Diseño de redes de intercambiadores de calor con utilidades multiples por programacion lineal

TRABAJOS DE INVESTIGACION 0PERATIVA Vol. 6. ntim I. 1991. pp 103 a 117

DISElqO DE REDES DE INTERCAMBIADORES

DE CALOR CON UTILIDADES M U L T I P L E S POR P R O G R A M A C I O N LINEAL

A. RODRIGUEZ, J. A. SOUTO, J. J. CASARES Dpto. de Ingenieria Quimica Universidad de Santiago de Compostela

RESUMEN

Se analiza la aplicacibn de un algoritmo de Programaci6n de Redes, el m6todo Out of Kilter, al anfilisis y disefio de redes de intercambiadores de calor con utilidades externas mfiltiples. Tradicionalmente, los m6todos heuristicos y termodin',imicos han sido los mils utilizados. Sin embargo, estos m6todos presentan dificultades de aplicaci6n en aquellos problemas, como el planteado en este trabajo, en los que se incorpora mils de una utilidad externa de calentamiento. Por el contrario, el m6todo Out of Kilter 1o resuelve de forma satisfactoria como se deduce de los resultados obtenidos. Palabras clave: Programaci6n de redes, M6todo out of kilter, Sintesis de redes de intercambiadores de calor. Clasificacibn AMS: 90C35, 90BI0.

SUMMARY

The application of a network programming algorithm, the Out of Kilter algorithm, to the analysis and design of heat exchanger networks with multiple external utilities, is presented. From the various methods existing in the literature for the solution of this problem, heuristic and thermodynamic procedures have received in the past most of the attention. Nevertheless, the presence of schemes with multiple external utilities impose serious restrictions

Recibido marzo 1989. Revisado Mayo 1990.

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in the use of traditional methods. According to the results attained, the Out of Kilter algorithm performs very satisfactorily in spite of the complexity introdu- ced by more than one external heating source.

Key words: Network Programming, Out of Kilter Algorithm, Heat Exchanger Networks. AMS classification: 90C35, 90B10.

I N T R O D U C C I O N

El problema general de la sintesis de redes de intercambiadores de calor puede plantearse del modo siguiente: dado un conjunto de corrientes calientes y otro de corrientes frias, se trata de disenar una serie de intercambios de calor entre elias, de forma que todas las corrientes alcancen su temperatura final. Las t~cnicas mb.s ampliamente utilizadas en el disefio de este tipo de sistemas requieren una etapa previa de determinaci6n de la Mfixima Energia Recuperable (MER) e, indirecta- mente, de la cantidad de calor que es necesario suministrar y/o retirar del sistema haciendo uso de utilidades externas. Con este fin, se han descrito t6cnicas basadas en m6todos termodin/tmicos como el procedimiento de la tabla del problema (Pinch), y m6todos matemfiticos como los modelos de transporte y transporte en etapas, que se resuelven utilizando el m6todo out of kilter (OKA), basado en t6cnicas de progra- maci6n lineal.

El m&odo de la tabla del problema, aunque de mayor sencillez en el planteamiento y claridad de exposici6n, presenta serios inconvenientes para su generalizaci6n con inclusi6n de restricciones no termodinfimicas impuestas por el disefiador, como es el caso de las utilidades externas m61tiples. Los m&odos matem/Lticos, en cambio, aunque de mayor complejidad, permiten abordar la inclusi6n de este tipo de restricciones con modificaciones minimas en su planteamiento inicial, que no afectan al algoritmo de resoluci6n del modelo.

Los m6todos de programaci6n lineal se han aplicado ampliamente en la planificaci6n de transporte de mercancias (fleet scheduling problem, shortest path problem, etc.). En el campo de la ingenieria, son habituales sus aplicaciones a la planificaci6n de proyectos, reemplazo de equipos y planificaci6n de la producci6n industrial. Se expondr/t a

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RODRIGUEZ. A.; SOUTO, J. A., y CASARES. J. J. DISENO DE REDES DE INTERCAMBIADORES DE CALOR...

continuaci6n el planteamiento del modelo de transporte en etapas para la determinaci6n del coste minimo de utilidades en redes de intercambiadores de calor, y su resoluci6n aplicando el m~todo out of kilter.

