VBV

1

LA INTEGRAL DEFINIDA

Derivada Recta tangente

Integral Área

Entendemos: Área de una función f : región

comprendida entre la función y el eje X, entre dos líneas verticales.

2

3

Pensemos en como obtener el área bajo la función f

f(x)

Sabemos calcular el área de polígonos…

Podríamos …

4

x0 x1 x

f(x)

x2 x3 x4

Nosotros construiremos rectángulos!!!

Ejemplo:

Se muestra al grafica de f . Usando fórmulas geométricas. Evaluar y calcular el área representada por la integral.

f

9

3)( dxxf

9

3

)( dxxf

En realidad…

Este es un problema muy antiguo (Arquimedes se plantea esto, pero son Newton y Leibniz los que lo resuelven) .

Idea: Construir rectangulos “bajo” la curva f(x), encontrar el área de todos estos rectangulos.

6

Sea [a,b] un intervalo cerrado. Dividamos el intervalo [a, b] en n sub-

intervalos no necesariamente iguales eligiendo n-1 puntos entre a y b, y, hagamos x0=a y xn=b de tal forma que:

x0 < x1 < x2 < x3 < … < xn-2 < xn-1 < xn

Diremos que P ={x0,x1, . . . ,xn} es una partición de [a,b]

7

Denotemos por Δxi la longitud de cada sub-intervalo tal que:

Δx1 = x1 – x0

Δx2 = x2 – x1

…Δxi = xi – xi-1

…Δxn-1 = xn-1 – xn-2

Δxn = xn – xn-1

Notar que Δxi corresponderá a la base de cada rectángulo.

8

Definición:

La longitud del sub-intervalo (o sub-intervalos) más largo de la partición P se llama norma de la partición y se denota ||P||.

Esto es, ||P||= max{Δxi :i=1,…,n}

9

Ejemplo:

Considerar el intervalo [1,3] y construir una partición donde n=4.

10

Pensar en una partición para [a,b] Geométrica: a, ar, ar2,… arm, donde r0 Aritmética: a, a+d, a+2d, … a+md

11

PARTICIÓN GEOMÉTRICA

Se define r como la raíz n-ésima del cuociente: b/a

Se tiene: xi= x0*rn

Notar que en esta partición la amplitud de cada sub-intervalo Δxi NO es constante .

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PARTICIÓN ARITMÉTICA

Se define d=(b-a)/n Se tiene: xi= x0+id Notar que en esta partición la

amplitud de cada sub-intervalo Δxi es constante e igual a d.

Por esto, denotamos Δx=d.

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Ejercicios:

Construir en el intervalo [0,1] , las siguientes particiones y calcular su norma:

1. 10 sub-intervalos usando la partición:

xi= (i/n)2

2. 8 sub-intervalos del mismo largo.

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Pensemos en la altura de cada rectángulo… Sea f : [a,b] una función acotada P ={x0,x1, . . . ,xn} una partición de [a,b] Para i = 1, . . . ,n denotamos: mi = inf { f (x) : x [xi-1 , xi ] }

Mi = sup { f (x) : x [xi-1 , xi ] }

Como [a,b] , y f es acotada, entonces cada i el conjunto { f (x) : x [xi-1 , xi ] } es no vacío y acotado, por tanto existen su ínfimo y supremo.

15

16

Definición:SUMA INFERIOR de f asociada a P

i

n

1iiΔxm),(

Pfs

x1 x2 … xn-1 b=xna=x0

f

17

Definición:SUMA SUPERIOR de f asociada a P

i

n

1iiΔxM),(

PfS

x1 x2 … xn-1 b=xna=x0

f

Ejemplo:

Calcular s(f,P) y S(f,P) en el intervalo [1,3], para la función f(x)=x2+2

Usando una partición con n=4.

18

Ejercicio:

Sea

Encuentre s(f,P) para una partición del intervalo [0,2] en dos partes iguales.

Certamen 1 – II sem 2012

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0,0

20,)3/ln(

1

)(

x

xxxf

Proposición:

Para cada partición, se verifica: s(f,P) ≤ S(f,P)

Dem:mi ≤ Mi mi Δxi ≤ Mi Δxi

mi Δxi ≤ Mi Δxi

s(f,P) ≤ S(f,P)

20

Proposición:

P1 P2 s(f,P1) ≤ s(f,P2) y S(f,P2) ≤ S(f,P1)

Dem:Pensar en agregar puntos (de a uno a

la partición P1).

