Control Web

FUNDAMENTOS DE

CONTROL AUTOMATICODE SISTEMAS CONTINUOS Y MUESTREADOS

Dr. Jorge Juan Gil NobajasDr. Angel Rubio Daz-Cordoves

San Sebastian, 15 de agosto de 2009

c2009 Jorge Juan Gil Nobajas y Angel Rubio Daz-Cordoves

Fundamentos de Control Automatico de Sistemas Continuos y Muestreadosc2009 Jorge Juan Gil Nobajas y Angel Rubio Daz-Cordoves

ISBN 978-84-613-4618-9Deposito Legal SS-1094-2009

Reservados todos los derechos.Queda prohibida la reproduccion total o parcial sin autorizacion previa.Se autoriza la visualizacion, impresion y copia exclusivamente para uso personal sin fines de lucro.

Impreso en EspanaImprime: Unicopia, C.B.Paseo Manuel Lardizabal, 1320018 San Sebastian (Guipuzcoa) ESPANA

2

Indice general

I Control de sistemas continuos 9

1. Introduccion 111.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Ejemplos de sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Clasificacion de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Sistemas y modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Sistemas mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2. Sistemas electricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3. Sistemas electromecanicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.4. Sistemas hidraulicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.5. Sistemas termicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. La transformada de Laplace 232.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Transformada de Laplace de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4. Resolucion de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Representacion de los sistemas 293.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Funcion de transferencia de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Diagrama de bloques de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1. Reglas para la simplificacion de diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.2. Ejemplo de circuito con dos mallas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3.3. Ejemplo de motor de corriente continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4. Sistema de realimentacion negativa no unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5. Sistema de realimentacion negativa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4. Respuesta temporal 374.1. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1.1. Respuesta ante entrada impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.2. Respuesta ante entrada escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.3. Respuesta ante entrada sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.4. Ejemplos de sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.1. Respuesta subamortiguada ante entrada escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2. Respuesta sobreamortiguada ante entrada escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.3. Respuesta crticamente amortiguada ante entrada escalon . . . . . . . . . . . . . . 434.2.4. Respuesta oscilatoria ante entrada escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.5. Respuesta ante entrada impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3. Sistemas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4. Influencia de los ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3


5. Error en regimen permanente 495.1. Error en regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1. Error de posicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.2. Error de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.3. Error de aceleracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.4. Resumen de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2. Magnitud y unidades del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3. Error en sistemas con realimentacion no unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4. Error en sistemas con varias entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.5. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6. Estabilidad 596.1. Definicion de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2. Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2.1. Estabilidad de los sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.2.2. Estabilidad de los sistemas de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.2.3. Ejemplo numerico de sistema de cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.3. Casos especiales del criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.1. Se anula el primer coeficiente de una fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.2. Se anula toda una fila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7. Lugar de las races 657.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2. Generalidades del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3. Metodo para dibujar el lugar de las races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.3.1. Polos y ceros en lazo abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3.2. Asntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.3. Puntos del eje real que pertenecen al lugar de las races . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.4. Puntos de ruptura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.5. Puntos de corte con el eje imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3.6. Angulos de salida y llegada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.4. Calculo de la ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.5. Ejemplos de lugares de las races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.5.1. Sistema de tercer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.5.2. Sistema de segundo orden con un cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.6. Estabilidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.6.1. Margen de ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.6.2. Margen de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.7. Lugar de las races en funcion de otros parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8. Respuesta en frecuencia 778.1. Respuesta a una entrada sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.2. El diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.3. Diagramas de Bode de sistemas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.3.1. Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.3.2. Retraso en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.3.3. Integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.3.4. Derivador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.3.5. Polo simple estable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.3.6. Cero simple con parte real negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.3.7. Polos estables complejos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.3.8. Ceros complejo conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.3.9. Polo simple con parte real positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.3.10. Cero simple con parte real positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.4. Diagrama de Bode de cualquier funcion de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4


8.5. Diagrama de Bode de un sistema en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.5.1. Ancho de banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.5.2. Margen de fase y margen de ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87


9. Compensadores de adelanto y de retraso de fase 899.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.1.1. Especificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.1.2. Tipos de compensacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.1.3. Metodo de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.2. Compensador de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.2.1. Ajuste por el lugar de las races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.2.2. Ajuste por el diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9.3. Compensador de retraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.3.1. Ajuste por el diagrama de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.3.2. Ajuste por el lugar de las races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.4. Compensador de adelanto-retraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.Controladores PID 10910.1. Expresion general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

10.1.1. Forma estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.1.2. Forma paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.1.3. Forma serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10.2. Sentido fsico de la actuacion de un PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.2.1. Actuacion proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.2.2. Actuacion proporcional-derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.2.3. Actuacion proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

10.3. Ajuste experimental de PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.3.1. Ajuste de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.3.2. Otros ajustes experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11510.3.3. Ejemplo comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.4. Ajuste analtico de PIDs por asignacion de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11610.5. Control con dos grados libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11710.6. Modificaciones del PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10.6.1. Supresion del efecto kick-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11810.6.2. Set-point weighting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.6.3. Filtro de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.6.4. Prevencion del efecto windup integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120


11.Control en espacio de estado 12511.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12511.2. Tipos de variables de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

11.2.1. Variables de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.2.2. Variables canonicas o normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12711.2.3. Variables fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.3. Controlabilidad y observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12911.4. Realimentacion de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

11.4.1. Asignacion de polos de forma clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13011.4.2. Metodo de Ackermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13011.4.3. Asignacion de polos en control optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

11.5. Observadores de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13111.6. Realimentacion completa de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5


II Control de sistemas muestreados 133

12.Introduccion 13512.1. Ejemplo de implementacion analogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13512.2. Ejemplo de implementacion digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13612.3. Concepto de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13612.4. Concepto de cuantizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13712.5. Clasificacion de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

13.Tratamiento matematico de la senal muestreada 13913.1. Definicion de muestreo periodico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

13.1.1. Funcion portadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13913.1.2. Funcion temporal muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

13.2. Transformada de Fourier de la funcion muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14113.3. El problema del aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

13.3.1. Teorema de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14213.3.2. Aliasing y reconstruccion de la senal original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14313.3.3. Aliasing y ruido en la medida de la senal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

14.El muestreo ideal 14514.1. Definicion de muestreo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

14.1.1. Funcion portadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14514.1.2. Funcion temporal muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

14.2. Transformada de Fourier de la funcion muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14614.3. Transformada de Laplace de la funcion muestreada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

14.3.1. Forma cerrada y region de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14714.3.2. Forma alternativa para la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14814.3.3. Periodicidad de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14814.3.4. Franjas primaria y complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

15.Reconstruccion de la funcion continua original 14915.1. Filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

15.1.1. Caractersticas del filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14915.1.2. Imposibilidad fsica de construccion del filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14915.1.3. Reconstruccion de la senal con el filtro ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

15.2. Retenedor de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15115.2.1. Caractersticas del retenedor de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15115.2.2. Expresion de Laplace del retenedor de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15215.2.3. Respuesta en frecuencia del retenedor de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

15.3. Retenedor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15315.3.1. Caractersticas del retenedor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15315.3.2. Expresion de Laplace del retenedor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . 15415.3.3. Respuesta en frecuencia del retenedor de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 154

15.4. Retenedor polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15515.4.1. Caractersticas del retenedor polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15515.4.2. Expresion de Laplace del retenedor polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

16.La transformada Zeta 15716.1. Calculo de la transformada Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15716.2. Tabla de la transformada Zeta de funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15816.3. Teoremas de la transformada Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15816.4. Calculo de la transformada inversa de Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

16.4.1. Metodo directo o de la expansion de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15916.4.2. Metodo de la expansion en fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

16.5. Funcion de transferencia Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16016.6. Ecuaciones diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6


17.Diagramas de bloques en Zeta 16317.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16317.2. Bloques en cascada con muestreadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

17.2.1. Un unico bloque continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16317.2.2. Bloques continuos con muestreador intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16417.2.3. Bloques continuos sin muestreador intermedio: el problema de la convolucion . . . 16517.2.4. Sistemas en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

17.3. Metodo de simplificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16717.4. Sistemas con bloques continuos y discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

18.Correspondencia entre el plano S y el plano Z 16918.1. Franja primaria y crculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16918.2. Lneas de parametros constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17018.3. Variacion de la posicion de los polos y ceros con T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17018.4. Calculo del numero de muestras por ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

19.Analisis de estabilidad 17519.1. Criterio general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17519.2. Criterio de Jury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17519.3. Transformacion bilineal y criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17619.4. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

20.Respuesta transitoria y regimen permanente 17920.1. Respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17920.2. Regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18120.3. Error en regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18120.4. Tipo de sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

21.Lugar de las races 18321.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18321.2. Punto de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18321.3. Metodo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18521.4. Diseno de compensadores de adelanto de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18621.5. Ejemplo de diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18621.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