N O M E N C L A T U R A

U~,j = Transferencia mfixima permitida a trav6s del arco i,j. L~.~ = Transferencia minima permitida a trav6s del arco i,j. Ci.j = Coste de transferencia por unidad de flujo a trav6s del arco

i,j. f~.j = Flujo de calor a trav6s del arco i,j.

rq = Nfimeros de nodo. MCp = Capacidad calorifica de una corriente.

SS = Nodo superfuente. S T = Nodo supersumidero. W = Nodo de utilidades frias. F~ = Nodo correspondiente a la corriente fria i. C~ = Nodo correspondiente a la corriente caliente i. St~ = N o d o de utilidades calientes i.

7"1. = Nodo correspondiente al intervalo de temperatura n. K = Temperatura en Kelvin.

W/K = Capacidad calorifica en Watios/Kelvin.

1. P L A N T E A M I E N T O D E L M O D E L O D E T R A N S P O R T E EN ETAPAS

E1 objetivo principal de este planteamiento es determinar el modo mils barato de transportar la mfixima cantidad posible de calor desde un origen (corrientes calientes) hacia un destino (corrientes frias) especi- ficadas a trav6s de una red de transporte.

Una red es un conjunto de nodos unidos por una serie de arcos. Cada arco se representa por un par ordenado (i,j) de nodos distintos y lleva asociado un triplete (Ui, j, Li.j, Ci,j), que representa las transferen- cias mfixima (Ui.j) y minima (Li.j) permitida en cada arco y el coste de transferencia (Ci, j) por unidad de flujo.

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E1 modelo de transporte en etapas supone que el transporte de calor desde las corrientes/utilidades calientes hacia las frias no se produce de un modo directo, sino a trav6s de nodos intermedios o nodos de almac6n, TI. En el problema de disefio de redes de intercambiadores de calor, estos nodos representan a los distintos intervalos de temperatura en los que se produce la transferencia de calor. Se han ideado varios m6todos para determinar estos intervalos de temperatura, basados todos ellos en las temperaturas de entrada y salida de las corrientes implicadas, pero las reglas de Cerda (1983) reducen al minimo impres- cindibles el nfimero de intervalos.

E1 planteamiento del modelo de transporte en etapas implica que se debe satisfacer la conservaci6n de flujo en cada nodo, es decir:

salida - entrada = demanda - producci6n

Para ello es necesario crear dos nodos ficticios, denominados supersumidero (ST) y superfuente (SS), cuyo 6nico fin es permitir que se cumpla la ley de conservaci6n de flujo de calor en los nodos de corrientes y utilidades externas.

Tras estas consideraciones, el objetivo puede replantearse como: determinar el flujo de calor a trav6s de los arcos que unen los nodos de utilidades calientes con los nodos TI y de los nodos TI con los nodos de utilidades frias; y el flujo de calor residual de cada nodo TI al siguiente mhs frio (los arcos con calor residual nulo indicar~in los puntos de pinch), de modo que el flujo de cada arco est6 comprendido entre el m/tximo y el minimo permitidos y conduzca a una red de coste minimo. Matem~ticamente el problema puede definirse como:

minimizar

sujeto a las restricciones:

(a) Li.j <<. fi.j <<. Ui.~ i, j e N El_! (b) conservaci6n de flujo en cada nodo

Los pasos necesarios para el planteamiento general del modelo (Rodriguez, 1989) se esquematizan en la figura 1.

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ROORIGUEZ. A,; SOUTO. J. A.. y CASARES, J . J . DISE/~Q DE REDES DE INTERCAMBIADORES DE CALOR...

, ...-,- - ~ " - - ~ \

/ \

Prlnr

Determlnar los intervalos de temperatura

Aslgnar nodos alas corrlentes, utllldades e

Intervaios de temperatura

Crear los nodos artiflclales y aslgnarles nodo$

Enlazar corrlentes y ulilldades callentes con nodos TI, y

aslgnarles trlpletes

Enlazar cada nodo TI con el slgulente m•s frio y con

cordentes y uUlldades frias, y aslgnar los trlpletes.

