DIGITALIZACIÓN DE LA MATERIA

El Conjunto de los números Reales

Definición: Un número real es cualquier número que puede representarse en forma decimal.

Ejemplos:

5=5,0

-8=-8,0

1/2=0,5

√3=1,7

2/3=0,6

3/5=0,6

Subconjuntos Importantes de los Reales

Los números naturales o de conteo ={1,2,3,…}

Los enteros no negativos ={0,1,2,3,…}

Los enteros ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}

Racionales {a/b} a y b son enteros y b ≠ 0

División para cero 3 casos

(CUALQUIER NÚMERO)/(DIFERENTE DE CERO)

(CUALQUIER NÚMERO)/(≠0)=Respuesta Única

12/3=4≡3×4=12

(≠0)/0=No Existe

12/0=t×0=12

0/0=indeterminación

0/0=√(3&1,3)≡√(3&1,3)×0=0

Respuesta Infinita

R = Reales

Q = Racionales

Q´ = Irracionales

Z = Enteros

F = Fraccionarios

N = Naturales

Diferencia en la forma decimal de un número racional con su irracional.

Ejemplos:

9/2=4,5

(-3)/8= -0,375

14/9=1,5 H

2/3=0,6 H

1/2=0,5

13/6=2,1666667

Todo número racional expresado en su forma racional o termina o es periódico.

Un número irracional en cambio la forma decimal ni termina ni es periódica.

Ejemplos:

√2 =1,4142…

√3 = 1,73205…

π = 1,14159…

e = 2,718…

Observación y notación de intervalos

El conjunto de los números reales está ordenado. Esto significa que podemos comparar dos números reales cualesquiera.

Símbolo Definición Se Lee

a>b a-b es positivo a es mayor que b

a<b a-b es negativo a es menor que b

a≥b a-b es positivo o es 0 a es mayor o igual que b

a≤b a-b es negativo o cero A es menor o igual que b

Los símbolos <,>, ≤,≥ son símbolos de desigualdades.

Recta numérica

Resulta de asociar los puntos de una recta con los números reales.

-∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞

Recta numérica real

Intervalos acotados de números reales

Notación de Intervalo Tipo de Intervalo Notación de Desigualdad Gráfico

[a,b] Cerrado a≤x≤b a b

(a,b) Abiertoa<x<b a b

[a,b) Semi abierto a≤x<b

(a,b] Semi abierto a<x≤b

Los números a,b son extremos de cada intervalo.

Intervalos no acotados de números reales

Notación de Intervalo Notación de Desigualdad Gráfico

[a, -∞) x≥a

(a,+∞) x>a

(-∞, +b] x≤b

(-∞, +b) X<b

Guía N°1

(-1;3) : -1 es mayor que x y x es menor que 3

-1 < x ≤ 3

-∞ +∞

(-3;8] -3 < x ≤ 8 -3 menor que x y x menor o igual que 8

-3 8

X ≤ -7 x es menor o igual a -7

(-∞;-7]

-∞ +∞

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionadas mediante operaciones algebraicas.

Suma, resta, multiplicación, división, radicación, potenciación.

Ejemplos:

-2x-x^2+ x-1

√(x-1)/(x^2-1)

〖5x〗^(1/3)- 5/x^2 +〖5x〗^(-3)

Términos:

Definición.- Son cantidades separadas por signos (+;-)

Jerarquía de Operaciones de mayor a menor

Potenciación y radicación

Multiplicación y división

Suma y resta

Se destruye la jerarquía de operaciones cuando existen signos de agrupación.

Propiedades de los números reales

Sean u,v y w números reales, variables o expresiones algebraicas.

1.- Propiedad Conmutativa

Suma: u+v = v+u

Multiplicación: uv=vu

2.- Propiedad Asociativa

Suma: (v+v)+w= u+(v+w)

3- Propiedad de la Identidad

Suma: u+o=u

4.- Propiedad del Inverso:

Suma: u+(-u)

Multiplicación: u. 1/u = 1, u ≠ 0

5.- Propiedad Distributiva

Multiplicación sobre la suma:

U(v+w)=uv+uw

(u+v)w=uw+vw

Multiplicaciones sobre la resta

u(v-w)=uv-uw

(u-v)=uw-vw

Propiedad del inverso activo

Sean u y v números reales variables expresiones algebraicas.

Propiedad:

Propiedad Ejemplo

–u(-u) = u

(-u) * v = u * (-v) = -(u*v)

(-u) * (-v) = u* v

(-1) * (u) = -u

– (u+v) = (-u) + (-v) -(-2) = 2

(-4)*3 = 4* (-3) = - (-4*3) = -12

(-6) * (-8) = 6 * 8 = -10

-1* (10) = -10

-(7 + 9) = (-7) + (-9) = -16

Exponentes Enteros:

Si a es un número real y n es un número entero o positivo.

Exponente (a^n=a.a.a.a.a.a…….a)

N veces a

a^n=b Potencia n de a

base

Ejemplos:

2^3=2×2×2=8

(〖-3)〗^4=(-3)(-3)(-3)(-3)= 81

(〖1/3)〗^2=(1/3)×(1/3)= 1/9

〖-3〗^2=-3×3=-9

(〖-3)〗^2=(-3)×(-3)= 9

〖-4〗^3=-4×4×4=-64

(〖-5)〗^4=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)=625

Exponente 0

Definición: Si a es un número real diferente de 0.

a^0=1

Ejemplos:

〖-27〗^0=1

7^0=1

0^0=no existe

Exponente Negativo

Definición: Si a es un número real y n un número entero.

a^(-n)=1/a^n

Ejemplos:

2^(-3)=1/2^3 =1/8

〖(-2)〗^(-2)=1/〖(-2)〗^2 =1/4

7^(-3)=1/7^3 = 1/343

8^(-2)=1/8^2 =1/64

Principales Teoremas de Exponentes

Teoremas

a^n+a^m=a^(n*m)

a^n/a^m =a^(n-m)

〖(a+b)〗^n=a^n×b^n

(〖a/b)〗^n=a^n/b^n

(〖a^n)〗^m=a^(n×m)

Guía N°2

Identifique la base. No calcule el valor

〖13〗^11=13

〖15〗^3=15

Simplifique la base (expresión). Asuma que las variables del denominador no son cero.

(x^2.y^7)/(x^5.y^3 )=y^(7-3)/x^(5-2) =y^4/x^3

〖(x^(-3).y^3)〗^(-4)/((〖y^3.x^(-5))〗^(-5) )=(x^12.y^(-12))/(y^(-16).x^25 )=(x^12.y^(-12))/(x^25.y^(-15) )=y^(-12+15)/x^(25-12) =y^3/x^13

[(20a^7 b^6)/(ab^3 )][(2b^2)/(4a^3 b^8 )]=(20.2)/4×a^(7-1-3) b^(6+2-3-8 )=40/4 a^3 b^(-3)=〖10a〗^3 b^(-3)=〖10a〗^3/b^3

Notación Científica

Se dice que un número x está escrito en notación científica si x=b×〖10〗^n donde

1≤b<x

Esta notación sirve para realizar operaciones con números muy grandes o muy pequeños.

