Dificultades de la enseñanza de las matemáticas en...
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1 Dificultades de la enseñanza de las matemáticas en docentes de los grados 1, 2 y 3 de primaria de Colegios Privados y Públicos
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Dificultades de la enseñanza de las matemáticas
en docentes de los grados 1, 2 y 3 de primaria
de Colegios Privados y Públicos
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MONOGRAFIA:
Dificultades de la enseñanza de las matemáticas en docentes
de los grados 1, 2 y 3 de primaria de Colegios Privados y Públicos
Trabajo de grado para optar el título de Especialista en Contexto de Docencia Universitaria
DORIS NARANJO ROJAS
UNIVERSIDAD SAN BUENAAVENTURA
FACULTAD DE EDUCACIÓN
Especialización en Contexto de Docencia Universitaria
SANTIAGO DE CALI
2008
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MONOGRAFIA:
Dificultades de la enseñanza de las matemáticas en docentes
de los grados 1, 2 y 3 de primaria de Colegios Privados y Públicos
DORIS NARANJO ROJAS
Proyecto de grado para optar al título de Especialista
Asesor
Dr. Julio rubio
UNIVERSIDAD SANBUENAVENTURA
FACULTAD DE EDUCACIÓN
Especialización en Contexto de Docencia Universitaria
SANTIAGO DE CALI
2008
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CONTENIDO
1. RESUMEN ....................................................................................................................................... 7 2. JUSTIFICACION .............................................................................................................................. 8 3. OBJETIVOS ..................................................................................................................................... 9
3.1 GENERAL ................................................................................................................................. 9 1.2 ESPECIFICOS ..................................................................................................................... 9
4. APARICIÓN DE LA IDEA............................................................................................................... 10 5. PRESENTACIÓN DEL OBJETO ............................................................................................... 10 6. CONTEXTO ACTUAL ................................................................................................................ 11
6.1 ANTECEDENTES HISTORICOS ....................................................................................... 12 6.2 CONCEPTOS E IMPLICACIONES DE LA DIDACTICA MATEMÁTICA. ........................... 20 6.3 EL ÁREA PROBLEMÁTICA DE LAS COMPETENCIAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA ............................................................................................................................... 28 6.4 LA MATEMATICA: UNA MATERIA TEMIBLE ................................................................... 41
7. LOS MICROENTORNOS........................................................................................................... 51 8 -PLAN OPERATIVO ....................................................................................................................... 54 9. HACIA UNA MATEMATICAS LUDICA........................................................................................... 55
9.1- FUNDAMENTOS CONCEPTUALES DE LA PROPUESTA ............................................... 55 9.2 Conocimientos básicos ...................................................................................................... 60 9.3 Hacia una didáctica de la matemática ............................................................................... 62 9.4 ACCIONES Y ESTRATEGIAS METODOLOGICAS: ......................................................... 68 9.5 PROPUESTAS METODOLOGICAS DE LOS DOCENTES EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMATICAS EN LOS GRADOS 1,2 Y 3 DE PRIMARIA DE COLEGIOS PRIVADOS Y PUBLICOS? .................................................................................................................................. 68
CONCLUSION ................................................................................................................................... 90
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0. INTRODUCCION
La adquisición del conocimiento matemático ha presentado en muchos momentos históricos
dificultades sobre todo para los estudiantes, que la ha considerado como el coco o el
obstáculo para tener un proceso de educación más placentero. En el presente trabajo se
muestra como los estudiantes de los grados de primero a tercero se presentan dificultades
para adquirir el conocimiento matemático, muchas veces por la metodología que usa él o la
docente dentro del aula y en el momento de impartir los conocimientos matemáticos.
En este trabajo se encontrara algunas propuestas que permita ayudar a los maestros y
maestras a transmitir el conocimiento matemático de una manera sencilla y agradable, que
lleve a los estudiantes de estos grados (1,2 y 3) a sentir gusto por el aprendizaje y la
aplicación de las matemáticas en su vida cotidiana.
Lo anterior justifica el por qué se escogió este tema en aras a permitir espacios de
participación que posibiliten la creatividad y recursividad con las herramientas que nos
brinda nuestros medios a los maestros y maestras del área de matemáticas.
Este trabajo está estructurado en cinco partes en donde se muestra desde la aparición de la
idea hasta las propuestas pasando por la presentación del objeto, el estudio bibliográfico y
una bibliografía final como sugerencia para ampliar la forma de enseñar las matemáticas.
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Se espera que el aporte de este trabajo investigativo mejore los procesos que lleven a valorar
la importancia de las matemáticas desde su aprendizaje hasta su puesta en práctica.
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1. RESUMEN
Las dificultades en la adquisición y aplicación de los conocimientos matemáticos se deben
en muchos momentos a la aplicación de metodologías, a las motivaciones de las personas
que imparten o guían el conocimiento. El presente trabajo ofrece herramientas a los
maestros o maestras para que una forma lúdica lleven a los estudiantes a motivarse para
una adquisición y aplicación de los conocimientos matemáticos en su vida diaria desde el
entorno y contexto que les toque asumir.
The difficulties in the acquisition and application of mathematical knowledge are many times
the application of methodologies, to the motivations of the people who teach or guide the
knowledge. This paper offers tools for teachers or teachers to make a playful way students
motivate for acquisition and application of mathematical knowledge in their daily lives from
the environment and context that touch you to assume.
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2. JUSTIFICACION
La importancia que tienen las matemáticas en la vida de los seres humanos, hace necesario
que se cuente con herramientas metodológicas que lleven a los docentes a motivar a los
estudiantes, facilitándoles la adquisición agradable de los conocimientos que concierne a
esta área. En la mayoría de las ocasiones se escucha a muchos padres de familia y
estudiantes manifestar que no entienden o no le gusta las matemáticas porque no le
entienden a la persona que enseña dicha área, ya sea porque hay prevención hacia a la
materia o porque la metodología que se utiliza no hace accequible los conceptos y
conocimientos de dicha área.
Por esta razón se considero necesario trabajar en este proyecto una propuesta que permita
brindar herramientas que lleven a los docentes de matemáticas a aproximar a los
estudiantes a los conocimientos para que se apropien de la aplicación de las matemáticas
en sus vidas.
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3. OBJETIVOS
3.1 GENERAL
Presentar una propuesta pedagógica que permita a los docentes de matemáticas contar con
herramientas que desde la lúdica lleven a los estudiantes de 1 a 3 grado a adquirir con mayor
facilidad los conocimientos y aplicación de las matemáticas.
1.2 ESPECIFICOS
1. Identificar la percepción que tiene los estudiantes de la enseñanza de las matemáticas.
2. Indagar en los maestros la pertinencia de otras formas de enseñanza de las matemáticas.
3. caracterizar cuáles son las estrategias metodológicas más comunes que utilizan los
docentes del área Matemática, en un Colegio privado y público de los grados 1,2 y 3 de
primaria.
4. Presentar otras alternativas metodológicas para la enseñanza de las matemáticas en los
grados 1, 2 y 3 de primaria
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4. APARICIÓN DE LA IDEA
La idea surge desde mi experiencia y de personas cercana que atribuyen las dificultades en la
adquisición del conocimiento matemático, en su mayoría en la forma como muchos docentes
enseñan las matemáticas, por eso la monografía va orientada a presentar una propuesta
metodológica que permita facilitar la adquisición del conocimiento matemático teniendo como base la
lúdica.
5. PRESENTACIÓN DEL OBJETO
Todavía se escucha en muchos ambientes educativos y formativos y en algunas personas el
paradigma que las matemáticas siguen siendo la materia difícil o “el coco” en el proceso formativo y
académico que se imparte o se ofrece en algunas instituciones. No podemos negar que la
importancia, la aplicación, la asimilación, el uso y las formas de adquirir los conocimientos
matemáticos están influenciados por la metodología que posee y utiliza el docente al enseñar los
conocimientos matemáticos.
El anterior paradigma puede tener sus razones o justificaciones en las experiencias que
tradicionalmente se escuchan en varias personas, esas experiencias son:
a. La forma como la mayoría de docentes del área de las matemáticas aterrorizaban a los
estudiantes sobre el conocimiento y aplicación de los conceptos de esta área.
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b. Los malos resultados obtenidos por muchos padres de familia y estudiantes influyeron para
ratificar el concepto de que las matemáticas son difíciles.
c. La poca comprensión de algunos estudiantes frente a los textos y materiales editados para dicha
área.
d. Algunos profesores no se han preocupado por actualizar y renovar la metodología utilizada para
impartir los conocimientos matemáticos.
e. En una minoría de estudiantes la metodología y los textos editados han permitido fácilmente la
adquisición de los conocimientos y aplicación de los conceptos matemáticos.
Todo lo anterior me motivó a hacer una monografía con el objetivo de presentar una propuesta
metodológica para los docentes en el área de matemáticas de los grados 1, 2 y 3 de primaria de
Colegios Privados y Públicos commando como referencia mi servicio en la Colegio Fray Luis Amigo
ubicado en el barrio Manuela Beltran al Sur Oriente de Cali. Esta propuesta pedagógica presenta la
lúdica como elemento fundamental en la enseñanza matemática, permitiendo al docente de los
grados primero, segunto y tercero del Colegio Fray Luis Amigo mejorar su metodología y a los
estudiantes sentirse más motivados para la adquisición del conocimiento matemático.