22.Metodos de digitalizacion 19322.1. Generalidades de los metodos de digitalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19322.2. Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

22.2.1. Metodo trapezoidal o de Tustin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19422.2.2. Metodo de Euler implcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19422.2.3. Metodo de Euler explcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19522.2.4. Otros metodos numericos de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19622.2.5. Ejemplo de digitalizacion usando integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . 196

22.3. Derivacion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19722.3.1. Metodo de backwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19722.3.2. Otros metodos de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19822.3.3. Ejemplos de digitalizacion de PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19922.3.4. Ejemplos de digitalizacion de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

22.4. Metodo de equiparacion de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20022.4.1. Caso particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20022.4.2. Metodo de equiparacion modificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20122.4.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

22.5. Metodo de la equivalencia del retenedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

23.Respuesta en frecuencia 20323.1. Aproximacion de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20323.2. Ejemplo numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20423.3. Respuesta en frecuencia exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

7


24.Espacio de estado muestreado 20724.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20724.2. Ejemplo de modelizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20724.3. Control mediante realimentacion completa de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

A. Ampliacion de espacio de estado 211A.1. Matriz de transicion de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

8

Parte I

Control de sistemas continuos

9

Captulo 1

Introduccion

La ingeniera de control formula leyes matematicas para el gobierno de sistemas fsicos conforme auna serie de especificaciones. Esta disciplina es esencial para el desarrollo y automatizacion de procesosindustriales. Los avances en el control automatico brindan los medios adecuados para lograr el funcio-namiento optimo de cualquier sistema dinamico, por tanto, resulta muy conveniente que los ingenierosposean un amplio conocimiento de esta materia.

La Parte I del presente libro de texto describe las herramientas clasicas para el control de sistemascontinuos en el tiempo, es decir, aquellos sistemas en los que se puede medir y actuar en todo instante. Enelectronica, este tipo de sistemas se llaman analogicos, frente a los discretos y digitales que se estudiaranen la Parte II.

1.1. Definiciones

En el estudio de la ingeniera de control, se emplean una serie de conceptos que es necesario definir:

- Planta, proceso o sistema: Es la realidad fsica que se desea controlar (por ejemplo, un horno decalentamiento controlado, reactor qumico, amplificador operacional, vehculo espacial, velocidadde un tren de laminacion, etc.).

- Perturbaciones: Senales o magnitudes fsicas desconocidas que tienden a afectar adversamente lasalida del sistema.

- Control realimentado: Operacion que se realiza sobre la planta, con la que se consigue que apesar de las perturbaciones, el sistema siga una entrada de referencia. Normalmente esto se consiguecomparando la senal de salida con la senal deseada (se suele trabajar con la diferencia de ambassenales) y actuando en consecuencia.

- Controlador o compensador: Ley matematica que rige el comportamiento del sistema. Si unaley de control funciona aunque uno se haya equivocado en el modelo, se dice que esa ley es robusta.

- Servosistema: Sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapie a la capacidaddel sistema de seguir una referencia.

- Regulador: Sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapie a la capacidad delsistema de rechazar las perturbaciones. En los reguladores la referencia practicamente no cambia,es una senal continua y si cambia, lo hace lentamente.

- Sistema en lazo cerrado: La variable controlada se mide y se utiliza esa medicion para modificarla entrada sobre la planta. Esa medida se lleva a cabo normalmente por un sensor.

- Sistema en lazo abierto: La variable controlada o de salida no se mide, ni se utiliza para modificarla entrada. La entrada a la planta no es funcion de la salida como ocurra en lazo cerrado. Se empleanormalmente cuando las perturbaciones sobre el sistema son pequenas y se posee un buen modelode planta. Tambien se utiliza este tipo de sistemas si la senal de salida del sistema es imposible omuy difcil de medir. Como ejemplos se podran citar una lavadora de ropa o el arranque de motoresde estrella a triangulo. Si el sistema en lazo abierto cumple las especificaciones necesarias, resultamas sencillo y barato construirlo que un sistema en lazo cerrado.

11


En la Fig. 1.1 a) se puede observar el esquema de control general que se va a seguir, mientras que en la1.1 b) se observa un ejemplo de sistema en lazo abierto. En la Tabla 1.1 se puede observar las principalesdiferencias entre un sistema en lazo abierto y uno en lazo cerrado.

Referencia Salida

Perturbacion

Control Planta

Sensor

Actuador

Referencia Salida

Perturbacion

Control PlantaActuador

a)

b)

Figura 1.1: Sistema de control en lazo cerrado a) y en lazo abierto b)

Tabla 1.1: Comparacion entre controladores

Control en lazo cerrado Control en lazo abiertoRechaza perturbaciones No rechaza perturbacionesPuede hacerse inestable No tiene problemas de estabilidad

Puede controlar sistemas inestables No controla sistemas inestablesNo requiere conocer la planta Requiere conocer la plantaMayor numero de componentes Menor numero de componentes

Suele ser caro Suele ser mas economico

1.2. Ejemplos de sistemas de control

Se presentan a continuacion unos ejemplos de sistemas de control de lazo cerrado.

- Sistema de control de velocidad: Para el caso en que se quiera controlar la velocidad de uncoche mediante un sistema en lazo cerrado, la variable de referencia es la velocidad deseada delcoche, el motor del coche es el actuador, la planta es el coche en s, posibles perturbaciones puedenser la aparicion de una cuesta, la actuacion del viento, etc., la salida del sistema es la velocidad realdel coche, y el sensor, un velocmetro, mide dicha velocidad.

- Sistema de control de temperatura: Otro caso es el control de la temperatura de una habita-cion. La variable de referencia es la temperatura deseada de la habitacion, los actuadores son losradiadores (o el aparato de aire acondicionado), la ley de control es el termostato, y las perturbacio-nes son las caloras que entran y salen de la habitacion o que generan las personas u otros equiposque no sean los actuadores. El sensor que mide la temperatura de la habitacion puede ser un simpletermometro.

- Sistema de control de posicion: Ahora se quiere controlar un pendulo como el de la Fig. 1.2,para que se mantenga en un estado de equilibrio vertical. Las perturbaciones son cualquier fuerzaque intente sacar el pendulo de su posicion de equilibrio. Si se trabajase en lazo abierto no se podrasaber en que posicion se encontrara el pendulo en cada momento, y nunca se podra alcanzar elobjetivo. Es imprescindible, para este caso, utilizar un sistema de control en lazo cerrado.

Otro ejemplo de sistema de control de posicion es un sistema maquina-herramienta. En este caso elsensor puede ser un encoder diferencial, un resolver o un potenciometro, el actuador es un motor electricoy la ley de control un controlador PD.

1.3. Clasificacion de los sistemas de control

Los sistemas de control se pueden clasificar de diversos modos. Si se atiende a la varianza en el tiempode la ley de control se puede distinguir:

12


mf

x

Figura 1.2: Pendulo simple invertido

- Control fijo o estandar: Los parametros de la ley de control no varan en el tiempo. Es interesantecuando las leyes del actuador y de la planta son fijas. Como ya se ha apuntado, se llama controlrobusto a aquel que funciona correctamente ante errores en la modelizacion de la planta.

- Control adaptable (gain scheduling): La ley de la planta cambia, y se puede decidir para cadaley un controlador distinto. Aqu se selecciona una ley de control como se ve en la Fig. 1.3 a).

- Control adaptativo (adaptive control): Se va cambiando el control variando los parametrosdel modelo, como se ve en la Fig. 1.3 b). Sirve para aquellos sistemas en los que el modelo de laplanta vara con el tiempo.

Referencia SalidaControl 2

Planta

Sensor

Actuador

Control 1

Referencia Salida

Control Sistema

Sensor

Estimador

a)

b)

Perturbacion

Figura 1.3: Sistema de control adaptable a) y adaptativo b)

Si se atiende al numero de entradas y de salidas que posee el sistema:

- Sistemas SISO (single input, single output): Poseen una unica entrada y una salida.

- Sistemas MIMO (multiple input, multiple output): Poseen varias entradas y varias salidas.

Si se atiende a la linealidad del sistema se puede distinguir:

- Sistemas lineales: Las ecuaciones diferenciales que describen al sistema, tanto a la planta comoal controlador, son lineales.

- Sistemas no lineales: Las ecuaciones diferenciales que describen al sistema no son lineales. Enunos casos la falta de linealidad se da en la planta y, en otros casos, en el propio controlador.

Si se atiende a la continuidad del sistema se puede distinguir:

- Sistemas continuos: La ley de control posee informacion de la planta y actua en todo instante detiempo.

13


- Sistemas muestreados o discretos: La ley de control recibe informacion y actua en determinadosinstantes que suele imponer un reloj. Estos sistemas se pueden analizar de forma similar a lossistemas continuos si el proceso de muestreo es mucho mas rapido que la planta. La Parte II delpresente manual se dedica al estudio de este tipo de sistemas.