Enlazar corrlentes y utilldades frlas con en nodo ST y

aslgnar los trlpletes

Enlazar el nodo ST con el nodo SS y aslgnarle trlplete

Enlazar el nodo SS con las corrlentes y utllldades

callentes y aslgnarles trlpleles

Figura 1.--Diagrama de fluid del planteamiento general del modelo de transporte en etapas.

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2. M E T O D O O U T O F K I L T E R

El m6todo out o f kilter es el algori tmo mils general para el anfilisis de flujo en redes capacitadas (Jensen, 1980); es decir, en redes en las que los arcos a trav6s de los cuales se pueden intercambiar calor estfin predeter- minados, y ningOn otro arco puede ser establecido. Este a lgor i tmo utiliza los conceptos asociados al teorema de dualidad y las condiciones limites complementar ias de la programaci6n lineal (Kennington, 1980), segOn los cuales, d a d o un problema de opt imizaci6n (denominado problema primal) c o m o el representado en [1] existe un prob lema equivalente, denominado problema dual, que puede plantearse como:

minimizar ~ Ui , i* a~.j -- Li,~ * 6~.~

sujeto a l a s restricciones:

7~ i - - ~zj + ai, j - - • i , j >~ C i , J

a~,j >1 0

6~,j >~ 0

En esta formulaci6n del problema, las variables n estfin relacionadas con la conservaci6n de flujo en cada nodo, las variables a estfin asociadas a las restricciones de flujo mfiximo en cada arco (U~,~), y las variables 6 est/m asociadas a las restricciones de flujo minimo. Cada variable f~,i del problema primal lleva asociada una restricci6n en el problema dual.

Puede demostrarse (Jensen, 1980)que para cada soluci6n del problema primal, existe una y s61o una soluci6n equivalente del problema dual; y que ambas son 6pt imos de sus planteamientos respectivos si y s61o si:

donde

se satisface la conservaci6n del flujo en cada nodo

si C*.,,j < 0 entonces f~,j = U/,j si C*.,,~ > 0 entonces f~,i = L~,j

si C*.=,,j 0 entonces L~. i ~< f~,~ ~< U~, i

c.*.,,j = Ci, j + xi - ~zj E2]

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En una etapa cualquiera del c~dculo, un arco que cumpla estas condiciones se dice que estfi in kilter, mientras que si alguna de las condiciones anteriores no se cumple, el arco estfi out of kilter.

E1 m6todo out of kilter intenta encontrar los valores de rc i y f~,~ que satisfagan estas cuatro condiciones. E1 cfilculo debe comenzarse asig- nando a l a s variables f~.j valores adecuados de forma que se cumpla la conservaci6n de flujo en cada nodo; y valores arbitrarios a las variables rq. Como se comprobar~ mils adelante, no es necesario que la soluci6n inicial sea factible.

3. PROBLEMA NUMERICO

Como aplicaci6n del m6todo presentado, se propone el ejemplo de intercambio de calor entre las corrientes cuyas caracteristicas se muestran en la tabla 1, y que corresponden al problema designado en la

TABLA 1

Caracteristicas de las corrientes del problema ejemplo. Los datos se muestran en K y W/K.

CORRIENTES CALIENTES: 4

NQ T Entrada T Salida MCp

1 516.50 2 505.40 3 460.90 4 427.60

4 3 3 . 2 0 3 8 8 . 7 0 3 3 8 . 7 0 3 6 6 . 5 0

11.80 9.22

15.02 10.59

CORRIENTES FRIAS: 4

NQ T Entrada T Sa l ida MCp

1 3 6 6 . 5 0 2 3 3 8 . 7 0 3 3 5 8 . 2 0 4 3 3 3 . 2 0

488.70 477.60 438.70 422.00

8 . 8 5 1 2 . 2 3 1 8 . 5 0

9 . 0 9

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bibliografia (Grossmann, 1978) como 8SP1. La diferencia minima de temperatura utilizada en este ejemplo para permitir que dos corrientes intercambien calor es de 10 K que, en este caso, es necesario sumar a las temperaturas de entrada y salida de las corrientes frias. Las caracteristicas de las utilidades externas disponibles se detallan en la tabla 2.

