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7/18/2019 derivadas e integrales corregIDO..pdf

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ÁLGEBRA LINEAL DERIVADAS E INTEGRALES

MCG 2

PRESENTACIÓN

Un “y” es una función de “x”, si a cada valor de “x” le corresponde un

único valor de “y”. De modo que este al ser dibujados en el plano

cartesianos obtengamos resultados distintos, dependiendo de cómo estos

estén representados.

Lo que se busca con “derivadas e integrales” es que el lector obtenga un

análisis minucioso de cómo estas funciones llevan a formular análisis

amplios en cada cálculo realizado.

Los limites notables (LN) mostrados como teoremas, son analizados,

deducidos a partir de funciones que presentan restricciones detallados

como asíntotas; y que estos son trabajados en los valores de números

reales. Además que la definición de una derivada son deducidas a partir

de los incrementos que tienden cada función en el plano mencionado.

La recomendación que se da al lector es de tomar con mucha importancia;

son: antes de observar los problemas resueltos; primeros intente

resolverlo, ya que con ello facilitara el entendimiento de los problemas

hallados.

Esperemos que este material contribuya con la percepción de cada lector

en la concepción del mundo.




MCG 3

NOTACION EMPLEADA

ℕ Conjunto de los números ℤ Conjunto de los números enteros ℤ+ Conjunto de los números enteros positivos ℤ− Conjunto de los números enteros negativos ℝ Conjunto de los números reales ˅ Ó (disyunción)

˄ Y (conjunción)

⇒ Entonces (condicional) ⇔ Si y solo si (bicondicional) ∃ Existe ∄ No existe ∀ Para todo

> Mayor que

< Menor que ≥ Mayor o igual que ≤ Menor o igual que ∞ Mas infinito ∞ Menos infinito ≠ Diferente de

∈ Pertenece a

∴ Por lo tanto ≈ Aproximadamente igual a




MCG 4

Derivada por definición

1) √

Solución:

Por propiedad tenemos.

+++ − +++− + − + ⇒ +++ − + +++− +

⇒ +++ − + +++− +

Damos la forma de los productos notables a ambos factores.

⇒ +++ − + +++ + +++ + + +

+++ + +++ + + +

Entonces.

–

–




MCG 5

⇒ ++ + +

+ + +

+ + +

+ + +

⇒ + + + + + + + ++ +

+ +

∴ + +

2)

Solución:

Según propiedad tenemos.

+−

⇒

⇒




MCG 6

⇒

++

⇒

∴

3)

Solución:


+− +−++ ++

⇒ √

⇒ √ − + +

−

++

⇒ −

++

; − ++

∴




MCG 7

4)

Solución:

Según propiedad.

⇒

⇒

⇒ [

]

⇒

⇒




MCG 8

∴

5)

Solución:


+− ⇒

−+

+

⇒ + +

+

+

+

+

∴




MCG 9

6)

Solución:

Sabemos que:

−

⇒ −

⇒ Según propiedad tenemos.

− ⇒ −−+ −−− − − −

−

−

−

−

− ⇒ +

∴

7)

Solución:

Sabemos que: + ⇒ + +

⇒ Según propiedad tenemos.

−




MCG 10

⇒ + −

En los factores de la ecuación; evitaremos obtener un numerador “cero” al momento de

reemplazar “h”; buscaremos una lógica de límite notable. Por lo tanto trabajaremos en elfactor resta.

⇒ [ + ]

+ + +−+++ + + +−−++ + + −+−++

+ + −+−++ + + −−+−++ + + − +

++ ; −

⇒ + + − − ++

⇒ + + −−++ ⇒ + + −−++

+

−−++




MCG 11

+

∴

FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN

1

2

3

± ±

4 −

5 ||

6

7 ||

8

9

10

11

12

13

14 +

15 +

16

−

17 −

18 −

19 −




MCG 12

Derivadas Método de la cadena

8)

{ }

Solución:

Observamos que “f” es la composición de 5 funciones

Esto es:

{ }

Considerando el orden de derivación desde los interiores de las funciones hasta el másexterior.