Si se atiende a los parametros de las ecuaciones diferenciales que describen al sistema se puede dis-tinguir:

- Sistemas de parametros concentrados: El sistema esta descrito por ecuaciones diferencialesordinarias.

- Sistemas de parametros distribuidos: El sistema esta descrito por medio de ecuaciones di-ferenciales en derivadas parciales. Un ejemplo de sistema de este tipo puede ser el control de latransmision de calor a traves de una superficie o volumen, o el control de la vibracion de un puntode una membrana.

1.4. Sistemas y modelos

Un sistema es una combinacion de elementos que actuan conjuntamente y cumplen un determinadoobjetivo. En ingeniera de control los sistemas se estudian reemplazandolos por modelos matematicos.Sin embargo obtener un modelo matematico que caracterice de forma adecuada el comportamiento de undeterminado sistema no es sencillo, y es uno de los grandes problemas de la ingeniera de control.

Ningun modelo matematico puede abarcar toda la realidad del sistema, sin embargo, para que unmodelo sea util no es necesario que sea excesivamente complicado. Basta con que represente los aspectosesenciales del mismo y que las predicciones sobre el comportamiento del sistema, basadas en dicho modelo,sean lo suficientemente precisas.

Los modelos se rigen con ecuaciones diferenciales. Normalmente se buscan modelos matematicos en losque intervengan ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes. Si se encuentran ecuacionesno lineales, lo habitual es linealizarlas en las proximidades del punto de operacion. A continuacion seprocedera al estudio de los sistemas mas usuales en la ingeniera de control.

1.4.1. Sistemas mecanicos

Los sistemas mecanicos se componen de elementos que pueden comportarse como masas, amortigua-dores o muelles. La ecuacion diferencial que rige el comportamiento de una masa es la segunda ley deNewton:

f = md2x

dt2(1.1)

Donde f es la suma de las fuerzas exteriores aplicadas a la masa y x es su desplazamiento. El parametroconstante m es la propia masa y su unidad fundamental en el SI es el kilogramo, kg. Si el sistema giraen lugar de desplazarse, la ecuacion que gobierna su movimiento es:

= Jd2

dt2(1.2)

Donde es la suma de los pares exteriores aplicados al sistema y su giro. El parametro constante Jes la inercia del sistema y su unidad es el kgm2.

La fuerza f que restituye un amortiguador cuando se comprime es proporcional a la velocidad conque se aproximan sus extremos. La ecuacion diferencial que rige su comportamiento es:

f = cdx

dt(1.3)

El parametro c es la constante del amortiguador o viscosidad, y su unidad es el Ns/m. Si una masa sedesplaza dentro de un medio viscoso (al aire, el agua, etc.), ademas de su propia inercia debe vencer unafuerza viscosa proporcional a la velocidad con que se desplaza dicha masa. Este efecto se puede modelizarmatematicamente con un amortiguador cuyos extremos estuvieran anclados uno en el centro de gravedadde la masa y otro en un punto exterior fijo del medio. Evidentemente, este efecto no aparece en el vacoo en el espacio exterior, fuera de la atmosfera.

14


La fuerza f que restituye un muelle o resorte cuando se comprime es proporcional a la distancia xque se han acercado sus extremos desde su longitud natural. Es la llamada ley de Hooke:

f = kx (1.4)

La constante k representa la rigidez del muelle y su unidad es el N/m.Para obtener las ecuaciones que representan a los sistemas mecanicos, se asla cada elemento del

sistema, introduciendo las fuerzas de enlace y se aplica la segunda ley de Newton a dicho elemento.A continuacion se muestran algunos casos en los que se da una combinacion de los tres elementos

basicos de un sistema mecanico y las ecuaciones diferenciales que los gobiernan.

m

k

c

f

x

Figura 1.4: Sistema mecanico masa-muelle-amortiguador

f = md2x

dt2+ c

dx

dt+ kx (1.5)

La ecuacion diferencial (1.5) gobierna el sistema masa-muelle-amortiguador de la Fig. 1.4. La entrada alsistema es la fuerza f y la salida es el desplazamiento de la masa x. La entrada puede ser un desplazamientoen lugar de una fuerza, como ocurre en el caso de la 1.5. El desplazamiento u puede representar eldesplazamiento de un vastago neumatico. La ecuacion diferencial (1.6) gobierna este nuevo sistema.

m

kc

x u

Figura 1.5: Sistema mecanico masa-muelle-amortiguador

ku = md2x

dt2+ c

dx

dt+ kx (1.6)

Tambien es posible que el sistema pueda modelizarse despreciando la masa de los elementos moviles.Este es el caso del sistema de la Fig. 1.6, regido por la ecuacion diferencial (1.7).

k

c

f

x

Figura 1.6: Sistema mecanico muelle-amortiguador

f = cdx

dt+ kx (1.7)

En el sistema de la Fig. 1.7 ante una unica entrada u existen dos variables temporales de salida,los desplazamientos de las masas x1 y x2. Este sistema puede servir para modelizar el comportamientodel sistema de amortiguacion de un vehculo. La masa m2 representa la parte amortiguada del vehculo,mientras que m1 es el conjunto de la rueda y el eje. El desplazamiento de entrada u es el perfil de lacarretera que actua sobre la rueda a traves de la rigidez del neumatico k1.

k1(u x1) = m1 d2x1dt2

+ k2(x1 x2) + c(dx1dt

+dx2dt

)k2(x1 x2) + c

(dx1dt

+dx2dt

)= m2

d2x2dt2

(1.8)

15


m1

k2c

x1

k1

u

m2 x2

Figura 1.7: Modelo de un sistema de amortiguacion

Si lo unico que interesa del sistema es el desplazamiento de la masa amortiguada, sin importar comose mueva la rueda, habra eliminar del sistema de dos ecuaciones y dos incognitas (1.8) la variable x1. Elobjetivo sera obtener una unica ecuacion que relacione la entrada u con la variable x2. Esto es difcil dehacer con las ecuaciones diferenciales en el dominio temporal. En el captulo 2 se muestra como conseguirlode forma sencilla gracias a la transformada de Laplace.

1.4.2. Sistemas electricos

Los sistemas electricos se componen de tres elementos fundamentales: las resistencias, los condensa-dores y las bobinas. La tension que aparece sobre los extremos de una resistencia es proporcional a laintensidad que circula a traves de ella. La constante proporcional se llama igualmente resistencia y suunidad en el SI es el ohmio, .

v = Ri (1.9)

La tension que aparece sobre los extremos de una bobina es proporcional a la derivada de la intensidadque circula a traves de ella respecto del tiempo. La constante proporcional se llama inductancia y suunidad es el henrio, H.

v = Ldi

dt(1.10)

La tension que aparece sobre los extremos de un condensador es proporcional a la integral de laintensidad que circula a traves de ella a lo largo del tiempo. Desde otro punto de vista, tambien se puededecir que la intensidad que circula a traves de un condensador es proporcional a la variacion de la tensionentre sus bornes. Esta ultima constante proporcional es la que se llama capacidad y su unidad es elfaradio, F.

i = Cdv

dt(1.11)

En un circuito en el que existan resistencias, bobinas y condensadores, las ecuaciones diferenciales quelo gobiernan se obtienen aplicando las leyes de Kirchhoff en las mallas o en los nudos. A continuacionse muestran algunos casos en los que se da una combinacion de estos tres elementos y sus respectivasecuaciones diferenciales.

R

C

voviL

i

Figura 1.8: Sistema electrico resistencia-bobina-condensador

vi = Ri + Ldi

dt+

1C

t0

i d

vo =1C

t0

i d

(1.12)En el sistema de la Fig. 1.8, la entrada en el circuito en la tension vi y la salida es la tension vo

suponiendo que la corriente de salida es nula, o lo que es lo mismo, el circuito se conecta a un dispositivo

16


de alta impedancia de entrada. En el sistema de ecuaciones diferenciales (1.12) interviene una variableintermedia: la intensidad i. Como ocurra anteriormente en los sistemas mecanicos, es difcil en el dominiotemporal eliminar del sistema de ecuaciones estas variables intermedias para obtener una unica ecuaciondiferencial que relacione la salida con la entrada.

R1

C2

vovi

i1

R2

C1 i2

Figura 1.9: Sistema electrico con dos mallas

vi = R1i1 +1C1

t0

(i1 i2) d

1C1

t0

(i1 i2) d = R2i2 + 1C2

t0

i2 d

v0 =1C2

t0

i2 d

(1.13)

En el sistema de la Fig. 1.9 existen dos mallas, por tanto se obtienen dos variables intermedias entrelas tensiones de salida y de entrada: las intensidades i1 e i2.

R1

C2C1 i1 i2

RLi

Figura 1.10: Sistema electrico con fuente de corriente

1C1

t0

(i i1) d = R1i1 + 1C2

t0

(i1 i2) d

1C2

t0

(i1 i2) d = RLi2

(1.14)En el sistema de la Fig. 1.10 se muestra un ejemplo donde la entrada es una corriente en lugar de una

tension. La entrada es la corriente i de la fuente, la salida es la corriente i2 en la resistencia de carga RLy existe una variable intermedia que es la corriente i1 de la malla intermedia.