6. CONTEXTO ACTUAL
Hay en la actualidad una creciente preocupación en la mayoría de los docentes en el área de las
matemáticas acerca de cómo mejorar la metodología que permita a los estudiantes una mejor y
mayor adquisición de los conocimientos, contenidos y conceptos del área de las matemáticas. Esta
creciente preocupación encuentra una buena respuesta en la teoría de las competencias
comunicativas ya que permite la interpretación, la argumentación, la aplicación de los conocimientos
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a un contexto dado más adelante se amplía el aporte de las competencias a las matemáticas. No
en vano en muchas instituciones se han ofrecido y se ha buscado espacios de capacitación para el
docente de las áreas de las matemáticas en aras de mejorar o cambiar no solo la metodología sino
también revisar los textos y materiales que se utilizan en dicha área.
6.1 ANTECEDENTES HISTORICOS
Durante los décadas de los años cuarenta y cincuenta se había desarrollado una ingente labor de
sistematización de las matemáticas a través del lenguaje de la teoría de conjuntos y de la lógica
matemática, liderada por el grupo que escribía con el seudónimo de “Nicolás Bourbaki”. Esta
reestructuración bourbakista de las matemáticas sedujo a la comunidad matemática por su elegancia
arquitectónica y por la unificación del lenguaje, hasta tal punto que se pensó abolir el plural
“matemáticas” para hablar de una sola “matemática”.
El lanzamiento del Sputnik por los soviéticos impulsó a los norteamericanos a iniciar una renovación
de la enseñanza de las ciencias y de las matemáticas en la educación secundaria y media, para
preparar los futuros científicos que alcanzaran a los soviéticos en la carrera espacial. Numerosos
programas experimentales de las matemáticas fueron desarrollados por grupos de expertos, quienes
creyeron encontrar en la teoría de conjuntos y la lógica matemática los medios más aptos para lograr
que todos los niños tuvieran fácil acceso a las matemáticas más avanzadas.
Surge así la llamada “Nueva Matemática” o “Matemática Moderna” (New Math) en los años 60 y 70,
que produjo una transformación de la enseñanza y cuyas principales características fueron: énfasis
en las estructuras abstractas; profundización en el rigor lógico, lo cual condujo al énfasis en la
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fundamentación a través de la teoría de conjuntos y en el cultivo del álgebra, donde el rigor se
alcanza fácilmente; detrimento de la geometría elemental y el pensamiento espacial; ausencia de
actividades y problemas interesantes y su sustitución por ejercicios muy cercanos a la mera
tautología y reconociendo de nombres.
Para atender a esta reforma, en nuestro país se promulgó el decreto 1710 de 1963, que establecía
los programas para primaria, diseñados con el estilo de objetivos generales y objetivos específicos
conductuales, propios de la época, y en ese mismo estilo se diseñó el decreto 080 de 1974 para los
programas de secundaria.
Muy pronto, a comienzos de la misma “ Matemática Moderna” y en los años 70, se empezó a percibir
que muchos de los cambios introducidos no habían resultado muy acertados, que los problemas e
inconvenientes surgidos superaban las supuestas ventajas que se esperaba conseguir como el rigor
en la fundamentación, la comprensión, la modernidad y el acercamiento a la matemática
contemporánea.
Se inicio entonces, en los 70 y 80, el debate entre los partidarios de esta “Nueva Matemática” y los
que querían que se volviera a lo básico: Las cuatro operaciones con enteros, fraccionarios y
decimales. Este movimiento Back to Basics (volver, regresar a lo básico o a lo fundamental), tuvo
muchos defensores entre los matemáticos calificados, maestros y padres de familia, quienes decían
que los niños aprendían muchas palabras raras, aprendían operaciones entre conjuntos y símbolos
lógicos y no podían hacer operaciones entre naturales ni fraccionarios. En nuestro País se decía
que a los niños les estaba dando “conjuntivitis”.
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Tradicionalmente las reformas que ocurrían en nuestro país no iban más allá de algunas adiciones,
algunas supresiones y de la reorganización de los contenidos.
En 1975, la administración López Michelsen inició una reforma escolar amplia, que se llamo
Mejoramiento cualitativo de la educación, en la cual se propuso la renovación de programas, la
capacitación del magisterio y la disponibilidad de medios Educativos, como estrategias para mejorar
la calidad de la Educación. Para llevar a cabo tal propósito, en 1976 se creó en el Ministerio de
Educación la Dirección General de Capacitación y Perfeccionamiento Docente, Currículo y Medios
Educativos, la cual diseñó y experimentó en algunas escuelas del país un currículo para los grados
primero a tercero.
En 1978, se nombró como asesor del ministerio para la reestructuración de las matemáticas
escolares al doctor Carlos Eduardo Vasco Uribe, por comisión de la Universidad Nacional, y con un
grupo de profesionales de esa dirección se comenzó a revisar los programas de matemáticas de
primero a tercero, y se consideró esencial la elaboración de un marco Teórico global que permitiera
precisar los criterios con los cuales se deberían hacer la revisión y el diseño de los programas de los
nueve grados de la educación básica.
El enfoque propuesto para los programas de matemáticas de la renovación Curricular pretendió
superar las limitaciones de las dos escuelas mencionadas, Seleccionando los aspectos positivos
que tenía el enfoque conceptual de la nueva matemática sin caer en enseñar lógica y conjuntos, y
ofrecer esos criterios teóricos que permitieran la toma de decisiones.
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Para la preparación de sus clases, el marco teórico del programa de matemáticas propuso al
maestro enfocar los diversos aspectos de las matemáticas como sistemas y no como conjuntos.
Esto se llamó “Enfoque de Sistemas” y propuso acercarse a las distintas regiones de la matemática,
los números, la geometría, las medidas, los datos estadísticos, las misma lógica, y los conjuntos
desde una perspectiva sistemática que los comprendiera como totalidades estructuradas, con sus
elementos, sus operaciones, y sus relaciones.
El enfoque del programa también propuso al docente distinguir cuidadosamente entre el sistema
simbólico (que se escribe, se pinta, o se habla), el sistema conceptual (que se piensa, se construye,
se elabora mentalmente) y los sistema concretos ( de donde los niños pueden sacar los conceptos
esperados).
La sugerencia pedagógica del programa es la de explorar los sistemas concretos que ya utilizan los
niños, para partir de ellos hacia la construcción de los sistemas conceptuales respectivos; cuando
ya se ha iniciado la construcción de éste, el mismo estudiante puede desarrollar sistemas
simbólicos apropiados, aprender los usuales y aún traducir de unos sistemas simbólicos a otros.
La renovación curricular, como proyecto de largo aliento, con casi 20 años de diseño,
experimentación, revisión y de aplicación gradual, ha sido uno de los programas de largo plazo del
Ministerio de Educación. Este programa marcó una etapa de concreción de una propuesta
curricular fruto de una búsqueda que se entregó al país no para copiarla y seguirla al pie de la letra,
sino para ver formas de trabajar unidades didácticas de manera activa, que permitieran avanzar en
la conceptualización y la fundamentación de las propuestas pedagógicas.
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Un análisis crítico de la Renovación Curricular de Matemáticas debe detenerse, entre otros aspectos,
en los aportes al incremento de la capacidad de conceptualizar. Los programas extensos con
actividades y sugerencias metodológicas tienen el propósito de satisfacer necesidades de
actualización sentidas por los docentes.
El análisis de la Ley General de la Educación, ley 115 de 1994, permite identificar los desarrollos
pedagógicos obtenidos en los decenios anteriores, que fueron asumidos en las políticas educativas
actuales. En particular, el Enfoque de Sistemas que se adoptó para el área de las matemáticas en la
Renovación Curricular se retoma los artículos 21 y 22 de la mencionada ley.
Los lineamientos curriculares para el área de matemáticas aquí propuestos toman como punto de
partida los avances logrados en la Renovación curricular, uno de los cuales es la socialización de un
diálogo acerca del Enfoque de sistemas y el papel que juega su conocimiento en la didáctica.
El enfoque de estos lineamientos está orientado a la conceptualización por parte de los estudiantes,
a la comprensión de sus posibilidades y al desarrollo de competencias que le permita afrontar los
retos actuales como son la complejidad de la vida y del trabajo, el tratamiento de conflictos, el
manejo de la incertidumbre y el tratamiento de la cultura para conseguir una vida sana.
El trabajo que implica desarrollar la ley general de la educación incluye la conceptualización de los
logros curriculares y de sus indicadores también en el área de matemáticas. Todos los esfuerzos
individuales y grupales que puedan hacerse en este sentido deben ser socializados y discutidos
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ampliamente con el propósito de aprovecharlos en toda su riqueza de modo que se vayan
consolidando procedimientos que faciliten un trabajo sistemático, serio y útil para todos los docentes
y estudiantes.
Ubicados en un contexto de descentralización educativa y ejercicio de la autonomía escolar se
puede inferir la diferencia entre el currículo nacional que ofrecía El MEN hasta 4 años y los
lineamientos actuales. Los programas por áreas señalaban las temáticas, las metodologías
recomendadas y las evaluaciones más viables.
Ahora los lineamientos buscan incrementar la formación de quienes hacen currículo y de quienes
asesoran a las instituciones educativas para que lleven a cabo sus procesos curriculares dentro del
proyecto educativo institucional. Deben servir de orientación pero no remplazan a los docentes en
las decisiones que les corresponden tomar en asuntos como contenidos, metodologías y estrategias
para la participación.
