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INTRODUCCIÓN A LA METROLOGÍAINTRODUCCIÓN A LA METROLOGÍACurso Académico 2011Curso Académico 2011--1212Curso Académico 2011Curso Académico 2011--1212

Rafael Muñoz BuenoRafael Muñoz BuenoLaboratorio de Metrología y MetrotecniaLaboratorio de Metrología y Metrotecnia

LMMLMM--ETSIIETSII--UPMUPM

TEMA 4. Cuantificación y propagación de la incertidumbre

Índice

Curso Académico 11-12Introducción a la Metrología

1. Concepto de incertidumbre típica combinada.

2. Ley de propagación de la incertidumbre (sin correlación).

3. Incertidumbre expandida

4. Supuesto práctico de la evaluación de incertidumbres.

Concepto de incertidumbre típica combinada

La incertidumbre típica de y (siendo y la estimación del mensurando Y)

es decir, el resultado de medida, se obtiene componiendoapropiadamente las incertidumbres típicas de las estimaciones de

entrada x1 , x2 , ..., xN. Esta incertidumbre típica combinada de la


Incertidumbre típica combinada

Incertidumbre típica

( ) ( )NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 =⇒=

[ ])(),...(),()( 21 Nc xuxuxufyu =

entrada x1 , x2 , ..., xN. Esta incertidumbre típica combinada de la

estimación y se nota como uc(y).

Ley de propagación de incertidumbres (i)

( ) ( )NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 =⇒=Desarrollo en serie de Taylor de primer orden torno al valor esperado, y gracias alas propiedades de la varianza y el valor esperado (esperanza matemática) llegamos a:


las propiedades de la varianza y el valor esperado (esperanza matemática) llegamos a:

),(2)()(1

1 1

2

2

1

2ji

xj

N

i

N

ij xii

xi

N

i ic xxu

X

f

X

fxu

X

fyu

ji∂∂

∂∂+

∂∂= ∑∑∑

−

= +==

LEY DE PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

Ley de propagación de incertidumbres (ii)

),(2)()(1

2

2

2N NN

xxuff

xuf

yu∂∂+

∂= ∑∑∑

−

Consideraciones (i)


),(2)()(1 1

2

1

2ji

ji ij ii

i ic xxu

x

f

x

fxu

x

fyu

∂∂

∂∂+

∂∂= ∑∑∑

= +==

Magnitudes de entrada no correlacionadas

Magnitudes de entrada correlacionadas

Ley de propagación de incertidumbres (iii)

Consideraciones (ii)

Magnitudes de entrada no correlacionadas

Ej. Determinación de una longitud a una temperatura t habiendo realizado la

medida a temperatura t : L = L [1+α (t-t )]


medida a temperatura t0: L = L0 [1+α (t-t0)]

o El coeficiente de dilatación es una magnitud conocida

o La longitud L0 se mide con una cinta métrica

o La temperatura se mide con un sensor de temperatura

Magnitudes de entrada correlacionadas

Ej. Determinación de la densidad de un cuerpo sólido: ρ = m/Vo La masa ha sido medida por comparación usando otras masas patrón

o El volumen ha sido determinado por pesada hidrostática usando lasmismas masas patrón

12

N NN fff ∂∂ ∂ −

Ley de propagación de incertidumbres (iv)

Consideraciones (iii)


),(2)()(1

1 1

2

2

1

2ji

j

N

i

N

ij ii

N

i ic xxu

x

f

x

fxu

x

fyu

∂∂

∂∂+

∂∂= ∑∑∑

−

= +==

Trataremos sólo el caso de magnitudes de entrada no correlacionadas

Ley de propagación de incertidumbres (v)

Donde:

)()( 2

2

1

2i

N

i ic xu

x

fyu ∑

=

∂∂=


Donde:

f ≡ Función de transferencia o función modelo; Y= f (X1,X2,…, XN )

u(xi ) ≡ Incertidumbre típica evaluada (tipo A o tipo B)

uc(y) ≡ Incertidumbre típica combinada

La incertidumbre típica combinada es una desviación típica estimada ycaracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente

atribuidos al mensurando Y.