1.4.3. Sistemas electromecanicos

Los sistemas electromecanicos o mecatronicos, combinan elementos mecanicos y electricos. Un ejemploes el motor de corriente continua que hace girar una inercia, Fig. 1.11. La entrada es la tension v y lasalida es el giro .

Rv

L

ie

Figura 1.11: Modelo de un motor de corriente continua arrastrando una inercia

v = Ri+ Ldi

dt+ e

e = Kd

dt = Ki

= Jd2

dt2+B

d

dt

(1.15)

17


La primera ecuacion del sistema (1.15) responde a la unica malla del circuito. La tension e que apareceen el motor es proporcional a la velocidad de giro del mismo. El par que ejerce el motor es proporcionala la intensidad que circula por el. Las constantes de velocidad y de par son la misma K, donde es posibledemostrar que tienen las mismas unidades. La ultima ecuacion del sistema es la del modelo mecanico deinercia J y viscosidad B.

1.4.4. Sistemas hidraulicos

Los sistemas hidraulicos pueden incluir muy diferentes elementos (depositos, valvulas, etc.). En esteapartado se muestra un ejemplo de ecuacion diferencial que gobierna la altura h de fluido contenido enun deposito.

h

qi

qo

A

Ao

Figura 1.12: Deposito con conducto de desague

Las ecuaciones que se pueden plantar en el deposito de la Fig. 1.12 son la conservacion de la masa yel caudal de salida,

qi qo = Adhdt

qo = Aovo = Aof2gh = K

h

(1.16)donde qi y qo son los caudales de entrada y salida, mientras que A y Ao son las superficies de la secciondel deposito y del conducto de salida. Eliminando la variable del caudal de salida qo resulta:

Adh

dt+K

h = qi (1.17)

Lo primero que conviene resaltar es que esta ecuacion diferencial no es lineal. En lugar de aparecer unafuncion temporal y sucesivas derivadas temporales, aparece la raz cuadrada de la funcion. Un modo deestudiar este tipo de sistemas consiste en linealizar su ecuacion diferencial en algun punto de operacion.Lo mas sencillo es estudiar este comportamiento en el punto de equilibrio del sistema: para una altura Hde fluido existe un caudal de entrada Qi tal que el caudal de salida Qo = K

H es igual al de entrada.

El punto (Qi,H) es el punto de equilibrio en el que se linealizara este sistema.Se aplicara el desarrollo en serie de Taylor de primer orden a la funcion,

f(qi, h) =dh

dt, (1.18)

por tanto,

f(qi, h) f(Qi, H) +[f

qi

](Qi,H)

(qi Qi) +[f

h

](Qi,H)

(hH) (1.19)

dh

dt 1

A(Qi K

H) +

1A(qi Qi) K

2AH(hH) (1.20)

dh

dt 1

A(qi Qi) 1

(hH) (1.21)

Si se define el siguiente cambio de variables:

h = hHqi = qi Qi

}(1.22)

la ecuacion diferencial lineal en torno al punto de equilibrio es:

dh

dt+1h =

1Aqi (1.23)

18


Esta linealizacion se puede realizar en otros puntos distintos al de equilibrio. Para depositos como el delejemplo, una formulacion aproximada bastante extendida es considerar el caudal de salida proporcionala la altura del deposito,

qo =h

R, (1.24)

donde R equivale a una resistencia al flujo de salida de caudal por la boquilla. Esta aproximacion es unsmil electrico del flujo del fluido y conduce a ecuaciones diferenciales lineales. Por ejemplo, la conservacionde la masa en el deposito conduce a la ecuacion,

qi hR

= Adh

dt, (1.25)

que es comparable al resultado que daba la linealizacion anterior,

dh

dt+

1AR

h =1Aqi, (1.26)

pero empleando la altura h y el caudal de entrada qi absolutos en lugar de sus diferencias respecto alpunto de linealizacion. Siguiendo el smil electrico, el caudal se comporta como la intensidad de corriente,la altura del deposito como el potencial y el area de la seccion del deposito como una capacidad. Por estoultimo, en algunos manuales al area A del deposito se le llama capacitancia del tanque.

1.4.5. Sistemas termicos

Los sistemas termicos se describiran directamente usando un smil electrico parecido al definido en elapartado anterior. En este caso la resistencia termica R es la oposicion al flujo de calor entre dos cuerposque posean temperaturas distintas. En el SI, las unidades de esta resistencia termica es K/W.

q =T1 T2

R(1.27)

La capacitancia termica C se define como el calor almacenado o desprendido por un cuerpo cuandocambia de temperatura. Esta capacitancia se suele dar en forma de calor especfico, es decir, por unidadde masa. En el SI, las unidades del calor especfico ce es J/kgK.

q = CT (1.28)q = mceT (1.29)

q = mcedT

dt(1.30)

Con estas definiciones se puede modelizar el comportamiento termico de muchos sistemas. Por ejemploen la Fig. 1.13 se muestra una habitacion con un radiador que introduce un flujo de calor qr en presenciade una ventana de resistencia termica R por la que se pierde un flujo de calor de qs. La temperaturaexterior Te se supone constante.

qrqs TeTi..

Figura 1.13: Habitacion con un radiador y una ventana

Las ecuaciones del sistema son:

qr qs = mce dTidt

qs =Ti Te

R

(1.31)Eliminado la variable qs queda una ecuacion diferencial lineal de primer orden:

qr = mcedTidt

+Ti Te

R(1.32)

19


1.5. Ejercicios propuestos

Con las ecuaciones que se han propuesto en este captulo, hallar las ecuaciones diferenciales quegobiernan los siguientes sistemas:

- Ejercicio 1: Un sistema mecanico que compuesto de una muelle y un amortiguador en serie (verFig. 1.14) cuya entrada es el desplazamiento u y cuya salida es el desplazamiento x.

kc

x u


Solucion:

ku = kx+ cdx

dt(1.33)

- Ejercicio 2: Un sistema mecanico similar al anterior, pero en el que un muelle de rigidez k2 esta enserie con un conjunto paralelo muelle-amortiguador (ver Fig. 1.15). La entrada sigue siendo eldesplazamiento u y la salida el desplazamiento x.

x u

k1

c

k2

Figura 1.15: Sistema mecanico muelle-muelle-amortiguador

Solucion:

k1u+ cdu

dt= (k1 + k2)x+ c

dx

dt(1.34)

- Ejercicio 3: Un cuerpo de masa m unido a dos amortiguadores, uno de los cuales esta amarradoal suelo (ver Fig. 1.16). La entrada es el desplazamiento u en el extremo del amortiguador libre yla salida el desplazamiento x de la masa.

m

c2

x u

c1

Figura 1.16: Sistema mecanico amortiguador-masa-amortiguador

Solucion:

c1du

dt= m

d2x

dt2+ (c1 + c2)

dx

dt(1.35)

- Ejercicio 4: Dos cuerpos unidos entre s por un resorte (ver Fig. 1.17). Uno de ellos esta amarradoal suelo a traves de otro muelle y en el otro actua una fuerza f . La salida son los desplazamientosde los dos cuerpos.

Solucion:

f = m1d2x1dt2

+ k1(x1 x2)

k1(x1 x2) = m2 d2x2dt2

+ k2x2

(1.36)

20


m2

k1k2

x2 x1

m1

f

Figura 1.17: Sistema mecanico masa-muelle-masa-muelle

m2

k

x2 x1

m1f

Figura 1.18: Sistema mecanico masa-muelle-masa

- Ejercicio 5: Dos cuerpos unidos entre s por un resorte (ver Fig. 1.18). La entrada es la fuerza fque actua sobre un cuerpo y la salida son los desplazamientos de los dos cuerpos.

Solucion:

f = m1d2x1dt2

+ k(x1 x2)

k(x1 x2) = m2 d2x2dt2

(1.37)- Ejercicio 6: Dos resistencias conectadas en serie a traves de una capacidad (ver Fig. 1.19). Laentrada es la tension vi aplicada sobre una resistencia y poniendo a tierra la otra. La salida es latension vo en un extremo de la capacidad.

R1vi

i

vo

C

R2

Figura 1.19: Sistema electrico resistencia-capacidad-resistencia

Solucion:R1C

dvidt

+ vi = R2Cdvodt

+ vo (1.38)

21


22

Captulo 2

La transformada de Laplace

En el ano 1782 Pierre Simon Laplace estudio la transformacion integral que lleva su nombre. Sinembargo, no es hasta el periodo de 1880-1887 cuando Oliver Heaviside la aplica para la resolucion deecuaciones diferenciales. Esta transformacion es muy util para resolver sistemas de ecuaciones diferencialeslineales. La principal ventaja de su uso es que permite convertir el sistema de ecuaciones diferencialesque describen el comportamiento de una planta, en un sistema de ecuaciones algebraicas en una variablecompleja s.

