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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 2

UNIDAD: NÚMEROS Y PROPORCIONALIDADNÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES

Los elementos del conjunto IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} se denominan “Números Naturales”.

Los números cardinales corresponden a la unión del conjunto de los Números Naturales conel cero. IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…} IN0 = IN {0}

NÚMEROS ENTEROS

Los elementos del conjunto = {…, -3,-2,-1, 0, 1, 2,…} se denominan “Números Enteros”.

OPERATORIA EN

ADICIÓN

Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando elsigno común.

Al sumar dos números de distintos signos, al de mayor valor absoluto se le resta el demenor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor en valor absoluto.

OBSERVACIÓN: El valor absoluto de un número es el valor numérico cuando se omite el signo.El valor absoluto de +5 o de -5 es 5.

MULTIPLICACIÓN

Si se multiplican dos números de igual signo el resultadoes siempre positivo.

Si se multiplican dos números de distintos signo elresultado siempre es negativo.

OBSERVACION: En la división se cumple la regla de los signos de la multiplicación.

EJEMPLOS

1. Al calcular -9 + (-28) se obtiene

A) -37B) -19C) 19D) 21E) 37

+ · + = ++ · – = –– · + = –– · – = +

Curso: Matemática

Material Nº 02

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2. Al calcular 18 + -27 se obtiene

A) -11B) -9C) 9D) 11E) 45

3. El cuociente entre -145 y -5 es

A) -29B) -27C) 27D) 28E) 29

4. Al calcular (-12.435 + 9.123) : 3 se obtiene

A) -7.186B) -1.104C) -114D) 7.186E) 9.936

5. Se define a b = 2a + b – 5. Si m = 3n – 9 y n = 2 4, ¿cuál(es) de las siguientesafirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) m es un número natural.II) n es un número entero.

III) m – n es un número natural.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

6. (-2) · 2 · 2 · (-2) · 2 · (-2) =

A) 26

B) 20

C) -23

D) 2-6

E) -26

3

Definición: sea n un número entero, entonces:

El sucesor de n es (n + 1).

El antecesor de n es (n – 1).

El entero 2n es siempre par.

El entero (2n – 1) es siempre impar.

El entero (2n + 1) es siempre impar.

Son pares consecutivos 2n y 2n + 2.

Son impares consecutivos 2n + 1 y 2n + 3.

El cuadrado perfecto de n es n2.

OBSERVACIÓN: Son cuadrados perfectos los enteros de la forma n2, con n lN:1, 4 , 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, …

EJEMPLOS

1. Si al antecesor de -3 se le resta el sucesor de -6, se obtiene

A) -9B) -7C) 1D) 2E) 3

2. Si al doble de 17 se le resta el antecesor del triple de 9, resulta

A) 6B) 7C) 8D) 30E) 60

3. La suma de tres números consecutivos es -60. ¿Cuál es el sucesor del número mayor?

A) -22B) -21C) -20D) -19E) -18

4

4. Al dividir el antecesor del triple de -4 con el sucesor del doble de 6, resulta

A) -2B) -1C) 0D) 1E) ninguna de las anteriores.

5. Joaquín debe resolver la siguiente situación: “Se sabe que p + 5 = 8, q – 6 = -1 yr – 9 = -15, entonces p + q + r =”

A) -34B) -8C) -4D) 2E) 14

6. El producto del cuadrado perfecto de 7 con el cuadrado perfecto de 2 es

A) 7 · 2B) 72 · 22

C) 4 · 7D) 52

E) 22 · 7

7. Si 7x + 2 = -5, entonces el cuádruplo de x es

A) -4B) -2C) -1D) 2E) 4

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PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES

Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

Resolver los paréntesis.

Realizar las potencias.

Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.

Realizar adiciones y/o sustracciones.