Ejemplos:

Gúgol = 〖10〗^100=1×〖10〗^100

Gúgolplex = 1^gúgol=1^(〖10〗^100 )

Gúgol dúplex = 1^(gugol plex)=1^(〖10〗^(〖10〗^100 ) )

8,571×〖10〗^3

0,000128=1,28×〖10〗^(-4)

0,0000000955015=9,55015×〖10〗^(-8)

Exponente Fraccionario

a^(m/n)=√(n&a^n )

Ejemplos:

2^(3/4)=∜(2^3 )=∜8

√2=2^(1/2)

Radicación

Definición de raíz -n-sima: y cumple lo siguiente: √( n&a)=b≡a=b^n

√(n&a)=a^(1/n)

Ejemplos:

√(3&8)=2≡2^3=8

√25=5≡5^2=25

7^2=49≡√49=7

2^10=1024≡√(10&1024)=2

Definición de elementos de un radical

Índice De La Raíz √(n&a)=b Raíz n-sima de a

Cantidad Subradical

∛64=4→Raíz cúbica de 64

Simplificación de Radicales

Fundamento 1

√(n&a.b)=√(n&a).√(n&b)

Ejemplo.

√18=√(2.3^2 )=√2.√3=3√2

Factorización Numérica

18 2

9 3

3 1

1 2.3^2

Fundamento 2:

√(n&a)/√(n&b)=√(n&a/b)

Ejemplo:

∛4/∛2=√(4/2)=√2

Guía N°3

Evaluar las siguientes raíces.

√64=8

√(225/16)=√225/√16=15/4

-√(4/100)=√(1/25)=-√1/√25=-1/5

√(6〖xyz〗^6 ) √(5x^2 y^3 z^5 )

= z^3 √6xy.xyz^2 √5yz

= xyz^5 √(3xy^2 z)

= xy^2 z^5 √30xz

Guía N°4

√((150a^2 b)/c^2 )=√(6×5^2 a^2 b)/c=(5a√6b)/c

√x+√y+x+15√x=16√x+√y+x=16√x+x+√y

Racionalización de denominadores

En matemáticas no se acostumbra dejar radicales en un denominador.

Para eliminar un radical de un denominador se debe hacerlo sin alterar el valor de la función.

Fundamento:

a/b=(a.c)/(b.c)

2/5=20.10/50.10=0,4

(x+y)(x-y)=x^2-xy+xy-y^2=x^2-y^2

Guía N°5

1/√7=1/√7×√7/√7=√7/〖(√7)〗^2 =√7/7

√(100/x)=√100/√x=√100/√x×√x/√x=(10√x)/〖(√(x))〗^2 =(10√x)/x

(5√x)/(√x+5√y)=(5√x)/((√x+5√y))=((√(x+5√y) ))/((√x+5√y))=(5√x(√x+5√y))/〖(√x)〗^2 =(5x-25√xy)/(x-25y)

Simplifique la expresión

3√192-10√18-8√48

=3.2^2 √3-10.2.3√3-8.2√3

=24√3-60√3-32√3

=-68√3

√(63x^2 )/√(20y^3 )=√(3^2.7x^2 )/√(2^2.5y^3 )=((3x√(7)))/((2y√5y))×((2y√(5y)))/((2y√5y) )=(6xy√35y)/(4y^2 5y)=(3x√35y)/(10y^2 )

Polinomios

Expresiones Algebraicas

Es un conjunto de letras (variables) y números (constantes) relacionados mediante las relaciones algebraicas; suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación.

Ejemplos:

〖3x〗^2+2x-5

〖-2x〗^3-1

1/2 x^2-x+√3

(5x-1)/(x^2-3)

〖4x〗^(-2)+9x-1

〖5x〗^3

3√x-1/x^(2/3) +6

√(x^2-4)/(2x+1)

Polinomios:

Definición: Son expresiones algebraicas que tienen con su variable únicamente operaciones suma, resta o multiplicación.

Ejemplos:

3x.x+2x-5

–2x.x.x-1

1/2 x.x-x+√3

Forma general de un polinomio en la variable.

Un polinomio en una variable x tiene la siguiente forma.

a_n x^n+a_(n-1) x^(n+1)+a_(n-2) x^(n+2)+⋯+a_0

Grado: n

Variable: x

Término Independiente: a_0

Coeficiente Líder: a_n

Tipos de Polinimios

Monomios:

Los polinomios que tienen un termino igual.

Binomios:

Los polígonos que tienen dos términos igual.

Trinomios:

Los polinomios que tienen 3 términos o igual.

Polinomios:

Los polinomios que tienen más de 3 y los anteriores.

Guía N°6

f(x)=-8x^9+6x-7

Grado: 9

Coeficiente Líder: -8

f(x)=-14-6+8x^2-13x^3+7x^4

Grado: 4

Coeficiente Líder: 7

Término Independiente: -14

Variable: x

q^3-q-q^4+q^5-q^2×q^4+3

Grado: 5

Coeficiente Líder: 1

Término Independiente: 3

Variable: q

Operaciones con Polinomios

Suma y resta: Para sumar o restar polinomios, se simplifican los términos semejantes (términos que tienen igual su parte literal)

(5x-6)×(-3x+10)=5x-6-3x+10=2x+4=2(x+2)

(1/8 x^2+2/5 x^3-1/6 x+7)+(-5/8 x^4-1/5 x^3+1/3 x-9)

Guía n°6

Sume colocando un polinomio debajo del otro:

4/5 x^2-1/4 x-1/2 y 1/2 x^2+1/2 x+3/5

4/5 x^2-1/4 x-1/2 y

1/2 x^2+1/2 x+3/5

13/10 x^2+1/4 x+1/10

Multiplicación de Polinomios

a(b+c)=(ab)+(ac)

(b+c)a=(ab)+(ac)

3.(-a)b=(-ab)

4.a(-b)=-(ab)

5. (–a)(-b)=ab

6.(a)(b)=ab

Ejemplo:

Guía N°6

(-8x^2 y)(-4x^4 y^6 )=32x^6 y^7

(x+10)(x-12)=x^2-12x+10x-120=x^2-2x-120

Regla

Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del polinomio.

Productos Notables

Existe en el álgebra un tipo especial de multiplicaciones cuyo resultado se puede hacer directamente sin realizar la multiplicación.

Algunos Productos Notables

(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)=a^2-b^2

Demostración

(a+b)(a-b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2

〖(a+b)〗^2=a^2+2ab+b^2

〖(a-b)〗^2=a^2-2ab+b^2

Nota: Las variables a y b pueden ser expresiones algebraicas, no solo una variable.

Ejercicios Guía N°7

(x+13)(x-13)=x^2-13x+13x-〖16〗^2=x^2-169

Escriba el polinomio a b

a

a^2+2ab+b^2

b

y

Escriba aquí la ecuación.

3y 20

〖3y〗^2+20y

14. (7x+1/7)(7x-1/7)=〖49x〗^2-1/49

15. (〖x-11)〗^2=x^2-22x+121

16. 〖(7x+1/7)〗^2=〖49x〗^2+(2.7x.1/7)+1/49

17.〖(4,1+5)〗^2=(4-1r)^2+2(4,1r)(s)+s^2=〖16.81r〗^2+8.2rs+s^2

FACTORIAZACIÓN DE POLIGONOS

Definición: Es un proceso algebraico que consiste en transformar sumas y restas en productos.

Ejemplo:

Factorizar: x^2+xy=x(x+y)

Factor común:

Proceso:

Se escribe factor común (cantidad contenida en todos los términos) ”x”.

