diagonalización

Tema

3

Diagonalizacion dematrices

3.1 Matrices semejantes. El problema de la diago-

nalizacion

Definicion 3.1 Diremos que dos matrices A y B de orden n son semejantescuando existe una matriz P de orden n invertible, es decir, |P | 6= 0, tal que

B = P−1 A P.

Ejemplo 3.1 Sean A =

(

1 20 1

)

y B =

(

0 1−1 2

)

. Se verifica que A y B

son matrices semejantes ya que existe P =

(

1 1−1 1

)

tal que

P−1 A P =

1

2−1

2

1

2

1

2

(

1 20 1

)(

1 1−1 1

)

=

(

0 1−1 2

)

= B.

Proposicion 3.1 Si A, B ∈ Mn(R) son matrices semejantes (B = P−1 A P ),entonces se verifica:

1. |A| = |B|,

2. Bk = P−1 Ak P para todo k ∈ N, es decir, Ak y Bk son, tambien, matricessemejantes.

29

30 Diagonalizacion de matrices

3.2 Autovalores y autovectores de una matriz

cuadrada

Definicion 3.2 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos que un numero

λ es un autovalor o valor propio de A si existe X =

x1

x2

...xn

∈ Mn×1,

X 6=

00...0

, tal que A X = λ X.

Definicion 3.3 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Diremos que X =

x1

x2

...xn

∈ Mn×1, X 6=

00...0

, es autovector o vector propio de A asociado

al autovalor λ si se verifica que A X = λ X.

Ejemplo 3.2 Sea la matriz A

A =

(

1 10 2

)

se verifica que(

1 10 2

)(

11

)

= 2

(

11

)

,

por tanto podemos asegurar que 2 es un autovalor de la matriz A y que

(

11

)

es un autovector asociado al autovalor 2.

3.3 Calculo de autovalores y autovectores

3.3.1 Calculo de autovalores: polinomio caracterıstico

Proposicion 3.2 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se verifica que:

λ es un autovalor de A si y solo si det(A − λ I) = 0,

donde I representa la matriz unidad de orden n.

3.3 Calculo de autovalores y autovectores 31

Definicion 3.4 A la expresion pA(λ) = det(A − λ I) se le llama polinomiocaracterıstico de la matriz A. A la ecuacion pA(λ) = det(A − λ I) = 0 se ledenomina ecuacion caracterıstica de la matriz A.

Por tanto, podemos decir que los autovalores de una matriz A son las raıces desu polinomio caracterıstico o las soluciones de su ecuacion caracterıstica.

Ejemplo 3.3 Hallar los autovalores de la matriz A =

1 2 0−1 3 1

0 1 1

.

Para hallar sus autovalores tendremos que resolver su ecuacion caracterıstica.En este caso:∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 − λ 2 0−1 3 − λ 10 1 1 − λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (1−λ)2(3−λ)+(1−λ) = (1−λ)[(1−λ)(3−λ)+1] =

= (1 − λ)(λ − 2)2 = 0.

Por tanto, los autovalores de A seran: λ1 = 1 y λ2 = 2.

Si λ es una raız multiple del polinomio caracterıstico con orden de multiplicidadk, se dice que λ es autovalor multiple de A y que su multiplicidad algebraica esk. Cuando k = 1, diremos que el autovalor λ es simple.

Ejemplo 3.4 En el ejemplo anterior tenemos que λ1 = 1 es un autovalor simpley que el autovalor λ2 = 2 es un autovalor de multiplicidad algebraica 2.

3.3.2 Calculo de autovectores

Sea A una matriz cuadrada de orden n y sea λ un autovalor de A. Si X =

x1

x2

...xn

∈ Mn×1 es un autovector de A asociado al autovalor λ, entonces X es

solucion no trivial del sistema homogeneo

(A − λ I)

x1

x2

...xn

=

00...0

.

De aquı se deduce que para calcular los autovectores asociados a λ lo que hay quehacer es resolver el sistema homogeneo asociado (A−λ I)X = Θ, que, por ser λ


autovalor de A (det(A − λ I) = 0), siempre va a ser compatible indeterminadocon soluciones distintas a la trivial. Cada una de las soluciones no triviales esun autovector asociado a λ.

Ejemplo 3.5 Hallar los autovectores de la matriz A =

1 2 0−1 3 1

0 1 1

.

Para dicha matriz vimos que sus autovalores eran λ1 = 1 y λ2 = 2 (doble).Tenemos que calcular los autovectores asociados a ambos autovalores:

λ1 = 1:

(A − I) X = Θ ⇐⇒

1− 1 2 0−1 3 − 1 10 1 1 − 1

x1

x2

x3

=

000

⇐⇒{

2x2 = 0,−x1 + 2x2 + x3 = 0,

cuyas soluciones son x1 = x3, x2 = 0. Por tanto, los autovectores seran de la

forma

α0α

con α ∈ R y α 6= 0.

