Diapositivas integral definida

La Integral Definida.Catedratico:

Ing. Civil. Rafael Sandino Salcedo Muñoz

INTRODUCCIÓN Este artículo permite captar rápidamente la

interpretación geométrica de la Integral Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza un procedimiento diferente al de aproximaciones sucesivas de rectángulos, usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y es consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos.Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Área de los Polígonos- enfoque para el cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la fórmula general de cálculo propuesta en el mencionado trabajo. No obstante, en forma rápida, introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres y cuatro lados.

CATEDRATICO: ING. RAFAEL SANDINO SALCEDO MUÑOZ

http://www.monografias.com/trabajos13/mapro/mapro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos11/funpro/funpro.shtml

http://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml

Integración NuméricaIntegración Numérica

Integral definida: Cálculo Fórmula de los Trapecios Regla de Simpson Integración de Romberg Otros métodos (Newton-Cotes,

Gauss)


Integral definida: CálculoIntegral definida: Cálculo

Regla de Barrow

Pero...

Funciones sin primitiva sencilla

Datos experimentales: área de un terreno.

f x dx F b F aa

b

( ) ( ) ( )

sen( )x

xdx dx

0

e-x

0

t 2


Fórmula de los TrapeciosFórmula de los Trapecios

Simple

Error

I b af a f b

T

( )( ) ( )

2

Eb a

f a bT

( )

( ), [ , ]3

12


Fórmula de los TrapeciosFórmula de los Trapecios Compuesta

Error

Exacta para funciones de 1er grado

I hh

y y y y yT n n[ ] ( ) 22 2 20 1 2 1

Eh

b a f a bT 2

12( ) ( ), [ , ]


Algoritmo TRAPECIOAlgoritmo TRAPECIOIntegra aproximadamente f(x) en el intervalo [a,b]

aplicando la fórmula de los trapecios con n subintervalos. Datos de entrada: a,b,n Proceso

Dividir el intervalo en n subintervalos Evaluar la función en los extremos

de los subintervalos Aplicar la formula de los trapecios: IT[h] = h/2(y0 +2y1+2y2+...+2yn-1+yn)

Salida: Integral aproximada

Indicación: usar vectores en lugar de bucles para evaluar la Fórmula de los Trapecios.


Fórmula de Trapecios iterativaFórmula de Trapecios iterativa

Supongamos que n es par:

IT[h] = h/2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn) =

= h/2 (y0 + 2y2 + 2y4 + ... + 2yn-2 + yn) +

+ h (y1 + y3 + y5 + ... + yn-1) =

= IT[2h]/2 + h(y1 + y3+...+yn-1)

Refinar la partición y actualizar la integral


Algoritmo TRAPITER Algoritmo TRAPITERRefina iterativamente la partición del intervalo [a,b] y actualiza la Fórmula de los Trapecios para aproximar la integral de f(x) hasta una precisión determinada. Datos de entrada: a, b, n, tol. Inicio: I = trapecio(a,b,n) Iteraciones:

mientras error > tol dividir en 2 cada intervalo x = nuevos puntos, y = f(x) Inueva = I/2 + h*sum(y) % Actualización de

la error = abs(I-Inueva) % integral I = Inueva fin mientras


Regla de Simpson simpleRegla de Simpson simple

(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2) con x1=x0+h, x2=x1+h

Polinomio de diferencias progresivas

P(t)= y0+(y1-y0)t+1/2(y0-2y1+y2)t(t-1); ht=x-x0

Integral

][)4(3

)()( 210

2

0

2

0

hIyyyh

dtthPdxxf S

x

x


Regla de SimpsonRegla de Simpson Compuesta

Error

Exacta para polinomios de 3er grado

I hh

y y y y yS n n[ ] ( ) 34 2 40 1 2 1

Eh

b a f a bSIV

4

180( ) ( ), [ , ]


Integración de RombergIntegración de Romberg

Relación Simpson-Trapecio par 2n subdivisiones de [a, b].

3

]2[][4][

hIhIhI TT

S


Tabla de RombergTabla de Romberg

Expresión general:

Error de orden h2j

Exacta para polinomios de grado 2j-1

I h

I h I h

I h I h I h

I h I h I h I h

T

T S

T S R

T S R Q

[ ]

[ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ]

[ / ] [ / ] [ / ] [ / ]

2 2

4 4 4

8 8 8 8

II I

kj

jk j k j

j

4

4 1

11 1 1

1

, ,


Algoritmo ROMBERGAlgoritmo ROMBERG Integra f(x) en [a,b], aplicando el método de Romberg.

