4.1 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA.

La dinámica se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en él se origina. Por lo tanto, el modelo dinámico de un robot tiene por objeto conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo.

Esta relación se obtiene mediante el denominado modelo dinámico, que relaciona matemáticamente:

1. La localización del robot definida por sus variables articulares o por las coordenadas de localización de su extremo y sus derivadas: velocidad y aceleración.

2. Las fuerzas y pares aplicados en las articulaciones (o en el extremo del robot).

3. Los parámetros dimensionales del robot, como longitud, masas e inercias de sus elementos.

La obtención de este modelo para mecanismos de uno o dos grados de libertad no es excesivamente compleja, pero a medida que el número de grados de libertad aumenta, el planteamiento y obtención del modelo dinámico se complica enormemente. Por este motivo no siempre es posible obtener un modelo dinámico expresado de una forma cerrada, esto es, mediante una serie de ecuaciones, normalmente de tipo diferencial de segundo orden, cuya integración permita conocer qué movimiento surge al aplicar para obtener un movimiento determinado. El modelo dinámico debe ser resuelto entonces de manera iterativa mediante la utilización de un procedimiento numérico.

El problema de la obtención del modelo dinámico de un robot es, por lo tanto, uno de los aspectos más complejos de la dinámica, lo que ha llevado a ser obviado en numerosas ocasiones. Sin embargo, el modelo dinámico es imprescindible para conseguir los siguientes fines:

• Simulación del movimiento del robot. • Diseño y evaluación de la estructura mecánica del robot. • Dimensionamiento de los actuadores. • Diseño y evaluación del control dinámico del robot.

Este último fin es evidentemente de gran importancia, pues de la calidad del control dinámico del robot depende la precisión y velocidad de sus movimientos. La gran complejidad ya comentada existente en la obtención del

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modelo dinámico del robot, ha motivado que se realicen ciertas simplificaciones, de manera que así pueda ser utilizado en el diseño del controlador.

Es importante hacer notar que el modelo dinámico completo de un robot debe incluir no solo la dinámica de sus elementos (barras o eslabones) sino también la propia de sus sistemas de transmisión, de los actuadores y sus equipos electrónicos de mando. Estos elementos incorporan al modelo dinámico nuevas inercias, rozamientos, saturaciones de los circuitos electrónicos, etc. aumentando aún más su complejidad.

Por último, es preciso señalar que si bien en la mayor parte de las aplicaciones reales de la robótica, las cargas e inercias manejadas no son suficientes como para originar deformaciones en los eslabones del robot, en determinadas ocasiones no ocurre así, siendo preciso considerar al robot como un conjunto de eslabones no rígidos.

Aplicaciones de este tipo pueden encontrarse en la robótica espacial o en robots de grandes dimensiones, entre otras.

4.1.1 MODELO DINÁMICO DE LA ESTRUCTURA MECÁNICA DE UN ROBOT RÍGIDO

La obtención del modelo dinámico de un mecanismo, y en particular de un robot, se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzas establecido en la segunda ley de Newton, o su equivalente para movimientos de rotación, la denominada ley de Euler:

IF = mv It=IW) + W)x(IW) [5. 1 ]

Así, en el caso simple de un robot monoarticular como el representado en la Figura 5.1, el equilibrio de fuerzas-pares daría como resultado la ecuación:

En donde se ha supuesto que toda la masa se encuentra concentrada en el centro de gravedad del elemento, que no existe rozamiento alguno y que no se manipula ninguna carga.

Para un par motor x determinado, la integración de la ecuación daría lugar a la expresión de

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(t) y de sus derivadas 0'(t) y 0''(t), con lo que sería posible conocer la evolución de la coordenada articular del robot y de su velocidad y aceleración.