Se abre un paréntesis y dentro de el se escribe la respuesta en dividir cada término para el factor común.

GUÍA N°8

30x+15=15(2x+1)

〖12x〗^6 y^9+〖36x〗^4 y^6-28x^2 y^2=〖4x〗^2 y^2 (〖3x〗^4 y^7+9x^2 y^4-7)

x^2 (x-9)-(x-9)=(x-9)(x^2-1)

FACTOR

A veces un polinomio de 4 o más términos no tiene factor común general.

En este caso pueden agruparse los términos para sacar factor común, y luego si es posible un factor común general con lo que el polinomio que da factorado.

Nota:

La agrupación no siempre permite factorar al polinomio por lo que es necesario agrupar de otra manera e intentar factorar nuevamente al polinomio.

Determine el factor común por agrupación

15. x^2+3x+4x+12

Forma a Forma b

=〖(x〗^2+3x)+(4x+12) (x^2+4x)+(3x+12)

=x(x+3)+4(x+3) x(x+4)+3(x+4)

=(x+4)(x+3) =(x+3)(x+4)

18. xy-10+2y-5x

(xy+2y)+(-10-5x)

=y(x+2)-5(x+2)

(x+2)(y-5)

TRINMIO DE LA FORMA x^2+bx+c

Procedimiento:

Se escriben dos paréntesis [(.

Se escribe x en ambos paréntesis, en este caso la variable correspondiente es “x”.

En el primer paréntesis se escribe el signo del segundo término el trinomio y en el segundo el producto de los signos del segundo por el tercer término del trinomio.

Se buscan 2 números que sumados algebraicamente den el coeficiente del segundo término del trinomio y que multiplicados de el tercer término del trinomio.

Ejercicios:

x^2-x-6=(x-3)(x+2)

x^2-x-35=(x- )(x+ )

El polinomio es primo por que no existen factores.

a^2-2ab-〖35b〗^2=(a-7b)(a+5b)

TRINOMIO DE LA FORMA 〖ax〗^2+bx+c

Procedimiento:

Multiplicar y dividir el trinomio por el primer coeficiente.

Aplicar el procedimiento para el trinomio de la forma x^2+bx+c

Simplificar la respuesta

Ejemplos:

42. 15x^2+26x+8

=(15(〖15x〗^2+26x+8))/15

=((15〖x)〗^2+26(15x)+120)/15

=((15x+20)(15x+6))/15

=(5(3x+4)3(5x+2))/15

=(3x+4)(5x+2)

Demostración:

〖15x〗^2+6x+20x+8

=〖15x〗^2+26x+8

41. 〖3x〗^2+13x-20

=(3(〖3x〗^2+13x-20))/3

=(〖(3x)〗^2+13(3x)-60)/3

=(3x+ )(3x- )

Solución:

El polinomio es primo no existen factores.

48. 〖21x〗^3-〖161x〗^2+98x

=7x(〖3x〗^2-23x+14)

=(7x[(3x)^2-23(3x)+42])/3

=(7x(3x-21)(3x-2))/3

=(7x.3(x-17)(3x-2))/3

=7x(x-7)(3x-2)

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Fundamento:

x^2-y^2=(x-y)(x+y)

Ejemplo:

52. x^2-4=(x+2)(x-2)

57. 〖75X〗^2-48=〖3(25x〗^2-16)=3(5x-4)(5x+4)

59. 〖98a〗^2-〖32b〗^2=2(〖7a〗^2-4b)(〖7a〗^2+4b)

SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Ejemplo Guía N°9

u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2)

u^3-v^3=(u-v)(u^2-uv+v^2)

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL CASO DE FATORIZAIÓN AL QUE CORRESPONDE UN EJERCICIO

Si es solo un término el polinomio ya que esta factorado.

Factor común por agrupación: Si no hay factor común contar el número de términos (cantidades separadas con signos + o -)-

Si son 2 términos diferencia de cuadrados + o – de x^3, suma o diferencia de potencia al cuadrado.

Si son 3 términos trinomio al cuadrado perfecto, trinomio de la forma 〖ax〗^2+bx+c.

Si son 4 o más términos: Factor común por agrupación.

Guía N°9

343-t^2=(7-t)(49+7t+t^2)

16k^3 m-40k^2 m^2-25km^3=km(16k^2-40km+25m^2)=km〖(4k-5m)〗^2

54x^4-250xy^3=2x(〖27x〗^3-〖125y〗^3 )=2x(3x-5y)(〖9x〗^2+15xy+〖25y〗^2)

xy+10x-8y-80=(xy-8y)+(10x-80)=y(x-8)+10(x-8)=

(x-8)(y+10)

xy-5yz+7z-35z=(xy+7x)-(5yz-35z)=x(y+7)-5z(y+7)=

(y+7)(x-5z)

〖8x〗^2+10x+12x+15=(〖8x〗^2+10x)+(12x+15)=2x(4x+5)+3(4x+5)=

(4x+5)(2x+3)

EXPRESIONES RACIONALES

Son expresiones de la forma polinomio/polinomio.

Son fracciones que resultan de dividir 2 polinomios, es decir.

polinomio1/polinomio2

Ejemplos:

(x^2-1)/((x+2)(x-2))

(2x+1)/(x-3)

(x^2+x+1)/(x^2-1)

(〖2x〗^4-〖3x〗^3-1)/(x+5)

VALORES EXCLUIDOS DEL DOMINIO DE UNA FRACCIÓN

Nota: Se deben excluir del dominio de una fracción los valores de la variable que hagan 0 a 1 o más denominaciones.

Ejemplos:

(x^2-1)/(x-2) D=R-(2)

En el ejemplo 1 el dominio son todos los números reales excepto el “2”

(2x+1)/(x-3)

En el ejemplo 2 el dominio son todos los reales excepto “3”. D=R-(3)

(x^2+X+1)/(x^2-1)=(x^2+X+1)/((X+1)(X-1)) D=R-(1;-1)

(〖2X〗^4-3^3-1)/(X+5)

En el ejemplo 4 el dominio es todos los números reales, menos x≠-5

Ejercicios propuestos por los estudiantes:

Guía 6:

(8X+10)-(Z+3)=8Z+10-Z-3=7Z+7

Guía 7:

(x+5)(2x+5)=4x^2+20x+25

5

2x

Guía 8:

20x^2 y^2+3xy^2-9y^2

〖=y〗^2 (20x^2+3x-9)

(〖=y〗^2.20(20x^2+3x-9))/20

=(y^2.(20x)^2+3(20x)-180)/20

=(y^2.(20x+15)(20x-12))/20

=(y^2.5(4x+3)4(5x-3))/20

y^2 (4x+3)(5x-3)

Guía 9:

〖1000y〗^3-343=(10y-7)(〖100y〗^2+70y+49)

〖54x〗^4-〖250xy〗^3

=2x(〖27x〗^3-〖125y〗^3 )

=2x(3x-5y)(9x^2+15yx+〖25y〗^2)

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Fundamento:

(P(X))/(D(X)).(T(X))/(T(X))=(P(X))/(D(X))

Ejemplo Guía N 10:

(y^3-343)/(y-7)=((y-7)(y^2+14y+49))/(y-7)

OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES

Multiplicación:

Fundamento:

(P(X))/(D(X)).(T(X))/(Q(X))=(P(X)T(X))/(D(X)Q(X))

(4P-4)/P.〖4p〗^2/(9p-9)=4(p-1)/p.〖4p〗^2/9(p-1) =16p/9

〖3z〗^3/4.32/z^2 =24z

DIVISIÓN DE EXPRESIONES RACIONALES

Fundamento:

(P(X))/(D(X)):(T(X))/(Q(X))=(P(X))/(D(X)).(Q(X))/(T(X))

〖2X〗^2/3:X^3/21=〖2X〗^2/3.21/X^3 =14/X

(Z^2+6Z+8)/(Z^2+7Z+12):(Z^2+2Z)/(Z^2+12Z+27)=((Z+4)(Z+2))/((Z+4)(Z+3)).((Z+9)(Z+3))/(Z(Z+2))=(Z+9)/Z

SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES RACIONALES

Fundamento:

a/c+b/c=(a±b)/c

a/b+c/d=(ad±cb)/bd

Proceso:

Para sumar y restar

Se factoran los denominadores.