λ2 = 2:

(A − 2 I) X = Θ ⇐⇒

1− 2 2 0−1 3− 2 10 1 1 − 2

x1

x2

x3

=

000

⇐⇒{

−x1 + 2x2 = 0,−x1 + x2 + x3 = 0,

cuyas soluciones son x1 = 2x2, x3 = x2. Por tanto, los autovectores seran de la

forma

2ααα

con α ∈ R y α 6= 0.

3.4 Propiedades de los autovalores y autovec-

tores

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se verifican las siguientes propiedades:

1. A cada autovector o vector propio X =

x1

x2

...xn

∈ Mn×1 de A le corres-

ponde un unico autovalor o valor propio λ.

3.5 Diagonalizacion en el campo real de una matriz cuadrada 33

2. Cada autovalor λ de A tiene infinitos autovectores asociados.

3. Si X1 =

x11

x12

...x1

n

, X2 =

x21

x22

...x2

n

, · · · , Xk =

xk1

xk2

...xk

n

son autovectores

asociados a los autovalores λ1, λ2, · · · , λk, (k ≤ n), todos distintos, de cier-

ta matriz A ∈ Mn(R), entonces se tiene que r

x11 x2

1 · · · xk1

x12 x2

2 · · · xk2

......

. . ....

x1n x2

n · · · xkn

= k.

3.5 Diagonalizacion en el campo real de una ma-

triz cuadrada

Definicion 3.5 Una matriz A ∈ Mn(R) se dice que es diagonalizable en elcampo real si es semejante a una matriz diagonal D ∈ Mn(R), es decir, siexiste una matriz invertible P ∈ Mn(R) tal que

D = P−1 A P.

El problema de la diagonalizacion consiste en, dada una matriz cuadrada A,estudiar que condiciones debe verificar A para que exista una matriz diagonal Dque sea semejante a ella.

Teorema 3.3 La condicion necesaria y suficiente para que una matriz A ∈Mn(R) sea diagonalizable es que:

1. El polinomio caracterıstico de A tenga todas sus raıces reales. Es decir,todos los autovalores λ de A sean reales.

2. Podamos encontrar n autovectores, Pj ∈ Mnx1(R), de A tales que la matrizP =

(

P1 P2 · · · Pn

)

sea inversible, es decir, |P | 6= 0.

Entonces caso de ser la matriz diagonalizable, la matriz semejante D serıa

D =

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

,

siendo λ1, . . . , λn los autovalores de A y la matriz P tal que P−1 A P = D serıa


P =

p11 p12 · · · p1n

p21 p22 · · · p2n

......

. . ....

pn1 pn2 · · · pnn

donde cada Pj =

p1j

p2j

...pnj

es un autoverctor asociado al autovalor λj , j =

1, · · · , n.

A la hora de plantear la diagonalizacion de una matriz se pueden presentar lossiguientes casos:

1. El polinomio caracterıstico de A tiene raıces que no son reales. Entonces,y segun el resultado anterior, la matriz A no es diagonalizable.

2. El polinomio caracterıstico de A tiene todas sus raıces reales. Podemos, asu vez, distinguir dos casos:

(a) Todas las raıces de pA(λ) son distintas, es decir, todos los autovaloresde A son reales y distintos y, por tanto, simples. Entonces, usandola propiedad (3) de autovalores y autovectores, podemos encontrar

n autovectores de A, Pj =

p1j

p2j

...pnj

j = 1, · · · , n, uno por cada

autovalor, de manera que la matriz P =(

P1 P2 · · · Pn

)

tengarango n. Por tanto, |P | 6= 0 y existira P−1. En este caso, la matrizA es diagonalizable.

(b) El polinomio caracterıstico de A, pA(λ), tiene raıces multiples. Porejemplo, supongamos que λ es una raız de orden de multiplicidad k.Entonces, si n − r(A − λI) = k, podemos encontrar k soluciones,

Pj =

p1j

p2j

...pnj

j = 1, · · · , k, del sistema (A− λ I)X = Θ tales que la

matriz(

P1 P2 · · · Pk

)

tenga rango k. Si esto ocurre con cadaautovalor multiple, la matriz A es diagonalizable. Por tanto, en el casode autovalores multiples, la matriz A es diagonalizable si para cadaautovalor λ de A con multiplicidad k se verifica que n−r(A−λI) = k.


Ejemplos: Estudiar si son diagonalizables o no las siguientes matrices:

Ejemplo 3.6 Sea A ∈ M3(R)

A =

1 2 0−1 3 1

0 1 1

entonces tenemos que:pA(λ) = (1 − λ)(λ − 2)2.

1. λ = 1, 2(doble) ∈ R, es decir, los autovalores son todos reales.

