Cuadernillo MATEMATICA 2 BACHILLERATO LIBRE PARA ADULTOS

7/31/2019 Cuadernillo MATEMATICA 2 BACHILLERATO LIBRE PARA ADULTOS

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AÑO 2012

ESTABLECIMIENTO: E.E.S N°93_anexo_B.L.A.ex. CEP 93

ESPACIO CURRICULAR: MATEMÁTICA II

CURSO: NIVEL "B"

PROFESORA: PERLA HABARTA

PLANIFICACIÓN ANUAL

Expectativas de Logros :se espera que los alumnos logren:

Reconocer y utilizar los diferentes conjuntos numéricos para la

resolución de situaciones problemáticas, seleccionando las operaciones

y estrategias adecuadas.

Analizar la validez de razonamiento , resultados y elaborar argumentos

que avalen las mismas y la toma de decisiones

Utilizar vocabulario y notación adecuada en la comunicación de

procesos y resultados.

Desarrollar las estrategias de aprendizajes que serán útiles a lo largo de

su formación.

Adquirir destrezas y habilidades en la resolución y elaboración de

situaciones problemáticas en distintos contextos.

UNIDAD 1:

El conjunto de los números racionales. Pasaje de una expresión decimal a

fracción. Operaciones combinadas. Números irracionales. Definición.Operaciones.

UNIDAD 2:

Función Lineal. Ecuación de la recta. Sistemas de ecuaciones. Definición.

Ejemplos. Métodos de resolución.

UNIDAD 3

Expresiones algebraicas enteras. Definición. Monomios. Definición. Polinomios.Definición. Grado de un polinomio. Operaciones con polinomios. (Suma, resta,



multiplicación y división) Regla de Ruffini y Teorema del Resto. Definición.

Ejemplos.

UNIDAD 4 Triángulos. Definición y clasificación según sus ángulos y según sus lados.

Propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triangulo. Relación

entre los lados de un triangulo rectángulo. Teorema de Pitágoras. Problemas

de perímetro y superficie.

Contenidos Procedimentales:

Identificación de los distintos campos numéricos.

Interpretación gráfica y analítica.

Resolución de problemas identificando datos e incógnitas.

Pasaje del lenguaje coloquial al simbólico.

Utilización de elementos de geometría.

Contenidos Actitudinales

Perseverancia en las tareas a desarrollar. Respeto por lo demás.

Disposición para cooperar, acordar, aceptar y respetar reglas de trabajo

grupal e individual. Cuidado del aula y materiales de trabajo. Solidaridad y cooperación.

Posición crítica y reflexiva ante la revisión de las actividades y los

resultados obtenidos

Estrategias Metodológicas

Lectura de textos informativos. Técnicas gráficas.

Puesta en común y debates de procedimientos y resultados.

Uso de libros, fotocopias, calculadora y de elementos de geometría.

Trabajos prácticos individuales y grupales. Producciones orales y escritas.

Criterios de Evaluación

.Participación activa y correcta en clase.

.Presentación en tiempo y forma de los trabajos prácticos.

. Interpretación de las consignas en forma correcta. . Prueba escrita e

individual.



. Uso de la simbología y el lenguaje específico del área.

.comunicación de la información matemática en forma clara y ordenada.

BIBLIOGRAFÍA:

Matemática Activa1. Editorial Puerto de Palos.

Matemática 1-Polimodal-Editorial Santillana

Materiales aportados por Ministerio de Educación del Chaco



ESTABLECIMIENTO: E.E.S N°93 ANEXO B.L.A-EX.CEP 93

ESPACIO CURRICULAR: MATEMÁTICA II

CURSO: NIVEL "B"

PROFESORA: PERLA HABARTA

PROGRAMA 2012

UNIDAD 1:

El conjunto de los números racionales. Pasaje de una expresión decimal a

fracción. Operaciones combinadas. Números irracionales. Definición.

Operaciones.

UNIDAD 2:

Función Lineal. Ecuación de la recta. Sistemas de ecuaciones. Definición.

Ejemplos. Métodos de resolución.

UNIDAD 3 Expresiones algebraicas enteras. Definición. Monomios. Definición. Polinomios.

Definición. Grado de un polinomio. Operaciones con polinomios. (Suma, resta,

multiplicación y división) Regla de Ruffini y Teorema del Resto. Definición.

Ejemplos.

UNIDAD 4 Triángulos. Definición y clasificación según sus ángulos y según sus lados.

Propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triangulo. Relación

entre los lados de un triangulo rectángulo. Teorema de Pitágoras. Problemas

de perímetro y superficie.

BIBLIOGRAFÍA:

Matemática Activa1. Editorial Puerto de Palos.

Matemática 1-Polimodal-Editorial Santillana

Materiales aportados por Ministerio de Educación del Chaco



UNIDAD Nº 1

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales esta formado por los númerosracionales y los irracionales.Los números racionales son aquellos que pueden ser expresadoscomo un cociente entre dos números enteros.Se representan mediante una fracción o su expresión decimalequivalente.La expresión decimal de una fracción es el cociente entre elnumerador y el denominador de la misma.El cociente puede ser un numero decimal con una cantidad finita o

infinita de cifras decimales.Para transformar una fracción en una expresión decimal se hallael cociente entre el numerador y el denominador de la fracción.

a donde a es el Numerador y b el Denominador b

Por ejemplo 2 = 2: 5 = 0,4 ; 1 = 1: 3 = 0,35 3

(el 2 es el Numerador y el 5 es el Denominador)Pasaje De Expresión Decimal a Fracción

1) Si la Expresión Decimal es FINITA, el Numerador de la fracción es el Numero Decimal sin la coma y elDenominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifrasdecimales tenga la expresión.

Por ejemplo

10

44,0

10

122,1

100

34545,3

2) Si la expresión decimal es PERIODICA, el Numerador de la fracción es el numero decimal sin la coma, menos la parteno periódica y el Denominador es un numero formado por tantos 9 como cifras decimales periódicas tenga el numero y

tantos Ceros como cifras decimales no periódicas.



Por ejemplo

9

22,0) a

45

1

90

22

90

22424,0)

b

45

142

90

284

90

3131515,3) c

Ejercicios a resolver:

1) Escribir en el casillero F o P (finitas o periódicas), según seanlas expresiones decimales correspondientes.

5

1)a

6

5)b 100

1

)c 7

2)

d 3

2)e

2) Hallar la expresión decimal de las siguientes fracciones:

3

2)a

40

3)b

18

5)

c

4

153)d

6

25)e

30

1)

f

SUMA, RESTA, MULTIPLICACION Y DIVISION Las Operaciones con números racionales se pueden efectuar en forma fraccionaria o decimal.

