere conocer los dos primerosmomentos de las variables aleatorias y la covarianza delas variables correlacionadas. Una ventaja de estosmtodos es la sencillez de clculo. En esta categoraestn los mtodos Hasofer Lind, de la serie de Taylory de la regla 3.

La tercera categora corresponde al mtodo deestimadores puntuales propuesto por Rosenblueth(1975).

4.1.Mtodo de Monte Carlo

El mtodo de Monte Carlo es un mtodo numricoque permite resolver problemas matemticos mediantela simulacin de variables aleatorias. Muzachiodi,(2003), describe el mtodo con el ejemplo siguiente:

Supongamos que buscamos calcular el rea de unafigura plana S, que se observa en la fig 3.

Figura 3. rea de la figura plana S

Esta es una figura arbitraria con fronterascurvilneas, definida grfica o analticamente ycompuesta por una o varias partes. La encerramos en uncuadrado unitario como se muestra en la fig 3. Tenemosen el cuadrado N puntos aleatorios. Si N son los puntosdentro de S, el rea de S es aproximadamente igual a:

N

N'S (6)

Cuanto mayor sea la cantidad de puntos que setengan en el cuadro unitario, mejor ser laaproximacin del rea de la figura.

Generalmente, el mtodo se utiliza en los siguientescasos: para simular operaciones complejas que tienenmuchos factores aleatorios que interaccionanrecprocamente; para comprobar la aplicabilidad demtodos analticos ms simples; para obtener muestrasaleatorias simples de una variable aleatoria de la cual seconozca su distribucin de probabilidad.

4.2.Mtodo de primeros momentos y primer orden

Es utilizado para estimar los primeros momentos(media y varianza), de la funcin de distribucinresultante con base en los momentos de las variablesaleatorias de entrada.

Est basado en la expansin de la serie de Taylor dela funcin de distribucin resultante sobre algn punto.La expansin se realiza sobre los valores esperados delas variables aleatorias.

Dada la funcin Y = g(X1, X2,,Xn) donde Xi sonlos valores de la variable independiente, el valoresperado de la funcin se obtiene evaluando el valoresperado de las variables aleatorias de entrada:

{ } { } { } { }( ),XE,...,XE,XEgYE n21= (7)

El valor esperado del factor de seguridad se estimautilizando el valor esperado de las variables aleatorias

que le dan origen:

{ } { } { } { }( ),E,...,cE,EFSFSE = (8)

La varianza de la funcin resultante es:

[ ] [ ]

= i

2

i

XvarX

YYvar (9)

Las derivadas parciales son tomadas al punto de laexpansin de la serie de Taylor (en este caso la primera

derivada). Usando el factor de seguridad como unafuncin resultante. Por dar un ejemplo, la varianza seobtiene calculando la derivada parcial del factor deseguridad con respecto a cada variable aleatoria,evaluada al valor esperado de esa variable, al cuadrado;se multiplica el resultado por la varianza de la variablealeatoria utilizada y se suma este producto al resultadode la funcin, con respecto a las dems variablesaleatorias.

Pgina 4 de 7


5/7


[ ] [ ]

= i

2

i

XvarX

FSFSvar (10)

Determinados el valor esperado y la varianza delfactor de seguridad, el ndice de confiabilidad se calculaaplicando la ecuacin 5.

Entre las ventajas de este mtodo estn: proporcionaun ndice relativo de la incertidumbre del resultadoasociada a cada variable aleatoria que interviene en suclculo; es exacto si se utilizan distribuciones de

probabilidad lineales.Tiene como desventajas que es necesario determinar

el valor de las derivadas parciales y, cuando se utilizanfunciones no lineales, el error aumenta al elevarse elorden de stas.

4.3.Mtodo de Estimadores Puntuales

Un mtodo alternativo para estimar los momentos deuna funcin resultante con base en los momentos de las

variables aleatorias es el de estimadores puntuales(Rosenblueth, 1975, 1981). En el, las distribuciones deprobabilidad continuas de las variables aleatorias, serepresentan por una distribucin "equivalente" discreta,a partir de dos o ms valores conocidos.

Los elementos de estas distribuciones discretas (oestimadores puntuales) tienen valores especficos con

probabilidades definidas. De tal manera que losprimeros momentos de la distribucin discretacoincidan con los de la variable aleatoria continua.

Considerando la distribucin de probabilidad que seobserva en la fig 4, una variable aleatoria continua X,que es representada por dos estimadores puntuales, x+y

x-, con probabilidad de ocurrencia P+ y P-,respectivamente.