TABLA 2

Caracteristicas delascorrientes de utilidadesexternas. Los datosse mu~tran en K y W.

CORRIENTES DE UTILIDADES

Tipo

Caliente Caliente Frla

T e m p e r a t u r a

5 2 5 . 0 0 4 0 0 . 0 0

FIujo MHximo

5000.00 2 0 0 0 . 0 0

Coste

1 . 0 0 . 7 1 . 0

Los intervalos de temperatura, que se obtienen aplicando las reglas de Cerda (1983) mencionadas anteriormente, se muestran en la tabla 3.

TABLA 3

Intervalosdetemperatura del ~ e m p l o ( T en K).

Ndmero de intervalo T maxima

516.50 460.90 427.60 376.50 368.20 348.70

T minima

460.90 427.60 376.50 368.20 348.70 338.70

5 5 . 6 0 33.30 5 1 . 1 0

8.30 19 .50 1 0 . 0 0

La red de transporte y el triplete asociado a cada arco se muestran en la figura 2.

Puesto que las necesidades energ6ticas de las corrientes de proceso deben satisfacerse completamente:

Li , j = U~.j = M C p . A T

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/

(5ooo.o,1)

J '\ /~ . / i

~.,, o. o) i .~ ' / / \ / /

1n01.1081.0)

(CO.O, O)

co, o. o)

\

\ (1489.14890)

oo, o, o)

(00. o, o)

(OO,5O77, O)

Figura 2.--Red y tripletes del problema 8SPI.

para todos los arcos que unen las corrientes de proceso con los intervalos de temperatura, donde AT representa la variaci6n de temperatura de la corriente en el intervalo de temperaturas considerado. Para los arcos que unen dos intervalos de temperatura, no hay limite superior para el flujo de calor.

Para los arcos que unen las corrientes de utilidades con los nodos TI, el flujo mdximo de calor se corresponde con la disponibilidad mdxima de esa corriente. Estos arcos son los t~nicos que tiene coste no nulo (tabla

2) ya que se trata, precisamente, de calcular el coste debido al consumo de

estas corrientes.

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Si se aplica el m6todo OKA, no es necesario partir de una soluci6n inicial factible; y s61o es necesario que se cumpla la conservaci6n de flujo en cada nodo. La soluci6n inicial nula (f~j = 0, ni = 0) cumple siempre estas condiciones.

A fin de mostrar la metodologia descrita anteriormente para la modificaci6n de los flujos y para el ajuste de los valores de nl, se ha elegido la red que se muestra en la figura 3, que corresponde al

530.5 . �9 __. I1__~--'-" g55

335

326 106!

/ ~t~ / ~"i, ~ 2 ~ 295

a2r " 40-----7 300

/ ,//V// ,i '~ 452

/ J

825 / i, �84184 v T , , I ....

293 18

101,5 /

153,5 .... .-/ 7~14

118

\ \

1489

, / / / \ ~ . / _,

4972

F i g u r a 3.--Red resultante tras 27 iteraciones del ejemplo propuesto.

resultado de la iteraci6n 27, donde el valor que se muestra sobre cada arco indica el flujo de calor que 1o atraviesa (en watios); y el n6mero situado sobre cada nodo indica el valor de ni correspondiente.

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En este diagrama puede observarse que el arco (F4, ST) se encuentra en estado al y estfi, por lo tanto, out of kilter. Se etiqueta el nodo ST como 1-317.75, F4 § y la bflsqueda se traslada al nodo reci6n etiquetado (ST) y se localiza un nodo etiquetable enlazado con 6ste. Este procedimiento, como se muestra en la tabla 4, continfla hasta alcanzar el nodo F4.

Arco

( F 4 , ST} { S T , S S ) ( S S , S t l ) ( S t l , T I I } ( T i t , T I 2 ) { T I 2 , T I 3 } ( T I 3 , T I 4 ) ( T I 4 , TI ~, ) ( T I 5 , F4 }

TABLA 4

Procedimiento de etiquetado delaiteraci6n 28.