A) OPERACIONES CON FRACCIONESHay dos casos:

Fracciones que tienen el mismo denominador; Fracciones que tienen el distinto denominador

Primer caso: la suma de dos ó más fracciones que tienen el mismodenominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradoresy se deja el denominador común. Ejemplo:

4 2 6

---- + ---- = ---

5 5 5

Segundo caso: la suma de dos o más fracciones con distintodenominador es un poco menos sencilla. Vamos paso a paso:

1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores

http://www.estudiantes.info/matematicas/minimo_comun_multiplo.htm






2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo3º Se procede como en el primer caso (dado que las fraccionestienen el mismo denominador) Ejemplo:

3 4

---- ----

4 2

1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m. (4,2) = 4.2º Calculamos los numeradores.

Numerador de la primera fracción: 3 x 4: 4 = 3Numerador de la segunda fracción: 4 x 4: 2 = 83º Tenemos pues una fracción que es:

3 8

---- ----

4 4

como los denominadores son idénticos podemos sumarla como enel caso 1.4º Suma:

3 8 11

---- + ---- = ---

4 4 4

Resta de FraccionesHay dos casos:

fracciones que tienen el mismo denominador; fracciones que tienen el distinto denominador

Primer caso: la resta de dos ó más fracciones que tienen el mismodenominador es muy sencilla, sólo hay que restar los numeradoresy se deja el denominador común. Ejemplo:







7 2 5

---- - ---- = ---9 9 9

Segundo caso: la resta de dos o más fracciones con distintodenominador es un poco menos sencilla.Vamos paso a paso:1º. Se haya el mínimo común múltiplo de los dos denominadores2º Se calcula el numerador con la fórmula: numerador antiguo x denominador común y dividido por denominador antiguo

3º Se procede como en el primer caso (dado que las fraccionestienen el mismo denominador)Ejemplo:

1º Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c.m.) el m.c.m. (4, 2) = 4. 2º Calculamos los numeradores.

Numerador de la primera fracción: 6 x 4 : 4 = 6Numerador de la segunda fracción: 1 x 4 : 2 = 23º Tenemos pues una fracción que es:

6 2

---- ----

4 4

como los denominadores son idénticos podemos restarla como enel caso 1.4º Resta:

6 2 4

---- - ---- = ---

4 4 4

6 1

---- ----

4 2













PARA TENER EN CUENTA

1) Las reglas de divisibilidad son criterios que sirven para saber siun número es divisible por otro sin necesidad de realizar la

división.Divisible significa que al dividirlo por ese número el resultado esuna división exacta con resto cero. Por ejemplo, 30 es divisible por 5 porque al dividirlo por 5 el resto es cero 30:5=6.

Las reglas:

Un número es divisible por 2, 3 ó 5 si:

2 si termina en 0 o en cifra par

Ejemplos 50; 192; 24456;

3 si la suma de sus cifras esmúltiplo de tres

Ejemplos: 333 (dado que3+3+3 =9); 9 es un múltiplode 3; (3x3=9)

5 si termina en 0 o en 5 Ejemplos 35; 70; 1115;

Más ejemplos de la Regla del 3 -> (la suma de los cifras debe ser un múltiplo de 3).

663---> 6+6+3= 15 ----> 3 x 5 = 15

12123---> 1+2+1+2+3= 9 ----> 3 x 3 =9;

Estas reglas son importantes dado que te facilitan el cálculo de las descomposición de factores que a su vez sirven para reducir y simplificar fracciones.

2) El máximo común divisor de dos o más números es el número,más grande posible, que permite dividir a esos números.

Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximocomún divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todoslos divisores de los dos números y el máximo que se repita es

el máximo común divisor (M.C.D.)

http://www.estudiantes.info/matematicas/maximo_comun_divisor.htm







Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20: 1, 2, 4, 5, 10 y 20

10: 1, 2, 5 y 10

Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:

1º Tienes que saber las reglas divisibilidad . Haces ladescomposición de factores poniendo números primos. Por

ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en2, 2, 2 y 5.

40 2 60 2

20 2 30 2

10 2 15 3

5 5 5 5

1 1

2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.

MCD = 2x2x5= 20

3) El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números esel menor múltiplo común distinto de cero.

Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:

20: 20, 40, 60, 80...

M.C.D. 40 = 2x2x2x5

M.C.D. 60 = 2x2x3x5

http://www.estudiantes.info/matematicas/reglas_de_divisibilidad.htm





10: 10, 20, 30...

20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.

Multiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicandodicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....

Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7 ; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28;7x5=35 ....O sea son múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70,77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168... Ejemplo: Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6.Se hace la descomposición de factores (que ya la explicamos en el

máximo común divisor). Lo hacemos de la siguiente forma:4= 2x2;5= 5; 6= 2x3

Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El mcm de 4,5 y 6 es60.

MULTIPLICACION Se estudiará ahora la multiplicación de fracciones con signos. Al

observar que la multiplicación de dos fracciones se realizamultiplicando números enteros (los que están en los numeradores por un lado, y los que están en los denominadores por otro), secomprende que las leyes que gobiernan el producto de númerosenteros, siguen siendo válidas en el producto de fracciones.Si se multiplican fracciones con signos distintos, se obtiene una fracción negativa como resultado. Por ejemplo:

Si se multiplican dos fracciones con igual signo (ambas positivas oambas negativas) entonces el resultado es positivo. Por ejemplo:








En general, siempre que el producto de dos fracciones da comoresultado el número 1, se dice que son inversas, o que una de

ellas es la inversa de la otra. Por ejemplo, la inversa de

es . En muchos casos la inversa de una fracción es un

número entero, por ejemplo: la inversa de es .

Ejercicio: escribe en tu cuaderno la inversa de cada una de las

siguientes fracciones: , , y

DIVISIÓN Se sabe que la división es una operación inversa a lamultiplicación, pues cuando se multiplica al número 5, por ejemplo, por el número 3 se obtiene el 15, y si se divide el 15entre 3, se vuelve a obtener al 5. Ahora, cuando se va a dividir una fracción entre otra, simplemente se hace como en el ejemplosiguiente:

En la operación anterior, se ha multiplicado al dividendo ( ) por

el inverso del divisor. En este caso, el divisor es y su inverso, por

supuesto, es . De manera que, si se ha aprendido bien a

multiplicar fracciones, la división no resultará nada difícil.