Datos de entrada: a,b,n,tol Proceso: Construccion de la tabla de Romberg

k = 1, I(1,1) = trapecio(a,b,n); % Fila 1mientras error > tol

k = k+1 % Fila k

dividir en 2 cada subintervalo x = nuevos puntos, y = f(x)I(k,1) = I(k-1,1)/2 + h*sum(y)

para j = 2 : k % Aplica el método de Romberg

I(k,j) = (4^(j -1)*I(k,j -1) - I(k -1,j -1)) / (4^(j -1) -1) fin para error = abs(I(k,j) - I(k,j -1))fin mientras


Método de Newton-CotesMétodo de Newton-Cotes Dados x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], determinar A0, A1, A2, ..., An

tales que para todo polinomio p(x) de grado < n,

Sustituyendo p(x) = 1,x ,x2 , ... , xn se obtiene un sistema lineal del que se despejan A0, A1, A2, ..., An

p x dx

A p x A p x A p xa

b

n n

( )

( ) ( ) ( )

0 0 1 1


Cuadratura de GaussCuadratura de Gauss Determinar puntos x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], y números A0, A1,

A2, ..., An tales que, para todo polinomio p(x) de grado < 2n+1,

Sustituyendo p(x) = 1,x ,x2 , ... , x2n+1 se obtiene un sistema no lineal del que se despejan x0, x1, x2, ..., xn y A0, A1, A2, ..., An.

p x dx

A p x A p x A p xa

b

n n

( )

( ) ( ) ( )

0 0 1 1


APLICACIONES DE LA INTEGRAL Cálculo del área de la superficie que determinan dos curvas al

cortarse Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x)

g(x), entonces representa el área de la superficie que encierran las dos curvas.

En la figura, se ha llamado A, B, C y D a las áreas de las cuatro regiones que dos curvas f(x) y g(x) determinan con el eje de abscisas. Teniendo en cuenta que C es el área de una zona situada por debajo del eje X:

Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos:

Se trazan las curvas.Se señalan los puntos en los que se cortan las curvas.Se determina la zona de la que hay que calcular el área.Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos

anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados. Así, por ejemplo, en la figura anterior la zona encerrada entre las dos curvas es B + C.


Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva: Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se

han trazado los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestra en la figuraDe esta manera la superficie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N, que denominaremos S, cuya área la denotaremos con A (se ha exagerado el desplazamiento para lograr mayor comprensión)Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con x, al ser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento M1N1 está sobre una recta y puede aplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb). Por lo que: A =½(f(x) + f(x+ x)) x, y dividiendo por x se tiene A =½(f(x) + f(x+ x)) x y al evaluar el límite cuando x tiende a cero:Lim A =Lim ½(f(x) + f(x+ x)) =½(2f(x)) =f(x) ( x tiende a 0).


Aplicaciones a la Administración y la Economía

Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda.

Función de oferta: una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico.


http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm

Función de demanda: La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso esta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.


SUPERAVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES El mercado determina el precio al que un producto se vende.

El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores.

El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.


ANÁLISIS MARGINALLa derivada y, en consecuencia la integral,

tienen aplicaciones en administración y economía en la construcción de las tasas marginales.

Es importante para los economistas este trabajo con el análisis marginal porque permite calcular el punto de maximización de utilidades.

En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad más.


Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad más de un producto o servicio.

También se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero.

Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida.


APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas.

Veamos el caso de las utilidades netasSupóngase que dentro de x años un plan de

inversión generará utilidades a un ritmo de Dólares por año, mientras que un segundo

plan lo hará a un ritmo de dólares por año.


Valor promedio de una funciónEs sencillo hallar el promedio de un conjunto

de números dados, sólo debemos realizar el siguiente cálculo y prom. ¿Cómo calculamos la temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito de valores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x) x3 en el intervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".


ResumenResumen Los métodos de Trapecios, Simpson y

Romberg permiten estimar la integral con error de orden n2, n4, n,… . Usan nodos equiespaciados, incluyendo los extremos del intervalo. Son casos particulares de Newton-Cotes.

El método de Gauss usa nodos desigualmente espaciados, distintos de los extremos del intervalo.


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