XVI Encuentro Departamental de Matemáticas: “La innovación en el proceso docente educativo en

Matemáticas a partir de diferentes medios de aprendizaje” y I Encuentro Departamental de GeoGebra

Conjugan los dos anteriores

Excelente visualización

Manipulación de software

Exactitud en la ubicación de los puntos notables

Puede partir de conocer la longitud de los lados

Netamente intuitivos.

Inexactitud de los instrumentos

Imprecisión del dibujante

Datos exactos

Ubicación en el plano cartesiano de los

vértices del triángulo

Uso de la geometría analítica (puntos

medios, pendientes, ecuaciones de rectas y

puntos de intersección)

Requiere gran desempeño matemático y

cálculos diversos.

Difícilmente se parte de conocer las

longitudes del triángulo

MÉTODO SINTÉTICO

Netamente intuitivos.

Inexactitud de los instrumentos

Imprecisión del dibujante

MÉTODO ANALÍTICO

Datos exactos

Ubicación en el plano cartesiano de los vértices del triángulo

Uso de la geometría analítica (puntos medios, pendientes,

ecuaciones de rectas y puntos de intersección)

Requiere gran desempeño matemático y cálculos diversos.

Difícilmente se parte de conocer las longitudes del triángulo

Conjugan los dos anteriores

Excelente visualización

Manipulación de software

Exactitud en la ubicación de los puntos notables

Puede partir de conocer la longitud de los lados

MÉTODO DINÁMICO

LÍNEAS NOTABLES RESPECTO DE UN TRIÁNGULO

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: es la recta, o parte de recta, que divide a un ángulo en otros dos ángulos congruentes entre sí.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: es la recta, o parte de recta, que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a éste, es decir, que divide a un segmento de recta en otros dos, congruentes entre sí.

MEDIANA DE UN TRIÁNGULO: es el segmento de recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

ALTURA DE UN TRIÁNGULO: es el segmento de recta que va desde un vértice hasta el lado opuesto o su prolongación y es perpendicular a éste.

TEOREMAS SOBRE CONCURRENCIA DE LÍNEAS NOTABLES Las mediatrices de los tres lados de un triángulo concurren en un punto que

equidista de los tres vértices, al cual se les denomina CIRCUNCENTRO Las alturas de un triángulo concurren en un punto, al cual se les denomina

ORTOCENTRO . Las bisectrices de los tres ángulos interiores de un triángulo concurren en un punto

que equidista de los lados, al cual se les denomina INCENTRO Las medianas de un triángulo concurren en un punto, al cual se les denomina

GRAVICENTRO o BARICENTRO, cuya distancia a cada vértice es dos tercios de la medida de la respectiva mediana

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tangente a los lados del triángulo), por lo tanto, el segmento perpendicular, que une el incentro con uno de los lados del triángulo, es el radio de la circunferencia inscrita.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (que pasa por los vértices del triángulo), por lo tanto, el segmento que une el circuncentro con uno de los vértices del triángulo es el radio de la circunferencia circunscrita.

En todo triángulo el ortocentro, el gravicentro y el circuncentro son puntos colineales (están sobre una misma línea recta- la recta de EULER-).

TEOREMA DE COLINEALIDAD DEL ORTOCENTRO, EL GRAVICENTRO Y EL CIRCUNCENTRO

En un triángulo no equilátero, el gravicentro está distante del circuncentro un tercio de la longitud entre el circuncentro y el ortocentro.

TEOREMA DE LAS RAZONES EN EL SEGMENTO DE EULER

DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES RESPECTO DE UN TRIÁNGULO, CON BASE TRIGONOMÉTRICA

Se parte de la ubicación de los puntos notables respecto de un triángulo, con base trigonométrica, llevando a cabo todo un proceso demostrativo basado en teoremas del triángulo y fórmulas analíticas.

)0,0(B )0,(aC ),cos( csencA

cos222 accab

Al establecer un sistema coordenado con origen en el vértice B, cuyas distancias se consideran positivas hacia la derecha y hacia arriba de B, y negativas hacia abajo y hacia la izquierda de B, se tiene que las coordenadas de los vértices del son:

cba

acseny

cba

acx

)cos1(

cos2,

cos2

)cos1(),(

2222 accaca

acsen

accaca

acIyxI

cba

ahr

COORDENADAS DEL INCENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA

3

APLP

3

cseny

3

coscax

3,

3

cos),(

csencaGyxG

COORDENADAS DEL GRAVICENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA

2

ax

sen

acy

2

cos

sen

acaCyxC

2

cos,

2),(

COORDENADAS DEL CIRCUNCENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA

tan

cos,cos),(

cacOyxO

COORDENADAS DEL ORTOCENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA

tan

coscay

coscx

COORDENADAS DE LOS PUNTOS NOTABLES EN TÉRMINOS DE LA LONGITUD DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO. Se parte de las fórmulas con base trigonométricas obtenidas previamente y considerando que cos2222 acacb

ac

bac

2cos

222

2222

2

2cos

ac

bac

2222

2

21

ac

bacsen

2222

21

ac

bacsen

)(2

)(4,

2

222222

,,cba

baccabcaI cba

a

bacca

a

bcaG cba

6

)(4,

6

3222222222

,,

222222

222

,,

)(42

)(,

2 bacca

abcaaC cba

Así:

de donde:

222222

222222222

,,

)(42

))((,

2 baccaa

bcacba

a

bcaO cba

DISTANCIAS ENTRE PUNTOS NOTABLES CON BASE TRIGONOMÉTRICA Para determinar la distancia entre puntos notables, se parte de considerar las coordenadas de dichos puntos y aplicar la fórmula de la distancia, en un sistema coordenado,

322222 cos8cos)(8cos10)(

2

1),( accaacca

senOCd

322222 cos8cos)(8cos10)(

3

1),( accaacca

senOGd

Se puede entonces determinar que

),(3

2),( OCdOGd

Al determinar la distancia entre el circuncentro y cada uno de los vértices del triángulo , y , es decir, el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, se tiene que:

Lo cual lleva a Como la coordenada del incentro corresponde a la distancia desde este hasta lado a , se tiene que ésta distancia corresponde al radio de la circunferencia inscrita, esto es:

sen

acaC

2

cos,

2

),cos( csencA )0,0(B )0,(aC

22

2

cos

2cos),(

sen

accsen

acACd

sen

bACd

2),(

cos222 accaca

acsenri

Haciendo los correspondientes reemplazos en las fórmulas obtenidas para los puntos notables, con base trigonométrica, se tiene que:

La distancia entre el gravicentro y el circuncentro

El radio de la circunferencia circunscrita

El radio de la circunferencia inscrita

222222 )(4 bacca

abcrc

EJEMPLIFICACIÓN CON EL PROGRAMA DINÁMICO DESCARTES.

EJEMPLIFICACIÓN CON EL PROGRAMA DINÁMICO GEOGEBRA.

BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA: ORTIZ ALZATE, HERNÁN DARIO (2010): “Determinación de los puntos notables de un triángulo en términos de sus lados” en CEID ADIDA. LECCIONES DE MATEMÁTICAS NÚMERO CUATRO. PP. 17 – 26. http://herdaror.blogspot.com/ http://es.scribd.com/doc/39824995/Determinacion-de-los-Puntos-Notables-de-un-Triangulo-en-Terminos-de-sus-Lados http://elimeceid.ning.com/profiles/blog/list