Otros ejemplos

puede realizar la división de fracciones directamente haciendo loque algunos llaman "multiplicación en cruz". Como se ha visto que para dividir, por ejemplo:

debe invertirse la fracción , y luego multiplicarla por , lamultiplicación en cruz lo que hace es dejar las dos fracciones talcomo están y multiplicar así:

Puede escogerse la manera de dividir fracciones que se prefiera.Lo importante es tener siempre muy claro que las dos formas sonequivalentes y hay un sólo resultado correcto.

B) OPERACIONES CON DECIMALES: Para operar con expresionesdecimales periódicas hay que transformarlas en fracciones y luegooperarlas en forma fraccionaria.

Por Ejemplo:

a) 2,43 + 0,712 b) 2,73 x 0,4 c) 4,2 – 2,64 d)

5,2 : 42,430 2,73 4,20 5,240,712 x 0,4 - 2,64 1 21,33,142 1,092 1,56 0

Actividades a Resolver:

1) a) 0,3 . 0,2 = b) 2

3

5

4

10

3

c) -1 : 0,5 =



d) 12

1

3

2e)

12

7

3

2

6

5f) 2

5

1

3

5

2) Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones:

a) 5

1.

9

4.

2

3b)

4

3:

2

15.

3

5c)

2

1.

3

2.

4

5d)

3

10.

9

20.

5

12



3) Resuelvan las siguientes operaciones en forma fraccionaria:

a) 0,3 . (-0,8) = b) -1,4 + 2

3 c) 0,08 : (-2)= e) -1,5 + 0,7=

4) Resuelvan las siguientes operaciones en forma decimal:

a )0,24.(-3)= b) 42,5 . 0,2= c) -0,064 . 0,2= d)4,57 +2,39 -1,879=

e)-0,25 . (-5)= f)0,3 . (-0,4) : 6=

OPERACIONES COMBINADAS

Para resolverlas operaciones combinadas se deberespetar el orden de resolución:1º resolver las multiplicaciones y divisiones.2º resolver las sumas y restas.Se debe establecer si el calculo se realizara en forma decimal o fraccionaria, pero como uno de los números racionales del calculoes 2/3 = 0,6 y este solo puede resolverse en forma fraccionaria,todas las expresiones decimales deben transformarse en fracciones.

Por ejemplo:Un empleado de una carnicería debía completar la factura paracalcular el importe total de la compra de una clienta.Para hallar el total, debía resolver un cálculo combinado connúmeros racionales.

1. 1. 3,8 + 2 . 4,2 + 2 . 1 + 3 . 2,82 3 4 4

Cada termino representa el precio total de cada de cada corte decarne.

3. 38 + 2. 42 + 9 . 14 + 3. 28 =2 10 3 10 4 10 4 10

114 + 84 + 126 + 84 =20 30 40 40

$ 5, 70(bola de lomo) + $2,80 (nalga) + $ 3,15(osobuco) + $2,10 (asado) = $13,75



si la clienta pago con $15,00, el vuelto es $ 1,25.-

Otros ejemplos:

a)

3

4:

5

2

2

3.

6

5

3

1

4

3.

5

2

12

15.

3

1

20

6

4

5

3

1

10

3

4

5

3

1

60

73

52,012,4)2.8,0(2.5,02,4) b

Actividades a resolver

A) Marca con una X los cálculos que pueden resolverse en formadecimal:

1) 27

1.25,0 2)

5

2.

5

1

4

3 3)

5

2.2

6

5 4)

10

3

4

5

3

1

B) Completar las siguientes facturas:

Cantidad Descripción Precio

por Kilo

Precio

Total150g Jamón Crudo 12,30

345g Queso Fresco 9,20

200g Jamón Cocido 8,75

345g Queso Blanco 11,40

C) Separa en términos y resolve los siguientes cálculos:

1) 5

13

2

3.2,0

4

32) 3,0

4

1325,0:

8

73)

)3,11(:5

415.02,0



4) 2

3.2,1)

3

10.(

5

1 5) 5,4.5,0)

2

111.(

5

8 6)

12,0)3,02,2.(

10

3

3

21

D) Resolve los siguientes problemas:1) Tres amigos decidieron comprar un auto. Martín puso 1/3 delvalor total y Gonzalo 2/5 ¿Cuánto dinero puso Federico si el autocostó $2500?

2) una división juntó, para el viaje de egresados, una determinada

cantidad de dinero. Si gastaron la quinta parte en los pasajes aBariloche y la mitad del resto en el hotel. ¿Cuánto dinero habíanreunido originalmente, si aun tienen $3800?

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN La Potenciación es una operación entre dos números a y nllamados base y exponente respectivamente, y es una formaabreviada de escribir un producto de factores iguales. an =a.a.a.a.a.a……a

n vecesEjemplos:

a) 23 = 2.2.2 = 8 c)

2

7

4

7

4 .

7

4 =

49

16

b) (-3)4 = (-3). (-3). (-3). (-3) = 81

c)

3

3

2

=

3

2

3

2

3

2= -

27

8

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

a) Producto de Potencias de Igual Base: an . am = an+m

b) Cociente de Potencias de Igual Base: an : am = an – m

c) Potencia de otra potencia: ( a

n

)

m

=a

n . m



d) Distributividad respecto de la Multiplicación: (a . b)n = an .bn

e) Distributividad respecto de la División: (a : b)n = an : bn

EXPONENTE NEGATIVO: si el exponente es UN NUMERO NEGATIVO,se define:

a-n =

n

a

1 y

n

b

a

=

n

a

b

Por Ejemplo:

3-1 =3

1 ;

2

3

2

=

2

2

3

4

9 ;

4

2

1(-2)4 = 16

(-3)-3 = 1 = - 1(-3)3 27

RADICACIÓN: es una operación entre dos números a y n, llamadosBASE e INDICE, respectivamente.

abba nn La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador y la del

denominador de la misma.

Por Ejemplo

a)8

5

64

25

64

25 ; b)

3

2

81

16

81

16

4

4

4

ACTIVIDADES A RESOLVER A) Resolver las siguientes potencias y raíces:

1) (-0,7)2 = 2)

2

2

3 3) 09,0 4)

3 064,0



5)

2

3

1 6)

2

5

2 7)0,5 2 = 8)

5

2

3

9) 4

81

16 10) 000004,0 11)

0121,0

12)

2

20

15,0.3,1 13)

16

5.1

5

33

B) aplicar las propiedades de la potenciación y luego resolve:1) (-2)7 : (-2)3 = 2) (-3). (-3)2. (-3)= 3) 0,2 . 0,22 = 4)

53

3

1:

3

1

5)

45

10

3.