En este sentido, los programas de matemáticas de la renovación curricular que no tienen el carácter
de Currículo Nacional se constituyen en una propuesta que pueden ser consultada por los docentes
y utilizada para enriquecer el currículo del P.E.I.
Otro antecedente que ha abierto nuevas posibilidades para pensar los currículos es el surgimiento
de organizaciones nacionales e Internacionales cuyo propósito es estudiar las características que
debe reunir la educación matemática para que cumpla los diversos propósitos que la sociedad
espera de ella. Propósitos que van desde el desarrollo de competencias básicas para realizar
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ejercicios cotidianos de cuentas, hasta el cultivo de las capacidades cognitivas y meta cognitivas que
pueden ser empleadas en la educación superior y que hagan progresar la ciencia y la tecnología.
Cada vez tiene más fuerza la convicción de que la orientación de la educación matemática se logra
más efectivamente cuando se asume en forma compartida. Prueba de ello son el Comité
Interamericano de Educación Matemática, La Comisión Internacional De Educación Matemática y
las demás asociaciones y organismos que desde hace 30 ó 40 años llevan a cabo un trabajo
continuado para preguntar Qué hay que enseñar y aprender en educación matemática tanto en la
educación básica como en la Media y Superior.
Internacionalmente ha habido también interés por la evaluación de los resultados de la educación
matemática en los primeros niveles de la educación formal. Por ejemplo, los tres estudios
internacionales que han evaluado los logros de los estudiantes: el primer estudio internacional de
matemática ( First Internacional Mathematics Study, FIMS), el segundo estudio internacional de
matemáticas (Second International Mathematics Study, SIMS) y el tercer estudio internacional de
matemáticas y ciencias (Third International Mathematics and Sciences Study, TIMSS) Colombia
participó en este último junto con otros 40 países, teniendo como marco los programas de la
renovación curricular.
También cuento con evaluaciones nacionales sobre la calidad de la educación en matemáticas.
Desde 1991 el Servicio Nacional de Pruebas del ICFES, el Grupo de Matemáticas del Ministerio de
Educación Nacional y varias universidades y docentes han adelantado una investigación sobre la
calidad de la educación en los grados 3, 5, 7º y 9º : Esas informaciones están contenidas en
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diversas publicaciones que el Ministerio de Educación Nacional ha entregado al país para que sean
estudiadas y debatidas ampliamente de modo que constituyan una fuente de criterios para toma de
decisiones Nacionales, Regionales y Locales. Las publicaciones mencionadas son las
correspondientes a Saber del Sistema Nacional de Evaluación de la Educación, SNE y la del TIMSS
ya mencionado.
Ellas constituyen un material de consulta necesaria para todos cuantos intervienen en la educación
matemáticas por que presentan estudios muy completos acerca de lo que los alumnos están
aprendiendo con más efectividad, sobre dificultades y tendencias erróneas, así como sobre niveles
de logro que alcanzan y factores asociados a la enseñanza y el aprendizaje.
Las publicaciones mencionadas incluyen, además, información amplia sobre las preguntas hechas
en las evaluaciones de estudiantes y los análisis llevados a cabo. Tal vez nunca había contado el
país con una información similar en la cual hay estudios nacionales que simultáneamente con
estudios internacionales pueden orientar el currículo de matemáticas de la educación formal. Al
respecto conviene señalar que el TIMSS considera el currículo como una variable central y lo estudia
en tres niveles: el propuesto, el desarrollado, el logrado.
Al Ministerio de Educación Nacional en todas sus instancias, a las secretarías de educación, a las
universidades, centros de investigación, instituciones educativas, docentes, consejos académicos
corresponden comprender la importancia que tienen las evaluaciones de la educación matemática
llevadas a cabo en Colombia, y tomar las decisiones que sean necesarias y pertinentes para
aprender de la experiencia y orientar el currículo hoy.
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Finalmente, desde hace unos veinte años se han venido creando y desarrollando sociedades de
matemáticas, una Sociedad Colombiana de Matemáticas y diversas sociedades departamentales
que entre sus propósitos incluyen el de ofrecer espacios de estudio y debate de diversos aspectos
curriculares como contenidos, metodologías, evaluación y formación de educadores.
Son muchos los educadores colombianos que han ampliado su formación y enriquecido su visión de
la educación acerca de las ciencias matemáticas. En ellos tiene el país un grupo de apoyo
importante para lograr la transformación del currículo de esta área del conocimiento1.
6.2 CONCEPTOS E IMPLICACIONES DE LA DIDACTICA MATEMÁTICA.
Antes de abordar esta reflexión nos parece pertinente hacer referencia a una exploración realizada
con cerca de 100 docentes de diferentes niveles de la enseñanza básica y con algunos estudiantes
del programa de especialización en docencia de las matemáticas, acerca de sus concepciones sobre
la naturaleza de las matemáticas y la naturaleza del conocimiento matemático escolar con el objeto
de contrastar dichas concepciones con las planteadas en literatura especializada, así como las
percibidas por nosotros a lo largo de nuestra experiencia.
Con respecto a las matemáticas, algunos docentes encuestados las asumen como un cuerpo
estático y unificado de conocimientos, otros las conciben como un conjunto de estructuras
interconectadas, otros simplemente como un conjunto de reglas, hechos y herramientas; hay
quienes las describen como la ciencia de los números y las demostraciones.
1 M.E.N. Lineamientos Curriculares. Matemáticas, Santafe de Bogotá. 1998. Págs. 15 – 18.
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En lo que al hacer matemático se refiere, algunos profesores la asocian con la actividad de
solucionar problemas, otros con el ordenar saberes matemáticos establecidos y otros con el
construir nuevos saberes a partir de los ya conocidos, siguiendo reglas de la lógica.
El conocimiento matemático escolar es considerado por algunos como el conocimiento cotidiano
que tiene que ver con los números y las operaciones, y por otros, como el conocimiento matemático
elemental que resulta de abordar superficialmente algunos elementos mínimos de la matemática
disciplinar. En general consideran que las matemáticas en la escuela tienen un papel esencialmente
instrumental, que por una parte se refleja en el desarrollo de habilidades y destrezas para resolver
problemas de la vida práctica, para usar ágilmente el lenguaje simbólico, los procedimientos y
algoritmos y, por otra, en el desarrollo del pensamiento lógico-formal.
Trataremos de explorar el origen de algunas de las concepciones anteriormente descritas, a la luz
de posturas teóricas de filósofos, de matemáticos y de educadores matemáticos, desde diferentes
ámbitos, con el propósito fundamental de analizar las implicaciones didácticas de dichas
concepciones.
¿De dónde proviene las concepciones acerca del conocimiento matemático escolar?
Los lineamientos curriculares del área de las matemáticas expedido por el Ministerio de Educación
Nacional en el año 1998 expresa lo siguiente:
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La historia da cuenta de siglos y siglos de diversas posiciones y discusiones sobre el origen y la
naturaleza de las matemáticas es decir, sobre si las matemáticas existen fuera de la mente humana
o si son una creación suya; si son exactas e infalibles o sin son falibles, corregibles, evolutivas y
provistas de significado como las demás ciencias.
A. EL PLATONISMO
Este considera las matemáticas como un sistema de verdades que han existido desde siempre e
independientemente del hombre. La tarea del matemático es descubrir esas verdades matemáticas,
ya que en cierto sentido está “ sometido” a ellas y las tiene que obedecer. Por ejemplo, si
construimos un triángulo rectángulo de catetos c, d y de hipotenusa h, entonces irremediablemente
encontraremos que: h2 = c2 + d2.
El platonismo reconoce que las figuras geométricas, las operaciones y las relaciones aritméticas no
resultan en alguna forma misteriosas; que tienen propiedades que descubrimos sólo a costa de un
gran esfuerzo; que tienen otras que nos esforzamos por descubrir pero no lo conseguimos, y que
existen otras que ni siquiera sospechamos, ya que las Matemáticas trascienden la mente humana, y
existen fuera de ella como una “realidad ideal” independiente de nuestra actividad creadora y de
nuestros conocimientos previos.
¿Cuántos de nuestros profesores y estudiantes pertenecerán, sin proponérselo, y más aún sin
saberlo, al platonismo? ¿Cuáles implicaciones favorables y cuáles desfavorables se pueden originar
en esa situación? ¿Cuál sería, para la corriente del platonismo, un concepto de pedagogía activa
coherente con su posición filosófica?
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B. EN EL LOGICISMO
Esta corriente de pensamiento considera que las matemáticas son una rama de la lógica, con vida
propia, pero con el mismo origen y método, y que son parte de una disciplina universal que regiría
todas las formas de argumentación. Propone definir los conceptos matemáticos mediante términos
lógicos, y reducir los teoremas de las matemáticas, mediante el empleo de deducciones lógicas.
Prueba de lo anterior es la afirmación de que “la lógica matemática es una ciencia que es anterior a
los demás, y que contiene las ideas y los principios en que se basan todas las ciencias “(DOU,
1970: 59), atribuida a Kurt Gödel (1906) y que coincide, en gran medida, con el pensamiento
aristotélico y con el de la escolástica medieval. Claro que hay que tener en cuenta que para los
antiguos, la lógica era más un arte que una ciencia: un arte que cultiva la manera de operar
válidamente con conceptos y proposiciones; un juego de preguntas y respuestas; un pasatiempo
intelectual que se realizaba en la Academia de Platón y en el Liceo de Aristóteles, en el que los
contendientes se enfrentaban entre sí mientras el público aplaudía los ataques y las respuestas.