De forma inversa, si se pretende que 0(t) evolucione según una determinada función del tiempo, sustituyendo en podría obtenerse el par T(t) que sería necesario aplicar. Si el robot tuviese que ejercer alguna fuerza en su extremo, ya sea al manipular una carga o, por ejemplo, realizar un proceso sobre alguna pieza, bastaría con incluir esta condición en la ecuación y proceder del mismo

Se tiene así que del planteamiento del equilibrio de fuerzas y pares que intervienen sobre el robot se obtienen los denominados modelos dinámicos directo e inverso:

• Modelo dinámico directo: expresa la evolución temporal de las coordenadas articulares del robot en función de las fuerzas y pares que intervienen.

• Modelo dinámico inverso: expresa las fuerzas y pares que intervienen en función de la evolución de las coordenadas articulares y sus derivadas.

El planteamiento del equilibrio de fuerzas en un robot real de 5 o 6 grados de libertad, es mucho mas complicado que el ejemplo de la Figura 5.1. Debe tenerse en cuenta que junto con las fuerzas de inercia y gravedad, aparecen fuerzas de Coriolis debidas al movimiento relativo existente entre los diversos elementos, así como de fuerzas centrípetas que dependen de la configuración instantánea del manipulador.

Figura 5.1. Modelo de eslabón con masa concentrada.

La formulación Lagrangiana establece la ecuación:

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con qi. coordenadas generalizadas (en este caso las articulares). T: vector de fuerzas y pares aplicados en las qi. £: Función Lagrangiana. k: energía cinética, u: energía potencial. En el caso del robot monoarticular de la Figura 5.1 se tendría:

ao = \1L"t>

y sustituyendo en [5.3] se obtiene:

ML'ttt Mg!j:osB = t [ 5 . 1 ]

Aunque, para el caso simple del ejemplo, la obtención del modelo mediante la formulación Lagrangiana ha resultado más tediosa que mediante la formulación Newtoniana, la primera muestra sus ventajas a medida que aumenta el número de grados de libertad. La obtención del modelo dinámico de un robot ha sido y es objeto de estudio e investigación. Numerosos investigadores han desarrollado formulaciones alternativas, basadas fundamentalmente en la mecánica Newtoniana y Lagrangiana, con el objeto de obtener modelos manejables por los sistemas de cálculo de una manera más eficiente.

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Algunos de estos planteamientos son los debidos a: • Uicker-1965: basado en la formulación Lagrangiana. • Lu-1980: basado en la formulación Newtoniana. • Lee-1983. Un estudio completo de estos y otros planteamientos puede encontrarse en [Fu-88], [Paul-81] o [Craig-89] entre otros. Aquí se expondrán únicamente los resultados finales de estos planteamientos, que expresados en forma de algoritmo, permiten obtener el modelo dinámico del robot. En ambos casos se aplica la metodología a seguir sobre un robot de 2 grados de libertad.

CONCLUSION: INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA.

Conociendo que la dinámica es la ciencia que se ocupa de la relación entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en él se origina. Entonces el objetivo del modelo dinámico de un robot es conocer la relación entre el movimiento del robot y las fuerzas implicadas en el mismo, para así tomar en cuenta cada variable que pueda actuar sobre el robot al momento de cada movimiento. Este modelo toma en cuenta ciertas variables del robot, tales como: articulaciones, coordenadas de localización, velocidad y aceleración, además de las fuerzas y pares que se aplican en las articulaciones del mismo, su longitud, masas, etc. Cabe mencionar que según el número de grados de libertad del robot es el nivel de dificultad para su modelo dinámico.

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4.2 ECUACIONES DE EULER-LAGRANGE.

Uicker en 1965 utilizó la representación de D-H basada en las matrices de transformación homogénea para formular el modelo dinámico de un robot mediante la ecuación de LaGrange.

Este planteamiento utiliza matrices i-1 Ai que relacionan el sistema de coordenadas de referencia del elemento i con el elemento i-1. Se realizan en este caso operaciones de producto y suma innecesarias. Se trata de un procedimiento ineficiente desde el punto de vista computacional. Puede comprobarse que el algoritmo es de un orden de complejidad computacional O(n4), es decir, el número de operaciones a realizar crece con la potencia 4 del numero de grados de libertad. Sin embargo, conduce a unas ecuaciones finales bien estructuradas donde aparecen de manera clara los diversos pares y fuerzas que intervienen en el movimiento (inercia, Coriolis, gravedad).