Se halla un común denominador que contenga a todos los denominadores o el producto de ellos.

Se divide el común denominador para cada uno de los denominadores y cada resultado se multiplica por cada uno de los numeradores.

Sumar y Restar

3/16-15/16=(3-15)/16=-3/4

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES COMPLEJAS O COMPUESTAS

Son fracciones que tienen otras fracciones en su numerador o denominador.

Pasos simplificados:

Se deben realizar las operaciones de su numerador y denominador hasta que quede una fracción en cada uno de ellos.

Se realiza la división de las 2 fracciones resultantes.

Ejemplo:

(1/5+1/6)/(1/2+1/3)=((6+5)/30)/((3+2)/6)=11/25

((-1/2)/(-1/2-3))/(3/(1/4-4/(1-0.5)))=((-1/2)/(-7/2))/(3/(-1/4-4/(1/2)))=((-1/2)/(-7/2))/((3/1)/(-31/4))=(-1/7)/(-12/31)=31/84

NÚMEROS COMPLEJOS

Ejemplos:

∝=2+3i

β=-1+5i

∈=-3-1/2 i

7i

4

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS

a+bi=c+di≡a=c y b=d

Ejemplo: Guía N° 13

18. 2+3i=x+yi≡x=2 y 3=y

19. 6+yi=x-6i≡6=x y y=-6

20. (-2-7i)-3=x-(-1y+i)

-2-7i-3=x+1-yi

-5-7i=x+1-yi

-5=x+1≡-7i=-yi

-6=x≡-7=-y

-6=x≡7=y

OPERACIONES DE NÚMEROS COMPLEJOS

Suma y Resta con números complejos:

Para sumar o restar números complejos, se simplifican términos semejantes.

Ejemplos Guía Número 13:

(9-5i)+(8+9i) = 9-5i+8+9i = 17+4i

(4+5i)-(2+i) = 2+4i

5i+(-9-i) = 5i-9-i = 4i-9

(5-i)+(6—6┤=5-i+6—6=11-i-(√6×√(-1))=11-i-√6 i

=11-i(1+√6)=11-(1+√6)i

(-7+5i)-9= -7+5i-9=-16+5i

(i^2+3)-(9+i^3 )=-1+3-9+i×i^2=-1+3-9+i(-1)=-1+3-9+i

=-7+i

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Se multiplica como el producto de 2 binomios cualesquiera, se toma en cuenta i^2=-1

Ejemplo Guía Número 13

4i(3-8i)

=12i〖-32i〗^2

=12i-32(-1)

=12i+32

=32-12i

-3i(-4-8〖i)〗^2

=-3i[(〖-4)〗^2-2(-4)(8i)+(〖8i)〗^2]

=-3i[16+64i-64]

=-3i(-48+64i)

=144i-192i^2

=144i+192

=192+144i

(√15+9i)(√15-9i)

=(√15)^2-(9〖i)〗^2

=15-〖81i〗^2

=15+81

=96

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Conjugado: α=a+bi,α´=a-bi

Ejemplos:

(6-7i)/(5+2i)=((6-7i))/((5+2i) )×((5-2i))/((5-2i) )

=(30-12i-35i+〖14i〗^2)/(25-10i+10i-〖4i〗^2 )

=(30-47i-14)/(25+4)

=(16-47i)/29

=16/29-47/29 i

EXPRESIONES ALGEBRÁICAS

Una expresión algebraica es un conjunto de letras (variables), y números (constantes) relacionados mediante operaciones algebraicas. (Suma, resta, multiplicación y división).

Ejemplos:

〖2x〗^3-x^2-x-1

√(x-1)/(x^2+1)

〖5x〗^(1/3)-5/x^2 +〖5x〗^(-3)

〖7y〗^2-x^2

Nota: Los términos son cantidades separadas por signos ‘+’ o ‘-’.

Ecuaciones y Desigualdades

Ecuaciones lineales en una variable o de primer grado:

Son ecuaciones de la forma ax+b=0 donde a y b son números reales y a diferente de 0.

Ejemplos:

5x-3=0

3m+1/2=0

√2 (a)-7=0

-2y+4=0

Resolución de una ecuación de primer grado:

Fundamento:

x+a=0≡x0-a

x-a=0≡x0a

ax=1≡x=1/a

x/a=1≡x=1.a≡x=a

Se realizan las operaciones que tenga la ecuación hasta expresarla en la forma ax+2=0

Se despeja a x=(-b)/a

Ejercicios Guía N° 14

8x-10=14

8x=14+10

x=24/8

x=3 Si satisface la ecuación.

10k-604

10k=4+6

k=10/10

K=1

C=2πr

r=c/2π

4-(x+5)=2(2x-4) despeje:x=7/5

4-x-5=4x-8

-1-x=4x-8

-x-4x=-8+1

-5x=-7

x=7/5

INECUACIONES DE PRIMExR GRADO

Son desigualdades de la forma ax+b<0;ax+b≥0.1

ax+b>0

Fundamentos:

x+a>0≡x>-a

x-a>0≡x>a

ax>1,(a>0)→x>1/a

ax>1,(a<0)→x<1/a

x/a>1,(a>0)→x>a

x/a>1,(a<0)→x<a

-a>-b≡a<b (-1)

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

Se realiza las operaciones que se encuentre en la inecuación, hasta dejarle en la forma ax+b>0

Se despeja x

3x-2>0

3x>2

8x>2/3

Solución: (2/3;∞)

Gráfica

–2x+4≥0

-2x≥-4

x≥(-4)/(-2)

x≤2

Solución: (-∞;2)

Gráfica:

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Fundamento:

|x|≤a≡-a≤x≤a

|x|≥a≡x≥a o x≤-a

Ejemplo:

Resolver: |2x-3|≤5

≡-5≤2x-3≤5

≡-5+3≤2x≤5+3

≡-2/2≤x≤8/2

≡-1≤x≤3 intevalo acotado

Solución: [-1,4]

Gráfica

∞- ∞

Ejercicios Guía N°15

|b-7|-3>2≡|b-7|>5

≡b-7>5 v b-7<-5

b>12 v b<2

Solución: (12;∞)U(-∞;2)

=(∞;2)U(12;-∞)

Gráfica:

-∞ 2 12 +∞

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Fundamento:

|x|≤a≡-a≤x≤a

|x|≥a≡x≥a o x≤-a

Ejemplo:

Resolver: |2x-3|≤5

≡-5≤2x-3≤5

≡-5+3≤2x≤5+3

≡-2/2≤x≤4 Intervalo acotado

Solución=[-1,4]

Grafica:

-1 4

-∞ ∞

Ejercicios Guía N°15

|b-7|-3>2≡|b-7|>5

≡b-7>5> v b-7<-5

≡b>12 v b<2

Solución:(12,∞)U(-∞,2)

=(-∞,2)U(12,8)

Gráfica:

2 12

-∞ ∞

|(x-7)/3|≥3

(x-7)/3≥3 v (x-7)/3≤-3

x-7≥9 v x-7≤-9

x≥16 v x≤-2

Solución:(-∞,-2)U(16,∞)

Gráfica:

-∞ -2 16 ∞

Ejercicios Guía N°16

Resolver las ecuaciones cuadráticas utilizando factoreo.

x^2=-6x+16

x^2+6x-16=0

x=-8 x=2

S=(-8,2)

13x^2=2X

13x^2-2x=0

x(13x-2)=o

x=0 x=2/13

Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de la propiedad de la raíz cuadrada.

〖5x〗^2=20

x^2=20/5

x=±√4

x=±2

x=2 x=-2

Solución:(2,-2)

(4x+3)^2=7

√((4x+3)^2 )=±√7

4x+3=±√7

4x=±√7-3

x=±(√7-3)/4

x={(-3+√7)/4,(-3-√7)/4}

Resolver la ecuación cuadrática completando el trinomio cuadrado perfecto.

x^2+4x=3

x^2+4x+4=3+4

(x+2)^2=7

x=±√7+2

x=-2+√7 x=-2-√7

Solución:{-2+√7,-2-√7}

x^2-12x-5=0

x^2-12x+36=5+36

(x-6)(x-6)=5+36

(x-6)^2=41

√((x-6)^2 )=±√41

x-6=±√41

x=-6±√41

x=6+√41 x=6-√41

Gráfica de una operación cuadrática en 2 variables

Fundamento:

Forma de la ecuación.

y=〖ax〗^2+bx+c

La gráfica siempre es una parábola.

Si “a” es positiva entonces la parábola se abre hacia arriba.

Si “a” es negativa:

La abscisa del vértice se encuentra con la siguiente fórmula.

x_v=-b/2a

Ejercicios Guía N°17

y=x^2+6x+8

a=1; b=6; c=8

a es positiva, la parábola se abre hacia arriba.

a=1>0

Solución Algebraica

x_v=-b/2a

x_v=-6/2

x_v=-3

y_v=〖ax〗^2+bx+c

y_v=1(-3)^2+6(-3)+8

y_v=9-18+8

y_v=-1

v=(-3,-1)

Intervalos con el eje X

y=0

0=x^2+6x+8

0=(x+4)(x+2)

x=-4 x=-2

Gráfica:

DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real “a” se representa |a| y se obtiene de la siguiente forma |a|={a,si a≥0; -a,si a<0}

Ejemplo:

|5|=5

5=5

|–7|=-(-7)

7=7

Resuelva la ecuación en valor absoluto o determine si la ecuación no tiene soluciones.

|x|=7

x_1=7

x_2=-7

Solución=(7,-7)

Comprobación:

|7|=7

|-7|=7

7=7; 7=7

Nota: En el valor absoluto es importante por lo que se debe comprobar su solución necesariamente.

18. |1/2+2|=|3/4 x-2|

|1/2+2|/|3/4-2| =|3/4 x-2|/|3/4 x-2|

|(1/2 x+2)/(3/4 x-2)|=1

|((x+4)/2)/((3x-8)/4)|=1

|(2x+8)/(3x-8)|=1

(2x+8)/(3x-8)=1≡2+8=3x-8≡x_1=16

(2x+8)/(3x-8)=-1≡2x+8=-3x+8≡x_2=0

Solución:{16,0}

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Resolver:

|x-2|=3

Solución Algebraica:

|x-2|=3

x-2=3≡x_1=5

x-2=-3≡x_2=-1

Solución:{5,-1}

Solución Gráfica:

Igualamos a Y

y=|x-2|

y=3

ECUACIONES RACIONALES

Fundamento:

Se debe excluir a la situación los valores de x que dan divisiones a ‘o’.

Inecuaciones Polinomiales:

Son ecuaciones de la formula P(x)<0,P(x)≥0 o P(x)≤0 donde P(x) es un polinomio.

Ejemplo:

(x+5)(x+3)

(2x-3)(x-2)(x+1)(x-4)≤0

x^3-x^2-3x+3≥0

Solución de una inecuación polinomial.

MÉTODO ABREVIADO

El método abreviado se aplica a inecuaciones polinomiales comparadas con ‘o’ en las que todas las variables tienen coeficientes positivos.

Procedimiento:

Se ubican en la recta numérica todos los valores que hacen ‘0’ a cada factor de pimer grado, con lo que la recta numérica queda divide en intervalos.

Se colocan signos a los intervalos de derecha a izquierda, iniciando por el ‘+’, ‘-‘.

Se describe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según la inecuación sea >’0’ o < ‘0’. Cuando es ≤0 ≥ se incluyen los extremos de los intervalos.

Nota: Si hay factores elevados al cuadrado o potencias pares no influyen en la respuesta y pueden ir omitidos.

Materia MAT-110

Números Complejos

Los números complejos son expresiones de la forma a+bi con a,b∑R y la expresión i cumple lo siguiente:

i=√−1 ≡ i2=-1

Ejemplos:

1. ∝=2+3 i

2. β=−1+5 i

3. ϵ=−3−12i

4. 7 i5. 4

Forma estándar:

a+bi

Igualdad números complejos

a+bi=c+di ≡a=c ,b=d

Guía N°13

18. 2+3 i=x+ yi≡2=x ,3= y

x=2 , y=3

19. 6+ yi=x−6 i≡6=x , y=−6

x=6 , y=−6

20. (−2−7 i)−3=x− (−1+ yi )

−2−3−7 i=x+1− yi−5−7 i=x+1− yi≡−5=x+1 ,−7=− y

x=−6 , y=7

Operaciones con números complejos

Suma y resta de números complejos:

Para sumar o restar números complejos se simplifican números semejantes:

Ejemplo:

1. (9−5 i)+(8+9 i )=¿¿17+4 i

4. (7+5 i )−9=¿

¿−16+5 i

6. (5−i)+¿¿5−i+6−√6 ∙√−1

Real Compleja

¿11−i−√6 i ¿11−(1+√6 ) i

Multiplicación de números de complejos:

Se multiplica como el producto de dos binomios cualesquiera y se toma en cuenta:

i2=−1

8. 4 i (3−8 i )=¿¿12 i−32i2 ¿12 i−32 (−1 ) ¿32−12 i

10.(3+6 i )4+9 i¿=¿

¿12+27 i+24 i+54 i2

¿12+51i+54 (−1 )

¿−42+51 i

División de números complejos:

Se debe multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

Conjugada= ∝=a+bi ,∝=a−bi

29. 6−7 i5+2 i

=¿

¿ 6−7 i5+2 i

∙5−2 i5−2 i

¿(6−7 i )(5−2 i)(5+2 i )(5−2 i)