10

3 6)

2

2

10

37) 2

5

2

2

= 8 )

35 . 10

2

3

3=

C) Aplica las propiedades de la radicación y luego resolve:

1) 49

25.

4

9 2)

3

64

125.

8

27 3 )

25

36:

81

144

D) Completa con el número que verifique las siguientesigualdades:

1) 5 …… =5

1 2)

3......

5

3:

5

33)

9

16

3

4......



4) 162

1......

2

5) 8

2

1......

6)

3

2

8

27.....

3

7) 77

1.

7

1.....5

8)

3

1

81

1...... 9)

2

3

9

4.....

6

E) Resolve las siguientes operaciones combinadas:

1)

.

2

3

4

31.3,04:64,0

2)

18

7

10

1:02,0

2

13 3

2

3)

32

2

8,013,012

1

4)

6,0)2(:4

11

2

1.

6

53

3

5)

.

05,0:)3,0027,0(3

6) .1

25

1613).18,0(04,2.

46

1

7 )

3,0

2

3

4

25:25,13



8)

22

2

11:

2

181,0.5,0 9)

.

2

25

36

:1.4

9

.3

2

44,1.2

10)

2,0:)5,05,0(2

1

10

7.

4

5 2.

11)

3,0

3

1136,0.

6

7

4

52

12)

4

32

)1.(23)5(:9

25

2

1:1

4

313)

4

3.2

2

1)1(:1

2

32

4

1 3.

Unidad n°2

FUNCIÓN LINEAL

Noción de Función: Una función es una relación entre dos variablesen la cual cada valor de la variable independiente le correspondeSIEMPRE un único valor de la variable dependiente.

Por ejemplo: el peso promedio de un niño de entre 0 y 15 años deedad está dado por las siguientes representaciones:Edad(X

)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0 11

12

13

14

15

Peso(Y )

3 10

12

15

17

18

20

23

25

27

30

33

38

43

47

50

Entre las dos variables existe una relación que asigna a cada edad un peso promedio y este peso es único para cada edad.También existe entre las variables de una función una relación dedependencia: “El Peso depende de la Edad”



La Edad de un niño es la Variable Independiente (V.I) y el Peso esla Variable Dependiente (V.D)En el grafico de una función, la (V.I) se ubica sobre el Eje X y la(V.D) sobre el Eje Y

LA FUNCIÓN LINEAL es del tipo: y = mx+b donde m esla pendiente y b es la ordenada al origen.La pendiente indica la inclinación de la recta y susigno el crecimiento o decrecimiento de la función. Su gráfica es una línea recta.La ordenada al origen es el punto donde la recta cortaal eje de ordenadas.

Por ejemplo: la función es y =2x

Solo debo representar los pares ordenados en el grafico

cartesiano, de esa manera obtengo mi función:

(x,y); (x,y); (x,y); (x,y); (x,y)

(0,0) ; (1,2); (2,4); (3,6); (4,8)

Pendiente

m es la pendiente de la recta.

x Y = 2x

0 2.0=0

1 2.1=2

2 2.2=43 2.3=6

4 2.4=8



La pendiente es la inclinación de la recta conrespecto al Eje X también llamado Eje de las Abscisas.

Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que

forma la recta con la parte positiva del eje OX esagudo.

Si m < 0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX esobtuso.

Si m = 0 la función, además de ser lineal, es de proporcionalidad directa.

Actividades a Resolver:

1) Considerar las siguientes funciones lineales definidas por lassiguientes formulas:

a) f (x) = 2x+2 b) f (x=) = -x-4 c)f (x) = -5 d) f (x) = 4x e)f (x) = 0,5x+3

Se pide:1.1 Graficar en distintos ejes cartesianos.1.2 Indicar el valor de la Ordenada (Eje y) y la pendiente de

cada una.1.3 Cual de ellas es una función de proporcionalidad directa?



2) Patricia se va de viaje al exterior y decidió alquilar un teléfonocelular durante su estadía. Le ofrecen dos opciones: El Modelo A,que es el mas sencillo, tiene un costo de $0,50 por minuto de

comunicación; mientras que por el Modelo B, que tienecontestador le piden $3,00 en concepto de seguro mas $0,50 por minuto de comunicación.2.1 Completa las siguientes tablas y marca en el grafico condistinto color los puntos correspondientes a cada modelo.2.2 Unan los puntos de cada color. Qué forma tienen las graficas? 2.3 Escriban una formula para cada una de las funciones que graficaron.

Modelo A Modelo BMinutos Costo Minutos Costo0 0

0,50 3,50 2 2

1,50 4,50

Las funciones sirven para describir fenómenos físicos, biológicos,sociológicos, económicos o simplemente para expresar relaciones

matemáticas. Sirven, por ejemplo, para sistematizar el cálculo delimporte de una factura de un servicio publico.

3) A José le llego la factura del gas y quiere revisar, como lo hacehabitualmente, el cálculo del importe que debe abonar. De laobservación de facturas anteriores sabe que le cobran un cargo fijo de $9,60 además de $0,14 por cada m3 de gas consumido. Estosvalores incluyen IVA y otros impuestos.a) Encuentren una formula que sirva para calcular el importe I dela factura en función del volumen en m3 de gas consumidob) Indique cuales son las Variables Independientes y la VariableDependiente en la función planteada.c) Cual es el menor importe que puede tener una factura? d) Si José consumió 85m3, ¿Qué importe indicara su factura? e) Nora consumió el doble de lo que consumió José. Su facturavendrá con el doble del importe? Justifica tu respuesta. f) Julián recibió una factura por $26,40 ¿Cuántos m3 consumió? g) Realicen un grafico que muestre la variación del costo del gasen función del volumen consumido. Utilicen el sistema cartesiano



y ubiquen en cada eje las variables y las unidades en que semiden.

4) Completar la tabla correspondiente a cada función:

a) y = 5x – 3 b) y = -3x+4 c) y = x:2+1

x y -5-3-10 2

46

5) En un curso de manejo, cada hora de clase cuesta $30,00. Hallauna formula que permita calcular el valor de un curso de x horasde duración.Responder:

a) Cuál es el costo de un curso de 12 horas? b) Cuantas horas de clase dura un curso cuyo valor es

$600? c) El punto (10; 320) pertenece a la función? d) Grafica la función6) El siguiente grafico muestra la

variación de la base (x) en cm y la altura de untriangulo cuya superficie es de 6cm2 (y). Completa latabla correspondiente al grafico.

x (encm.)