Se presenta a continuación al algoritmo a seguir para obtener el modelo dinámico del robot por el procedimiento de LaGrange-Euler (L-E).

4.2.1 ALGORITMO COMPUTACIONAL PARA EL MODELADO DINÁMICO POR LAGRANGE-EULER.

L-E 1. Asignar a cada eslabón un sistema de referencia de acuerdo a las normas de D-H.

L-E 2. Obtener las matrices de transformación 0Ai para cada elemento i.

L-E 3. Obtener las matrices Uij definidas por:

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L-E 4. Obtener las matrices Uijk definidas por:

L-E 5. Obtener las matrices de pseudoinercias Ji para cada elemento, que vienen definidas por:

I x ( . 2 d m

y.x.ám ZiX¡ám jc ( .dm

J v f dm

J ; y , . 2 dm

J z ^ . d m

J ^ . d m

J j : . z f d m

¡ y¡Zidm J V d m

j \ d m

J ^ . d m

J x - d m

¡ Z i d m

J d m

Donde las integrales están extendidas al elemento i considerado, y (xi yi zi) son las coordenadas del diferencial de masa dm respecto al sistema de coordenadas del elemento.

L-E 6. Obtener la matriz de inercias D = [dij] cuyos elementos vienen definidos por:

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Con i,j= 1,2 n

n= numero de grados de libertad

L-E 7. Obtener los términos hikm definidos por:

Con i,k,m= 1,2,_,n

L-E 8. Obtener la matriz columna de fuerzas de Coriolis y centrípeta H=[hi]T cuyos elementos vienen definidos por:

L-E 9. Obtener la matriz columna de fuerzas de gravedad C= [ci]T cuyos elementos están definidos por:

Con i= 1,2,_,n

g: es el vector de gravedad expresado en el sistema de la base {S0} y viene expresado por (gx0, gy0, gz0, 0)

irj: es el vector de coordenadas homogéneas del centro de masas del elemento j expresado en el sistema de referencia del elemento i.

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L-E 10. La ecuación dinámica del sistema será:

Donde X es el vector de fuerzas y pares motores efectivos aplicados sobres cada coordenada qi.

1. La derivada de la matriz de D-H 0Ai respecto de la coordenada qj puede obtenerse fácilmente de manera computacional, mediante la expresión:

2. Análogamente:

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3. Las matrices Ji y D son simétricas y semidefinidas positivas.

Robot polar de dos grados de libertad.

4. El termino hikm representa el efecto, en cuanto a fuerza par, generado sobre el eslabón i como consecuencia del movimiento relativo entre los eslabones k y m. se cumple que hikm = himk y que hiii=0.

5. En la obtención de las matrices de pseudoinercia Ji, las integrales están extendidas al elemento i, de modo que ésta se evalúa para cada punto del elemento de masa dm y coordenadas (xi yi zi) referidas al sistema de coordenadas del elemento.

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Sistema de coordenadas de referencia del robot polar.

Elementos del robot polar.

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Robot polar en configuración horizontal.

CONCLUSION: ECUACIONES DE EULER-LAGRANGE.

El método de LaGrange-Euler (L-E) es conveniente cuando aumenta el número de grados de libertad, aunque es mas tedioso. Este modelado es muy conveniente , porque es muy metódico es computable.

Este modelo implica:

> Las coordenadas articulares. > Los vectores y fuerzas aplicados. > Obviamente la función LaGrangiana > Energía cinética y potencial

Es un modelo meramente matricial que implica derivadas y torques, además de observar si la articulación es de rotación o traslación.

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4.3 FORMULACIÓN DE NEWTON-EULER.