2. 3 − r(A − I) = 1, que coincide con la multiplicidad del autovalor λ = 1.3−r(A−2I) = 1, que no coincide con la multiplicidad del autovalor λ = 2,que es 2.

Entonces, la matriz A no es diagonalizable.


A =

1 −1 −11 −1 01 0 −1

entonces tenemos que:

pA(λ) = −(1 + λ)(λ2 + 1) :

Los autovalores de la matriz A son λ = 1, i,−i y como todos no son reales,entonces la matriz A no es diagonalizable en R.


A =

5 0 −40 3 02 0 −1

entonces tenemos que:pA(λ) = (λ − 3)2(1 − λ).

1. λ = 3(doble), 1 ∈ R, es decir, los autovalores son todos reales.

2. 3 − r(A − 3I) = 2, que coincide con la multiplicidad del autovalor λ = 3que es 2.3− r(A − I) = 1, que tambien coincide con la multiplicidad del autovalor.


Luego la matriz A es diagonalizable.

Una matriz diagonal semejante a A podrıa ser D =

3 0 00 3 00 0 1

.

Para determinar la matriz P tal que D = P−1AP , tendremos que resolver lossistemas asociados a cada uno de los autovalores.

λ = 3:

5 − 3 0 −40 3 − 3 02 0 −1 − 3

xyz

=

2 0 −40 0 02 0 −4

xyz

=

000

⇐⇒

⇐⇒ x − 2z = 0.

Los autovectores son

2αβα

con α, β ∈ R, no simultaneamente cero. De todos

los autovectores elegimos dos, de la siguiente manera:

• α = 1 y β = 0 =⇒ P1 =

201

.

• α = 0 y β = 1 =⇒ P2 =

010

.

λ = 1:

5 − 1 0 −40 3 − 1 02 0 −1 − 1

xyz

=

4 0 −40 2 02 0 −2

xyz

=

000

⇐⇒

⇐⇒ x − z = 0y = 0

}


α0α

con α ∈ R y α 6= 0. De todas las posibles autovec-

tores elegimos : α = 1 =⇒ P3 =

101

.

La matriz P podrıa ser P =

2 0 10 1 01 0 1

. Se puede comprobar que P−1 A P =

D.



A =

1 2 00 2 01 1 3

entonces tenemos que:

pA(λ) = (3 − λ)(1 − λ)(2 − λ)

λ = 1, 2, 3 ∈ R, es decir, los autovalores son todos reales y distintos. La matrizA es diagonalizable.

Una matriz diagonal semejante a A podrıa ser D =

1 0 00 2 00 0 3

.

Para determinar la matriz P tal que D = P−1AP , tendremos que resolver lossistemas asociados a cada uno de los autovalores.

λ = 1:

1 − 1 2 00 2 − 1 01 1 3 − 1

xyz

=

0 2 00 1 01 1 2

xyz

=

000

⇐⇒

⇐⇒ y = 0x + 2z = 0

}

cuyas soluciones son

−2α0α

con α ∈ R y α 6= 0. De todos los posibles

autovectores elegimos uno:

α = 1 =⇒ P1 =

−201

λ = 2:

1 − 2 2 00 2 − 2 01 1 3 − 2

xyz

=

−1 2 00 0 01 1 1

xyz

=

000

⇐⇒

⇐⇒ −x + 2y = 0,x + y + z = 0.

}

.


2αα

−3α

con α ∈ R y α 6= 0. De todos los posibles

autovectores elegimos uno:


α = 1 =⇒ P2 =

21

−3

.

λ = 3:

1 − 3 2 00 2 − 3 01 1 3 − 3

xyz

=

−2 2 00 −1 01 1 0

xyz

=

000

⇐⇒

⇐⇒ x = 0,y = 0.

}


00α

con α ∈ R y α 6= 0. De todos los posibles autovec-

tores elegimos uno:

α = 1 =⇒ P3 =

001

.

La matriz P podrıa ser P =

−2 2 00 1 01 −3 1

. Se puede comprobar que

P−1AP = D.

Ejemplo 3.10 Sea la matriz A =

−3 −1 4−2 a 4−2 −1 3

. Se pide:

(a) Hallar el valor de a para que λ = 0 sea autovalor de A.

(b) Para a = −2:

(b1) Hallar autovalores y autovectores asociados.

(b2) Estudiar si es diagonalizable y, en caso afirmativo, hallar una matrizP ∈ M3 tal que P−1AP sea diagonal.

(b3) Hallar A16.

Resolucion

(a) λ = 0 es autovalor de A si y solo si |A − 0I| = 0 ⇐⇒ |A| = 0.

|A| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 −1 4−2 a 4−2 −1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −a − 2 = 0 ⇐⇒ a = −2.