1 2 3 4 6 12

y (encm.)

7) Halla la formula que permite calcular la altura de un triangulode base x.Responde:

a) si la longitud de la base del triangulo aumenta, ¿Qué sucedecon la medida de la altura?

x y -10 -6-20 4

1422

x y -4-3-213

57



b) Existe un triangulo de base 4 cm y altura 10cm que pertenece a la función?

8) Una empresa de transporte de cargas cobra $30por cada envío,

mas $1 por cada Kg de carga. Escribí la formula que permitecalcular el costo total de un envío de x cargas de peso y grafica la función.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuacioneslineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones osimplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones

lineales .Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería elsiguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de lasvariables x 1, x 2 y x 3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema

de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguosde la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así comoen la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

TIPOS DE SISTEMAS

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número

de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

Sistema incompatible si no tiene ninguna solución. Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso

además puede distinguirse entre:o Sistema compatible determinado cuando tiene un

número finito de soluciones.o Sistema compatible indeterminado cuando admite un

conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica


http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal


http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_lineal



http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico


http://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1ales

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_estructural



http://es.wikipedia.org/wiki/Programaci%C3%B3n_lineal


http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico





http://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1ales








Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatiblesdeterminados se caracterizan por un conjunto de rectas que secortan en un único punto. Los sistemas compatiblesindeterminados se caracterizan por rectas superpuestas.

SISTEMAS COMPATIBLES INDETERMINADOS

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguientesistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con larecta cuya pendiente es y que pasa por el punto , por

lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. Elsistema es compatible por haber solución o intersección entre lasrectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

SISTEMAS INCOMPATIBLESDe un sistema se dice que es incompatible cuando no presentaninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas,ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan enningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a lavez ambas ecuaciones.

http://es.wikipedia.org/wiki/Paralela





MÉTODOS DE RESOLUCIÓN

1) SUSTITUCIÓN El método de sustitución consiste en despejar en una de lasecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tengamenor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otraecuación por su valor.En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionadadebe ser sustituida por su valor equivalente en todas lasecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante,tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos queel inicial, en el que podemos seguir aplicando este método

reiteradamente.

Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitucióneste sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de

menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más lasoperaciones, y la despejamos,obteniendo la siguiente ecuación

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita enla otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la únicaincógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahorasustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuacionesoriginales obtendremos , con lo que el sistema queda yaresuelto.

2) IGUALACIÓN El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la

misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualanentre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo



sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, sidespejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de lasiguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partesderechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene obtener el valor de la .La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizandoun cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

3) REDUCCIÓN Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas

lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales.

El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones eincógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones(generalmente, mediante productos), de manera que obtengamosdos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con elmismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se sumanambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de

dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una solaincógnita, donde el método de resolución es simple.Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos

queda así:

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n





Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original,obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido

reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de laincógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la

incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas

incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a:

P ara que sirve un sistema de ecuaciones????

PARA LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

La resolución de un sistema de ecuaciones no es una tarea en símisma, sino que forma parte de la resolución de un problema,teórico o práctico. Veamos como, partiendo de un problemaexpresado de modo textual, podemos transcribirlo a ecuaciones y luego resolverlo.

El problema es:

En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52

patas, ¿cuántos conejos y patos hay?

Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlotenemos que pasarlo a forma de ecuaciones, por lo que tenemosque determinar:

1. Cuáles son las incógnitas.2. Qué relación hay entre ellas.



En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: elnúmero de conejos y el número de patos. Llamaremos x al númerode conejos e y al número de patos:

Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto: el número de conejos por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18:

Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólotienen dos. Por tanto: el número de conejos por cuatro patas cadauno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar 52:

La cuestión es: qué valores de x e y cumplen las dos ecuaciones almismo tiempo; esto es, las dos ecuaciones forman un sistema y elvalor de la x y de la y es la solución de un sistema de dos

ecuaciones:

Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado,y podemos solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos.Por ejemplo, el de reducción. Todos los coeficientes de la segundaecuación son pares y por tanto divisibles por dos:

Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo,(multiplicándola por -1), tendremos:

sumamos las dos ecuaciones:



Con lo que tenemos que x = 8. Sustituyendo este valor en la primera ecuación, tenemos:

con lo que ya tenemos la solución del problema:

Podemos comprobar estos resultados en el enunciado del problema para comprobar que son correctos.

EN RESUMEN : partiendo de un problema en forma de texto,hemos identificado las incógnitas y hemos establecido lasrelaciones que hay entre ellas, dando lugar a un sistema que tienetantas ecuaciones independientes como incógnitas. Resuelto elsistema, tenemos la solución, que podemos comprobar que escorrecta en el texto original.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Algunos problemas pueden resolverse empleando sistemas de dosecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Muchas veces se pueden resolver utilizando una sola ecuación con una incógnita, pero el planteamiento de dicha ecuación es mas complicado que plantear un sistema de los que estamos estudiando.

Para resolver estos problemas podemos seguir tres pasos:1. Elegir las incógnitas x e y que siempre coinciden con lo que nos preguntan en el problema.2. Plantear dos ecuaciones traduciendo el problema al lenguajealgebraico3. Resolver el sistema. Por último conviene siempre comprobar que la solución es correcta o al menos que tiene sentido.

Hay una serie de “problemas tipo” que se resuelven fácilmente y

el planteamiento de las ecuaciones siempre es igual. Pero tambiénhay problemas para los que el planteamiento de las ecuaciones es



más complicado. Lee el enunciado las veces que haga falta hastaque comprendas las dos ecuaciones que hay que plantear.

EJEMPLO DE CÓMO RESOLVER UN PROBLEMA

1. En un estacionamiento hay 55 vehículos entre coches y motos.Si el total de ruedas es de 170. ¿Cuántos coches y cuántasmotos hay?.

Resolución

1. Paso. Se eligen las incógnitas que coinciden con lo que nos preguntan: “¿Cuántos coches y cuántas motos hay?”

x = número de coches y = número de motos2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones.

1ª Ecuación Como hay 55 vehículos en total x + y = 552ª Ecuación Hay 170 ruedas entre todos los vehículos.