La obtención del modelo dinámico de un robot a partir de la formulación Lagrangiana conduce a un algoritmo con un coste computacional de orden O(n4). Es decir, el número de operaciones a realizar crece con la potencia cuarta del número de grados de libertad. En el caso habitual de robots de 6 grados de libertad, este número de operaciones hace al algoritmo presentado en el epígrafe anterior materialmente inutilizable para ser utilizado en tiempo real.

La formulación de Newton-Euler parte del equilibrio de fuerzas pares:

Un adecuado desarrollo de estas ecuaciones conduce a una formulación recursiva en la que se obtienen la posición, velocidad y la aceleración del eslabón i referidos a la base del robot a partir de los correspondientes del eslabón i-1 y del movimiento relativo de la articulación i. De este modo, partiendo del eslabón 1 se llega al eslabón n. con estos datos se procede a obtener las fuerzas y pares actuantes sobre el eslabón i referidos a la base del robot a partir de los correspondientes al eslabón i+1, recorriéndose de esta forma todos los eslabones desde el eslabón n al eslabón 1.

El algoritmo se basa en operaciones vectoriales (con productos escalares y vectoriales entre magnitudes vectoriales, y productos de matrices con vectores) siendo mas eficiente en comparación con las operaciones matriciales asociadas a la formulación Lagrangiana. De hecho, el orden de complejidad computacional de la formulación recursiva de Newton-Euler es O(n) lo que indica que depende directamente del numero de grados de libertad.

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4.3.1 ALGORITMO COMPUTACIONAL PARA EL MODELADO DINÁMICO POR NEWTON-EULER.

N-E 1. Asignar a cada eslabón un sistema de referencia de acuerdo con las normas de D-H.

N-E 2. Obtener las matrices de rotación i-1 Ri y sus inversas

iRi-1 = (i-1 Ri)-1 = (i-1 Ri)T, siendo:

C0j -CotjSQj SaiSQi

S0j CajCQj -SaiCQi

0 S a ¡ C a ¡

N-E 3. Establecer las condiciones iniciales.

Para el sistema de la base {S0}:

" R ¡ =

°w°: velocidad angular = [0,0,0]T

°w°: aceleración angular = [0,0,0]T

°v°: velocidad lineal = [0,0,0]T

°v°: aceleración lineal = [gx, gy, gz]T

°w°, °w0 y °v° son típicamente nulos salvo que la base del robot esté en movimiento. Para el extremo del robot se conocerá la fuerza y el par ejercidos externamente n+1fn+1 y n+1nn+1.

Z0 = [0, 0, 1]T

ipi = coordenadas del origen del sistema {Si} respecto a {Si-1} = [ai, diSi, diCi]

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isi = coordenadas del centro de masas del eslabón i respecto del sistema {Si}.

ili = matriz de inercia del eslabón i respecto de su centro de masas expresado en {Si}.

Para i = 1.. .n realizar los pasos 4 a 7:

N-E 4. Obtener la velocidad angular del sistema {Si}.

' R ^ í ' - 1 ® ! - ! + z o ^ i ) + M a ) i - i x z o < ? ¡ s i e l eslabón i es de rotación

si el eslabón i es de rotación

si el eslabón i es de traslación

N-E 5. Obtener la aceleración angular del sistema {Si}.

si el eslabón i es de traslación

N-E 6. Obtener la aceleración lineal del sistema i:

¡ c ó í x i Pi +ico¡ x ( i c a . x i p i ) + i R

'Vi =< i R i - , K ' ? I + i " 1 v M ) + i c b i x i p ¡ +2 'ü ) i x i R

+ i 0 3 i x ( i c 0 i x i p i )

V: =< i-1 0 Hi Z0 +

si el eslabón i es de rotación

si el eslabón i es de traslación

N-E 7. Obtener la aceleración lineal de gravedad del eslabón i:

Para i = n . 1 realizar los pasos 8 a 1°.