2.1. Definicion y propiedades

Se define la transformada de Laplace F (s) de una determinada funcion temporal f(t) como:

F (s) = L [f(t)] = 0

f(t)ets dt (2.1)

Donde f(t) es una funcion real de variable real, generalmente el tiempo, y su transformada de La-place F (s) es una funcion compleja de variable compleja. Para que exista la transformada de Laplace essuficiente que la integral exista para algun valor s complejo. Se reservaran las letras minusculas para lasfunciones temporales y las mayusculas para sus transformadas de Laplace.

f(t) L F (s) (2.2)

La transformada de Laplace no existe para cualquier funcion temporal f(t). Una condicion suficientepero no necesaria de existencia, es que f(t) sea seccionalmente continua en [0, T ], T > 0, y que seade orden exponencial cuando t , es decir, que M,T > 0 y R / |f(t)| < Met t > T . Lasfunciones que cumplen esta condicion suficiente se suelen decir que pertenecen al conjunto A, es decir,f(t) A.

Como la integral (2.1) se extiende desde cero hasta infinito, dos funciones cualesquiera que difieranunicamente en valores de tiempo negativos, poseen la misma transformada de Laplace. Es decir, losvalores de f(t) para t negativos, no influyen en la transformada de Laplace. Para evitar que la relacionentre una funcion y su transformada de Laplace no sea biyectiva, a partir de ahora solo se consideraranfunciones causales, es decir, aquellas que son nulas para tiempos negativos, f(t) = 0 t < 0, y tomanvalores finitos en tiempos positivos. Para funciones f(t) causales y continuas1 para t > 0, entonces larelacion entre f(t) y F (s) es biunvoca, es decir, que para toda f(t) existe una unica F (s) y viceversa.

La variable compleja s tiene en modulo unidades de rad/s. Pero si el numero complejo lo dividimosen parte real y parte imaginaria, se puede considerar que tiene unidades de rad/s sobre el eje imaginarioy de s1 sobre el eje real. Se observa en la definicion de la transformada de Laplace,

ets = et(a+bj) = eta|tb (2.3)

que el exponente del modulo del numero complejo es adimensional si consideramos que a, que es la partereal de la variable compleja s, tiene unidades de s1. El argumento tendra unidades de rad si b, que es laparte imaginaria de la variable compleja s, tiene unidades de rad/s.

1Para Laplace no sera estrictamente necesario que fueran continuas, porque afirma que dos funciones que difieran en unnumero finito o infinito de puntos aislados deben considerarse iguales.

23


En la Tabla 2.1 se resumen las principales propiedades de la transformada de Laplace. La propiedadde la linealidad existe si f(f) y g(t) poseen transformada de Laplace. La propiedad de la derivacion realse da si f(t) es continua en el intervalo (0,), f(t) es de orden exponencial cuando t y la f (t) esseccionalmente continua en [0, T ], T > 0. El resto de propiedades se dan simplemente si f(t) A. Porlo general, estas condiciones rara vez se tienen en cuenta ya que las variables fsicas que se manejan eningeniera de control son siempre funciones causales.

Tabla 2.1: Propiedades de la transformada de Laplace

Propiedad Expresion

Linealidad L [f(t) + g(t)] = F (s) + G(s)

Integracion real L [ t0f() d ] = F (s)s

Derivacion real L[df(t)dt

]= sF (s) f(0+)

Valor final lmt f(t) = lms0

sF (s)

Valor inicial lmt0+

f(t) = lms sF (s)

Traslacion en el tiempo L [f(t a)] = easF (s)Traslacion en Laplace L [easf(t)] = F (s+ a)

Convolucion L [f(t) g(t)] = F (s)G(s)Escalado en el tiempo L [f( t )] = F (s)

Conviene senalar que la traslacion de una funcion en el tiempo hace que aparezcan los valores nulos dela funcion causal en tiempos positivos (ver Fig. 2.1). Este hecho se suele olvidar y es fuente de importanteserrores.

t

a

f(t a)

f(t)

Figura 2.1: Funcion trasladada en el tiempo

Por ultimo, las funciones de Laplace habitualmente cumplen que:

lmsF (s) = 0 (2.4)

2.2. Transformada de Laplace de funciones elementales

En este apartado se calculan las transformadas de Laplace de algunas funciones elementales. La funcionescalon unidad u(t) se define como:

u(t) ={

1 para t 00 para t < 0 (2.5)

Su transformada de Laplace se obtiene por definicion:

U(s) = L [u(t)] = 0

ets dt =[ets

s]0

=1s

(2.6)

Para el caso de la funcion pulso de area unidad p(t), tambien por definicion:

p(t) ={

1 para 0 t < 0 resto (2.7)

P (s) = L [p(t)] = 0

1ets dt =

1

[ets

s]0

=1 es

s(2.8)

24


La funcion impulso unidad (t) se define como:

(t) ={ para t = 0

0 resto , siendo

(t) dt = 1 (2.9)

En este caso, su transformada de Laplace se puede obtener como lmite de la funcion pulso de areaunidad, cuando el parametro tiende a cero, es decir,

(s) = L [(t)] = lm0

1 ess

= 1, (2.10)

donde se ha empleado el teorema de lHopital para el calculo del lmite. Otra forma de obtener este mismoresultado es considerar funcion escalon unidad se obtiene integrando la funcion impulso unidad:

U(s) = L [u(t)] =1s= L

[ t0

() d]=

(s)s

= (s) = 1 (2.11)

En cualquier caso, la funcion impulso unidad (t) es un poco especial. Por ejemplo no cumple lapropiedad habitual de las transformadas de Laplace enunciada en la ecuacion (2.4). Por otro lado, elcamino inverso al que se ha usado en la demostracion anterior no funciona:

(s) = L [(t)] = L[du(t)dt

]= s

1s u(0+) = 1 1 = 0 falso! (2.12)

Este hecho no puede sorprender ya que la funcion impulso es la derivada de la funcion escalon en unsentido impropio. Por otro lado, no se cumplen las condiciones senaladas para poder aplicar la propiedadde la derivacion real.

Tabla 2.2: Transformadas de las entradas habituales en los sistemas

Funcion f(t) F (s)

Impulso unidad (t) 1

Escalon unidad u(t) = 1, para t > 0 1sRampa unidad r(t) = t, para t > 0 1s2

Aceleracion unidad a(t) = 12 t2, para t > 0 1s3

Senaladas estas advertencias matematicas, las funciones que mas se emplean como entradas en lossistemas controlados son precisamente aquellas que se obtienen al ir integrando sucesivamente la funcionimpulso unidad, como se observa en la Tabla 2.2. En la Tabla 2.3 se muestran las transformadas de otrasfunciones, definidas para tiempos positivos.

Tabla 2.3: Transformadas de Laplace de diversas funciones

f(t) F (s) f(t) F (s)

eat 1s+a tk1 (k1)!

sk

teat 1(s+a)2 eat ebt ba(s+a)(s+b)

tk1eat (k1)!(s+a)k

sin at as2+a2

1 eat as(s+a) cos at ss2+a2t 1eata as2(s+a) eat sin bt b(s+a)2+b2

1 (1 + at)eat a2s(s+a)2 eat cos bt s+a(s+a)2+b2

2.3. Transformada inversa de Laplace

El proceso matematico de pasar de la expresion matematica en el dominio de Laplace a la expresionen el dominio del tiempo se denomina transformada inversa de Laplace. Su expresion es:

f(t) = L 1 [F (s)] = lm

[12pij

c+jcj

F (s)ets ds], (2.13)

25


donde c es cualquier constante real mayor que la parte real de cualquier polo de F (s).Evaluar la integral (2.13) puede ser bastante complicado por lo que se suele calcular acudiendo a la

Tabla 2.3. Si en la tabla no se encuentra una determinada funcion F (s), se recomienda descomponerlaen funciones simples en s, de las cuales s se conozcan sus transformadas inversas. Como las funciones deLaplace que se van a utilizar suelen ser fracciones de polinomios en s, el calculo de transformadas inversasse reduce a dividir estas expresiones en fracciones simples.