=30−12 i−35 i+14 i2

25−10 i+10 i−4 i2=30−47 i+14(−1)25−4(−1)

=16−37 i29

=1629

−47 i29

Ecuaciones y desigualdades

Funciones lineales en una variable(primer grado):

Son ecuaciones de la forma ax+b=0 donde a y b son números reales y a>0.

ax+b=0

1er miembro de la ecuación

2ndo miembro de la ecuación

Ejemplos:

1. 5 x+3=0

2. 3m+12=0

3. √2a+4=04. −2 y+4=0

Resolución de una ecuación de primer grado:

Fundamento: 1. x+a=0≡x=−a2. x−a=0≡x=a

3. ax=1≡x=1a

4.xa=1≡x=a

A) Se realiza las operaciones que tenga la ecuación hasta expresarlo en la forma ax+b=0

b) Se despeja x=−ba

Guía N°14:

Determine si el valor dado es solución de la ecuación.1. 8 x−10=14 ; x=3

8 x=24

x=248

x=3

3.10k−6=4 ;k=1

10k=4+6

k=1010

k=1

4.4− (x+5 )=2 (2 x−4 ) ; x=75

Si satisface

Si Satisface

4−x−5=4 x−8

−4 x−x=−4+5−8

−5 x=−7

x=75

17. C=2πr ; Despejar r

r=2 πC

Inecuaciones de primer grado en una variable:

Son desigualdades de la forma ax+b>0 ;ax+b≥0

- Fundamentos:

1. x+a>0≡ x>−a2. x−a>0≡x>a

3. ax>1 , (a>0 )≡ax>1→x> 1a

4. ax>1 , (a<0 )≡ x< 1a

5.xa>1 , (a>0 )≡x>a

6.xa>1 , (a<0 )≡x<a

7. – a>−b≡a<b

Ejemplos:

1. 3 x−2>02. −2 x+4≥03. x+5<0

4.x3−2≤0

Resolución de inecuaciones de primer grado con una variable:

1. Se realizan las operaciones que se encuentre en la inecuación hasta dejarle en la forma ax+b>0.

2. Se despeja x.

Si Satisface

1er miembro de la ecuación

2ndo miembro de la ecuación

Ejercicio Ejemplo:

1. 3 x−2>03 x>2

x> 23

S=¿

S=¿

2. −2 x+4≥0−2 x≥−4

x≤2

S=¿

S=¿

Inecuaciones con valor absoluto: - Fundamentos:

1. |x|≤a≡−a≤ x≤a2. |x|≥a≡x≥a o x≤−a

- Ejemplos:

Resolver: |2 x−3∨≤5−5≤2x−3≤5 ¿−5+3≤2 x≤5+3

¿ −22≤ x≤

82

¿−1≤ x≤ 4

23

∞−¿ ¿∞∓

∞−¿ ¿ ∞+¿ ¿2

S=[−1; 4]

S=¿

- Guía N°15: Resolver:

8. |b−7|−3>2¿∨b−7∨¿5

¿|b−7|>5v|b−7|←5

¿b>12vb<2

S=¿

S=¿

11. |x−73 |≥3¿ x−73

≥3vx−73

≤−3

¿ x≥16 v x ≤−2

S=¿

S=¿

∞−¿ ¿ ∞+¿ ¿−1 4

2 12∞−¿ ¿ ∞+¿ ¿

Ecuaciones Cuadráticas

- Guía N° 16: a. Resolver las ecuaciones cuadráticas por factoreo:

3. x2=−6+16x2+6 x−16=0( x+8 ) ( x−2 )=0x1=−8 x2=2S= {−8,2 }

6.13 x2=2x13 x2−2x=0x (13 x−2 )=0

x1=0 x2=213

S={0 , 213 }b. Resolver las ecuaciones cuadráticas aplicando las propiedades de la raíz

cuadrada.

9. 5 x2=20

x2=205

√ x2=±√4

x1=2 x2=−2S= {2,−2 }

14. (4 x+3 )2=7

√ (4 x+3 )2=±√7

4 x+3=±√7

x=±√7−34

x1=√7−34

x2=−√7−34

−2 16∞−¿ ¿ ∞+¿ ¿

S={√7−34 ,−√7−34 }

c. Resolver completando el trinomio cuadrado perfecto.

17. x2+4 x=3

x2+4 x+4=3+4

(x+2)2=7

√ ( x+2 )2=±√7

x1=√7−2x2=−√7−2

S= {√7−2 ,−√7−2 }

20. x2−12 x−5=0

x2−12 x+36=5+36

( x−6 )2=41

√ ( x−6 )2=±√41

x1=√41+6 x2=−√41+6

d. Resolver la ecuación cuadrática con la fórmula general.

21. x2+3x−10=0

a=1 ;b=3 ; c=−10

x=−b±√b2−4ac2a

x=−(3 )±√32−4 (1 ) (10 )

2 (1 )

x=−3±√492

x=−3±72

x1=−5 x2=2

S= {−5,2 }

Gráfica de una ecuación cuadrática con dos variables

- Fundamentos:

1. Forma de la ecuación

y=a x2+bx+c- La gráfica siempre es una parábola

2. Si a es positiva entonces la parábola se abre hacia arriba3. Si a es negativa entonces la parábola se abre hacia abajo

4. La abscisa del vértice se encuentra con

la siguiente fórmula.

xv=−b2a

x−x

y

− y

x−x

y

− y

- Guía N° 17:

1. y=x2+6 x+8a=1 ;b=6 ;c=8 a es positiva por lo que la parábola se abre hacia arriba a=1>0

- Solución algebraíca:

xv=−b2a

xv=−62

xv=−3

yv=1 (−3 )2+6 (−3 )+8yv=−1

V=(−3 ,−1)- Interceptos eje x

y=0

0=x2+6 x+8

0=( x+4 ) ( x+2 )

x1=−4 x2=−2

Interceptos: (−4,0 ); (−2,0 )

3.y=− x2+2 x+8

x−x

− y

y

a=−1 ;b=2;c=8

a es negativa por lo que la parábola se abre hacia abajo

- Solución Algebraica

XV=−2

(−2 )

xv=1

yv=−(1 )2+2 (1 )+8

yv=9

V=(1,9)

- Interceptos en el eje x

y=0

0=−x2+2x+8

0=( x−4 ) ( x+2 )

x1=4 x2=−2

(4,0 ) (−2,0 )

−x x

− y

y

6.y=x2+6

a=1 ;b=0; c=6

a=1>0 la parábola se abre haciaarriba

- Solución Algebraica

xv=−02

xv=0

yv= (0 )2+6

yv=6

V= (0,6 )