N-E 8. Obtener la fuerza ejercida sobre el eslabón i:

Í f i = Í R ¡ + . í + , f i + 1 + m ii a i

N-E 9. Obtener el par ejercido sobre el eslabón i:

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' n i = ' R i + i [ i + l n i + ( i + 1 R ¡ i P i ) x i + 1 f i + I ] + ( ' p i + ' s j x m ¡ ^ ¡ H - ' l j ' c b j + ' c O j x ( i I ii c o i )

N-E 1°. Obtener la fuerza o par aplicado a la articulación i

Donde X es el par o fuerza efectivo (par motor menos pares de rozamiento o perturbación).

Configuración y ejes de referencia del robot polar.

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CONCLUSION: FORMULACION DE NEWTON-EULER Este método se basa en el equilibrio de fuerzas y pares.

El algoritmo utiliza operaciones vectoriales (productos escalares y productos de matrices con vectores). Es mas eficiente comparándolo con el método de Lagrange-Euler. Toma en cuenta los eslabones respecto a la base del robot, además de que es muy importante establecer las condiciones iniciales. es una modificación del método matricial L-E pero mas exacto ya que toma en cuenta eslabones.

Permite personalizar el método por esto mismo.

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4.4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO. La obtención del modelo dinámico de un mecanismo, y en particular de un robot, se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzas establecido en la segunda ley de Newton, o su equivalente para movimientos de rotación, la denominada Ley de Euler.

Así en el caso simple de un robot monoarticular, el equilibrio de fuerzas-pares daría como resultado la ecuación:

En donde se ha supuesto que toda la masa se encuentra concentrada en el centro de gravedad del elemento, que no existe rozamiento alguno y que no se manipula ninguna carga.

Para un par motor X determinado, la integración de la ecuación daría lugar a la expresión de 0(t) y de sus derivadas e(t) y 0(t), con lo que sería posible conocer la evolución de la coordenada articular del robot y de su velocidad y aceleración.

El planteamiento del equilibrio de fuerzas en un robot real de 5 o 6 grados de libertad, es mucho más complicado que el ejemplo de la figura siguiente.

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X Modelo de eslabón con masa concentrada.

Debe tenerse en cuenta que junto con las fuerzas de inercia y gravedad, aparecen fuerzas de Coriolis debidas al movimiento relativo existente entre los

diversos elementos, así como de fuerzas centrípetas que dependen de la configuración instantánea del manipulador.

Como planteamiento alternativo para la obtención del modelo se puede usar la formulación Lagrangiana, basada en consideraciones enérgicas. Este planteamiento es mas sistemático que el anterior, y por lo tanto facilita enormemente la formulación del modelo.

La formulación Lagragiana establece la ecuación:

q1: coordenadas generalizadas generalizadas (en este caso las articulares).

X: vector de fuerzas y pares aplicados en las qi.

d d£ dt dq. a q ¡

J 3 = k - u

- x

Con:

L: función Lagrangiana.

k: energía cinética.

U: energía potencial.

En el caso del robot monoarticular de la figura se tendría:

Donde I=ML2. 2

Además: U = M g h = M g L s e n B

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Luego:

a e - M g L c o s B

d t a e

Sustituyendo:

- M L 0 3 0

d d J S r = M L 2 0

i x M L " 9 + M g L c o s G = x

Aunque, para el caso simple, la obtención del modelo mediante la formulación Lagrangiana ha resultado más tediosa que mediante la formulación Newtoniana, la primera muestra sus ventajas a medida que aumenta el número de grados de libertad

CONCLUSION: ECUACIONES DE MOVIMIENTO El resultado de los métodos vistos en esta presentación son para determinar las ecuaciones de movimiento del robot, las cuales nos servirán para analizar cada uno de los movimientos que haga el robot y controlar las variables que pueda haber en los movimientos del robot

BIBLIOGRAFÍA: "Fundamentos de robótica"

Primera Edición.

Antonio Barrientos, Luis Felipe Peñín, Carlos Balaguer, Rafael Aracil

McGraw Hill/Inetramericana de España.

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