EJEMPLOS

1. 4 · (-22 ) + 1=

A) -15B) -12C) 1D) 15E) 17

2. Al desarrollar 5 · (-12) : 4 + 6 · 3 se obtiene

A) -27B) -18C) -3D) 3E) 18

3. Al resolver (-2)4 + 5 – (12 – 14 : 2)2 se obtiene

A) -35B) -12C) -4D) 20E) 21

6

4. (-3)3 + 2 (5 – (-4))2 =

A) -27B) -25C) -9D) 135E) 153

5. -(22 + 3)2 – 4 (1 + 2(-2 – 3)) =

A) -85B) -43C) -13D) 11E) 29

6. 6{-(2 – 9) – 2[5 - 8 – (-9 – 2)]} =

A) -210B) -102C) -54D) 18E) 240

7. Si a = 15 – 6 · 4 : 8 + 2 , b= -10 : 5 · 2 + 1 – 1 : 1 y c = -22 + (3 – 5)3. Al ordenaren forma decreciente resulta

A) c, a, bB) c, b, aC) a, b, cD) a, c, bE) b, c, a

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MÚLTIPLOS Y DIVISORES

En la expresión a = b · c en que a, b y c son números enteros, a es múltiplo de b y de c obien b y c son divisores o factores de a.

ALGUNAS REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un número entero es divisible:

POR CUANDO2 Termina en cifra par.3 La suma de sus cifras es múltiplo de tres.4 Las dos últimas cifras sean ceros o múltiplos de 4.5 Termina en 0 o 5.6 Es divisible por dos y por tres a la vez.8 Las tres últimas cifras sean ceros o múltiplo de 8.9 La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

EJEMPLOS

1. El triple de 146 es divisible por

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

2. Si M(4) corresponde al conjunto de los múltiplos positivos de 4,M(4) = {4, 8, 12, 16, 20, …}. La cuarta parte de la suma de los primeros cuatromúltiplos de cuatro es

A) 6B) 10C) 14D) 18E) 20

3. Para qué valor de m la expresión2m m

3 es divisible por 6

I) 3II) 9

III) 12

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

8

4. ¿Cuál es el menor valor que puede tomar Z, para que el número 38Z6 sea divisible por3?

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

5. La suma de tres números múltiplos consecutivos de 3 es siempre un número divisiblepor

I) 3II) 8

III) 9

Es (son) verdadera(s)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

6. Si 4 · 3 · (x + 3) = 72, entonces x es divisor de

I) 1II) 2

III) 3

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) Ninguna de ellas

7. ¿Cuál de los siguientes pares de números debe colocarse en los cuadrados vacíos, para

que el número de 6 cifras 7 201 sea divisible por 9?

A) 2 y 0B) 3 y 9C) 3 y 3D) 4 y 5E) 5 y 3

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NÚMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

Números primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos.(El 1 y el mismo número).Los primeros números primos son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,…

Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no sonprimos, es decir, son aquellos que tienen más de dos divisores. Los primeros númeroscompuestos son: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,…

Observación: El 1 no es número primo ni compuesto.

TEOREMA FUNDAMENTAL

Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factoresde números primos.

EJEMPLOS

1. ¿Cuántos números primos son mayores que 8 y menores que 40?

A) 6B) 7C) 8D) 9E) 10

2. La diferencia entre el mayor número primo menor que 10 y el menor númerocompuesto, disminuido en 4 es

A) -7B) -3C) -1D) 1E) 3

3. Al sumar los 6 primeros números primos, se obtiene

A) 29B) 30C) 40D) 41E) 42

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4. Al descomponer 540 en factores primos resulta

A) 2 · 33

B) 22 · 3 · 5C) 22 · 32 · 5D) 22 · 32 · 52

E) 22 · 33 · 5

5. Si p = -2, q = -1 y r = 1 entonces 3r – [r – (p – q)] representa un número

A) primo.B) compuesto.C) antecesor de 0.D) sucesor de 1.E) antecesor de 2.

6. El cuádruplo de la suma de dos números primos consecutivos es igual al doble de 10. Siuno de esos números es par, ¿cuál es el otro número?

A) 2B) 3C) 5D) 12E) Falta información.

7. Al descomponer en un producto de factores primos el número 4.356 se puede afirmarque

I) tiene solo tres factores primos.II) es un cuadrado perfecto.

III) su raíz cuadrada es el antecesor par de 17 · 22.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

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VALOR ABSOLUTO

Es la distancia que existe entre un número y el 0.