Un coche tiene 4 ruedas luego x coches tendrán 4x ruedas. Unamoto tiene 2 ruedas luego y motos tendrán 2y ruedas. Endefinitiva la ecuación que da el total de ruedas es: 4x +2y = 170 ( ATENCIÓN: No se debe mezclar el número de ruedas con elnúmero de vehículos.)El sistema es el siguiente:

x + y = 554x +2y = 170

3. Paso. Resolver el sistema. Lo resuelvo por ejemplo por reducción.1º Elijo la incógnita x.2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera

ecuación por (-4)-4x – 4y = -220 4x + 2y = 170

3º Sumando las dos ecuaciones -4x - 4y = -220

+ 4x + 2y = 170

-2y = -50



y= -50: -2 => y = 25

4º Se sustituye en una ecuación x + 25 = 55SOLUCION ( x = 30 , y = 25)

x = 30 Ahora se comprueba que es correcta la solución:1º Entre todos los vehículos suman 55. Efectivamente 30+25 =552º El número de ruedas es 170. Efectivamente 30 · 4 + 2 · 25 =120 + 50 = 170.

Resolver los siguientes problemas:

1) Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 pesos. Cinco

kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 pesos. ¿A cómoestá el kilo de plátanos y el de peras?

2) En un corral hay gallinas y conejos. En total hay 14 cabezas y 38 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral?

3. He comprado un DVD y me ha costado 105 euros. Lo he pagadocon 12 billetes de dos tipos, de 5 euros y de 10 euros. ¿Cuántosbilletes de cada clase he entregado?

4) Un fabricante de bombillas gana 0,3euros por cada bombillaque sale de la fábrica, pero pierde 0,4 euros por cada una que saledefectuosa. Un día en el que fabricó 2100bombillas obtuvo unbeneficio de 484,4 euros. ¿Cuántas bombillas buenas y cuántasdefectuosas fabrico ese día?

5) El perímetro de un rectángulo es 64cm y la diferencia entrelas medidas de la base y la altura es 6cm. Calcula las dimensiones

de dicho rectángulo.6) La edad de Manuel es el doble de la edad de su hija Ana. Hacediez años, la suma de las edades de ambos era igual a la edad actual de Manuel. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

7) Seis camisetas y cinco gorras cuestan 227 euros. Cinco camisetasy 4 gorras cuestan 188 pesos. Halla el precio de una camiseta y deuna gorra.(Solución: 32 camisetas, 7 gorras )



8)He comprado un cuaderno que costaba 3 euros y para pagarlo heutilizado nuevemonedas, unas de 20 céntimos y otras de 50 céntimos. ¿Cuántasmonedas de cada clase he utilizado? (Solución: 5 monedas de 20

céntimos, 4 de 50 céntimos9) En un examen tipo test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0,25 por cada error. Si unalumno ha sacado 10,5 puntos ¿Cuántos aciertos y cuántos erroresha cometido? (Solución:18respuestas correctas , 12 respuestasincorrectas )

10)Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.

(Solución: primer número 129 y segundo número 62 )

TRABAJO PRÁCTICO

Tema: Ecuaciones, sistemas de ecuaciones

a) Resolver las siguientes ecuaciones

b) 3x-2=7

c) 5x-4=11

d) 7x-9= 40



e) 5x-6 = 26

f) 7x+9=30

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales aplicando los

tres métodos

a)

y=4x-4

y=x+11

b)

y=3x+18

y=5x

c)

y=5x+2

2x+y=30

d)

5x+y=15

x+ y= 1

e)

2x+2y=4

3x+y= 3

f)



x+ y= 4

2x+2y=6

Unidad N°3

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS DefiniciónSe llaman expresiones algebraicas enteras a aquellas que nocontienen denominadores algebraicos. Ninguna letra está en eldenominador ni afectada por una raíz o por un exponentenegativo.

Por ejemplo, son expresiones algebraicas 8x-78z , (3x-1)/(9x-2),3 naranjas + 4 papas.

CLASIFICACIÓN EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS

Las expresiones algebraicas enteras las clasificamos en Monomios y

Polinomios

1) Monomio: expresión algebraica constituida por un sólo término.

Todo monomio consta, de dos partes:

a) Coeficiente: el número del monomio.

b) Parte literal: las letras con sus exponentes

En un monomio, las letras solamente están afectadas por

operaciones de producto y de potencia de exponente natural.



Ejemplo: -3 a3 b2 c- es el signo 3 es el "coeficiente" a3 b2 c es la "parteliteral”

MONOMIOS SEMEJANTES: DEFINICIÓN Son los que tienen igual parte literal (las mismas letras elevadas alos mismos exponentes)Ejemplo:

2 a3 b2 c es semejante a 5 a3 b2 c

2) POLINOMIO. DEFINICIÓN

Es una expresión algebraica entera compuesta por la sumao resta de monomios Ejemplo: 3ax 3 + 2bx 2 - 5x + 8

Llamamos:

Binomio: a la suma o resta de 2 monomios

Trinomio: a la suma o resta de 3 monomios

Cuatrinomio: a la suma o resta de 4 monomios.

El resto de los polinomios se los denomina según el númerode monomios que tengan de la siguiente manera, por ejemplo si el polinomio tuviera 6 monomios, lo llamaríamos polinomio de seistérminos.

Ejemplos

Binomio 3 a3 b2 c - 3 x 2 y 3

Trinomio 3 a3 b2 c - 3 x 2 y 3 + 4 a x 5



Cuatrinomio 3ax 3 + 2bx 2 - 5x + 8

Polinomio de cinco términos 2bx - 5 ax - 4bx 2 + 3 x 2 y 3 + 4 a x 5

Polinomio homogéneo: todos sus términos son del mismo grado.

3x 2b3 + 3ax 4 + 3 b3cz todos los términos son de 5º grado

Polinomio ordenado: un polinomio está ordenado con respecto alas potencias crecientes de una de sus letras cuando ésta figura encada término con un exponente mayor o igual que en el anterior yestá ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una

de sus letras cuando ésta figura en cada término con un exponentemenor o igual que en el anterior.

Ejemplo:

3 - 2ab5 + 3a2b - 5a7 Ordenado en forma creciente respecto de la

letra a

4ab3 - b2 – 4 Ordenado en forma decreciente respecto de

la letra b

La letra con respecto a la cual el polinomio está ordenado sedenomina ORDENATRIZ.

POLINOMIO COMPLETO: un polinomio es completo cuando figuranen él todas las potencias de la letra respecto de la cual estáordenado, a partir de la potencia de mayor grado.

Ejemplo:

ab3 - 5b2 - 4bz + 7 Polinomio completo con respecto a su letra"b" y en este caso, además está ordenado.



Importante: completar un polinomio es agregar todas las potencias que faltan para que sea completo, acompañadas delcoeficiente cero para que el polinomio no se altere.