Esta corriente reconoce la existencia de dos lógicas que se excluyen mutuamente: La deductiva y la
inductiva. La deductiva busca la coherencia de las ideas entre sí; parte de las premisas generales
para llegar a – conclusiones específicas. La inductiva procura la coherencia de las ideas con el
mundo real; parte de la observaciones específicas para llegar a conclusiones generales, siempre
provisorias, que va refinando a través de experiencias y contrataciones empíricas.
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Una de las tareas fundamentales del logicismo es la “Logificación” de las matemáticas, es decir, la
reducción de los conceptos matemáticos a los conceptos lógicos. El primer paso fue la reducción o
Logificación del concepto de número. En este campo se destaca el trabajo de Gottlog Frege (1848-
1925) quien afirma”... Espero haber hecho probable que las leyes aritméticas son juicios analíticos y
por tanto a priori.
El logicismo, lo mismo que otras teorías sobre fundamentos de las matemáticas, tiene que afrontar
el delicado reto de evitar caer en las paradojas, sin que haya conseguido una solución plenamente
satisfactoria, después de un siglo de discusiones y propuestas alternativas. Entre los problemas que
reaparecen en la discusión sobre filosofía de las matemáticas, está el de la Logificación o
aritmetización del continuo de los números reales: ¿se puede entender lo continuo (los reales) a
partir de lo discreto (Aritmética de los Naturales)?.
¿Cuál es, cómo Docentes o como estudiantes, nuestra posición frente a esta forma de concebir las
matemáticas y la lógica?
C. EL FORMALISMO
Esta corriente reconoce que las matemáticas son una creación de la mente humana y considera que
consisten solamente en axiomas, definiciones y teoremas como expresiones formales que se
ensamblan a partir de símbolos, que son manipulados o combinados de acuerdo con ciertas reglas o
convenios preestablecidos. Para los formalistas las matemáticas comienzan con la inscripción de
símbolos en el papel; la verdad de las matemáticas formalista radica en la mente humana pero no en
las construcciones que ella realiza internamente, sino en la coherencia con las reglas de juego
simbólico respectivo. En la actividad matemática, una vez fijados los términos iniciales y sus
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relaciones básicas, ya no se admite nada impreciso u oscuro; todo tiene que ser perfecto y bien
definido. Las demostraciones tienen que ser rigurosas, basadas únicamente en las reglas del juego
deductivo respectivo e independiente de las imágenes que asociemos con lo términos y las
relaciones.
¿Qué tanto énfasis formalista hay en ala educación matemática en nuestros establecimientos
educativos? ¿Qué actitud produce este tratamiento formalista en la mayoría de nuestros
estudiantes? ¿Qué piensan ellos sobre esto? ¿Qué clase de implicaciones tiene este hechos en el
desarrollo integral y pleno de los estudiantes?.
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D. EL INTUICIONISMO
Considera las matemáticas como el fruto de la elaboración que hace la mente a partir de lo que
percibe a través de los sentidos y también como el estudio de esas construcciones mentales cuyo
origen o comienzo puede identificarse como la construcción de los números naturales.
Puede decirse que toda la matemática griega, y en particular la aritmética, es espontáneamente
intuicionista, y que la manera como Kant concebía la aritmética y la geometría es fundamentalmente
intuicionista, por más que el intuicionismo como escuela de filosofía de las matemáticas se haya
conformado sólo a comienzos del siglo XX.
El principio básico del intuicionismo es que las matemáticas se pueden construir; que han de partir
de lo intuitivamente dado, de lo finito, y sólo existe lo que en ellas haya sido construido mentalmente
con ayuda de la intuición.
El fundador del intuicionismo moderno es Luitzen Brouwer (1881-1968), quien considera que en
matemáticas la idea de existencia es sinónimo de constructibilidad y que la idea de verdad es
sinónimo de demostrabilidad. Según lo anterior, decir de un enunciado matemático que es
verdadero equivale a afirmar que tenemos una prueba constructiva de él.
De modo similar, afirmar de un enunciado matemático que es falso significa que si suponemos que
el enunciado es verdadero tenemos una prueba constructiva de que caemos en unas contradicción
como que el uno es mismo dos.
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Conviene aclarar que el intuicionismo no se ocupa de estudiar ni descubrir las formas como se
realizan en la mente las construcciones y las intuiciones matemáticas, sino que supone que cada
persona puede hacerse consciente de esos fenómenos. La tensión a las formas como ellos ocurren
es un rasgo característico de otra corriente de los fundamentos de las matemáticas: el
constructivismo, al cual nos referimos enseguida.
E. EL CONSTRUCTIVISMO
Esta muy relacionado con el intuicionismo pues también considera que las matemáticas son una
creación de la mente humana, y que únicamente tiene existencia real aquellos objetos matemáticos
que pueden ser construidos por procedimientos finitos a partir de objetos primitivos. Con las ideas
constructivista van muy bien algunos planteamientos de Georg Cantor(1845-1918): ” la esencia de
las matemáticas es su libertad. Libertad para construir, libertad para hacer hipótesis” (Davis Hersh,
1988: 290).
El constructivismo matemático es muy coherente con la pedagogía activa y se apoya en la
psicología genética; se interesa por las condiciones en las cuales la mente realiza la construcción
de los conceptos matemáticos, por la forma como los organiza en Las estructuras y por la
aplicación que les da; todo ello tiene consecuencias inmediatas en el papel que juega el estudiante
en la generación y desarrollo de sus conocimientos. No basta con que el maestro haya hecho las
construcciones mentales; cada estudiante necesita a su vez realizarlas; en esto nada ni nadie lo
puede reemplazar.
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28
Tal vez resulte provechoso para docentes y estudiantes hacer una reflexión en torno a este tema
de las filosofía de las matemáticas, y en torno a preguntas como las formuladas. Podría optarse por
la realización de mesas redondas con todo el curso o varios cursos. Una reunión previa de los
profesores de matemáticas, y una serie de lecturas y discusiones entre colegas, pueden ayudar a
que esas mesas redondas sean fructíferas, más animadas y más productivas para el cambio de
actitud de profesores y alumnos hacia las matemáticas.2
Dada la importancia que tiene la teoría de las competencias interpretativas y el análisis que hace el
Dr. Bogoya Maldonado Daniel presentaré en el 4.4 la apreciación de dicho autor.
6.3 EL ÁREA PROBLEMÁTICA DE LAS COMPETENCIAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Cualquier planteamiento que se elabore sobre las competencias en matemáticas, no puede
desconocer el importante desarrollo de las investigaciones que desde la Educación Matemática se
han generado en torno a ellas, todas en el marco de los distintos dominios conceptuales de la
matemática. Es por esta razón que una concepción sobre el significado de la competencia en este
campo, si bien comparte elementos de los enfoques que desde otras disciplinas (Sociolingüística,
Psicología) se han asumido, su significado en la educación matemática se encuentra estrechamente
relacionado con la naturaleza propia de ésta, con la naturaleza esencial de la matemática; estos
aspectos marcan los objetivos y fines que se proponen en la actualidad para la educación
matemática y por ende para la evaluación.
2 Lineamientos Curriculares Matemáticos. Santafe de Bogotá. 1998. Pags. 22 - 25
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29
Particularmente, la evaluación ha venido siendo fuertemente replanteada al interior del campo,
acorde con los cambios radicales que se proponen en las reformas curriculares de los diferentes
países. Entre los principios que se destacan en estas reformas cabe señalar entre otros, el de una
matemática, amplia y profunda, que permita abordar diversidad de situaciones problemáticas, que
potencie para un desarrollo permanente, que sea abierta a todos los estudiantes, que coloque el
acento en el proceso de hacer matemáticas más que en considerar el conocimiento matemático
como un producto, etcétera.
Esta nueva perspectiva ha obligado a reexaminar de manera significativa la función social de la
educación matemática, los contenidos, la enseñanza y el aprendizaje e indudablemente los
principios con los que se aborda el proceso de evaluación.
Es desde estos nuevos referentes que se han modificado los ejes y los criterios para dar cabida a
una nueva concepción de evaluación en la que encaja coherentemente la noción de competencia
que se viene construyendo. Consideramos necesario entonces describir de manea general los
planteamientos citados, con el ánimo de ampliar el marco de referencia de la evaluación de
competencias básicas y discutir con mayor profundidad en un futuro, las implicaciones que podrían
tener los resultados de las pruebas en cambio significativos de las prácticas pedagógicas en las
escuelas del Distrito.
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30
6.3.1 Sobre la relación entre el currículo y la evaluación.
En el panorama internacional, los esfuerzos para mejorar la calidad de la educación matemática
escolar, se orientan desde una nueva visión de lo que significa poseer una cultura matemática y se
dirigen en la mayoría de los países, a un propósito central de democratizar la adquisición de dicha
cultura: matemática para todos. Ello ha obligado a repensar los currículos y por ende las
propuestas de evaluación que posibilitan el logro de estos propósitos. Entre otros aspectos, este
replanteamiento ha llevado a redimensionar y ampliar los criterios de evaluación para que los
resultados de ésta se integren como indicadores de la docencia y permiten, entre otros:
Tomar decisiones en cuanto al contenido y a formas de transposición didácticas de las
matemáticas.
