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Estadística Básica

Curso de Estadística Básica

MCC. Manuel Uribe Saldaña

MCC. José Gonzalo Lugo Pérez

SESION 4

MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA,

MEDIDAS DE POSICIÓN


Objetivo

Calcular la media y desviación estándar de

diagramas de frecuencia. Conocer las medidas de

posición y su interpretación.


Agenda Sesión 4

• Revisión del examen de la sesión 1 y 2

• Media y desviación estándar en diagramas de frecuencia

• Medidas de Posición

– Cuartil

– Percentil

– Puntaje estándar


Media y Desviación estándar de

distribuciones de frecuencia

• Calcular la media, varianza

y desviación estándar para

el siguiente conjunto de

datos:

3 1 3 1 3 2 4

3 2 4 2 4 4 3

2 3 2 3 2 2 2

1 4 1 4 1 3 2




• Para calcular la media y la

varianza de la muestra, es

necesaria la suma de los 28

valores x y la suma de los

28 valores de x al cuadrado,

así:

• Del ejemplo anterior se

obtiene una distribución de

frecuencias:

x f

1 5

2 9

3 8

4 6

Suma 28

x =


Σx = 1 + 1 +…+ 1 + 2 + 2 +…+ 2 + 3 + 3 +…+ 3 + 4 + 4 +…+ 4



5 sumandos 9 sumandos 8 sumandos 6 sumandos

Σx = (5)(1) + (9)(2) + (8)(3) + (6)(4)

Σx = 5 + 18 + 24 + 24 = 71

Σx2 = 12 +…+ 12 + 22 +…+ 22 + 32 +…+ 32 + 42 +…+ 42

5 sumandos 9 sumandos 8 sumandos 6 sumandos

Σx2 = (5)(1) + (9)(4) + (8)(9) + (6)(16)

Σx2 = 5 + 36 + 72 + 96 = 209


Se utilizará la distribución de frecuencias para determinar las

sumatorias, obteniendo una tabla de extensiones:



x f xf x2f

1 5 5 5

2 9 18 36

3 8 24 72

4 6 24 96

Suma 28 71 209

Número de

datos

Suma de x, Σxf,

usando las

frecuencias.

Suma de x2, Σx2f,

usando las

frecuencias.




• Para encontrar la media

de una distribución de

frecuencias se tiene:

x barra =suma de x, usando frecuencias

número

x =ΣxfΣf En la fórmula para la media se utiliza n,

x =ΣxfΣf

= 771

282.536


Media y Desviación estandar de


• Para encontrar la varianza de

la distribución de frecuencias

se tiene:

s cuadrada =(suma de x2, usando frecuencias) – (suma de x, usando frecuencias)2

número - 1

número

073.127

964.28

128

28

71209

1

22

2

2

f

f

xffx

s




• Para encontrar la

Desviación estándar de la

distribución de

frecuencias se tiene:

036.1073.12 ss


Ejercicios

1. Encontrar la media, la varianza y la desviación

estándar de la muestra de 50 puntajes de examen,

usando la distribución de frecuencias agrupadas:

Numero de clases Marca de clase, x f

1 40 2

2 50 2

3 60 7

4 70 13

5 80 11

6 90 11

7 100 4

Media: 75.6

Varianza: 221.1

Desviación Estándar: 14.9


Ejercicios

2. Una empresa productora de láminas metálicas utiliza varios reparadores de

problemas para hacer composturas de emergencia en los hornos. Por lo común, este

personal realiza varios viajes cortos. Para efectos de estimar los gastos por viajes

del año próximo, la empresa tomó una muestra de 20 cupones de gastos de viaje

relacionados con la reparación de dichos problemas. Se obtuvo la siguiente

información:

Calcule la media y la desviación estándar de estas cantidades de gastos por viaje en

dólares.

Media: 21.00

Desviación Estándar: 9.95

Cantidad de dólares en cupones Número de cupones

$0.00 - 10.00 2

$10.00 - 20.00 8

$20.00 - 30.00 7

$30.00 - 40.00 2

$40.00 - 50.00 1

Total de la muestra 20


Estadística descriptiva

Medidas de

tendencia

central

Medidas de

dispersión

Medidas de

posición

Tipos de

distribución


Cuartiles

Son los valores de la variable que dividen en cuartos a los datos

ordenados; cada conjunto de datos posee tres cuartiles. El primer cuartil,

Q1,es el número tal que cuando mucho el 25% de los datos es menor en

valor que Q1 y cuando mucho el 75% de los datos es mayor que Q1. El

segundo cuartil es la media. El tercer cuartil, Q3 , es un número tal que

cuando mucho el 75% de los datos es menor en valor que Q3 y cuando

mucho el 25% de los datos es mayor que Q3

25% 25% 25% 25%

Mín MáxQ1 Q2 Q3

Datos clasificados en orden creciente


Percentiles

Son los valores de la variable que dividen a un conjunto de datos

ordenados en 100 subconjuntos iguales; cada conjunto de datos tiene 99

percentiles. El k-ésimo percentil, Pk, es un valor tal que cuando mucho k%

de los datos son más pequeños en valor que Pk y cuando mucho (100-k)%

de los datos es mayor.

1% 1% 1% 1%

Mín P5P1 P2 P3

1% 1% 1% 1%

MáxP97 P98 P99

Datos clasificados en orden creciente

A lo más k A lo más (100 – k)%

Mín MáxPk


Percentiles

Notas:

1. El primer cuartil y el 25avo percentil son iguales; es decir, Q1 = P25.

También, Q3 = P75.