Ley de propagación de incertidumbres (vi)

Estas derivadas, denominadas coeficientes de sensibilidad (c ), describen

)()( 2

2

1

2i

N

i ic xu

x

fyu ∑

=

∂∂=

f∂


Estas derivadas, denominadas coeficientes de sensibilidad (ci ), describen

cómo varía la estimación de salida y, en función de las variaciones en los

valores de las estimaciones de entrada x1 , x2 , ..., xN

En general, la variación de y producida por una pequeña variación ∆xi en la

estimación de entrada xi viene dada por:

Si esta variación es debida a la incertidumbre típica de la estimación xi, la variación

correspondiente de y es:

ix

f

∂∂

)()( ii

i ∆xx

f∆y

∂∂=

)()()( ii

ii xux

fyu∆y

∂∂==

Ley de propagación de incertidumbres (vii)

Por tanto, la varianza combinada u 2(y) puede considerarse entonces como una

)()()( 2

1

22

2

1

2i

N

iii

N

i ic xucxu

x

fyu ∑∑

==

=

∂∂= )()()( iii

ii xucxu

x

fyu =

∂∂=


Por tanto, la varianza combinada uc2(y) puede considerarse entonces como una

suma de términos, cada uno de ellos representando la varianza estimada

asociada a y, debido a la varianza estimada asociada a cada estimación de

entrada xi.

( ) ∑∑==

==N

ii

N

iiic yuxucyu

1

2

1

22 )()()(

Donde: )()( iii xucyu =

Concepto de incertidumbre típica combinada (viii)

( ) ( )NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 =⇒=

[ ]=


[ ])(),...(),()( 21 Nc xuxuxufyu =

Incertidumbretípica combinada

Incertidumbretípica

∑∑==

==N

iii

N

iic xucyuyu

1

22

1

22 )()()(

Coeficiente desensibilidad

Concepto de incertidumbre típica combinada (ix)

Ejemplo (Supuesta no correlación)

Cálculo de la incertidumbre típica combinada en la medida indirecta del área de una placa rectangular

h

( ) ===

A


b( )21, XXfY = ( ) hxbxxfAy === 21,

ii Xx =

[ ]∑= 22 )()( iic xucyu )()()( 22222 hucbucAu hbc +=

22

2 hb

Acb =

∂∂= 2

22 b

h

Acb =

∂∂=

)()()( 22222 hubbuhAuc += )()()( 2222 hubbuhAuc +=

Determinación de la incertidumbre expandida, U (i)

Aunque la incertidumbre típica combinada, uc(y) puede ser utilizada

universalmente para expresar la incertidumbre de un resultado de medida, esnecesario dar una medida de la incertidumbre que defina, alrededor delresultado de medida, un intervalo en el interior del cual pueda esperarseencontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser


encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían serrazonablemente atribuidos al mensurando.

La nueva medida de la incertidumbre, que satisface la exigencia de aportar tal

intervalo se denomina incertidumbre expandida, y se representa por U.

La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre típica

combinada uc(y) por un factor de cobertura k.

U = k uc(y)

Determinación de la incertidumbre expandida, U (ii)

Resultado de la medida: Y = y ± U

Lo que significa que:


• La mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y

• Puede esperarse que en el intervalo que va de y-U a y+U estécomprendida una fracción importante de la distribución de

valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y.

• Un intervalo tal se expresa por y - U ≤ Y≤ y + U

• Siempre que sea posible, debe estimarse e indicarse el nivel de

confianza p asociado al intervalo definido por U.

Determinación de la incertidumbre expandida, U (iii)

Elección de un factor de cobertura

El valor del factor de cobertura k se elige en función del nivel de confianza

requerido para el intervalo y-U a y+U.

• En general, k toma un valor entre 2 y 3. No obstante, en aplicaciones


• En general, k toma un valor entre 2 y 3. No obstante, en aplicaciones

especiales, k puede tomarse fuera de dicho campo de valores.

• Idealmente, debería poderse escoger un valor específico del factor de

cobertura k que proporcionase un intervalo Y = y ± U = y ± k uc(y)correspondiente a un nivel de confianza particular p, por ejemplo, un95 o un 99 por ciento.

• En la práctica, puede suponerse que la elección de un factor k = 2proporciona un intervalo con un nivel de confianza en torno al 95%, y

que la elección de k = 3 proporciona un intervalo con un nivel de

confianza en torno al 99%.

