1166 Captulo 40 Introduccin a la fsica cuntica

proporcional a la intensidad. El haz incidente estaba constituido por rayos X monocro-mticos de longitud de onda l0 0.071 nm. Las grficas experimentales de intensidad en funcin de la longitud de onda observadas por Compton para cuatro ngulos de dispersin (correspondientes a u en la figura 40.13) aparecen en la figura 40.15. Las grficas para los tres ngulos distintos de cero muestran dos picos, uno en l0 y el otro en l l0. El pico desplazado en l est causado por la dispersin de los rayos X de los electrones libres, y Compton anticip que dependera del ngulo de dispersin como sigue:

l l0h

mec 11 cos u 2 (40.11)

donde me es la masa del electrn. Esta expresin se conoce como ecuacin de despla-zamiento Compton, y al factor h/mec se le conoce como longitud de onda Compton del electrn, el cual tiene un valor actualmente aceptado de

lCh

mec0.002 43 nm

El pico sin corrimiento en l0 de la figura 40.15 se genera por rayos X que son dispersados por causa de los electrones fuertemente unidos a los tomos blanco. Este pico sin corri-miento tambin est previsto por la ecuacin 40.11 si la masa del electrn es reemplazada por la masa de un tomo de carbono, que es aproximadamente 23 000 veces la masa del electrn. Debido a eso, existe un corrimiento de la longitud de onda debido a la dispersin a causa de un electrn unido a un tomo, pero es de una magnitud tan reducida que en el experimento de Compton no fue detectada.

Las mediciones de Compton coincidieron extraordinariamente bien con las prediccio-nes de la ecuacin 40.11. Es justo decir que estos resultados fueron los primeros que real-mente convencieron a muchos fsicos de la validez fundamental de la teora cuntica!

Pregunta rpida 40.5 Observe que para cualquier ngulo u de dispersin determinado, la ecuacin 40.11 da el mismo valor para el corrimiento de Compton en cualquier longitud de onda. Teniendo presente lo anterior, para cul de los siguientes tipos de radiacin es mximo el corrimiento fraccionario en la longitud de onda en un ngulo determinado de dispersin? a) Las ondas de radio, b) las microondas, c) la luz visible o d) los rayos X.

Deduccin de la ecuacin de desplazamiento ComptonEs posible deducir la ecuacin de corrimiento de Compton si supone que el fotn se comporta como una partcula y entra en colisin elstica con un electrn inicialmen-te en reposo, como se puede observar en la figura 40.13. El fotn es tratado como una partcula con una energa E h hc/l y una energa en reposo igual a cero. Se aplica un modelo de sistema aislado al fotn y al electrn. En el proceso de dispersin, la totalidad de la energa y la cantidad de movimiento lineal del sistema deben conservarse. Si aplica el principio de conservacin de la energa a este proceso obtiene

hcl0

hcl

K e

siendo hc/l0 la energa del fotn incidente, hc/l la energa del fotn disperso y Ke la energa cintica del electrn con retroceso. Porque el electrn retrocede con una rapidez comparable a la rapidez de la luz, es necesario que use la expresin relativista Ke (g 1)mec

2 (ecuacin 39.23). Por tanto,

hcl0

hcl

1g 1 2mec2 (40.12)donde g 1>11 1u2>c22 y u es la rapidez del electrn.

A continuacin, a esta colisin se le aplica la ley de la conservacin de la cantidad de movimiento, observando que sus componentes en x y en y de la cantidad de movimiento se conservan cada una de forma independiente. La ecuacin 39.28 muestra que la cantidad de movimiento del fotn tiene una magnitud p E/c, y se sabe por la ecuacin 40.5 que E h. Por lo tanto, p h/c. Si en esta expresin reemplaza l por c (ecuacin 16.12)

Haz primario

0

0

45

0

90

0

135

0

Inte

nsi

dad

Inte

nsi

dad

Inte

nsi

dad

Inte

nsi

tdad

u

u

u

u

ll

lll

l l

ll

l

l

Figura 40.15 Intensidad de rayos X desviados en funcin de la longitud de onda para la dispersin Compton en u 0, 45, 90 y 135.

Ecuacin de desplazamiento

Compton

Longitud de onda Compton

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obtiene p h/l. Porque la expresin relativista para la cantidad de movimiento del elec-trn en retroceso es igual a pe gmev (ecuacin 39.19), obtiene las siguientes expresiones para las componentes en x y en y de la cantidad de movimiento lineal, donde los ngulos son los descritos en la figura 40.13:

componente en y: 0hl

sen u gmeu sen f

componente en x : hl0

hl

cos u gmeu cos f (40.13)

(40.14)

Al eliminar v y f de las ecuaciones 40.12 a 40.14, obtiene una sola expresin que relaciona las tres variables restantes (l, l0 y u). Despus de un poco de lgebra (vase el problema 59) obtiene la ecuacin (40.11).

EJEMPLO 40.4 Dispersin Compton a 45

De un bloque de material se dispersan rayos X con longitud de onda l0 0.200 000 nm. Los rayos X dispersados se observan en un ngulo de 45.0 con el haz incidente. Calcule su longitud de onda.

SOLUCIN

Conceptualizar Imagine el proceso de la figura 40.13, con el fotn dispersado a 45 de su direccin original.

Categorizar El resultado se evala con una ecuacin desarrollada en esta seccin, as que este ejemplo se clasifica como un problema de sustitucin.

Resuelva la ecuacin 40.11 para la longitud de onda de los rayos X dispersados:

Sustituya valores numricos:

Qu pasara si? Y si el detector se mueve de modo que los rayos X dispersados se detectan a un ngulo mayor de 45? La longitud de onda de los rayos X dispersados aumenta o disminuye conforme aumenta el ngulo u ?

Respuesta En la ecuacin 1), si el ngulo u aumenta, cos u disminuye. En consecuencia, el factor (1 cos u) aumenta. Por lo tanto, la longitud de onda dispersada aumenta.

Tambin se poda aplicar un argumento energtico para lograr este mismo resultado. Conforme el ngulo de dispersin aumenta, ms energa se transfiere del fotn incidente al electrn. Como resultado, la energa del fotn dispersado dismi-nuye con ngulo de dispersin creciente. Porque E hf, la frecuencia del fotn dispersado disminuye, y porque l c/f, la longitud de onda aumenta.

1 2 l l0 h 11 cos u 2mec

0.200 000 10 9 m 7.10 10 13 m 0.200 710 nm

l 0.200 000 10 9 m16.626 10 34 J # s 2 11 cos 45.0 219.11 10 31 kg 2 13.00 108 m>s 2

40.4 Fotones y ondas electromagnticasFenmenos como el efecto fotoelctrico y el efecto Compton representan una evidencia a prueba de fuego de que cuando la luz (y otras formas de radiacin electromagntica) interacta con la materia, se comporta como si estuviera compuesta de partculas con una energa h y con una cantidad de movimiento h/l. Cmo es posible considerar la luz como un fotn (en otras palabras como una partcula) cuando sabe que se trata de una onda? Por otra parte, la luz se describe en trminos de fotones con cierta energa y cantidad de movimiento. Tambin, por otra parte, la luz y otras ondas electromagnticas exhiben efectos de interferencia y de difraccin, que son entendibles slo mediante una interpretacin ondulatoria.

Seccin 40.4 Fotones y ondas electromagnticas 1167

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