Ejemplo

23

134

54 mmm al completar y ordenar el polinomio

quedaría

23004

3

1 2345 mmmmm

GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ENTERA

Grado de un monomio: Es la suma de los exponentes de su parte

literal

3 a3 b2 c es un monomio de 6º grado (3+2+1)

-2 es un monomio de grado cero

Grado de un polinomio: Es el grado del término de mayor grado.

3 a3b2c - 3x 2 y 3 + 4a x 5 (6º grado) (5º grado) (6º grado) polinomio

de sexto grado

EjercitaciónDeterminar el grado de los siguientes polinomios.

a) 1278523 ababa b) 4

2

129

224354 ya ya y x

c)32423

34

3

2babbaa d) 13

3

2224 ba xy



Ejercitación

Ordenar los siguientes polinomios en forma decreciente y también

en forma creciente.

a)43562

3

135

2

34 x x x x x x b)

243

4

15

3

23 y y y y

ACTIVIDAD

Indicar cuales de los siguientes polinomios son completos y en caso

de no serlo; completarlos y ordenarlos en forma decreciente.

a)33

3

54

2

9ccc b)

4

23 x c)53

523

4 y y y d)

43

85

3

2 aaa

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA DE POLINOMIOS

Regla práctica: para sumar varios polinomios entre si, se colocanuno debajo del otro de manera que los términos semejantes

queden en columnas, luego se realiza la suma y se colocan los

resultados con sus respectivos signos.

Ejemplos



b)

5

4

1485

5

332

5

343434434

xba xbaa xbaa

c) 525323

61

21

31

21

3132,03

21 bbabbabababa

RESTA DE POLINOMIOS

REGLA PRÁCTICA: para restar dos expresiones algebraicas; se suma

al minuendo el sustraendo con sus términos cambiados de signo.

Luego se procede de la misma manera que en la suma.

Ejemplos

1) 22755

2 43433

bbabcba

2275

5

243433

bbabcba =

433

755

2bcba

ba3

224 b

2555

7433

bcba

2) 322

5,0215 babbaba

322

2

1215 babbaba =



22

215 baba

ab

2

1

3

b

322

2

515 bbaba

EJERCITACIÓN

a)

33323

9

12

9

12

2

5babbaa = b)

5,15,043

1375378

zaaza zaaz z =

c)

2442

2

3

13,0

4

32 x xy y y y xy =

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA PRÁCTICA: para multiplicar dos polinomios se multiplica

cada término del primero por cada término del segundo.

Ejemplos

1) 32.2

13

5

12

23

x x x x =

213

512 23

x x x



* 32 x

x x x x 234

6

5

24

2

39

5

36

23 x x x

2

310

5

33

5

324 234 x x x x

2) x x x x 2.134

1

3

123

=

134

1

3

123 x x x

* x2

x x x x 262

1

3

2234

Ejercitación

a)

5

1.33

2

123 mmmm = c)

5,02.2

13

5

14

23

x x x x =

b) x x x 3.2

17,0

5

32



ACTIVIDADES A RESOLVER

Polinomios

1) Escribir

a) 3 Binomios

b) 3 Trinomios

c) 3 Polinomios de 5 términos

2) Escribí V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada

afirmación.

a) El Polinomio 222

52

13 ba pqab es de 4º grado.....

b) El Polinomio xy xabc2

12

4

32 es de 2º grado.....

c) El Polinomio232

3

52 xr r pq es de 5º grado.....

d) El Polinomio4243

23

1

4

5thmp pmn es de 4º grado.....

e) El Polinomio y phk y xyz x2354


f ) El Polinomio xmp xy 25

3

2




3) Ordenar los polinomios completos en forma creciente y aquellos

que estén incompletos, completarlos y ordenarlos en forma

decreciente.

a)367

322

14 x x x x b)

4352

32

1122 aaaaa

c) 25,03

132 z z z d) 172,0

4

324 p p p

e) cccc 342

3,032

15 f)

23

53

42 k k k

4) Resolver las siguientes sumas de polinomios.

a) cbay xcb ya xcb ya x 232323 422348765 =

b) z y x z y x 8211532 =

c) xcbycbya 225

234,0 =

d) 323

323,055

23 aaababa

=

5) Resolver las siguientes restas de polinomios.

a)

32333

9

42

2

5

9

12 bbaaba =

b)

2222

95

29

5

23,0 nmnmnm =

c)

223223

5,08

1

23

1

zbax zbax =



d)

abamba 3,02

3

15,2

3

10

5

7232

=

6

) Resolver las siguientes multiplicaciones de polinomios.

a)

15

1

5

2.36,05

2mmm =

REGLA DE RUFFINI

Esta regla se utiliza para divisiones donde el divisor es de forma x

± a. Se trabaja solamente con los coeficientes. El divisor se colocacambiado de signo. Se obtienen los coeficientes del cociente y elresto. El coeficiente se completa con la parte literal.

RECORDAR que el dividendo siempre tiene que estar completo y ordenado.

EJEMPLO:( 2x4 - x2 + 1) : ( x – 2 ) =

2 0 -1 0 1

4 8 14 28

2 4 7 14 29--------->RESTO

COCIENTE



Por lo tanto C(x) = 2 x 3 + 4 x 2 + 7 x + 14 ; R = 29

Determinar el Cociente aplicando la Regla de Ruffini.

1) ( - x3

+ x ) : ( x – 2 ) =

2) ( 2 x2 – 1) : ( x + ½) =

3) ( 5 a3 – 2 a2 – 14 a – 1 ) : ( a + 2 ) =

4) ( 2 x4 – 3 x3 + 4 x2 – 2 x – 5 ) : ( x – 3 )=

TEOREMA DEL RESTO

El teorema del resto nos permite calcular directamente el restoen una división hecha por Ruffini.

El resto se obtiene reemplazando la X del dividendo por eldivisor cambiado de signo.-

POR EJEMPLO:

(2 x 3 – x + 1 ) : ( x – 2 )

dividendo divisor Entonces reemplazo la x del dividendo por el divisor y

obtenemos:

2 . ( 2 ) 3 – ( 2 ) + 1resuelvo la potencia y obtenemos:

2 . 8 – 2 + 1

multiplico y resuelvo la suma algebraica y obtenemos:



16 - 2 + 1 = 15 ----- RESTO

Podemos verificar si el resto de la división ha sido el correcto,

para esto, solo debo aplicar la Regla de Ruffini.