21

Corolario:

Sean P1 y P2 dos particiones arbitrarias de [a,b]. Entonces:

m (b -a) ≤ s(f ,P1) ≤ S(f,P2) ≤ M (b -a)

Además, si P= P1 P2 , entonces: s(f ,P1) ≤ s(f ,P) ≤ S(f,P) ≤ S(f ,P2)

22

Definición:INTEGRAL INFERIOR de f en [a,b]

23

b]}[a, de sparticione P:P), sup{s(f)( b

a

dxxf

Definición:INTEGRAL SUPERIOR de f en [a,b]

24

b

a

dxxf b]}[a, sparticione P:P), inf{S(f)(

OBS:

25

b

a

dxxf )( b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

DEF:

f se dice RIEMANN INTEGRABLE, si:

Se escribe:

26

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

b

a

dxxf )(

Pensar…

¿Qué debe suceder para que …

??????27

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

Ejemplo: Calcular la integral de Riemann para

f(x) = x en [a,b]. Considerando las particiones

aritméticas: Pn= {xi=a+i(b-a)/n, i=1,…,n} Se tiene que:

28

n

ababPfs n 2

)(

2),(

222

n

ababPfS n 2

)(

2),(

222

Teorema

Si la norma de la partición Pn se aproxima a cero, la suma inferior y superior coinciden.

Esto es,

Notar que es equivalente a decir:

29

),(lim),(lim0||||0||||

nP

nP

PfSPfsnn

),(lim),(lim nn

nn

PfSPfs

OBS: Si hacemos que la norma de la partición

Pn se aproxime a cero. Entonces, la suma de Riemann se

aproximará a un valor A que corresponde a la suma algebraica de las áreas comprendidas entre la gráfica de la función y=f(x) , y el eje x desde a hasta b.

30

La integral definida plantea el límite de una suma de áreas.

b

a

dxxfÁrea )(

Interpretación …

Teorema Considere una sucesión de

particiones Pn de un intervalo [a,b] tales que:

y,

Entonces, f es Riemann integrable,

32

0||||lim

Pnn

0)},(),({lim

PnfsPnfSn

b

ann

dxxfPnfsPnfS )(),(lim),(lim

n = 3 rectángulos

Veamos esto geométricamente…

n = 6 rectángulos

n = 12 rectángulos

n = 24 rectángulos

n = 48 rectángulos

n = 99 rectángulos

Pensar en…

Alguna función que NO sea Riemann integrable.

39

Definición:

Sea f : [a,b] una función acotada P una partición de [a,b] Una SUMA DE RIEMANN para la

función f respecto a la partición P es una suma finita de la forma:

40

],[;Δx)(),,( 1i

n

1ii iiii xxfPfS

41

En la grafica hemos considerado el punto medio de cada sub-intervalo.

x1 x2 … xn-1 b=xna=x0

f

0

y

x

y = f(x)

x0=a xn=bx1 x2 xn-1xixi-1

• • • • • • • • • •

Δ1x Δ2x Δix ΔnxΔn-1x… …

•

• •

•

•

••

•

••

w1 w2 wi wn-1 wn

Otra grafica…

Ejercicios:

1. Sea f(x) = x2. Considerar una partición del intervalo [0,1] en 8 sub-intervalos del mismo largo.

a) Encontrar la suma inferior, superior y de Riemann.

b) Estudiar estas sumas para una partición de n subintervalos.

2. Hallar el área de f(x)=x2+2, entre x=-1 y x =2 mediante la busqueda del limite de las sumas de Riemann.

43

Ejercicios:

3. Evaluar :

Donde: x0=0, x1= …, xn =/6

4. Evaluar:

Donde: x0=1, x1=1+x …, xn =3

44

)cos()(lim1

1 i

n

iii

nxxx

xxxn

iii

n

1

2 )2(lim

OBS:

Cuando la función considerada es continua la suma superior e inferior corresponde a la suma de Riemann.