DEFINICIÓN:

EJEMPLOS

1. Si z = -6 entonces 2z + z – -z

A) -24B) -12C) 0D) 12E) 24

2. -3 · 5 – 4 – -5 =

A) -8B) -2C) 1D) 2E) 8

3. -4 – 9 – -12 + -9 =

A) 16B) 8C) 2D) -2E) -8

|n| =

n, si n 0 -n, si n < 0

-3 = 3 3 = 3

-3 -2 -1 0 1 2 3

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4. Dado los números enteros p = -12, q = -2, r = --8 y s = -(--6), el ordendecreciente de ellos es

A) p, r, s, qB) q, r, s, pC) p, s, q, rD) p, s, r, qE) s, p, q, r

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s) con respecto a laexpresión a > b?

I) a > bII) b > a

III) la distancia de a al cero es mayor que la distancia de b al cero.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIIE) Solo II y III

6. El valor de -9 – 3 – -9 – -6 es

A) -9B) -3C) 0D) 3E) 9

7. Si a = -2 y b = 3, entonces el valor de la expresión a – b – –b · b – a + -a es

A) -22B) -18C) -8D) 18E) 22

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MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

Es el menor entero positivo que es múltiplo común de dos o más enteros.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Es el mayor entero positivo que es divisor común de dos o más enteros.

CÁLCULO DEL m.c.m. y M.C.D. MEDIANTE DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

Se debe descomponer los números dados en factores primos.

El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos, en el caso deexistir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.

El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerandoaquel que posea el exponente menor.

EJEMPLOS

1. El m.c.m. entre 5 y 7 es

A) 1B) 5C) 7D) 35E) 70

2. El M.C.D. de 3 y 5 es

A) 1B) 3C) 5D) 10E) 15

3. Si A = 23 · 34 y B = 22 · 33 · 5, entonces el m.c.m y el M.C.D. de A y B sonrespectivamente

A) 23 · 33 y 22 · 33 · 5B) 22 · 33 · 5 y 22 · 33

C) 23 · 34 · 5 y 22 · 33

D) 22 · 33 y 23 · 34 · 5E) 23 · 34 · 5 y 22 · 33 · 5

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EJERCICIOS

1. 3 – 2(2 · 3 – 2 · 4) =

A) -29B) -15C) -2D) 2E) 7

2. Con respecto a |-18| se puede afirmar que

A) |-18| < 18B) |-18| > 18C) |-18| = 18D) |-18| = (-18)E) |-18| < -18

3. [-3 + (-5) · 6] : (-3) =

A) -16B) -11C) 9D) 11E) 16

4. -2 · {3 -4 – 1 – -2 } =

A) -34B) -26C) -19D) 26E) 34

5. -1 + {2 [23 – (3 + 4)] – 8} =

A) 15B) 23C) 30D) 32E) 39

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6. En la siguiente secuencia numérica 1, -3, 5, -7, 9, -11, el duodécimo término es

A) -23B) -21C) -19D) 19E) 21

6. Si al cubo de -2 se le suma el cuádruplo de -3 y al resultado se le agrega el cuádruplode 4, se obtiene

A) -4B) -2C) 22D) 24E) 36

7. Si r y s son dos números impares consecutivos tales que r < s ,entonces r – s es

A) -2B) -1C) 0D) 1E) 2

8. Si (m – 7) es el antecesor de 12, entonces el antecesor de m es

A) 17B) 18C) 19D) 20E) 21

9. Si p y q son números enteros y el sucesor de p es q y el antecesor de p es -9,entonces p + q =

A) -14B) -15C) -16D) -18E) -20

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10. Si 2n representa un número par y m un número impar, ¿cuál de las siguientesopciones corresponde a un número par?

A) 2n + mB) 2n – mC) m – 2n + 2D) 10n + 3mE) m – 1 + 2n

11. Si a y b son dos números enteros cuyas ubicaciones en la recta numérica estánrepresentados en la figura 1, entonces siempre se cumple que

A) a · b > 0B) -a : b < 0C) a + b > 0D) a – b > 0E) a : -b > 0

12. Al descomponer el número 360 en sus factores primos se obtiene a3b2c. Entonces,a + b – c es igual a

A) -4B) 0C) 4D) 6E) 10

13. Si a es un número compuesto impar menor que 10, entonces a – 1 es

I) primo.II) compuesto.