⇒ ⇒ ⇒ √ ⇒ √ √ ⇒ √

⇒ −

− ⇒

− −

⇒ ⇒

⇒ ⇒

Reemplazamos en la siguiente notación:

− − √

∴ { }




MCG 13

(

− + − +

)

+ +

9) √

Solución:

Observamos que “f” es la composición de 6 funciones

Esto es:

√ √ √ √ Considerando el orden de derivación desde los interiores de las funciones hasta el más

exterior.

⇒ ⇒ ⇒ √ ⇒ √ ⇒ √ +√ √ ⇒ √ ⇒ √

√ ⇒ √ ⇒ √

√

⇒ √

⇒ √

√ ⇒ √ ⇒ √


√ √ √ √ +√




MCG 14

⇒

(

+ + + +√

)

(

+ + +√

)

+ +√ +√ √+√

∴ ( ++ ++ ++ ++√+

++ ++ ++ ++√+)

( + + + + + +√+ +

+ + + + + +√+ ) ++ ++√++

++ ++√+

++√++ ++√+ √++√+

10) √ √ √

Solución:

Considerando el orden de derivación desde los interiores de las funciones hasta el más

exterior.

⇒ √ ⇒ √ ⇒ √ √ √ ⇒ √ ⇒ √ +

√ ⇒ √ −√ √ ⇒ −√ √ √

√ ⇒ √ −√ √ ⇒ √ −√ √

⇒

⇒ +


−√ √ √ √ −√ √ √ √ +




MCG 15

∴ √ √ √ √ √ √

(

( √ √ √ )) .

√ √ +

11)

Solución:

⇒ ⇒ ⇒

⇒

⇒

⇒ ⇒

⇒ ⇒

√ √ ⇒ √ √ √√−√√ √ √ ⇒ √√

√ √

−√ √√ ⇒ √√ √

− √ √√ ⇒ √

√ √√ −

⇒

+

−

⇒

+

−




MCG 16

⇒ ⇒

⇒ ⇒


( √ √ √ √

√ √ √ √ )

∴

√ √ √ √ √

(

)

(

(

)) .

(

( )) (

)




MCG 17

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

1 ∫

2 ∫

3 ∫ + ≠

4 ∫ ± ∫ ± ∫

5 ∫ ∫

6 ∫

7 ∫ ||

8 ∫

9 ∫

10 ∫

11

∫

12 ∫

13 ∫ ||

14 ∫ | |

15 ∫ | |

16

∫

+

17 ∫ − −+

18 ∫ −




MCG 18

12) ∫

Solución:

∫

∫ ∫ +

⇒

√

∴ √

Por descomposición

13) ∫ ++ >

Solución:

Factorizamos la ecuación.

⇒ ∫ ++ Damos la forma de los factores del denominador en el numerador.

⇒ ∫ +−+ ++ ⇒ ∫ +++ ∫ +++ ∫ + ∫ +

∴ ++




MCG 19

14)

∫ −+ >

Solución:

Observamos que es un polinomio fraccionado entonces hacemos.

−+ ⌊

⇒ −+ + −+

−

⇒ ∫

∫ ∫ ∫ +−+ ∫ −+−+

∫ −−+ ∫ −+

∫ −+

∫ −+

Completando cuadrados tenemos.

∫ −+√

∴ √ −√

15) ∫ − ≠ Solución:

∫

− ⇒ ⇒

Reemplazando tenemos.




MCG 20

∫ +

∫

+

∫ ∫ ∫ ∫

∫ − ∫ −

⇒ −+ −+ −

∴

−

− Por partes

16) ∫

Solución:

⇒ ⇒ Reemplazando tenemos.

∫

⇒ ∫ ∫

⇒ ∫

⇒ ∴

17) ∫

Solución:

Analizamos la exponente de épsilon y comparamos con el polinomio quinto grado, para

luego derivarlo; Entonces hacemos.

∫




MCG 21

⇒ ⇒

Reemplazando tenemos.