Escribimos:

Para denotar que:

45

LPfS in

),,(lim

|),,(|||||..,0,0 LPfSPqt i

Teorema:

Sea f : [a,b] una función acotada, entonces:

Si f es integrable en [a,b] , entonces:

46

b

a

nP

dxxfPfS )(),(lim0||||

b

a

nP

dxxfPfs )(),(lim0||||

b

a

iP

dxxfPfSn

)(),,(lim0||||

Propiedades: Sean f , g : [a,b] acotadas e

integrables. Se cumple:

47

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()())()((

b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

Salvo quizás en un un conjunto finito de puntos.

48

0)(0)( b

a

dxxfxf

b

a

b

a

dxxgdxxfbaxxgxf )()(],[),()(

b

a

b

a

dxxfdxxf |)(|)(

Proposición

Si m f(x) M , salvo quizás en un conjunto finito de puntos, entonces:

49

b

a

abMdxxfabm )()()(

Proposición(Aditividad):

Si f : [a,b] es acotada e integrable, y para todo c [a , b] .

Se cumple: f es integrable en los intervalos [a ,

c ] y [c , b]. Además se verifica el reciproco.

50

c

a

b

c

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Teorema:

Si f : [a,b] es continua en [a , b] excepto en x0 , x1 , x2 , …, xn

Entonces, f es integrable en [a,b]. Además, se verifica:

51

o

o n

x

a

x

x

b

x

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxf1

)(...)()()(

Ejercicio:

52

1. Sea f una función continua en 1, 5, si:

5

1

3

17)(4)( dxxfydxxf

Determine el valor de:

5

3)( dxxf

Definición:

Sea f : [a,b] acotada e integrable. Definimos:

53

0)( a

a

dxxf

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(

54

CRITERIOS DE INTEGRABILIDAD

Teorema:

S f : [a,b] es monótona entonces f es integrable.

55

Observación

Muchas de las funciones con las cuales se trabaja en cálculo son monótonas por intervalos.

Por la propiedad de aditividad y este teorema podemos argumentar la integrabilidad de prácticamente todas las funciones elementales, como por ejemplo: ex , ln x, arctan x, etc.

56

Teorema:

S f : [a,b] es continua entonces f es integrable.

57

58

VEAMOS UNA APLICACIÓN DE LA INTEGRAL…

Definición:

Sea f : [a,b] integrable . se define el VALOR PROMEDIO de f en

[a,b] por:

59

b

a

dxxfab

fAV )(1

)(

Teorema:

Sea f : [a,b] continua. Entonces existe c[a,b] tal que f ( c ) =

AV(f).

60

61

EJERCICIOS PROPUESTOS

62

1. Calcular:

2. Dem.

3. ¿Qué valores de a y b maximizan el valor de:

4

0

][)2( dxx

abb

a

x eedxe

b

a

dxxx )( 2

3

1

2 ][ dxx

?

63

4. Hallar el valor medio de f(x) = 3x2-2x en [1,4]

5. Sea f una función continua y positiva en [a, b] tal que:

Prueba que : f(x) = 0, x [a, b]

6. Justificar:

0)( b

a

dxxf

5

1

106

1 2

0

x

dx

64

7. Sea:

Justifica que f es integrable en [0,1], y se verifica la desigualdad:

x

xsenexf

x )()(

1)(01

0

edxxf

65

8. Expresa el siguiente límite como sumas de Riemann:

9. Estimar el área bajo la gráfica de f(x) = sen x en [0, π] usando la suma superior e inferior , para una partición regular con n = 4. Además calcular la suma de Riemann con la elección de los puntos medios de los sub-intervalos.

n

eee n nnn

n

...lim

2

66

10. Determine el valor de k, de modo que:

11. Hallar el valor de c tal que el valor medio de la funci´on f(x) = x4 − 1 sobre [−c, c] es 0.

k

dxxx1

2 2)23(

67

10. Sea:

Calcular:

2

1

)( dxxf

21;21

11;2)(

xx

xxxf

68

12. Justificando su respuesta, responda lo siguiente: ¿Será correcto afirmar que:

|1

0

1

02

1

12 )1(

1

)1(

12

)1(

1

x

dxx

dxx

3

40|)4|1(

3

2

2

dxx ?????

Observación:

En algunos de los ejercicios propuestos resulta necesario utilizar la regla de Barrows, que veremos la próxima semana.

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