Tomar decisiones en cuanto a los ambientes de la clase (NCTM, 1989, estándares curriculares
y de evaluación para la educación Matemática, traducción al español de la sociedad Andaluza
de educación Matemática, Sevilla – España).
A la par, se ha discutido ampliamente sobre la coherencia entre las propuestas de evaluación y los
ejes curriculares. Los criterios que definen estas nuevas propuestas enfatizan precisamente en la
valoración de los ejes que son ya comunes en los documentos de casi todos los países, los cuales
hablan de colocar el acento en: la matemática como resolución de problemas, la matemática como
razonamiento, la matemática como comunicación y la conexiones matemáticas. Los criterios de
evaluación proponen valorar, por ejemplo, hasta qué grado el estudiante ha integrado a su hacer el
conocimiento matemático y le ha dado sentido y significado a poder aplicarlo en situaciones que
requieren para su solución razonamiento y modelación matemática. Particularmente anotan que
-
31
debe valorarse la capacidad para aplicar lo que saben a la resolución de problemas dentro de la
matemática y en las otras disciplinas; la capacidad de utilizar el lenguaje matemático para
comunicar ideas y la capacidad de razonamiento y análisis.
Desde esta redimensión de los criterios y de la coherencia que deben guardar con lo curricular, es
posible entonces deducir que el significado de la competencia tal como ha sido postulado desde
otras ciencias, es incorporado a la educación matemática, para reconocer no sólo su existencia
como criterio propio de toda actuación del ser cognitivo, sino en la posibilidad de desarrollo y de
competencias del experto. Compartimos este planteamiento, por cuanto la escuela cumple una
función social, la de distribuir y ubicar a los sujetos en la cultura, pero su gran reto es lograr que los
estudiantes desarrollen competencias y se preparen para la transición al logro de las competencias
de los expertos.
6.3.2 De los contenidos matemáticos a los campos y dominios conceptuales
La coherencia entre currículo y evaluación implica necesariamente replantear la forma tradicional
como la escuela ha venido presentando los objetos de enseñanza. Específicamente en la
enseñanza de las matemáticas, la selección de los contenidos a enseñar tradicionalmente ha
estado soportada exclusivamente por la estructura lógico-formal de la disciplina matemática y
marcada fundamentalmente, por una concepción epistemológica que concibe el conocimiento
matemático como un producto acabable e inmodificable. La reforma actual parte de nuevas
concepciones acerca de la matemática y la matemática escolar, en las que hace énfasis en su
dimensión constructiva, en el reconocimiento de la relación que existe entre el conocimiento
-
32
matemático y el contexto cultural (Las construcciones matemáticas son el resultado de
producciones culturales, del quehacer humano en el seno de culturas determinativas; su desarrollo
se realiza en el tiempo y está inscrito en instituciones; el vehículo de evolución del conocimiento
matemático a través de la historia y la cultura es el LENGUAJE). Esta concepción sitúa a las
matemáticas y a las matemáticas escolares en relación con los problemas que suscitaron la
aparición y desarrollo de conceptos y teorías.
De allí se derivan además importantes énfasis como el de la resolución de problemas, como un
principio orientador del trabajo en matemática escolar u otros referidos a los cambios en las formas
de transposición, Particularmente, en lo relativo a las nuevas formas de transposición, aparece una
concepción epistemológica que reconoce con primordial, en el trabajo escolar, las distintas
aproximaciones asociadas a los objetos matemáticos en su evolución como objetos matemáticos.
En este sentido investigadores como VERGNAUD (1.994) han redimensionado el carácter de los
conceptos matemáticos mismos, en términos de establecer que una situación o problema no puede
ser analizada con un solo concepto matemático, ni el concepto se encuentra en una única situación.
El concepto matemático se encuentra inmerso y surge de un conjunto de problemas y situaciones,
en las cuales sufre diversos tratamientos, se explicita a través de sus diversas representaciones de
las diferentes variantes que lo constituyen como objeto matemático. Sobre esta base VERGNAUD
elabora la teoría de los campos conceptuales, construida sobre el análisis de situaciones
problema en donde una diversidad de conceptos y procedimientos matemáticos estrechamente
relacionados son necesarios para determinar la solución. Un ejemplo, de esta construcción lo
constituye el campo conceptual de la multiplicación. La estructura multiplicativa que abarca desde la
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33
operación primitiva de multiplicar y dividir en su significado más primario (Sumas y Restas repetidas),
hasta avanzar para conceptualizarse como un ente autónomo, concepto de razón, donde las
fracciones y los números racionales se constituyen en expresiones de la estructura. En su desarrollo
posterior esta misma estructura abarca entre otras, la construcción de las funciones lineales y no
lineales. Se infiere entonces que el campo conceptual conjuga muchos tipos de conocimiento
matemático, agrupa importantes procedimientos y procesos matemáticos. En consecuencia el
desempeño en este campo integra la experiencia cultural del estudiante con la matemática (El uso
primario de la multiplicación como suma repetida, por ejemplo). Se reconoce además que la
experiencia cultural del estudiante, no lo enfrenta con un objeto matemático aislado, ni lo pone en
contacto directo con ellos, es a través de la solución de las situaciones y problemas por los cuales el
estudiante desarrolla las competencias no formales sobre las matemáticas.
Desde estas nuevas concepciones sobre las matemáticas escolares y con el soporte de resultados
de investigación sobre los procesos de construcción de las matemáticas escolares se construye la
noción de dominio conceptual como una forma de organizar el conocimiento matemático cuando es
objeto de enseñanza. GREENO en 1.991 elaboró particularmente el constructor sentido numérico y
dominio conceptual de lo numérico, para establecer desde la metáfora del medio ambiente
ecológico las estrechas relaciones que determinan la comprensión del número y sus usos, Greeno
elabora un análisis entre os distintos ambientes naturales (Rural, Urbano y otros) y los ambientes
conceptuales construidos por comunidades académicas. En uno y otro vivir y desempeñarse en el
medio ambiente exige entre otros la INTERACCION con los recursos, el conocimiento de los
diferentes recursos y el conocimiento para encontrar nuevos recursos. El desenvolvimiento en el
medio ambiente depende no solo de la interacción con los objetos propios del medio, sino y
-
34
fundamentalmente de la actividad social y la interacción con los otros. Greeno parte de esta
metáfora para describir un dominio conceptual y el desarrollo del sentido. El dominio está
estructurado por las relaciones y desarrollos de conceptos, procedimientos, razonamientos,
propiedades de la estructura matemática que se organiza bajo este criterio. Las distintas situaciones
y problemas donde el dominio toma sentido y significado conforman el medio ambiente. La
posibilidad de incorporar estos aportes al aula de matemáticas, requiere un determinado enfoque de
la enseñanza, pues exige crear una atmósfera que anime a los estudiantes a explorar, verificar,
buscar el sentido de la actividad matemática y fundamentalmente requiere seleccionar actividades
que impliquen a los estudiantes en forma interactiva.
Estos aportes se contraponen a las formas tradicionales que se ha venido trabajando en las aulas,
una presentación esquemática de contenidos, mostrando que la matemática se articula en una serie
de redes conceptuales relacionadas unas con otras, y por tanto los estudiantes a través del tiempo,
van logrando ser competentes en el uso de redes cada vez más abstractas y generales.
6.3.3 Constructor relacionados con las competencias matemáticas
De los planteamientos anteriormente descritos se deriva un marcado interés por lograr cambios en
los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas y por ende en la evaluación,
orientados a alcanzar un real impacto en la calidad de la formación para que está desempeñe un
verdadero papel social. Lo anterior conlleva a colocar la atención sobre el punto de vista pragmático
de las mismas, sobre el uso con significado y no exclusivamente sobre el significado formal de
conocimientos y procedimientos de las matemáticas.
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35
Tal preferencia, parte de situar la reflexión sobre la matemática y los sistemas de representación, se
soporta en el conocimiento de que los objetos matemáticos no son directamente accesibles a la
percepción o a una experiencia intuitiva inmediata, es decir, no comparten la naturaleza de los
objetos comúnmente llamados reales o físicos. El acceso a estas entidades tiene lugar a través de
los diversos sistemas de representación constituidos por la comunidad matemática, en los procesos
de gestación de los objetos matemáticos; estos sistemas además de constituirse en medios con los
cuales se elaboran las teorías, cumplen una función de objetivación, están compuestos de registros
diferentes, y cada registro remite a un sistema de significados y de funcionamiento. En
consecuencia, la actividad matemática está fuertemente ligada a al aprehensión y /o a la producción
de sistemas de representación.
El planteamiento anterior ha llevado a investigadores como KAPUT, JANVIER, FILLOY y DUVAL a
trabajar profundamente interrelaciones con disciplinas como la SEMIOTICA y a insistir en la
importancia de trabajar en el aula de matemáticas diversos sistemas de representación.
Para investigadores como FILLOY (1.999), por ejemplo, la atención del aprendizaje debe ser
colocada sobre el punto de vista pragmático y el uso con significado, con preferencia al exclusivo
significado formal: Anota que tanto la gramática (Sistema Formal abstracto) como la pragmática
(Principio de usos del lenguaje matemático), son dominios complementarios del conocimiento
matemático y por lo tanto deben ser dominios relacionados en los diferentes modelos de la
enseñanza de las matemáticas.