Como los dos estimadores puntuales y sucorrespondiente probabilidad de ocurrencia equivalen ala probabilidad de la distribucin, los dos valores de Pdeben sumar la unidad.

Los dos estimadores puntuales y su respectivaconcentracin de probabilidad de ocurrencia sonelegidas para coincidir con los tres primeros momentosde la variable aleatoria.

Cuando esta condicin se cumple para variablesaleatorias simtricamente distribuidas, los estimadores

puntuales se toman a ms menos una desviacin

estndar del valor esperado:

{ }iXii

XEX +=+ (11)

{ }iXii

XEX = (12)

Para variables aleatorias independientes, lasconcentraciones de probabilidad asociadas son:

0.5PP ii == + (13)

Figura 4. Mtodo de estimadores puntuales

Conociendo al estimador puntual y sucorrespondiente concentracin de probabilidad, el valoresperado de la funcin de las variables aleatoriaselevado a cualquier potencia M, puede ser evaluado deforma aproximada, como:

[ ]MMM

xpxpyE ++ +=

(14)La varianza se obtiene de la identidad:

[ ] { } { }( )22 YEYEYvar = (15)

Teniendo el valor esperado y la varianza del factorde seguridad, el ndice de confiabilidad se calculaaplicando la ecuacin 5.

4.4.Mtodo de la regla del 3

Esta regla, propuesta por Day y Wang y descrita porDuncan (2000), parte del hecho que en una distribucin

normal el 99.73% de los valores se encuentrancomprendidos en un rea ubicada a ms menos 3desviaciones estndar del valor medio. Con base en loanterior, se considera el valor mximo y el valormnimo concebible para el parmetro en estudio.

La regla 3 es utilizada para estimar el valor de ladesviacin estndar mediante la igualdad

6

LCVHCV

= (16)

Donde:: desviacin estndarHCV: mximo valor concebible del parmetroLCV: mnimo valor concebible del parmetro

La regla puede aplicarse cuando se tienen pocosdatos. Tambin puede usarse para juzgar la racionalidadde valores de los coeficientes de variacin,considerando que el valor concebible ms bajo se ubicaa 3 desviaciones estndar debajo de la media y el valorms alto est ubicado a 3 desviaciones estndar sobre lamedia.

Pgina 5 de 7


6/7


La regla 3 utiliza como base a la distribucinGaussiana al cubrir virtualmente la poblacin entera.Sin embargo, es aplicable a otras distribuciones,Duncan (2000). La regla no est atada rgidamente auna distribucin supuesta de la variable aleatoria.

5. APLICACIN A UN TALUD

Se supone un talud de 6 metros de altura conpendiente 1.5H : 1V, que forma parte de los bordosmarginales de un canal para conduccin de agua. Seconsidera que el canal est a su mxima capacidad,tirante de 6 m.

El talud est formado por una arcilla arenosa conpeso volumtrico de 16 kN/m3, el ngulo de friccintiene un valor medio de 25 y una desviacin estndarde 2 y la cohesin presenta una media de 10 kPa conuna desviacin estndar de 2 kPa Se tiene laincertidumbre en los resultados obtenidos en stas porlo que se considera a la cohesin y al ngulo de friccin

como variables aleatorias con distribucin muysemejante a una distribucin beta.El FS mnimo y su crculo de falla asociado se

calcularon aplicando el mtodo de Morgenstern Price,los cuales son: FS= 3 y el crculo de falla se ve en la fig5.

Se busca calcular el ndice de confiabilidad para eltalud. Se considerar que un FS = 1 representa lacondicin de falla. Se emplearn los mtodos: MonteCarlo, Regla del 3, estimadores puntuales, y de

primeros momentos y primer orden.En la tabla 1 se muestran los resultados al aplicar los

diferentes mtodos. En ella se observa que los valores

del ndice de confiabilidad determinados con losmtodos de Monte Carlo, de estimadores puntuales y de

primeros momentos y primer orden dan un valor dendice de confiabilidad cercano a 5. La Regla del 3daun valor de 3.39. Esto puede explicarse debido a que esel mtodo ms impreciso de todos. Es decir, no requierems que el conocimiento de un valor mnimo y de unomximo para estimar los primeros momentos del factorde seguridad. Sin embargo, este mtodo es el mssencillo de aplicar cuando se tienen pocos datos delsuelo.