Determinación de la incertidumbre expandida, U (iv)

La guía GUM

La Guía para la Expresión de la Incertidumbre de Medida o GUM(Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement), establece lasreglas generales para la evaluación y expresión de la incertidumbre demedida, previstas para ser aplicadas en una gran variedad de mediciones.


medida, previstas para ser aplicadas en una gran variedad de mediciones.

La guía GUM, se basa en la Recomendación 1 (CI-1981) del ComitéInternacional de Pesas y Medidas (CIPM) y en la Recomendación INC-1(1980) del grupo de trabajo sobre la expresión de las incertidumbres.Este grupo de trabajo se constituyó previamente por el Bureau Internacionalde Pesas y Medidas (BIPM) en respuesta a una demanda del CIPM.

La Recomendación del CIPM es la única recomendación referida a laexpresión de la incertidumbre de medida, avalada por una organizaciónintergubernamental.

Determinación de la incertidumbre expandida, U (v)

El método GUM: basado en la filosofía GUM (i)

1. Identificar todas las componentes importantes de la incertidumbre demedida:


Existen muchas fuentes que pueden contribuir a la incertidumbre de medida. Aplicar

un modelo del proceso de medida real para identificar las fuentes. La función f debe

incluir todas las magnitudes, incluyendo correcciones y factores de corrección quepueden contribuir significativamente a la incertidumbre del resultado de medición.

2. Determinar xi , valor estimado de la magnitud de entrada Xi , bien a partirdel análisis estadístico de una serie de observaciones, bien por otrosmétodos

( )NXXXfY ,..., 21=

( )Nxxxfy ,..., 21=



3. Evaluar la incertidumbre típica u(xi ) de cada estimación xi

Para una estimación de entrada obtenida por análisis estadístico de series deobservaciones, la incertidumbre típica se obtiene a partir de una evaluación de Tipo A


observaciones, la incertidumbre típica se obtiene a partir de una evaluación de Tipo A

Para una estimación de entrada obtenida por otros medios, la incertidumbre típica

u(xi ) se obtiene a partir de una evaluación de Tipo B.

n

XsXsxu i

ii

)()()( ==

2)(

axu =

3)(

axu =

6)(

axu =

2)(

axu =



4. Calcular el resultado de medición; esto es, la estimación y del mensurandoY, a partir de la relación funcional f utilizando para las magnitudes de

entrada Xi las estimaciones xi obtenidas en el paso 2.


5. Determinar la incertidumbre típica combinada uc(y) del resultado de medida

y, a partir de las incertidumbres típicas asociadas a las estimaciones deentrada.

Para una suma o diferencia de componentes, la incertidumbre combinada se calcula como la raízcuadrada de la suma de los cuadrados de las incertidumbres típicas de las componentes.

Para un producto o cociente de componentes se aplica, a las incertidumbres típicas relativas de lascomponentes, la misma regla que para la suma/diferencia.

( ) ∑∑==

==N

ii

N

iiic yuxucyu

1

2

1

22 )()()( )()( iii xucyu =

6. Calcular la incertidumbre expandida:

Multiplicar la incertidumbre combinada por el factor de cobertura k.

Determinación de la incertidumbre expandida, U (vi)

El método GUM: basado en la filosofía GUM (ii)


7. Expresar el resultado de medida en la forma:

UyY ±=

Ejemplo: Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL

1. Definición del problema de medición

La longitud de un BPL, de valor nominal 50 mm, se determina por comparacióncon otro bloque patrón conocido, de la misma longitud nominal y del mismomaterial. En la comparación de los dos bloques se obtiene directamente ladiferencia d entre sus longitudes.


d

l lp

d = l - lp

Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL

2. El modelo matemático

plld −=

resttp CCCdll ++++= ∆∆


),...,( 21 NXXXfY =

resttp CCCdllp

++++= ∆∆Corrección pordilatación térmica

),,,,,,( Edlfl ppp θθαα=

Corrección por resolucióndel comparador

θααα ltltlC t =−=∆=∆ )20( pppppppppt ltltlCp

θααα =−=∆=∆ )20(


dll p +=),...,( xxxfy =

3. Estimación del valor del mensurando, l


l Valor del mesurando a determinar.

lp Longitud del patrón a 20 °C, tal como figura en su certificado de calibración.

d Diferencia entre los bloques, estimada como la media aritmética de 10 medidas

independientes.