III) impar.


A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo I y IIE) Solo II y III

14. La descomposición del número 2.160 en sus factores primos es

A) 22 · 32 · 5B) 23 · 32 · 52

C) 22 · 33 · 5D) 24 · 32 · 5E) 24 · 33 · 5

a 0 bfig. 1

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15. Si x es un número primo menor que tres, entonces x es

A) 0B) 1C) 2D) 3E) ninguno de ellos.

16. Si a > 0 y a > b, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es siempre verdadera?

A) b > 0B) a < bC) -a < -bD) b < 0E) -a > -b

17. Las luces de una vitrina encienden en lapsos distintos de tiempo, las luces amarillas seencienden cada 24 segundos y las rojas cada 32 segundos. Si ambos colores seencuentran encendidos a las 10 horas y 15 minutos, ¿a qué hora se encuentrannuevamente ambos encendidos?

A) 10 hr, 15 min y 32 segB) 10 hr, 16 min y 06 segC) 10 hr, 16 min y 24 segD) 10 hr, 16 min y 36 segE) 10 hr, 17 min y 36 seg

18. Para que el número de cuatro cifras 6_22 sea divisible por 6, ¿cuál es el número quese debe colocar en el espacio en blanco?

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

19. Si p es el menor número primo no par, q es el sucesor primo de p y r es el antecesorde q , entonces el resultado de 2r + 3p – q es

A) 12B) 13C) 17D) 20

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E) 2520. La suma de tres impares consecutivos es siempre divisible por

I) 2II) 3

III) 6


A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

21. Si n es un número natural impar, entonces el sucesor impar del sucesor de n + 1 estárepresentado por

A) 2n + 4B) 2n + 2C) n + 2D) n + 3E) n + 4

22. Si p es un número entero impar y q es un número entero par consecutivo a p,entonces ¿cuál (es) de las siguientes aseveraciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) p – 1 es impar.II) (p – q)2 es igual a 1.

III) -q2 es un número entero positivo.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

23. La figura 2 muestra una secuencia de diagramas en la cual el número de celdas negras(n) y blancas (b) están relacionadas por una fórmula. ¿Cuál es la fórmula querelaciona n con b?

A) b = 2nB) b = 2n – 1C) b = n + 2D) b = n – 2E) b = 2n + 1

fig. 2

19

24. El diagrama que se muestra en la figura 3 está formado por segmentos que vancreando triángulos. ¿Cuántos segmentos se necesitan para formar el diagrama número85?

A) 240B) 329C) 339D) 340E) 440

25. Se puede ordenar en forma creciente a, b y c si se sabe que :

(1) a + 1 = b

(2) el antecesor de c es b.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

26. Sea r un número primo comprendido entre 30 y 50. Se puede determinar el valorexacto de r si:

(1) La suma de sus dígitos es menor a 10.(2) La suma de sus dígitos es un número primo.


27. Sean x e y números naturales distintos. Si (x + y) es un número par, entonces sepuede determinar el valor de x e y si :

(1) x < y e y 4

(2) y – x = 2


fig. 3

1 2 3

20

28. Sea n un numero entero, se puede determinar que n – 1 es par si :

(1) 2n es un número par.

(2) n + 2 es impar


29. Se puede determinar el valor numérico de (s – t) · (s – t) si :

(1) (s + t) · (s – t) = 21

(2) s = 7 – t


RESPUESTAS

DMDOMA02

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EjemploPágs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 A B E B B E3 y 4 C C E B D B A5 y 6 A D C D C C C7 y 8 C B E B D C E9 y 10 C C D E E B E11 y 12 B A E C C D C

13 D A C

1. E 11. E 21. B2. C 12. E 22. E3. D 13. B 23. B4. B 14. B 24. C5. B 15. E 25. C6. A 16. C 26. C7. A 17. C 27. E8. A 18. D 28. E9. A 19. C 29. B10. B 20. A 30. C

EJERCICIOS PÁG. 14

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