F (s) =s2 + 2s+ 3(s+ 1)3

(2.14)

Como ejemplo, se va a calcular la funcion temporal de la funcion de Laplace F (s) de la ecuacion(2.14). Lo primero que se hace es dividir la unica fraccion en tres simples:

F (s) =A

(s+ 1)3+

B

(s+ 1)2+

C

s+ 1=

A+B(s+ 1) + C(s+ 1)2

(s+ 1)3(2.15)

Las constantes A, B y C se calculan igualando coeficientes de los polinomios del numerador. Tambienes posible obtenerlos igualando los numeradores despues de dar un valor numerico a la variable s. Losvalores numericos mas adecuados son las races de distintos monomios. De esta forma es posible determinarmas rapidamente las constantes. Para el caso anterior los valores de A, B y C son respectivamente 2, 0y 1. Entonces:

F (s) =2

(s+ 1)3+

1s+ 1

(2.16)

f(t) = t2et + et = et(1 + t2), para t > 0 (2.17)

2.4. Resolucion de ecuaciones diferenciales

En este apartado se utiliza la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales.Sea la siguiente ecuacion diferencial

a0f(t) + a1df(t)dt

+ a2d2f(t)dt2

= b0r(t) + b1dr(t)dt

, (2.18)

donde las condiciones iniciales son:

f(0+) = c0,df(0+)dt

= c1, r(0+) = d0 (2.19)

Se aplica la transformada de Laplace a los dos miembros de la ecuacion:

a0F (s) + a1 [sF (s) c0] + a2[s2F (s) c0s c1

]= b0R(s) + b1 [sR(s) d0] (2.20)

F (s) =b0 + b1s

a0 + a1s+ a2s2R(s) +

a1c0 + a2c1 b1d0 + a2c0sa0 + a1s+ a2s2

(2.21)

La ecuacion diferencial (2.18) se convierte en una ecuacion algebraica en el dominio de Laplace. Deesta forma es muy sencillo obtener la solucion (2.21) a la ecuacion diferencial, tambien en el dominio deLaplace. La solucion en el dominio del tiempo se puede obtener calculando la transformada inversa deLaplace de F (s), conocida la funcion r(t).

Si en lugar de una unica ecuacion diferencial se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales, en eldominio de Laplace se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas. De esta forma es muy sencillo eliminaraquellas variables que se consideren innecesarias, y obtener una unica expresion de la salida del sistemaen funcion de la entrada. Por ejemplo, en el sistema electrico resistencia-capacidad-inductancia propuestoen el captulo anterior (ver Fig. 1.8), si se aplica la transformada de Laplace al sistema de ecuaciones quegobierna el sistema, suponiendo condiciones iniciales nulas:

Vi = RI + LsI +I

sC

Vo =I

sC

Vo = 11 +RCs+ LCs2Vi (2.22)Se ha conseguido expresar la tension de salida del circuito en funcion de la tension de entrada,

independientemente de la otra variable, que es la intensidad que circula por la malla.

26


Conviene resaltar tambien como el cociente que multiplica a la tension de entrada Vi no modifica susunidades, por lo que la tension de salida tiene las misma unidades que la tension de entrada. Observandoel denominador de ese cociente, cada uno de los sumandos es adimensional, es decir, ohmio por faradioentre segundo es adimensional y henrio por faradio entre segundo al cuadrado es tambien adimensional.Comprobar las unidades puede ayudar a detectar posibles errores en la resolucion del sistema.

Si la tension de entrada en el sistema resistencia-capacidad-inductancia es un escalon de valor 3 voltios,es posible encontrar el valor que alcanza la tension en la capacidad cuando el tiempo tiende a infinito atraves del teorema del valor final:

lmt vo(t) = lms0

sVo(s) = lms0

s1

1 +RCs+ LCs23s= 3 voltios (2.23)

Con este ejemplo, queda patente como es posible conocer algunas caractersticas de la respuestatemporal del sistema sin haber calculado la expresion general de la tension vo(t) en funcion del tiempo atraves de la transformada inversa de Laplace. Con los teoremas del valor inicial y final es posible conocerel valor en regimen permanente, el valor inicial de la funcion y las sucesivas derivadas del la funcion enel origen.

2.5. Ejercicios resueltos

- Ejercicio 1: Obtener la funcion x(t) que cumple la ecuacion diferencial con condiciones inicialesno nulas:

d2x(t)dt2

+ 3dx(t)dt

+ 2x(t) = 0,

{x(0+) = adx(0+)dt = b

(2.24)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacion diferencial,

s2X(s) sa b+ 3 [sX(s) a] + 2X(s) = 0, (2.25)la solucion en el dominio de Laplace es:

X(s) =sa+ 3a+ bs2 + 3s+ 2

. (2.26)

La solucion en el dominio del tiempo es:

x(t) = L 1[sa+ 3a+ bs2 + 3s+ 2

]= L 1

[2a+ bs+ 1

a+ bs+ 2

](2.27)

x(t) = (2a+ b)et (a+ b)e2t, para t > 0 (2.28)

- Ejercicio 2: Obtener la funcion x(t) que cumple la ecuacion diferencial con condiciones inicialesnulas:

d2x(t)dt2

+ 2dx(t)dt

+ 5x(t) = 3u(t) (2.29)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuacion diferencial,

s2X(s) + 2sX(s) + 5X(s) =3s, (2.30)

la solucion en el dominio de Laplace es:

X(s) =3

s(s2 + 2s+ 5). (2.31)

La solucion en el dominio del tiempo es:

x(t) = L 1[

3s(s2 + 2s+ 5)

]= L 1

[A

s+

Bs+ Cs2 + 2s+ 5

](2.32)

x(t) =35L 1

[1s

]+35L 1

[s+ 1

(s+ 1)2 + 22+12

2(s+ 1)2 + 22

](2.33)

x(t) =35

(1 et cos 2t 1

2et sin 2t

), para t > 0 (2.34)

27


kc

x u


- Ejercicio 3: Obtener la funcion temporal x(t), ante una entrada u(t) escalon unidad, en el siguientesistema mecanico:

La ecuacion diferencial del sistema es:

ku(t) = kx(t) + cdx(t)dt

(2.35)

La solucion general en el dominio de Laplace es:

X(s) =k

k + csU(s) (2.36)

Con una entrada escalon unidad:X(s) =

k

(k + cs)s(2.37)

Acudiendo a las tablas de la transformada de Laplace, la solucion en el dominio del tiempo es:

x(t) = 1 e kc t, para t > 0 (2.38)

Y se puede demostrar que, tanto sustituyendo valores en la solucion temporal, como aplicando losteoremas de valor inicial y final en la solucion del dominio de Laplace, se cumple que:

x() = 1 (2.39)dx(0+)dt

=k

c(2.40)

28

Captulo 3

Representacion de los sistemas

Los sistemas de control se pueden representar graficamente de diversas formas, por ejemplo, mediantediagramas de flujo o diagramas de Bond-Graph. Sin embargo, en esta asignatura solo se empleara untipo de representacion grafica denominada diagrama de bloques. Estos diagramas usan las ecuacionesdiferenciales del sistema en el dominio de Laplace.

3.1. Generalidades

En la Fig. 3.1 se muestra la forma grafica mas elemental de representar un sistema. En dicha figuraaparecen tres elementos: 1) la variable fsica de la entrada, que se suele representar con una flecha dirigidadel exterior al sistema, 2) la variable fsica de la salida, que es la flecha dirigida del sistema al exterior,y 3) el propio sistema, representado aqu como una nube o caja negra del que se desconoce a priori sufuncionamiento interno.

SistemaEntrada Salida

Figura 3.1: Diagrama de un sistema cualquiera

Esta forma tan elemental de representar un sistema permite al ingeniero establecer una primeradescripcion del mismo, sus posibles partes, as como las diferentes lneas de causalidad que se dan.Por ejemplo, en la Fig. 3.2 se muestra esquematicamente el sistema central hidroelectrica, que tienecomo entrada el caudal de agua y como salida la tension electrica. Este sistema se puede dividir en dossubsistemas: 1) la turbina que trasforma el caudal de agua entrante en una velocidad de giro en su eje,y 2) la dinamo o alternador que convierte el giro mecanico en tension electrica.

CentralCaudal Tension

DinamoVelocidad

TurbinaCaudal Tension

Figura 3.2: Diagramas equivalentes de una central hidroelectrica

Evidentemente se podra haber dividido el sistema completo en muchas otras partes, conservando todaslas representaciones igual validez. Tambien se podran haber encontrado otras variables intermedias entrela entrada y la salida, que unieran los distintos subsistemas, y que haran referencia a otras realidadesfsicas o incluso sin sentido fsico, pero coherentes desde el punto de vista matematico.

El ingeniero evitara por todos los medios cambiar el orden natural de la causalidad. En el ejemploanterior, no debe definir la tension como entrada y el caudal de agua como salida. Y esto aunque sepueda encontrar la relacion matematica inversa que deduce la segunda variable a partir de la primera.Por otro lado, existen infinitas formas de representar graficamente un sistema cualquiera. Sin embargo,hay formas mas adecuadas que otras (por ejemplo, porque muestren las variables fsicas mas importantesque intervienen en el sistema).

Encontrar el esquema o modelo mas adecuado para un sistema fsico es uno de los principales retosa los que se enfrenta el ingeniero. En esta asignatura no es posible detenerse aqu de forma exhaustiva.

29


Cada ejemplo mecanico, electrico, hidraulico, termico, etc. que se estudiara en profundidad podra requerirmucho tiempo de analisis y simplificacion. Se manejaran solo sistemas cuyas ecuaciones diferenciales sepuedan obtener facilmente aplicando las leyes que se enumeraron en el apartado 1.4.