2. La mediana, el segundo cuartil, y el 50avo percentil son iguales.

De esta forma, cuando se pida encontrar P50 o Q2, se puede aplicar el

procedimiento para encontrar la mediana.

502~ PQx


Procedimiento para determinar el valor de

cualquier k-ésimo percentil o cuartil

Ordenar los datos, del más chico al

más grande

5.)( APd k

Se obtiene un entero A

Pk está a la mitad entre

el valor del dato en la

A-ésima posición y el

valor del siguiente dato.

100

nkCalcular

Se obtiene un número

con una fracción

BPd k )(

Pk, es el valor del dato

en la B-ésima posición

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4


Ejemplo

• Con la muestra de 50 puntajes del examen final del

curso de estadística elemental que se observa en la

tabla, determinar el primer cuartil, Q1, el 58avo percentil,

P58, y el tercer cuartil, Q3.

60 47 82 95 88 72 67 66 68 98

90 77 86 58 64 95 74 72 88 74

77 39 90 63 68 97 70 64 70 70

58 78 89 44 55 85 82 83 72 77

72 86 50 94 92 80 91 75 76 78


Ejemplo

• Paso 1

– Ordenar los datos

39 64 72 78 89

44 66 72 80 90

47 67 74 82 90

50 68 74 82 91

55 68 75 83 92

58 70 76 85 94

58 70 77 86 95

60 70 77 86 95

63 72 77 88 97

64 72 78 88 98

Datos ordenados: puntajes del examen de estadística


Ejemplo

Paso 2Encontrar

n = 50 y k = 25, ya que Q1 = P25

Paso 3Encontrar la profundidad de Q1; d(Q1)=13 (Debido a que 12.5contiene una fracción, B está más próximo al siguiente enteromás grande, 13)

Paso 4Encontrar Q1: Q1 es el 13avo valor contando a partir delMínimo. Q1 = 67

5.12100

)25)(50(

100

nk


P58

Paso 2Encontrar

n = 50 y k = 58, debido a P58

Paso 3Encontrar la profundidad de P58; d(P58) = 29.5 (Como A = 29(un entero), se suma .5 y se usa 29.5)

Paso 4Encontrar P58: P58 es el valor que está a la mitad entre losvalores de las porciones de datos 29ava y 30ava, contando apartir del Mínimo.

P58 = (77 + 78)/2 = 77.5

29100

)58)(50(

100

nk


Q3


Puntaje estándar (puntaje z)

• Posición que tiene un

valor particular de x con

respecto a la media,

medida en desviaciones

estándar. El puntaje z se

calcula con la fórmula:

s

xxz


Ejemplo

• Encontrar los puntajes estándar para a) 92 y b) 72 con respecto a una

muestra de puntajes de un examen que tiene como media de 74.9 y una

desviación estándar de 14.19

20.019.14

9.7472,.19.14;9.74,72

20.119.14

9.7492,.19.14;9.74,92

s

xxzAsísxx

s

xxzAsísxx

Lo anterior significa que el puntaje 92 está a 1.2 desviaciones estándar

por arriba de la media, mientras que el puntaje 72 está a 0.2

desviaciones estándar por debajo de la media.


Notas

1. Normalmente, el valor calculado de z se redondea

al centésimo más próximo

2. El intervalo de variación aproximado del valor de

los puntajes z suele ir de -3.00 a +3.00


Ejercicios

1. Una muestra tiene una media de 50 y una

desviación estándar de 4. Encuentre el puntaje z

para cada valor de x.

• X=54

• X=50

• X=59

• X=45


Ejercicios

2. Un examen que se administró a nivel nacional tuvo

una media de 500 y una desviación estándar de

100. Si el puntaje z normal de un estudiante en

este examen fue de 1.8, ¿cuál es su calificación en

el examen?


Ejercicios

3. ¿Qué valor x tiene el mayor valor con respecto al

conjunto de datos del que proviene?

• X=85, donde la media = 72 y la desviación

estándar = 8

• X=93, donde la media = 87 y la desviación

estándar = 5


Ejercicios

4. Considere el siguiente conjunto de tiempos de

ignición que fueron registrados para una tela

sintética

Encuentre: a) La mediana, b) El rango medio, c) El

cuartil medio, c) Q2

30,1 30,1 30,2 30,5 31,0 31,1 31,2 31,3 31,4

31,5 31,6 31,6 32,0 32,4 32,5 33,0 33,0 33,5

34,0 34,5 34,5 35,0 35,0 35,6 36,5 36,9 37,0

37,5 37,5 37,6 38,0 39,5


Ejercicios

5. ¿Qué valor x tiene la menor posición relativa con

respecto al conjunto de datos del que proviene?

• X=28, donde la media = 25.7 y la desviación

estándar = 1.8

• X=39.2, donde la media = 34.1 y la desviación

estándar = 4.3


Teorema de Chebyshev

La proporción de cualquier distribución que esté a

menos de k desviaciones estándar de la media es

por lo menos

Donde k es cualquier número positivo mayor que 1.

Este teorema es válido para todas las distribuciones

de datos.

2

11

k


Teorema de Chebyshev

Este teorema establece que a menos de dos

desviaciones estándar de la media (k = 2) siempre

se encontrará por lo menos el 75% (o más) de los

datos.

s

xX-2s X+2s

Por lo menos el 75%

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