∫

⇒ ∫

⇒ ∫

∴

18) ∫ >

Solución:

⇒ ∫ ∫

⇒ ∫ ⇒ ∫

⇒

∴

19) ∫ √

Solución:

⇒

∫

⇒ ∫

⇒

⇒ ∫




MCG 22

∫ ∫

⇒

⇒ ∫

⇒ −

⇒ ∫

⇒

⇒ ∫

⇒ −

⇒ ∫

⇒

⇒ − − ∫

⇒ − −

∴ √ √ √ √ √ √ √√ √




MCG 23

20) ∫

Solución:

⇒ ⇒ ∫ ∫

⇒

⇒ ∫

∫

∫ ∫

∫

∴ ∫

21) ∫

Solución:

∫

⇒

⇒ ∫ ∫

⇒∫

∫

∫ ∫∫

∫

∴ ∫

22) ∫

Solución:




MCG 24

∫ ∫

− +

⇒ ⇒

⇒ ∫

∫ ∫

∫ ∫

+

−

⇒

⇒

Reemplazando en las integrales obtenemos

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

⇒

∴

Por sustitución

23) ∫ √

Solución: ⇒

Reemplazando obtenemos.

∫ ⇒ ∫

∫

∫




MCG 25

∫∫

+c

⇒

Sabemos que: ⇒

Remplazamos con medidas del triángulo rectángulo

⇒ √ √

∴ √ √

24) ∫ + Solución:

∫ + +

∫ +

+

√ ⇒ √

Remplazamos

∫ +√ +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

⇒ Se sabe:

∴ ++ ++




MCG 26

25) ∫ + +

Solución:

√ ⇒ √

Reemplazamos

∫ √ +√ √ + ∫ √ +

√ ∫ √ ∫

√ ∫ √ ∫ √ ∫ √ ∫

⇒ ⇒

Reemplazamos

√ | | √ ∫

√ | | √ Se sabe:

∴ √ √ √

26) ∫ −√

Solución:

∫

−√

√ ⇒ √

Reemplazamos

∫ √ −√ √ √

∫ √

√ √




MCG 27

∫ ∫

∫ ∫ −

∫ ∫

| | Sabemos:

∴ √ −√ √ −√

27) ∫

Solución:

∫

Completando cuadrados obtenemos.

∫ √

∫ √

−√ ⇒ √

Reemplazando obtenemos.

∫ √ √ √

∫ √ √

⇒ ∫ ⇒

∫

∫ ∫




MCG 28

−√ ⇒ −√

⇒ √

Reemplazamos

√ √ √√

∴ √

− √ −−

28) ∫ √ +

Solución:

⇒ ⇒ ⇒ −

Reemplazamos

∫

−

−

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∴ √ + √ +

√ +

29) ∫ Solución:

Sabemos:

⇒ ∫ +

∫ ∫




MCG 29

∫ ∫

⇒ ∫ + ∫−

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ − ∫

∴ | |

30) ∫ + Solución:

+ ⇒ + ⇒ +

⇒ ∫

∫

⇒

∴

Otra manera de resolver

Solución:

⇒⇒ +

Reemplazando en la integral tenemos




MCG 30

∫ +

⇒ ∫

+

∫

⇒ ∫

⇒

∴

31) ∫ √ + −

Solución:

∫ √ +√ √−

⇒ Reemplazamos

∫ + − ∫ + −√

√ ⇒ √ Reemplazando obtenemos.

∫ √ √ + √ −√ √ √ ∫ √ + ∫ √ +

⇒

⇒ +





MCG 31

∫ √ +

∫

√ + ∫ √√ ∫ √ √ ∫ √ √ ⇒ −√ ∫

− √ √

⇒ −√ √ √ √ √ √ √

√ √ √ √

√ − √ √ √ + √ √ ∴ √√ √ − √ √√√ √ + √ √

32)

∫

+

Solución:

⇒⇒ +





MCG 32

∫ +

⇒ ∫

+

∫ +− ⇒ ∫ −−

Completamos cuadrados

∫ √

⇒ √ −−√−+√

∴ √ √ √

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