Tambien es posible que las leyes matematicas aparezcan directamente en el enunciado. En este caso sesupondran correctas y se tomaran como punto de partida para la resolucion del ejercicio. Sin embargo, elingeniero no suele aceptar de forma acrtica cualquier ley matematica que se le sugiera. Por lo general debeobtenerlas a partir de ensayos experimentales que pueden llevar mas tiempo que el posterior calculo de uncontrolador adecuado para el gobierno del sistema. Uno de los principales inconvenientes de trabajar conleyes matematicas que no han sido deducidas por el propio ingeniero es que se puede perder facilmenteel sentido fsico de los problemas de control. Conviene aqu recordar que detras de una ley matematicase esconde un sistema fsico real, del que se trabaja solo con un modelo.

3.2. Funcion de transferencia de un sistema

En los esquemas propuestos en el apartado anterior el funcionamiento interno del sistema o subsistemases desconocido. Una forma de ofrecer esa informacion es escribir la ecuacion diferencial que relaciona laentrada con la salida (Fig. 3.3). Sin embargo, raramente se utiliza esta forma. Lo habitual es trabajar enel dominio de Laplace, definiendo la funcion de transferencia del sistema.

g[r(t),c(t)]=0r(t) c(t)

Sistema

G(s)R(s) C(s)

Sistema

Figura 3.3: Diagramas generales de un sistema

La funcion de transferencia, en general G(s), de un determinado proceso o sistema es la relacion enel dominio de Laplace entre la funcion de salida c(t) y su correspondiente entrada r(t), con condicionesiniciales nulas para ambas funciones. La funcion de transferencia es un invariante del sistema, es decir,para cualquier entrada que se produzca en el sistema, la salida que se obtiene siempre esta relacionadacon la entrada a traves de la funcion de transferencia.

G(s) =L [c(t)]L [r(t)]

=C(s)R(s)

(3.1)

Como la funcion de transferencia es un invariante del sistema, se puede obtener experimentalmenteintroduciendo una funcion temporal conocida y midiendo la salida. Aplicando la transformada de Laplacea las dos senales y calculando su cociente, se consigue la funcion de transferencia. Si es posible introducir enel sistema una funcion impulso en la entrada, la funcion de transferencia es directamente la transformadade Laplace de la funcion temporal de salida del sistema.

G(s) =L [c(t)]L [(t)]

=L [c(t)]

1= L [c(t)] (3.2)

De forma teorica es posible obtener la funcion de transferencia de un determinado sistema a travesde las ecuaciones diferenciales de su modelo matematico. Por ejemplo, el sistema mecanico masa-muelle-amortiguador mostrado en la Fig. 1.4, esta gobernado por la ecuacion diferencial (1.5). Aplicando latransformada de Laplace a dicha ecuacion resulta:

F (s) = ms2X(s) + csX(s) + kX(s) (3.3)

G(s) =X(s)F (s)

=1

ms2 + cs+ k(3.4)

El diagrama de la Fig. 3.4 representa el sistema masa-muelle-amortiguador. La fiabilidad de la funcionde transferencia teorica dependera, no solo de la bondad del modelo, sino tambien de la precision conque se puedan medir los distintos parametros que intervienen en el mismo. Se puede comprobar comola funcion de transferencia (3.4) posee las unidades de m/N, es decir, precisamente las que relacionan lasalida con la entrada. Asimismo, los sumandos del denominador son dimensionalmente coherentes.

30


F X

Sistema

2

1

ms bs k+ +

Figura 3.4: Diagrama del sistema masa-muelle-amortiguador

A partir de este momento, una expresion cualquiera en funcion de la variable compleja s de Laplace,H(s), puede corresponder tanto a la transformada de Laplace de una funcion temporal h(t) como a lafuncion de transferencia de un determinado sistema. En general, por el contexto es posible deducir aque se refiere en cada caso. Conviene resaltar que:

- La funcion de transferencia es una propiedad intrnseca del sistema. Conocida la funcion de transfe-rencia de un sistema, se puede conocer el comportamiento del mismo ante cualquier tipo de entrada.

- La funcion de transferencia responde a la ecuacion diferencial resultante que gobierna un sistemapero no ofrece informacion acerca de su configuracion interna. Dos sistemas fsicos diferentes puedenposeer identicas funciones de transferencia.

3.3. Diagrama de bloques de un sistema

Los diagramas de bloques aparecen cuando el sistema se divide en varios subsistemas. En este caso,en lugar de hallar de funcion de transferencia del sistema completo se deben encontrar las funciones detransferencia de cada uno de los subsistemas. En este diagrama, cada subsistema es un bloque delsistema completo. Ademas de estos, en las uniones entre bloques pueden aparecer puntos de bifurcaciony de suma.

Los puntos de bifurcacion, Fig. 3.5 a), se emplean para aquellas senales de Laplace que atacan variasfunciones de transferencia. Los puntos de suma, Fig. 3.5 b), se representan con crculos a los que lleganlas senales de Laplace que se combinan para dar el resultado. En la lnea de llegada al punto de suma sedebe especificar el signo que se debe tener en cuenta.

F1

F2

F3

F F

F

a) b)

F = F1 F2 F3

Figura 3.5: Punto de bifurcacion a) y punto de suma b)

El diagrama de bloques de un sistema se puede construir a partir de las ecuaciones diferenciales quelo gobiernan. El procedimiento es siempre igual, primero se toman las transformadas de Laplace de estasecuaciones, con la suposicion de condiciones iniciales nulas. Posteriormente cada ecuacion en el dominiode Laplace se representa en forma de bloque. Finalmente se unen los elementos para formar un unicodiagrama para todo el sistema. Este procedimiento se ha seguido en los ejemplos del final del captulo.

3.3.1. Reglas para la simplificacion de diagramas de bloques

Es posible simplificar un diagrama de bloques muy complejo utilizando las reglas del algebra de dia-gramas de bloques, que algunos autores proponen en tablas, hasta llegar a la funcion de transferenciaequivalente de todo el sistema. Con esto se puede evitar el analisis matematico de simplificacion de ecua-ciones. Sin embargo al simplificar el diagrama de bloques, los nuevos bloques se vuelven mas complejos,debido a la aparicion de nuevos polos y ceros.

G H GH=

Figura 3.6: Multiplicacion de bloques

La caracterstica fundamental que se debe cumplir es que la funcion de transferencia del diagramasustituido debe ser igual al original. En las Figuras 3.6-3.9 se muestran algunas simplificaciones utiles.

31


G

H

G+H=

Figura 3.7: Suma de bloques

=

G

1

G G

Figura 3.8: Translacion de un punto de bifurcacion

= =

Figura 3.9: Cambio de orden de los sumandos

3.3.2. Ejemplo de circuito con dos mallas

El sistema (3.5) contiene las ecuaciones diferenciales que gobiernan el circuito representado en laFig. 1.9, despues de aplicar la transformada de Laplace. El diagrama de la Fig. 3.10 corresponde a dichasecuaciones, donde se ha senalado con puntos el conjunto de bloques que corresponde a cada una de ellas.

Vi = R1I1 +I1 I2sC1

I1 I2sC1

= R2I2 +I2sC2

Vo =I2sC2

(3.5)

I1Vi

I2 Vo

1

1

R

1

1

sC

2

1

sC22

1

1R

sC+

Figura 3.10: Diagrama del circuito con dos mallas

Usando mayor numero de variables intermedias, el sistema de ecuaciones aumentara en numero, peroel diagrama de bloques puede resultar mas sencillo de representar. En el ejemplo, si se incluye la tensionen un nudo intermedio v1 y la corriente ic diferencia de las corrientes en la mallas:

vi v1 = R1i1v1 =

1C1

t0

ic d

v1 vo = R2i2vo =

1C2

t0

i2 d

ic = i1 i2

L

Vi V1 = R1I1V1 =

IcsC1

V1 Vo = R2I2Vo =

I2sC2

Ic = I1 I2

(3.6)

32


El diagrama de bloques de la Fig. 3.11 a) corresponde al sistema de ecuaciones (3.6) y es equivalenteal diagrama anterior. Si se eliminan las variables intermedias de forma analtica en el sistema de ecua-ciones, para expresar la tension de salida en funcion de la tension de entrada, se obtiene la funcion detransferencia equivalente del sistema. Con esta funcion de transferencia se puede representar el sistemacon un unico bloque, Fig. 3.11 b). La funcion de transferencia equivalente del sistema tambien se puedeobtener simplificando de forma grafica cualquiera de los diagramas de bloques presentados previamente.

I1Vi I2 VoIc V1

1

1

R1

1

sC2

1

R2

1

sC

a)

Vi Vo

( )21 2 1 2 1 1 2 2 1 2

1

1R R C C s R C R C R C s+ + + +

b)Figura 3.11: Diagramas equivalentes del circuito con dos mallas

3.3.3. Ejemplo de motor de corriente continua

El sistema (3.7) son las ecuaciones diferenciales que gobiernan un motor de corriente continua quearrastra una inercia (1.15) una vez aplicada la transformada de Laplace.