(b) a = −2 =⇒A =

−3 −1 4−2 −2 4−2 −1 3

.

(b1) Autovalores y autovectores asociados.

Autovalores: |A − λI| = 0.

|A − λI| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3 − λ −1 4−2 −2 − λ 4−2 −1 3 − λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −λ−2λ2−λ3 = −λ (1 + λ)2.

Por tanto, los autovalores son: λ = 0 (simple) y λ = −1 (doble).

Autovectores:

• Para λ = 0 (simple):

A

xyz

=

000

⇐⇒

−3 −1 4−2 −2 4−2 −1 3

xyz

=

000

⇐⇒

−3x − y + 4z = 0x + y − 2z = 0

}

⇐⇒ x = z e y = z. Por tanto, los autovec-

tores asociados son de la forma

zzz

con z ∈ R y z 6= 0.

• Para λ = −1 (doble):

(A+I)

xyz

=

000

⇐⇒

−2 −1 4−2 −1 4−2 −1 4

xyz

=

000

⇐⇒ −2x− y +4z = 0 ⇐⇒ y = −2x+4z. Por tanto, los autovec-

tores asociados son de la forma

x−2x + 4z

z

= x

1−20

+

z

041

con x, z ∈ R no simultaneamente 0.

(b2) Estudiar si A es diagonalizable.

Tenemos que

• los autovalores de A son λ = 0 (simple) y λ = −1 (doble) y, portanto, reales, y ademas

• para el autovalor λ = −1 (doble),

3 − r (A + I) = 3 − r

−2 −1 4−2 −1 4−2 −1 4

= 3 − 1 =

2 =multiplicidad del autovalor (λ = −1).


De todo ello se deduce que la matriz es diagonalizable.

Entonces, P =

1 1 01 −2 41 0 1

y P−1AP = D =

0 0 00 −1 00 0 −1

.

(b3) Como P−1 A P = D =⇒ A = P D P−1 =⇒ A16 = P D16 P−1.

A16 = P

0 0 0

0 (−1)16 0

0 0 (−1)16

P−1 = P

0 0 00 1 00 0 1

P−1 =

=

1 1 01 −2 41 0 1

0 0 00 1 00 0 1

−2 −1 43 1 −42 1 −3

=

3 1 −42 2 −42 1 −3

.

Ejemplo 3.11 Sea A =

m 1 10 2 10 2 3

. Se pide:

(a) Hallar m para que

112

sea autovector de A y calcular el autovalor al

que esta asociado.

(b) Para m = 1:

(b1) Hallar los autovalores de A y autovectores asociados.

(b2) Estudiar si la matriz es diagonalizable. En caso afirmativo, hallar unamatriz P ∈ M3 tal que P−1AP sea diagonal.

Resolucion

(a) Para que

112

sea autovector de A tiene que verificarse que

A

112

= λ

112

para algun λ ∈ R, que sera el autovalor al que esta asociado.

A

112

= λ

112


⇐⇒

m + 348

=

λλ2λ

⇐⇒m + 3 = λ4 = λ8 = 2λ

⇐⇒ m = 1,λ = 4.

(b) Para m = 1: A =

1 1 10 2 10 2 3

.

(b1) Hallar los autovalores de A y autovectores asociados.

Autovalores: |A − λI| = 0.

|A − λI| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 − λ 1 10 2 − λ 10 2 3 − λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (1 − λ)(

4 − 5λ + λ2)

= − (λ − 1)2(λ − 4).

Por tanto, los autovalores son: λ = 1 (doble) y λ = 4 (simple).

Autovectores:

• Para λ = 4 (simple):

(A − 4I)

xyz

=

000

⇐⇒

−3 1 10 −2 10 2 −1

xyz

=

000

⇐⇒

⇐⇒ −3x + y + z = 0−2y + z = 0

}

⇐⇒ x = y e z = 2y.

Por tanto, los autovectores asociados son de la forma

yy2y

con y ∈ R, y 6= 0.

• Para λ = 1 (doble):

(A−I)

xyz

=

000

⇐⇒

0 1 10 1 10 2 2

xyz

=

000

⇐⇒

⇐⇒ y + z = 0 ⇐⇒ y = −z.

Por tanto, los autovectores asociados son de la forma:


x−z

z

= x

100

+ z

0−1

1

con x y z ∈ R no simultaneamente 0.

(b2) Como:

• Autovalores de A: λ = 4 (simple) y λ = 1 (doble) y, por tanto,reales.

• Para el autovalor λ = 1 (doble),

3−r (A − I) = 3−r

0 1 10 1 10 2 2

= 3−1 = 2 =multiplicidad

del autovalor λ = 1.

De todo ello se deduce que la matriz es diagonalizable.

Entonces, P =

1 1 01 0 −12 0 1

y P−1AP = D =

4 0 00 1 00 0 1

.

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