2 0 -1 1

4 8 14

2 4 7 15 …….RESTO

TRABAJO PRÁCTICO

1)Resolver las siguientes operaciones con polinomios.

a) (3x3

+2x – 8)+( 5x3

+4x2

-6)

b) (5x2+9x+8)+(7x2-2x+9)

c) (7x + 8) – (6x2+4x-3)

d) (6x4+6x2-2x-9) – (9x3-3x2+2)

e) (2x2-3x +5). (5x+3)

f) (4x3+4x2-3). (2x-3)

g) (5x3+2x2-3x+6): (x-2)

h) (3x4-2x3+4x2-2x-9): (x+3)

2. Aplicar el teorema de Ruffini y el teorema del resto a los incisos g) y h) del punto

anterior.



UNIDAD Nº 4

TRIÁNGULOS. Definición

Se llama triangulo a toda figura de tres lados. Los elementos deun triangulo son: los tres lados, los tres vértices, y los tresángulos que suman 180°.

Vértices: a, b y c Ángulos Interiores: 1,2 y 3

Lados: ab, bc y ca Ángulos Exteriores: 4,5 y 6

CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS: queda estructurada de lasiguiente manera

1

2 3

cb

4

a

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ACTIVIDADES A RESOLVER

1) Marquen con una X los tríos de segmentos con los cuales se puedeconstruir un triangulo:

a) 10cm;11cm;10cmb) 1cm;2cm; 3cmc) 5cm; 5cm;5cm

2) Resuelvan los siguientes problemas:a) ¿Cuánto mide cada uno de los lados de un triangulo equilátero, si

su perímetro es de 42 cm? b) ¿Cuánto miden los lados iguales de un triangulo isósceles, si su

perímetro es de 117cm y el lado desigual mide 43cm? c) ¿Qué valores enteros pueden tomar el lado de un triángulo

escaleno, si sus otros dos lados miden 7cm y 10cm,respectivamente?



d) Si el lado de un triangulo equilátero mide 25cm, ¿en cuánto hay que aumentar dicho lado para que el perímetro de un nuevotriángulo sea de 93cm?

3) Clasifiquen cada uno de estos triángulos según sus lados y susángulos:

a) b) c)

………………………. ……………………………….

………………………………….

4) Marquen con una X en Verdadero (V) o Falso(F), segúncorresponda:

a) Un triangulo escaleno tiene todos sus ángulos distintos.b) Un triángulo isósceles tiene por lo menos dos lados iguales.c) Todos los triángulos rectángulos son isósceles.d) Todos los triángulos equiláteros son isósceles.e) Los ángulos de un triangulo isósceles son iguales. f) Un triangulo puede tener dos ángulos obtusos.



5) Clasifica los siguientes ángulos según sus lados:

a) b) c) d)

6)- Clasifica los siguientes ángulos según sus ángulos:

a) b) c) d)

7) En la siguiente figura, ¿cuál es la medida del ángulo CAB y el ánguloCBA?:

L1 // L2

8) En el siguiente triángulo, X + Y + Z =

9) En las siguientes figuras determina el ángulo que se pide:

a) <CAB = ______ b) x = _______ c) x = ______ d) MN = ON; < x = ____

30º

65º

b b

a

aa

a

b

c

c

30º

30º30º

c

b

a

127º

C

BA

zy

x

L2

L1

45º

A B

C

60ºy

x

z

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________



Contesta las siguientes preguntas:

¿Cuánto miden los ángulos interiores y exteriores de un triángulo

equilátero?

Si en un triángulo la medida del primer ángulo es el doble de lamedida del segundo pero la mitad del tercero. ¿Cuánto miden losángulos del triángulo?



Si dos ángulos de un triángulo miden 30º y 40º ¿cuánto mide eltercer ángulo y los ángulos exteriores?

Propiedades De Los Ángulos Interiores De Un Triangulo

1) En todo triángulo, la suma de las amplitudes de los ángulos

interiores es igual a 180º.2) En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

3) En un triángulo escaleno, los tres ángulos son distintos.

4) En un triángulo isósceles, dos ángulos son iguales.

5) En un triangulo equilátero, todos los ángulos son iguales.

Propiedades De Los Ángulos Exteriores De Un Triangulo



a ά

γ

c b β

1) En todo triángulo, la suma de las amplitudes de los ángulosexteriores es igual a 360º ά + β + γ = 360º

2) En todo triángulo, cada ángulo exterior es suplementario con elángulo interior correspondiente.

â + ά = 180º ; b + β = 180º ; ĉ + γ = 180º

3) En todo triángulo, la amplitud de un ángulo exterior es igual ala suma de las amplitudes de los ángulos interiores no adyacentescon él.

ά = b + ĉ ; β = â + ĉ ; γ= â + b

Actividades a Resolver 1) Calculen el valor de cada uno de los ángulos exteriores de

un triangulo equilátero.2) Completar el siguiente cuadro:

Á n g u l o s I n te r i o r e s Clasificación s/ Lados y Ángulos45º 45º 60º 60º

50º 35º 43º56’ 68º2’

90º 34º28’40’’



3) Calculen el valor de cada uno de los ángulos interiores delos siguientes triángulos.

A) a B) c

ê = 2x + 10º a = 4x +5º â = 3x + 15º e = 2x +

35º ĉ = x + 35º

c a ee

C) D) a

e

a c e c

e = 5x - 10º a = 4x – 20º c = 2x + 16º e = 2x – 20º

4) Calculen el valor de los ángulos marcados en los siguientestriángulos.

A) ά = 148º B)

β

γ ά

Teorema de PitágorasEn un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual

a la suma de los cuadrados de los catetos.

El teorema de Pitágoras sirve para averiguar el valor de alguno

de los lados del triangulo rectángulo.



Aplicaciones del teorema de Pitágoras

1. Conociendo los dos catetos, calcular la hipotenusa

Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 mrespectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno

de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de suscatetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?



3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo

Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser

igual a la suma de los cuadrados de los dos menores

Determinar si el triángulo es rectángulo.

Perímetro y área del triángulo

El perímetro es igual a la suma de sus

lados

P=a+b+c

A es área es la base y h la altura

APLICACIÓN:

a) Graficar un triángulo equilátero de lado igual a cinco.b) Graficar un triángulo rectángulo cuyos catetos sean iguales. ¿qué otro

tipo de clasificación se le puede asignar a dicho triángulo?c) Hallar el perímetro de un triángulo equilátero de lado igual a 3cm.d) Determinar el área de un triángulo rectángulo de catetos 6cm y 8cm

Cuadernillo MATEMATICA 2 BACHILLERATO LIBRE PARA ADULTOS

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