V = (R+ Ls)I + EE = KT = KIT = (Js+B)

(3.7)El diagrama de bloques que corresponde a estas ecuaciones y su simplificacion aparecen en la Fig. 3.12.

V

E

KT

K

I

1

R Ls+1

Js B+

a)

V

( )( ) 2K

R Ls Js B K+ + +

b)Figura 3.12: Diagrama del motor de corriente continua

Si se eliminan las variables intermedias del sistema de ecuaciones de Laplace se obtiene la funcion detransferencia equivalente. Aunque el sistema tiene forma de lazo cerrado con realimentacion no unitaria,hay que hacer notar que no es propiamente un sistema controlado. La velocidad esta impuesta por latension V y la magnitud de la inercia J . En este ejemplo se observa como la funcion de transferenciaequivalente posee las unidades que relacionan la magnitud de salida con la de entrada.

En el caso de que el giro de la inercia se vea frenado por un muelle torsor de rigidez Kt, las ecuacionesque hay que considerar son las siguientes:

v = Ri+ Ldi

dt+ e

e = Kd

dt = Ki

= Jd2

dt2+B

d

dt+Kt

L

V = (R+ Ls)I + EE = KsT = KIT = (Js2 +Bs+Kt)

(3.8)

33


V

E

KT

Ks

I

1

R Ls+ 21

tJs Bs K+ +

Figura 3.13: Diagrama del motor de corriente continua con muelle torsor

Una posible representacion en diagrama de bloques se presenta en la Fig. 3.13, sin embargo no es unabuena eleccion incluir bloques derivadores, es decir, aquellos cuya salida es proporcional a la derivada dela entrada. Este tipo de bloques tienen el inconveniente de que amplifican enormemente el ruido de altafrecuencia que reciban en la entrada. Tambien se comportan mal a la hora de evaluar numericamente lasrespuestas temporales del sistema, por ejemplo utilizando Simulink R.

Para evitar el bloque derivador, se propone como alternativa el diagrama de la Fig. 3.14 a). En amboscasos la funcion de transferencia equivalente de todo el sistema es la misma, Fig. 3.14 b).

V

E

KT

K

I

Kt

1

R Ls+1

Js B+1

s

a)

V

( )( )2 2t

K

R Ls Js Bs K K s+ + + +

b)Figura 3.14: Diagramas equivalentes del motor de corriente continua con muelle torsor

3.4. Sistema de realimentacion negativa no unitaria

Los sistemas de realimentacion negativa son los mas extendidos para el control de sistemas, por eso suestructura se estudia de forma pormenorizada. En la Fig. 3.15 se representa el caso mas simple de sistemade realimentacion negativa no unitaria. Hay que en cuenta que las funciones de transferencia G(s) y H(s)pueden ser el resultado del producto de varias funciones de transferencia.

H

CR E

B

G

Figura 3.15: Sistema de realimentacion negativa no unitaria

En (3.9) se muestra solucion del sistema de ecuaciones de Laplace de la realimentacion negativa nounitaria, es decir, la salida en funcion de la entrada.

C = GEE = RBB = HC

C = G1 +GHR (3.9)Habitualmente se emplea el convenio de usar la letra C(s) para nombrar a la transformada de Laplace

de la funcion de salida y R(s) para la entrada. A la senal E(s) se le llama error y a B(s) senal derealimentacion. Las funciones de transferencia que intervienen en el sistema son:

- Funcion de transferencia directa: es la que relaciona la senal de error y la salida.

Gd =C

E= G (3.10)

34


- Funcion de transferencia en lazo abierto: es la que relaciona la senal de error y la realimen-tacion. Es el producto de todas las funciones de transferencia que se encuentran dentro del lazo decontrol.

Gla =B

E= GH (3.11)

- Funcion de transferencia en lazo cerrado: es la que relaciona la senal de entrada y la salida. Esigual a la funcion de transferencia directa entre uno mas la funcion de transferencia en lazo abierto.

Glc =C

R=

G

1 +GH=

Gd1 +Gla

(3.12)

Con la funcion de transferencia en lazo cerrado se puede representar el sistema de la Fig. 3.16 con ununico bloque:

CR

1

G

GH+

Figura 3.16: Sistema equivalente en lazo cerrado

Para el diseno de controladores son especialmente importantes las expresiones de las funciones detransferencia en lazo abierto y cerrado. El sistema controlado responde a la funcion de transferencia enlazo cerrado, sin embargo, muchas de las caractersticas del sistema controlado se deducen a partir de lafuncion de transferencia en lazo abierto, como se ira mostrando en los sucesivos apartados y captulos.

En la Fig. 3.17 se representa el caso de sistema realimentacion negativa no unitaria en presencia deperturbaciones. Para la senal de perturbacion se suele emplear la letra N y su signo puede ser positivo onegativo.

G2

H

CR E

B

G1U P

N

Figura 3.17: Sistema de realimentacion con perturbaciones

En (3.13) se muestra la solucion del nuevo sistema de ecuaciones de Laplace. En este caso es la salidaen funcion de las dos entradas al sistema: la referencia R y la perturbacion N .

C = G2PP = U +NU = G1EE = RBB = HC

C =G1G2

1 +G1G2HR+

G21 +G1G2H

N (3.13)

La solucion (3.13) se puede obtener por superposicion, es decir, sumando las salidas que se producencon entrada R y N nula mas la salida con entrada N y R nula. La entrada propiamente dicha en elsistema es la senal R y se llama referencia porque se desea que el sistema controlado la siga fielmente.Observando la ecuacion (3.13), es posible deducir que el seguimiento se consigue de forma exacta, C = R,cuando la funcion de transferencia que multiplica a R se asemeja a la unidad, y la que multiplica a N seasemeja a cero.

Una forma de conseguir las dos cosas es hacer G1 todo lo grande que sea posible y H igual a la unidad.Por esta razon es habitual estudiar los sistemas de control de realimentacion negativa unitaria, dondeel controlador se coloca inmediatamente despues del calculo del error, es decir, el controlador actua enfuncion de la senal del error. A la actuacion del controlador se anaden las perturbaciones que puedanexistir sobre la planta.

Los sistema servo busca sobre todo el seguimiento de la senal, es decir, que la funcion de transferenciade la R sea lo mas parecida a la unidad, mientras que un sistema regulador busca sobre todo el rechazoa las perturbaciones, es decir, anular la funcion de transferencia que multiplica a la perturbacion.

Tambien hay que notar que el denominador de las dos funciones de transferencia es identico. Estedenominador es una caracterstica esencial del sistema, como se vera en los siguientes captulos.

35


3.5. Sistema de realimentacion negativa unitaria

En la Fig. 3.18 se representa el caso de sistema realimentacion negativa unitaria con perturbaciones.Que la realimentacion sea unitaria implica que el sensor que mide la salida es ideal, es decir, no modifica enabsoluto dicha senal. La funcion de transferenciaG1 incluye el controlador y la etapa final de amplificacion,mientras que G2 es la planta que se desea controlar.

G2CR E

G1U P

NControl Planta

Figura 3.18: Sistema de realimentacion negativa unitaria

Hay que resalta que, en el caso de realimentacion negativa unitaria las funciones de transferenciadirecta y de lazo abierto coinciden y es el producto de G1 y G2. Si no se especifica otra cosa, cuandose desee controlar un sistema, se entendera que se le introduce en un lazo de control similar al de laFig. 3.18. Las perturbaciones, tambien si no se especifica otra cosa, se supondran nulas.

3.6. Ejercicios propuestos

- Ejercicio 1: Simplificar de forma grafica o analtica el siguiente diagrama de bloques:

RG1

H1

H2

G2 G3

G4

C

Figura 3.19: Diagrama de bloques

Solucion: C(s)R(s) =G1G2G3+G4+G2G4H1+G2G3G4H2G1G2G4H1

1+G2H1+G2G3H2G1G2H1

- Ejercicio 2: Simplificar el diagrama de bloques de la Fig. 3.20 y escribir la funcion de transferenciaque relaciona la salida con la entrada de la forma mas compacta posible.

C

R

G2

H1

K4

G3

G1

H2

K6K5

Figura 3.20: Diagrama de bloques

Solucion: C(s)R(s) =G1G3(G2+K5K6)

1+G3(H1K6)+G1G3(G2+K5K6)(H2+K4)

36

Captulo 4

Respuesta temporal

Para analizar el comportamiento de un sistema se toma como punto de partida la representacionmatematica del mismo. Esta modelizacion, Fig. 4.1, es su funcion de transferencia G(s).

GR C

Figura 4.1: Respuesta del sistema ante una entrada

El sistema puede ser excitado con distintas senales de entrada r(t). Las mas utilizadas son las funcionesimpulso unidad, escalon unidad, rampa unidad y sinusoidal de amplitud unidad, Fig. 4.2. La respuestadel sistema ante las distintas entradas suele tener un regimen transitorio y otro permanente, aunque esteultimo puede no darse y depende d

Control Web

Documents

Transcript of Control Web