Pgina 6 de 7

Figura 5. Mnimo factor de seguridad y crculo de falla critico

6. CONCLUSIONES

La incertidumbre en los anlisis geotcnicos sepuede valorar empleando el anlisis de confiabilidad.

Tradicionalmente el diseo geotcnico se realizaempleando factores de seguridad aceptables. Losvalores se toman de la experiencia acumulada por la

profesin geotcnica, a lo largo de muchos aos.Los reglamentos de construccin ms modernosconsideran, en lugar de factores de seguridad, factoresde carga y factores de reduccin para los estados lmitesde falla y de servicio. Es decir, acotan el diseo paraevitar una falla catastrfica, y aseguran que elcomportamiento de la obra cumpla con las condicionesde servicio para las que se disea.

La variacin de los factores involucrados en eldiseo geotcnico, se puede cuantificar por medio de lateora de la probabilidad. Se representan, por unafuncin de densidad de probabilidad.

Tabla 1. Resumen del ndice de confiabilidady primeros momentos del factor de seguridadMtodo E{FS} var[FS] FS

MonteCarlo

2.98 0.151 0.389 4.97

Regla del3

2.77 0.271 0.521 3.39

Estimacinpuntual

2.97 0.149 0.386 5.10

Primerosmomentos y

primerorden

2.98 0.151 0.388 5.09

La evaluacin rigurosa de la probabilidad de falla escasi imposible debido a la dificultad para determinarcon precisin las funciones de probabilidad de laCapacidad y la Demanda. Por ello, hay mtodosalternativos como los discutidos aqu, que permitenhacer el anlisis aproximado, con poblaciones de pocosdatos.

De los mtodos aqu evaluados se tienen los

comentarios siguientes:El mtodo de Monte Carlo se utiliza para simularoperaciones complejas que tienen muchos factoresaleatorios que interactan recprocamente. Es unmtodo que fcilmente puede ser programado en unarutina de cmputo.

El mtodo de primeros momentos y primer orden esutilizado para estimar los primeros momentos (media yvarianza), por medio de la expansin de la serie deTaylor. Entre sus ventajas estn: proporciona un ndicerelativo de la incertidumbre del resultado asociada a


7/7


Pgina 7 de 7

cada variable aleatoria que interviene en su clculo y, esexacto si se utilizan distribuciones de probabilidadlineales. Tiene como desventaja principal que esnecesario determinar el valor de las derivadas parcialesy cuando se utilizan funciones no lineales, el erroraumenta al elevarse el orden de stas.

Un mtodo alternativo para estimar los momentos de

una funcin resultante con base en los momentos de lasvariables aleatorias es el mtodo de estimadores

puntuales. Este mtodo considera que las distribucionesde probabilidad continuas de las variables aleatorias deentrada son representadas por una distribucin"equivalente" discreta a partir de dos o ms valoresconocidos. Presenta como ventaja que su aplicacin esrelativamente ms sencilla en comparacin con otrosmtodos y sus resultados se aproximan en gran medidaa los obtenidos con el mtodo de primeros momentos y

primer orden.El mtodo ms sencillo es el de la regla del 3,

aunque es tambin el mtodo menos preciso. Se aplicacuando estn disponibles datos limitados y puede usarse

para juzgar la racionalidad de valores de loscoeficientes de variacin, a partir del valor mnimo ymximo concebible para la variable de inters.

7. REFERENCIAS

Duncan, J. M., (2000), Factor of safety and reliabilityin geotechnical engineering, Journal ofGeotechnical and Geoenviromental Engineering,Vol. 126, No. 4, ASCE, USA.

Harr, M.E. (1987), Reliability based design in civilengineering, McGraw Hill, USA.

Marsal, R. J. y M Mazari (1959), El subsuelo de la

Ciudad de Mxico, UNAM, Mxico.Muzachiodi, S. (2003), Implicancias del DataMining, UNER, Argentina.

Rosenblueth, E. (1975), Point estimates for probabilitymoments, Proceedings of the National academy ofScience, USA.

Rosenblueth, E (1981), Two Point estimates inprobabilities, Applied Mathematical Modeling,USA.

Wolff, T.F. (1997) Introduction to probability andreliability methods for use in geotechnicalengineering, ETL 1110-2-547, U. S. Army Corps ofEngineers, USA.

Confiabilidad en GeotecniaAJag08 210808AJ1

Documents

Transcript of Confiabilidad en GeotecniaAJag08 210808AJ1