E s t a d o

o.1

5t

o.1

Etiquetado

ST SS S t l T i t 'rI2 T I 3 TI4

TI2

Etiqueta

[ 1 0 4 . 8 5 , F4* ] [ 1 0 4 . 8 5 , ST* ] [ 1 0 4 . 8 5 , SS* ] [ 1 0 4 . 8 5 , S t l * ] [ 1 0 4 . 8 5 , T I I ' ] [ 1 0 4 . 8 5 , T I 2 * ] [ 1 0 4 . 8 5 , T I 3 ~ ] [ 1 0 4 . 8 5 , T I 4 * ] [ 1 0 4 . 8 5 , T I s * ]

Una vez completado el procedimiento de etiquetado, se ajusta el flujo de todos los arcos implicados en el bucle en la cantidad indicada por la flltima etiqueta asignada. En esta iteraci6n, el ajuste es de 104.85 W, que han de sumarse o restarse a los arcos dependiendo de si la etiqueta asignada es positiva (como la de todos los arcos de esta iteraci6n) o negativa. La red resultante de esta iteraci6n se muestra en la figura 4.

E1 procedimiento mostrado se repite hasta colocar todos los arcos en algfin estado in kilter. Cuatro iteraciones m~ts colocarfin todos los arcos in kilter, obteni6ndose la red 6ptima que se muestra en la figura 5.

4. C O N C L U S I O N E S E I N T E R P R E T A C I O N DE RESULTADOS

Una vez obtenida la red 6ptima, se proeede a la interpretaei6n de los resultados obtenidos. Las utilidades minimas de enfriamiento se corresponden con el flujo del arco que une el intervalo de temperatura m~s frio (TI6) con el nodo de utilidades de enfriamiento (W). Igualmente, el eonsumo de utilidades de ealentamiento est~ representado en la red por

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~;35.5

635.5

656 335

1040.5

327 H ' I " -

~ / A / / / ~1 ''4'5

295

407

390

/ / ~ l / Y / ' " ~ - ~ 4 "0 I 9,~

2 ,[,223

\ 9

1489

165

75,4

P 177 /"t"

\ / '

2 V L " I 50 . /

5076

Figura 4.--Resultado de la iteraci6n 28 del ejemplo.

los arcos (STt, Tit) y (ST2, TI4). Los arcos que unen los nodos TI entre si y que tienen flujo nulo son los puntos de Pinch, ya que no hay flujo de calor a trav6s de la temperatura que separa dichos intervalos. Un resumen de los resultados se muestra en la tabla 5.

Para calcular el coste de las utilidades consumidas, basta con multiplicar la cantidad utilizada de cada corriente pot su coste, y sumarlas. En este ejemplo se asign6 coste 1 a las utilidades calientes de alta temperatura y a las utilidades frias, y coste 0.7 a las utilidades calientes de temperatura m~is baja, pero no hay ningOn inconveniente en utilizar valores distintos del coste para cualquiera de las corrientes. Los

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1001

817.5 +L 327 r - - -

, / / V / I , I'1'"

5.7 ,I 0

205

40?'

390

045

- - \

r / /

7 1699

14n

/ - - / /

18

J . 75.4

185.5

7 I I / k ~ . . / 5

5170

F i g u r a 5.--Soluci6n 6ptima del ejemplo propuesto, tras 32 iteraciones.

TABLA 5 Resumen de resultados del ejemplo.

RESULTADOS : TEbtPERATURA DE LOS PINCIt Y U T I L I D A D E S MINIblAS

Temperatura del Pinch (Frla-Caliente) Temperatura del Pinch (Frla-Caliente)

Utilidades Minimas de Enfriamiento

Utilidades Hinimas de Calentamiento(525 K) Utiiidades Minimas de Calentamiento(400 K)

366.50-376.50 338.70-348.70

100.20

412.67 222.79

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resultados que se obtengan variarhn en funciSn de los valores utilizados puesto que, en definitiva, la funci6n de este m6todo es minimizar el coste global de la red.

BIBLIOGRAFIA

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