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36
La presencia de la carga semántica (La práctica o experiencia con ciertos usos de nociones y
procedimientos matemático) producida por la experiencia cultural del estudiante juega un papel
decisivo en la comprensión de los resultados de la evaluación, por cuanto aportan ala comprensión
de errores y de las concepciones de los estudiantes, devenidos de la lógica natural y de los usos
pragmáticos de la matemática.
Tratar de dar sentido y significados a conceptos y operaciones matemáticas, supone priorizar en la
enseñanza el trabajo con modelos, donde los objetos matemáticos, son los modelos de organización
de un campo de fenómenos. Un ejemplo de este enfoque aparecería en la discusión el concepto de
número natural: Los números se usan en contextos de secuencia, recuento, con sentido cardinal u
ordinal, de medida, de etiqueta y de cálculo. Cuando se dice mi número de teléfono es tres, ocho,
cuatro... el número se refiere a un objeto, no describe una propiedad suya, ni de su relación con
otros; cuando se dice llego cuarto, el número se refiere a un objeto que está en un conjunto
ordenado de objetos y describe el lugar que ocupa; cuando el número describe la numerosidad del
conjunto, hay tres, el número es un cardinal. Como objeto matemático, el número ha sido definido en
dos perspectivas como ORDINAL y como CARDINAL. La totalidad de los usos de los números en
diversos contextos constituye el campo semántico de número. El contexto donde se usa el número
establece una restricción semántica sobre el concepto de número, pero el contexto particular actúa
como el medio para producir el sentido personal. En las matemática escolar deberían presentarse
entonces las diversas situaciones en las cuales el número organiza los contextos, para lograr una
sólida constitución del significado del objeto matemático de número. Estos planteamientos
introducen, desde luego nuevos ejes para valorar lo aprendido, haciendo énfasis en las diversas
interpretaciones y sentido que le otorguen a lo aprendido.
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Por tal razón una evaluación de competencias sobre el sentido numérico mostrará posiblemente
carencias desde el campo semántico al cual dependen, desde luego, del tipo de prácticas
prototípicas que privilegie la institución escolar. Se propone en la evaluación de competencias un
modelo abierto que incluya, por un lado, distintos campos semánticos de los conceptos,
procedimientos y objetos matemáticos, y por otro, la REELABORACION DEL USO APRENDIDO en
nuevas situaciones, que conduzcan a nuevos sentidos y nuevas interpretaciones.
Analizando aportes, que desde diferentes escuelas de educación matemática se han construido para
ampliar criterios de evaluación coherentes y consistentes con propuestas curriculares y sus fines,
podemos afirmar que en ellos subyace el énfasis en las competencias, pero dotando de significado a
éstas en el marco de los referentes teóricos descritos. El significado de competencia se asocia
entonces a lo que la gente hace con objeto, relaciones, estructuras, procedimientos, formas de
razonamiento, es decir, representa la construcción personal, en el sentido de uso del conocimiento,
lo que hace un estudiante con lo que conoce. “Lo que la competencia muestra son conceptos y
teoremas en acción (VERNAUD, 1.994)”. El desarrollo de las competencias se encuentra
condicionado al tipo de prácticas prototípicas de las instituciones, por estar inmerso en una situación
institucional; por lo tanto, puede establecerse una relación entre los significados personales e
institucionales. Estos aportes ratifican la propuesta de redimensionar los resultados de la evaluación
de las competencias y saberes desde lo educativo, a la luz de aportes y construcciones, que en el
desarrollo de lo educativo se han venido formulando al respecto, lo cual es objeto de este trabajo.
6.3.4 La Relación currículo, evaluación y competencias en la Educación Colombiana.
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38
Las discusiones acerca de los nexos entre las propuestas curriculares y de evaluación en el contexto
educativo colombiano son realmente recientes. La ley General de Educación (1.994) orienta la
estructuración de políticas para modernizar el sistema educativo, se producen acuerdos acerca de lo
curricular y se dan elementos teóricos que intentan conferir un giro radical al componente evaluativo
( Algunos de estos elementos podrían asimilarse a los planteados en las propuestas de evaluación
de competencias) . Se formulan los LOGROS CURRICULARES, con los cuales se dan
orientaciones para los procesos evaluativos, con una fundamentación teórica importante,
fundamentación que en lo sustancial hasta el momento no ha sido realmente apropiada por la
comunidad educativa. En cuanto a evaluación se refiere, los logros y sus respectivos indicadores
han disfrazado simplemente énfasis y prácticas evaluativos tradicionales.
Un análisis de los indicadores de logros propuestos por el MEN (Ministerio de Educación Nacional)
para las matemáticas escolares, permite señalar que éstos comparten los presupuestos señalados
ya en los documentos internacionales y enfatizan en la coherencia y consistencia entre currículo y
evaluación. Expresiones como: “Utiliza significativamente distintos contextos..., Identifica en objetos
y situaciones de su entorno magnitudes..., Formula y resuelve problemas..., representa y analiza...”,
devela que fundamentación teórica acoge como campo de referencia los aportes de la investigación
actual en educación matemática, que desafortunadamente no han sido asumidos por muchisimos
docentes.
En un intento por precisar los anteriores documentos, en 1.998 se formulan los LINEAMIENTOS
CURRICULARES para las áreas obligatorias y fundamentales. Particularmente en lo concerniente a
las matemáticas, los lineamientos se formulan con la participación de algunos grupos de educación
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matemática del país. En el documento se introducen nuevos referentes epistemológicos para las
matemáticas escolares, se insiste en la importancia de una ecología de los significados, de
conceptos matemáticos y en la complejidad del significado en matemáticas. Se establecen como
ejes curriculares el RAZONAMIENTO, la RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, la COMUNICACIÓN, y la
MODELACIÓN.
Paralelamente desde los grupos de trabajo externos a la escuela, pero preocupados por los
parámetros y criterios existentes para la evaluación a través de pruebas estandarizadas, surge la
idea de dar un giro a las tradicionales pruebas introduciendo una nueva noción: La evaluación por
competencias. Para ello se asume y se traslada a las distintas áreas la conceptualización de
competencia comunicativa propuesta por HYMES en el marco de la Sociolingüística. Podemos
señalar que ésta se articula con contextos de habla “Aprender un repertorio de actos de habla, que
expresa a través de frases...” (Evaluación de competencias básicas en Lenguaje y Matemática,
1.998), los contextos de habla no se encuentran inmersos en prácticas prototípicas educativas. Por
tal razón este sentido de competencia lo que permite es reconocer que no hay hablantes imperfectos
o perfectos, sino con diferencias culturales y experiencias heterogéneas.
6.3.4 Inferencias significativas de resultados de evaluación y su coherencia y consistencia
con lo curricular.
Para cerrar este escrito planteamos el inicio de una importante discusión, retomando algunos de los
objetivos propuestos para la evaluación de las competencias básicas en Lenguaje, Matemáticas y
Ciencias:
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Producir y divulgar los fundamentos pedagógicos y disciplinares de la prueba.
Aportar elementos para un seguimiento permanente en los avances de la educación en todos y
cada uno de lo establecimientos.
Aportar una valiosa información a las instituciones educativas para la continua evaluación y
revisión de sus proyectos educativas institucionales.
El grupo que ha construido las pruebas de matemáticas, en la evaluación censal, considera
fundamental dar una amplia discusión en la comunidad de educadores matemáticos, de los
referentes conceptuales de éstas, de los informes de resultados y de sus análisis, para establecer
posibles relaciones entre el significado personal e institucional, con el fin de orientar, a partir de allí,
una sistemática reflexión sobre lo curricular que lleve a priorizar prácticas que potencien el desarrollo
de ciertas competencias.
En lo que concierne a la divulgación de los fundamentos pedagógicos y disciplinares de la prueba
(Que determinan las posibilidades de apoyar escuelas y replantear modelos pedagógicos) y
específicamente en lo que concierne al área, hemos partido de un juicioso análisis de los referentes
investigativos y de las experiencias de trabajo con los docentes; por tal razón, un apoyo a las
instituciones debe sobrepasar la mera explicación sobre el tipo de preguntas o definiciones de
competencias. Un verdadero apoyo supone un trabajo sistemático y continuado con los docentes y
las instituciones en el marco amplio de lo curricular, pues como lo hemos referido en este escrito el
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41
problema del currículo, la evaluación es un problema complejo por cuanto lo soportan teorías
educativas, y no se trata simplemente de un cambio en los modelos pedagógicos3.
6.4 LA MATEMATICA: UNA MATERIA TEMIBLE
El estudio realizado por la Sra. Delia en Buenos Aires Argentina muestra la experiencia de las
matemáticas en este lugar del continente.
Algunos maestros, y muchas personas independientemente de que les guste o no las matemáticas,
coinciden en señalar que es una materia que infunde temor:
“Yo nunca he sido muy buena en matemáticas. La matemática me da como temor... Yo hacía el
esfuerzo y la pasaba... en bachillerato fue peor: Yo tenía que aprenderme todo y salía de un
examen y me olvidaba de todo, hacía lo posible por pasar, aunque sea con 10 puntos (En
Venezuela, la calificación máxima es de 20 puntos, 10 es la nota mínima necesaria para
aprobar una materia). De razonar, nunca. Todavía tengo problemas. He aprendido a sacar
cuentas solo mentalmente, o por ejemplo he aprendido más las medidas: Un tercio, un cuarto
de taza... sobre las onzas, por la necesidad de entender las dietas”.
