Demostración ∆%M+∆%V=∆%P+∆%Q

Forma 1

Se parte de la ecuación cuantitativa del dinero.

M*V=P*Q

Luego, se toma diferencias en ambos lados.

∆M∗V +M∗∆V=∆ P∗Q+P∗∆Q

Se multiplica y divide convenientemente. La idea es poder construir las variaciones porcentuales.

∆MM

∗M∗V +M∗∆VV

∗V=∆ PP

∗P∗Q+P∗∆QQ

∗Q

∆MM

∗V∗M+∆VV

∗V∗M=∆ PP

∗P∗Q+∆QQ

∗P∗Q

V∗M∗( ∆MM +∆VV )=P∗Q∗(∆ PP +∆Q

Q )La ecuación cuantitativa planteada inicialmente nos permite simplificar los términos fuera de los paréntesis.

(∆MM + ∆VV )=(∆ PP +∆Q

Q )Luego, por definición, se tiene

∆%M+∆%V=∆%P+∆%Q

Recuerde que ∆ XX

=∆%X.

Forma2

Se parte de la ecuación cuantitativa

M*V=P*Q

Se toma logaritmos en ambos lados

Ln(M)+Ln(V)=Ln(P)+Ln(Q)

Luego de toma diferencial en ambos lados. Se debe recordar que el diferencial de una

variable en logaritmos es igual a su variación porcentual. Es decir, d (ln (X ) )=∆%X . De

esta manera, se tiene directamente

∆%M+∆%V=∆%P+∆%Q