),...,( 21 Nxxxfy =

mmlp 000623,50=nmd 215= mmUl )000838,50( ±=


4. Contribución de varianzas (i)

resttp CCCdllp

++++= ∆∆


)()( 2

1

22

i

N

iic xuclu ∑=

=

)()()()()()( 22222222222resCtCtCdplc CucCucCucducluclu

resppttp++++= ∆∆ ∆∆

Ley de propagación de la incertidumbre


4. Contribución de varianzas (ii)

resttp CCCdllp

++++= ∆∆


)()()()()()( 22222222222resCpttttdplc CucCucCucducluclu

respp++++= ∆∆∆∆

)()()()()()( 222222resttpc CuCuCudululu

p++++= ∆∆

1=∂

∂=∆

∆

p

pt

tC C

fc1=

∂∂=d

fcd

1=∂∂=

∆∆

tC C

fc

t1=

∂∂=

ppl l

fc 1=

∂∂=

resCres C

fc


5. Incertidumbre debida a la calibración del patrón, u(lp)

El certificado de calibración da como incertidumbre expandida del patrón

U = 0,040 µm, precisando que ha sido obtenida utilizando un factor de

cobertura k = 2. La incertidumbre típica es entonces


cobertura k = 2. La incertidumbre típica es entonces

222 104)( nmlu p ⋅=

Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación típica:

nmlu p 202

040,0)( ==


6. Incertidumbre debida a la medida de d, u(d)

Se efectúan 10 medidas de la diferencia d entre el bloque patrón y elbloque a calibrar, con una desviación típica de 13 nm. Se considera unadistribución normal, por lo que la incertidumbre típica se obtiene de una


distribución normal, por lo que la incertidumbre típica se obtiene de unaevaluación de tipo A.

22 8,16)( nmdu =


nmnm

n

dsdsdu 1,4

10

13)()()( ====


7. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque patrón, u(C∆tp )

pppt lCp

θα=∆

)()()()()()()( 2222222pppppppppt luululCu θααθθα ++=∆

Se acepta una modelo de dilatación lineal, con lo que:


(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1

)()()()()()()( pppppppppt luululCup

θααθθα ++=∆

pα

pθ (Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC

durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue

de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ = -0,1 ºC

Cu p º1005,0)( 6−⋅=α Decisión del evaluador

3º02,0

)(C

θu p =nmCu

pt 6,6)(∆

=


8. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque, u(C∆t )

θαpt lC ≈∆

)()()()()()()( 2222222pppt luululCu αθαθθα ++=∆

Se acepta una modelo de dilatación lineal, con lo que:


(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1

)()()()()()()( pppt luululCu αθαθθα ++=∆

α

θ (Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC

durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue

de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ=-0,1 ºC

Cu º1005,0)( 6−⋅=α Decisión del evaluador

3º02,0

)(C

θu =nmCu t 6,6)(

∆≈


9. Incertidumbre debida a la resolución de la máquina u(res)

mm 01,02/01,0 µµ

Se sabe que la resolución del equipo de medida es E = 0,01 µm. Por lo tanto,considerando distribución rectangular:


nmmm

resu 9,212

01,0

3

2/01,0)( === µµ

22 3,8)( nmresu ⋅=



10. Incertidumbre típica combinada uc(l)

)()()()()()( 222222resttpc CuCuCudululu

p++++= ∆∆

2222222 3,81,441,448,1610·4)( nmnmnmnmnmlu ++++=


2222222 3,81,441,448,1610·4)( nmnmnmnmnmluc ++++=

nmluc 3,84,888,1610·4)( 2 +++=

nmluc 6,22)( =


11. Incertidumbre expandida, U

La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre típica

combinada uc(l) por un factor de cobertura k.


nmluU c 2,45)(2 =⋅=

Para el ejemplo, consideraremos un factor de cobertura k=2,equivalente a unnivel de confianza del 95%.


12. Resultado final

nmluU c 2,45)(2 =⋅=


c

mml )000045,0000838,50( ±=

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