“Yo creo que la matemática no es difícil, pero la gente si, porque yo creo que se lo inculcan
desde pequeños. Tu oyes por la calle a veces, a los mismos padres que les meten a esos
muchachos que si las Tres Marías, que si matemáticas, física y química, entonces los
muchachos llevan eso en la mente”.
3 BOGOYA, Maldonado Daniel y otros, Competencias y Proyectos Pedagógicos. Universidad Nacional de Colombia. Santafe de Bogotá D. C. Mayo 2000. Pags. 139 – 149.
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Aunque varias personas dicen haber tenido buenas experiencias con matemáticas cuando eran
estudiantes, solo una afirma enfáticamente “A mí me encantan las matemáticas; cuando era niño(a)
me ejercitaba hasta que me salieran bien los ejercicios”.
Son también muchos los niños que señalan la matemática como la materia que menos les gusta y
muy pocos los que la eligen como una de sus materias preferidas. Incluso algunos niños que tienen
muy buen rendimiento en matemáticas expresan opinión adversa hacia ella. Los argumentos que
más frecuentemente esgrimen para justificar su disgusto frente a esta materia son dos:
1- La matemática es muy complicada.
2- No me gusta sacar cuentas.
Un sujeto plantea la situación como un problema familiar “En mi casa a nadie le gusta la
matemática. A mi papá se la metieron por la fuerza”.
Una niña de quinto grado cuyo rendimiento frente al instrumento diagnóstico fue excelente explica
mejor su disgusto frente a la matemática. Como el experimentador expresa su sorpresa ante el
hecho de que a ella no le gusta una materia de la cual sabe tanto, ella se queda pensando y llega a
la siguiente conclusión: “ Lo que pasa es que no me gusta gravarme las cuentas, si la matemática no
fuera recordando los números, me fascinaría.
Varios padres (aunque felizmente no todos), coinciden con las opiniones de niños y maestros. Una
mamá nos confiesa: “ese ha sido mi gran problema: La matemática. La ODIO. Ni estando en el liceo
me ha gustado. Si tuviera quien los ayudara (a los niños) no me mataría con las matemáticas”.
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43
De cualquier modo, todos están restringidos a ocuparse de la matemática, porque no queda otra
posibilidad: “No me gusta, pero los hijos lo ponen a uno a estudiar”, “Me gusta hasta donde la
entiendo... tiene que gustarme porque tengo que enseñarle a los niños”.
¿Cuál es la razón de que la matemática resulte tan temible y poco agradable para los niños y
adultos?, ¿A qué le teme tanto la gente?, ¿ a pensar o a memorizar, a descubrir o a repetir?, ¿a
abordar situaciones cotidianas o a manipular símbolos desprovistos de significados y regidos por
reglas mecánicas?, ¿ a hacer matemáticas o reproducir la versión escolar del conocimiento
matemático?.
Las opiniones de los maestros pueden sintetizarse así: Tiene importancia porque prepara al niño
para razonar con rapidez y por que hay que saber utilizarla en la vida diaria; como una materia
instrumental, (como las lecturas) que ayuda a comprender las demás asignaturas; es una ciencia
muy completa y exacta4.
6.4.1 DIDACTICA DE LAS MATEMATICAS
Coherente con la propuesta de los lineamientos curriculares del área de matemáticas, el marco
conceptual sobre el cual se estructuran los presentes lineamientos para la incorporación de nuevas
tecnologías en el currículo de matemáticas, parte del reconocimiento de que estudiantes, profesores
y saberes matemáticos, en el marco del
sistema educativo, establecen complejas relaciones entre sí, las cuales determinan en gran medida,
las condiciones del desarrollo de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. La
4 LERNER DE ZUNINO, Delia. Matemática en la Escuela, Aique Didáctica. Buenos Aires, Argentina. Pags. 9-11
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44
complejidad de estas relaciones es inherente a su naturaleza social, que no sólo une a profesores y
estudiantes en el proceso constante de negociación e intercambio de sentidos y significados, sino
que debe dar respuesta a las presiones externas del sistema educativo (gremios políticos,
económicos, culturales etc.,) y a las internas (Directivos Docentes, Padres de Familia, Secretarías de
Educación Municipales Etc.,). Así pues, hablar de las relaciones entre sus micro – entornos social y
Físico con el Macro Entorno social, de las relaciones de ambos con los saberes tradicionales tanto
intra – como extra escolares, y de las relaciones entre estudiantes (Vasco, 1990). Todas estas
relaciones se pueden modelar en un esquema como el de la figura 1.
Microentorno Figura 1
En este marco de análisis, el problema de la didáctica no es sólo la enseñanza sino el aprendizaje.
La enseñanza acompaña, redimensiona y fortalece el aprendizaje e implica una estrecha interacción
entre el maestro, el estudiante y el saber, a través de distintos medios y estrategias.
Así pues, hoy en día se reconoce la didáctica de las matemáticas como campo de investigación que
toma los procesos de aprendizaje y de enseñanza de las matemáticas como objetos de estudio,
PROFESOR(ES)
(con su
Ideología Privada)
SABER
Intra y Extra Escolar
ALUMNO(S)
-
45
fundamentalmente en lo que tiene de específico con respecto a las matemáticas. En esta
perspectiva se pueden identificar planteamientos como los que refieren Douady o Dupin (1993).
Douady plantea que “La didáctica de las matemáticas estudia los procesos de transmisión y
adquisición de los diferentes contenidos de esta ciencia, particularmente en situación escolar u
universitaria. Se propone describir y explicar los fenómenos relativos a las relaciones entre su
enseñanza y el aprendizaje... la didáctica se propone actuar sobre el sistema de enseñanza en un
sentido “benéfico”, a saber: mejorar los métodos y contenidos de la enseñanza y proponer
condiciones que aseguren a los estudiantes la construcción de un saber viviente (susceptible de
evolución), y funcional (que permita, resolver problemas y plantear verdaderos interrogante)”.
(Douady, sin fecha, p 2).
Por su parte Joshua y Dupin (1993), afirman que la didáctica de las matemáticas (y de las ciencias)
nace en la medida en que se hace necesario considerar la especificidad de estas disciplinas en los
fenómenos relacionados con su enseñanza y aprendizaje. En palabras de Joshua y Dupin:.....Se
podría decir que la didáctica de una disciplina es la ciencia que estudia, para un campo en
particular..., los fenómenos de enseñanza, las condiciones de la transmisión de la “cultura” propia de
una institución (específicamente aquí de las instituciones científicas) y las condiciones de
adquisición de conocimientos por parte de un aprendiz.”
El punto de la partida de esta problemática es la reflexión sobre los saberes. Pero en necesario
señalar que los conocimientos a partir de los cuales se establecen las relaciones didácticas no son
objetos muertos que el profesor pasa a un estudiante que los recibe y que se los “apropia”. Por el
contrario, la didáctica los trata como objetos vivos, evolutivos y cambiantes según las porciones de la
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46
sociedad donde nacen o se arraigan. En particular, el estudio de la relaciones que el estudiante
establece con los saberes que le son presentados, relaciones que en si mismas son eminentemente
móviles, están en el centro de una reflexión sobre las condiciones y la naturaleza de los
aprendizajes” (Joshua y Dupin , 1993).
El doctor Luis Moreno señala que actualmente el campo de la investigación en aspectos del
aprendizaje es más fructífero que en aspectos de la enseñanza, por lo que está cobrando gran
relevancia.
Con planteamientos como éstos es necesario regresar a la figura 1 para puntualizar algunas
generalidades. En uno de los extremos de esta tríada se sitúa el saber, pero, ¿de qué saber se
trata? Se podría hablar por lo menos de tres tipos de saber: en saber matemático científico (Las
matemáticas de investigación), el saber matemático cotidiano (las matemáticas de vida cotidiana)
y el saber matemático escolar (las matemáticas en la escuela). Existen distancias desde uno u otro
tipo de saber, y un mínimo de reflexión sobre ellos es necesario para comprender la complejidad de
los fenómenos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
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6.4.2 Los saberes científicos
Hablar de las matemáticas de investigación, es hablar del trabajo del matemático y de cómo éstas se
producen. Es decir, las matemáticas no son solamente el cuerpo teórico acumulado a través de la
historia. Son también la actividad de quienes piensan, bien sea como objeto de reflexión (Objeto) o
como instrumento útil (herramienta). Ningún conocimiento matemático se produce terminado desde
el primer momento. El matemático en su quehacer comete errores, elabora hipótesis, realiza
inducciones, generalizaciones, etc., y posteriormente, cuando juzga que ha encontrado un resultado
digno de ser “comunicado” elige, del gran laberinto de sus reflexiones, aquello que es comunicable
y “susceptible de convertirse en un saber nuevo e interesante para los demás.” ( Brousseau, 1994).