- Interceptos en el eje x

y=0

0=x2+6

x2=−6

√ x2=±√−6

x=±√6 i

NO HAY INTERCEPTOS EN EL EJE X

−x x

− y

y

Definición de valor absoluto

El valor absoluto de un número real “a” se representa tal y se obtiene de la siguiente forma:

a , si a≥0

¿a∨−a , si a<0

- Ejemplos: 1. |5|=5

5=52. |-7|=7

7=7

Resolver la ecuación en valor absoluto o determine si no hay soluciones

10. |x|=7x1=7 x2=−7S= {7 ,−7 }

Comprobación:

|7|=7 |−7|=7

7=7 7=7

13. |4 x+8|=5

4 x+8=54 x+8=−5

x1=−34

x2=−134

S={−34 ,−134 }

17. |4 x−5|=|x−4|

|4 x−5x−4 |=14 x−5x−4

=1 4 x−5x−4

=−1

x1=13x2=

95

S={13 , 95 }18.|12 x+2|=|34 x+2||1x+42 ||3 x−84 |

=1

|2 x+83 x−8|=12x+83x−8

=1 2 x+83 x−8

=−1

2 x+8=3 x−82 x+8=−3 x+8

x1=16 x2=0

Comprobación:

|

12x+2

34x−2

∨¿1

| 12 (16 )+2

34

(16 )−2|=1| 12 (0 )+2

34

(0 )−2|=11010

=1 22=1

1=11=1

Solución de ecuaciones con valor absoluto

Resolver:

|x−2|=3

Solución algebraica:

x−2=3x−2=−3

x=5 x=−1

Comprobación:

|5−2|=3|−1−2|=3

|3|=3|−3|=3

3=33=3

Solución Gráfica:

1. Igualamos a y

y=|x−2|y=3

Tabla 1: y=|x−2|

X -2 -1 0 1 2 3 4 5 6y 4 3 2 1 0 1 2 3 4

y=|−2−2|

y=|−4|

y=4

Tabla 2: y=3

X -2 0 2 3 4 5 6y 3 3 3 3 3 3 3

y=3

y

Ecuaciones racionales

Fundamento:

Se debe excluir de la solución los valores de x que dan divisores para 0

Inecuaciones Polinomiales:

Son inecuaciones de la forma P ( x )>0o P (x )<0 ,P ( x )≥0o P ( x )≤0 donde P ( x ) es un

polinomio.

Ejemplos:

1. ( x+5 ) ( x+3 )<02. (2 x−3 ) ( x+2 ) ( x+1 ) (x+4 )≥03. x3−x2−3 x+3≥0

Solución de una inecuación polinomial:

- Método Abreviado: El método abreviado se aplica a inecuaciones polinomiales comparados con 0 en los que todas las variables tienen coeficientes positivos.

Procedimiento:

1. Se ubican en la recta numérica todos los valores que hacen 0 a cada factor, con lo que la recta numérica queda dividida en intervalos

2. Se colocan signos o los intervalos de derecha a izquierda iniciando por el “+”,”-“3. Se escribe la solución como la unión de los intervalos positivos o negativos, según

la inecuación sea >0 o <0. Cuando es ≤o≥ se incluyen los extremos de los intervalos

- y

x-x

Nota: Si hay factores elevados al cuadrado o a potencias pares no influyen en la respuesta, pueden ser omitidos.

Guía N°18:

1.8x= 52 x

+22

x≠0 8x=5+44 x

2 x

16 x=5 x+44 x2

44x2−11 x=0

0=4 x−1

x=14

Sol={14 }5.

142 X−2

+12= 7X−1

x≠1

14 ( x−1 )+x−12 ( x−1 )

= 7x−1

14+x−12 ( x−1 )

= 7x−1

x=14−14+1x=1Sol={∅ }

6.2

x+1+ 3x−1

= 6( x+1 ) ( x−1 )

x≠1 ,−1

2 ( x−1 )+3 ( x+1 )( x−1 ) ( x+1 )

= 6( x−1 ) ( x+1 )

2 x−2+3 x+3−6=0

5 x=5

x=1Sol={∅ }

9.1

x+6+ 3x+4

= −2x2+10 x+24

x ≠−6 ,−4

( x+4 )+3 x+18( x+6 ) ( x+4 )

= −2( x+6 ) ( x+4 )

4 x+22=−2

x=−6 Sol= {∅ }

13. ( 1x−3 )

2

+ 2x−3

=3

y2+2 y−3=0Cambiode variable :

y= 1x−3

y2=( 1x−3 )

2

( y+3 ) ( y−1 )

y1=−3 y2=1

1x−3

=−3 1x−3

=1

1=−3 x+91=x−3

x=38x=4 Sol={38 ,4 }

12.2 x12−9 x

14−35=0

Cambio de variable

y=x14 y2=x

12

2 y−9 y−35=0(2 y )2−9 (2 y )−70

2=0

(2 y−14 ) (2 y+5 )2

=0

( y−7 ) (2 y+5 )=0

y1=7 y2=−52

x14=7 x

14=−5

2

(x¿¿14)4

=74(x¿¿14)4

=(−52 )4

¿¿

x=2401 x=62516

Sol={2401 , 62516 }Guía N° 20Determinar los valores para los cuales la función polinomial es: a) =0 b)>0 y c) <0.

6.( x−9 ) ( x+1 )>0

x1=9 x2=−1

a. Sol={9 ,−1 }b. Sol=(−∞ ;−1 )(¿9 ;+∞)¿c. Sol=(−1 ;9 )

1. f ( x )= (x+5 ) ( x+3 ) ( x−2 )2

a.f ( x )=0x+5=0

−∞+−¿+ +∞-1 9

x=−5 x+3=0x=−3

√ ( x+2 )2=√0x=−2S= {−5 ,−3,2 }b. f ( x )>0

S= (−5 ,−3 )U (2 ,∞ )

C. f ( x )<0

S= (−∞ ,−5 )U (−3,2 )

3.f ( x )= (5 x+4 ) (x2+7 ) ( x−7 )

a. f ( x )=0

5 x+4=0 x=−45

x2+7=0x=√7 i no tiene solución

x=7

b. f ( x )>0

S=(−∞,−45 )U (7 ,∞ )

c.f ( x )<0

−5 −3 2 +¿+¿ −¿−¿

7−45

+¿+¿ −¿

+∞−∞

+∞−∞

S=(−45 ,7)Guía N° 21

Determinar los valores de x para los cuales la función racional es :a) igual a 0, b)f(x) indefinida, c)f(x) mayor a 0 d)f(x) menor que 0

1. f ( x )= (x+4 )(2 x+3 )(x−7)

a. f ( x )=0

x+4=0

x=−4

S= {−4 }

b. f ( x ) indefinida

2 x+3=0 x=−32

x−7=0 x=7

S={−32 ,7}c. f ( x )>0

S=(−32 ,4)U (7 ,∞ )

d. f ( x )<0

−32

4 7 +¿+¿ −¿−¿ +∞−∞

S=(−∞,−32 )U (4,7 )

2. f ( x )= ( x−4 )( x−7 )¿¿

a. f ( x )=0

x−4=0 x=4

S= {4 }

b. f ( x ) indefinida}

x−7=0 x=7

x+8≤0x ≤−8

S= (−∞ ,−8 )U {7 }

8.f ( x )= 3 x−8( x+3 ) (√ x−7 )

a. f ( x )=0

3 x−8=0 x=83

S={83 }b.f ( x ) indefinida

x+3=0x=−3x−7≤0 x≤7

S= (−∞ ,7 )U {−3 }

−8 7 +∞−∞

7−3 +∞−∞

c. f ( x )>0

S= (−∞ ,−3 )∩ (7 ,∞ )

d. f ( x )<0

S= {∅ }

Guía N° 25:

a. Divida el número 60 en 2 partes tales que 18

de la primera más 13

de la segunda

sumen 10.