Esto implica ocultar todo de su origen y génesis, para poder presentarlo de acuerdo con las reglas
permitidas: el lenguaje axiomático deductivo. Esto es, “el autor despersonaliza, descontextualiza y
destempolariza lo más posible sus resultados” (Brousseau, 1994). Pero esto no garantiza que el
nuevo conocimiento sea aceptado como válido. Para ello debe pasar la crítica del resto de la
comunidad de matemáticos del momento, quienes lo reformulan, lo generalizan, o incluso lo
destruyen. Esta génesis del conocimiento matemático, y ante todo, la historia social de su
producción, permanece oculta tras los resultados terminales que son presentados. Solo tras un
estudio histórico y epistemológico puede salir a la luz pública aquello que intencionalmente se ha
ocultado.
Este saber, para ser presentado en comunidad, debe ser expresado en el lenguaje axiomático
deductivo, el cual se constituye en la forma canónica de su presentación. Pero hoy en día, y gracias
a los desarrollos en los computadores y las técnicas de programación, se empiezan a anteponer
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nuevas formas de expresar el conocimiento matemático. Es el caso, por ejemplo, de las
demostraciones realizadas a través de técnicas de computación (tal como el teorema de los cuatro
colores), los cuales ponen a los matemáticos ante una dualidad: ¿cómo aceptar una demostración
que no se rige por los principios canónicos de lo axiomático deductivo?, pero ¿cómo rechazarla, si
desde el punto de vista de los algoritmos realizados, no tiene ninguna objeción? Además estos
desarrollos tecnológicos imponen nuevas formar de presentación, las cuales conllevan a nuevas
conceptualizaciones matemáticas. En el caso por ejemplo de la matemática fractal.
Así pues, los desarrollos tecnológicos le imponen ritmos al desarrollo de las matemáticas mismas.
6.4.3 El saber matemático escolar
La forma de presentación clásica de las matemáticas (la presentación axiomática) no solo oculta el
origen de los saberes científicos, sino que cuando es utilizada para presentar los saberes
matemáticos escolares, da al profesor la ilusión de tener todo bajo control y oculta la actividad
matemática del estudiante. Brousseau se expresa así a propósito de una presentación axiomática
del saber matemático escolar: “Permite definir en cada instante los objetos que se estudian con
ayuda de las nociones introducidas procedentemente con el auxilio de adquisiciones anteriores.
Promete pues al estudiante y a su profesor un medio para ordenar su actividad y acumular en un
mínimo de tiempo máximo de “conocimiento” bastante cercano al “conocimiento erudito”.
Evidentemente, debe estar complementada con ejemplos y problemas cuya solución exige poner en
acción esos conocimientos.
“Por esa presentación elimina completamente la historia de esos conocimientos, es decir la
sucesión de dificultades y problemas que han provocado la aparición de los conceptos
-
49
fundamentales, su uso para plantear nuevos problemas, la intrusión de técnicas y problemas
nacidos de los progresos de otros sectores, el rechazo de ciertos puntos de vista que llevan a
malentendidos, y las innumerables discusiones al respecto. Enmascara el “verdadero”
funcionamiento de la ciencia, imposible de comunicar y describir fielmente desde el exterior, para
poner en su lugar un génesis ficticia. Para facilitar la enseñanza, aísla ciertas nociones y
propiedades del tejido de actividades en donde han tomado su origen, en sentido, su motivación y su
empleo. Ella los traspone en el contexto escolar. (Brousseau, 1994).
Así pues, este proceso de transposición didáctica que sufre el saber matemático, hace que el saber
matemático escolar sea sustancialmente distinto del saber científico. No corresponde a una
vulgarización de aquél, sino a una nueva producción de otro tipo de saber.
6.4.4 El papel del docente
Para que los saberes matemáticos ingresen a la escuela deben sufrir una re-elaboración didáctica,
que los re-contextualiza, los re-personaliza, los re-temporaliza. Es en esta re-elaboración didáctica
donde se debe centrar en la actividad profesional del maestro de matemáticas, a fin de propiciar
para el estudiante una verdadera actividad científica. Así pues, el trabajo del maestro es en cierta
medida comparable al trabajo de un investigador, ya que el tipo el tipo de actividad que proponga a
sus estudiantes, debe ser tal que permita que cada conocimiento surja de la respuesta a un
problema que el estudiante se ha Planteado, y al cual le ha formulado una solución. En palabras de
Bousseau: “Para hacer posible semejante actividad, el profesor debe imaginar y proponer a los
estudiantes situaciones que puedan vivir en las que los conocimientos van a aparecer como la
solución óptima y descubriere en los problemas planteados”.
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“El profesor debe simular en su clase una microsociedad científica, si se quiere que los
conocimientos sean medios económicos para plantear buenos problemas y para solucionar
debates, si se quiere que los lenguajes sean medios de dominar situaciones de formulación y que
las demostraciones sean pruebas”.
“Pero debe también dar a los estudiantes los medios para encontrar en esta historia particular que
les ha hecho vivir, lo que es el saber cultural y comunicable que ha querido enseñarles. Los
estudiantes deben a su turno re-des-contextualizar su saber y de esta manera identificar su
producción con el saber que se utiliza en la actividad científica y cultural de su época.” “claro está,
se trata de una simulación que no es actividad científica, así como el conocimiento
presentado de manera axiomática no es el conocimiento.” (Brousseau, 1994, p 5).
Volviendo al esquema de la figura, se puede identificar con este texto que el vértice del docente
está en estrecha interacción con los otros dos.
6.4.5 El papel del estudiante.
A su vez, la relación maestro-saber pone en un lugar explícito al estudiante en todo el sistema: “El
trabajo intelectual del estudiante debe por momentos ser comparable a esta actividad científica.
Saber matemáticas no es solamente aprender definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de
utilizarlos y aplicarlos; sabemos bien que hacer matemáticas implica que uno se ocupe de
problemas; pero a veces se olvida que resolver un problema no es más que parte del trabajo;
encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrarles solución. Una reproducción por
parte del estudiante de una actividad científica exigirá que él actúe, formule, observe, construya
modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que los intercambie con otros, que conozca los que están
conforme con la cultura, que tome los que le son útiles, etc. (Brousseau,1994, pp 4 y 5).
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7. LOS MICROENTORNOS
Desde el punto de vista del esquema de la figura 1, faltan aun elementos importantes de analizar: los
micro y los macroentornos: ellos no deben ser entendidos tan solo como conformados por los
contextos de orden cultural, social, económico, político, etc. En el cual se encuentran inmersos los
actores del sistema educativo, sino que también estos micro y macroentornos están conformados
por los contextos matemáticos sobre los cuales se desarrolla la actividad intelectual del estudiante.
Y es precisamente en estos contextos matemáticos en los que se debe centrar el quehacer del
docente.
En los micro y macro-entornos es donde hay que buscar las matemáticas cotidianas, las
matemáticas del tendero, del vendedor de la calle, del comprador en un supermercado, del control
público, del campesino, etc. , para recrear en la escuela contextos significativos para el aprendizaje
de las matemáticas. Pero no se trata de la perspectiva simple de que hay que tener en la escuela
problemas sobre bultos de café, o compras y ventas en una tienda ficticia. Se trata de explorar la
complejidad de estas matemáticas cotidianas para aprovechar en la recreación de estos contextos
matemáticos para general actividad matemática en los estudiantes, que esté encaminada a la
formación de una cultura matemática autónoma en ciudadanos de este país.
Así pues, los contextos matemáticos son los medios fundamentales a través de los cuales los
profesores de matemáticas recrean en su clase, una actividad científica en los estudiantes. Estos
contextos no son otra cosa que situaciones problemáticas.
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El maestro “debería crear situaciones problemáticas que le permitan al estudiante explorar
problemas, construir estructuras, plantear preguntas, reflexionar sobre modelos; estimular
representaciones informales y múltiples y, al mismo tiempo propiciar gradualmente la adquisición de
niveles superiores de abstracción y generalización” (MEN, 1998, p 32). Estas pueden ser creadas a
través de distintos medios.
Un caso especial de micro-entornos, que favorece la construcción de situaciones problemáticas, lo
constituyen aquellos que se pueden configurar con el uso de herramientas tecnológicas como los
computadores y las calculadoras. Una calculadora o un computador no constituye en sí mismo
micro-entorno, sino que estos elementos se constituyen en herramientas con las cuales puede
configurar micro-entornos estimuladores. Es decir, se hace necesaria la indagación sobre las
posibilidades y limitaciones sobres las nuevas herramientas tecnológicas para determinar su papel
en la creación de contextos para la enseñanza de las matemáticas5.
A continuación presento una síntesis de la información encontrada en la Bibliografía citada
anteriormente:
Hay una creciente preocupación en la mayoría de docentes del área de matemáticas por mejorar
la metodología de la enseñanza de la misma.
Esta preocupación lleva a que desde los años 60 se den propuestas en las formas de adquirir el
conocimiento matemático.
5 Lineamientos Curriculares. Nuevas Tecnologías y Currículos de Matemáticas. (Ministerio de Educación Nacional). Pags. 21-25.
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La didáctica matemática ha estado influenciado por teorías como el platonismo, el logicismo el
formalismo y otras.
Hoy la teoría de las competencias comunicativas juegan un papel importante y aportan a al
aplicación y comprensión de las matemáticas de acuerdo a un contexto.
La adquisición del conocimiento matemático esta condicionado por el microentorno o
microentorno que se viva o que se adquiera.
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8 -PLAN OPERATIVO
ACTIVIDAD
TIEMPO
1. APARICIÓN DE LA IDEA
ENERO 2004
2. BUSQUEDA DE INFORMACIÓN BIBLIOGRÁFICA –
MARCO T