Datos

Número=60

Primera parte=x

Segunda parte=60-x9

18x+ 13

(60−x )=10

18x+20−1

3x=10

3x−8 x24

=−10

x=48

S=primera parte=48 segunda parte=12

y. El propietario de un edificio de 60 departamentos puede rentarlos todos si cobra 180 dólares mensuales. A un precio mayor, algunos departamentos permanecerán vacios, en promedio, por cada incremento de 5 dólares en el precio, 1 departamento quedará vacante sin posibilidad de rentarlo. Encuentre cuánto que debe cobrar por cada

7−3

38

+¿ +¿−¿ −¿ +∞−∞

departamento para obtener un ingreso total de 11475 dólares y cuántos departamentos rentará.

Datos

Número de departamentos vacios=x

Número total departamentos=60

Precio por cada uno= 180

Planeamiento y resolución

Ingreso total=(número de departamentos en arriendo)(Precio de arriendo)

11475=(60−x ) (180+5 x )

11475=10800+300 x−180 x−5 x2

5 x2−120 x+675=0

x=15 x=9

Cobro de departamento:

1era Sol= 180+5 x

¿180+75

¿255

2nda Sol= 180+5 x

¿180+45

¿225

Guía N°30:

1) y=x+1

x+1≥0x≥−1S=[−1 ,∞ )

y

2)y=x2−1

x2−1≥0

x≥±1

S= [−1 ,∞ )S=[1 ,∞ )

− y

−x x

Geometría Analítica

La línea recta:

Ángulo de inclinación de la recta: Es el menor ángulo positivo entre la recta y el eje x (sentido anti horario es positivo)

− y

−x x

y

Pendiente de una recta: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta y se

representa con la letra m. m=tgθm=y2− y1x2−x1

Guía N° 31:

Hallar la pendiente con los dos puntos dados:

5.(5,4 ) y (8,5 )

m=5−48−3

m=13

6.(4 ,−7 ) y (−1 ,−8 )

m=−8+7−1−4

m=15

9.(−4 ,−3 ) y (−4 ,−5 )

+

Ángulo de inclinación

y

− y

x−x

m=−5+3−4+4

m=nodefinida

11.(−2 , 43 ) y (−45 ,−1)

m=−1−4

3−45

+2

m=3518

1. Ecuación de la recta forma punto y pendiente

Se conoce un punto P1 ( x1 , y1 ) y la pendiente m

m=y− y1x−x1

m (x−x1 )= y− y1

P1 ( x1 , y1 )

− y

y

−x x

y− y1=m (x−x1 )

Hallar el punto y pendiente de la ecuación de la recta que pasa por el punto (−2 ,−1) y

una pendiente m=2

y —1=2[x−(−2)]

− y+2 x+3=0

2. Ecuación de la Recta dados dos puntos

Procedimiento:

1. Hallar m2. Aplicar fórmula punto y pendiente

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por (-1,-2) y (3,1)

m=y2− y1x2−x1

m=1+23+1

m=34

y− y1=m (x−x1 )

y+2= 34(x+1)

y+2= 34x+ 34

0=3 x−4 y−5

Solución Gráfica:

y

x

x −2 0 2y −11

4−54

14

3. Ecuación de la recta de pendiente ordenada en el origen

Guía N° 31

Determine la pendiente y el corte con el eje y para la recta de la ecuación dada:

17. y=−13

x+2

− y

y

−x x

b

(0 , b)

ordenada

abscisa

m=−13

Intercepto con y

Pc (0,2 )

22. – x+6 y=18

m=16

Interceptocon y

Pc (0,3 )

Rectas Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

y

− y

x-x

m1=m2

θ1=θ2

Rectas Perpendiculares

m1.m2=−1

m1=−1m2

Guía N° 32:

3.m1=−7m2=−7

− y

y

x−x

m1=m2

l1 paralelaa l2

5.m1=83m2=

−38

m1.m2=−1

83×−3

8=−1

−1=−1Circunferencia

Esta formada por todos los puntos que se encuentran a una distancia igual a “r”(radio del centro de la circunferencia)

Datos

C=(h , k )

1.P=( x . y )∈ circunferencia

2.CP=r

3.√ (x−h )2+( y−k )2=r2

− y

−x

y

x

r

(h,k)

P1=(x1 , y1)

4. P1P2=√ (x2−x1)2+( y2− y1 )2

Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia de C=(-2,2) r=3

( x+2 )2+ ( y−2 )2=9

Guía N° 33

1. Determinar la distancia entre los puntos

P1=(0,0 )P2= (2,4 )

P1P2=√ (2−0 )2+(4−0 )2

¿2√5

4. Determinar la distancia entre P1 y P2

− y

y

−x x

P1=(4,1 )P2=(−1 ,−5 )

P1P2=√ (−1−4 )2+(−5−1 )2

¿√61

Coordenadas del punto medio

Dado el segmento P1P2 entre los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 (x2, y2 ) las coordenadas del punto

medio es P=x , y están dados por x=x1+x22

y y=y1+ y22

Ejemplo:

Hallar el punto medio del segmento A=(-3,-2) y B(4,1)

x=12y=−1

2

P=( 12 ,−12 )

− y

−x

y

x

Ecuación de la Parábola

( x−h )2=4 p ( y−k )

Guía N°35

6.y=2(x−3)2−5y+5=2 ( x−3 )2

(x−3)2=12( y+5)

V= (3 ,−5 )

4 p=12p=14>0∪se abre hacia arriba

− y

−x

y

x

7.f ( x )=4−4 ( x−5 )2

y−4=−4 ( x−5 )2

−14

( y−4 )=( x−5 )2

V= (4,5 )

4 p=−14

<0∩se abre hacia abajo

5.y=2 ( x+2 )2

12

( y+4 )=(x+2)2

− y

y

x−x

V= (−2 ,−4 )

4 p=12p=18>0∪ seabre hacia arriba

Guía N°36:

1. f ( x )= (x−4 )2−9h=4 k=−9V=(4 ,−9 )

Eje de SimetríaDeterminar el eje de simetría de la función

16. f ( x )=2x2+20 x+51¿ (2 x2+20 x+50 )+51−50¿2 (x2+10 x+25 )+51−50¿2(x+5)2+1

− y

y

x

( x+5 )2=12

( y−1 )

V= (−5,1 )

4 p=12p=14

Eje de simetría

X=-5

24.

V= (−4,4 )

P (6,304 )

(6+4 )2=4 p (304−4 )

− y

−xx

y

(10 )2=4 p (300 )

p= 112

y=3 x2+24 x+52

Función Exponencial

La función exponencial (f) es toda función de la forma f ( x )=a .bxdonde a>0, b>0 y b≠1

La constante a es el valor inicial de f (el valor en x igual a 0), a es el valor inicial de f(el valor en x=0) y b es la base

Ejemplos

1. f ( x )=2.3x

2. g ( x )=3x

3. h ( x )=6 x−4

4. j ( x )=−¿21.5x

5. k ( x )=7.2− x

6. q ( x )=5×6π

Comportamiento de la gráfica

- Caso A

− y

−x

y

x

La función es creciente = Si x aumenta la y también aumenta

b>1

- Caso B

La función es decreciente= Si x aumente la y disminuye

Guía N°38

3.f ( x )=4−x= 14 x=

1x

4x=¿

14<1

− y

y

−x x

− y

−x

y

x