DISEÑO DE FILTRO FIR PASABANDA UTILIZANDO EL MÉTODO DE ENVENTANADO BARTLETT

( 24 JUNIO 2011 )

Félix Antonio Palacios Abarca, Luis Antonio Sánchez Flores

Abstracto: En el presente documento se tratara de exponer, la forma de diseñar un filtro digital FIR, con las siguientes características: que sea pasabanda y que además sea implementado mediante el método de enventanado BARTLETT. El filtro debe satisfacer las siguientes características como el de poseer dos frecuencias de stop y dos frecuencia de paso, que han sido previamente definidas, y que más adelante se mostrara en el cuerpo del trabajo.

INTRODUCCIÓN

Los filtros son sistemas que se diseñan principalmente para eliminar ciertas componentes no deseadas de una señal. Generalmente estas componentes no deseadas se definen en función de sus componentes de frecuencia. Un filtro ideal permite el paso de ciertas frecuencias sin modificarlas y elimina completamente otras; esto en la realidad no se puede lograr con exactitud ya que no existen componentes precisos en el mercado, razón por la cual se tienen aproximaciones. El intervalo de frecuencias que deja pasar un filtro se le llama banda de paso y todas las frecuencias que elimina se le llama banda de supresión. El ancho de banda de un filtro digital depende de la frecuencia de muestreo, y

estos se pueden implementar tanto en software como en hardware. Se conocen usualmente dos tipos de filtros que se eligen según las necesidades y la naturaleza del problema, estos filtros se les conoce como FIR e IIR. Este proyecto se enfoca en la construcción de un filtro FIR para lo cual en primer lugar se presentara un desarrollo teórico del diseño de un filtro digital FIR, cumpliendo las condiciones de tener una frecuencia de supresión iguales a fstop1 = 900 Hz , fstop2 = 1600 Hz y una frecuencia de paso fpass1 =1000 y fpass2 =1500 , que para nuestro caso son las condiciones de diseño pedidas. Además de todo se presentara la implementación de este mediante la técnica de enventanado Bartlett.

MARCO TEÓRICO

Los filtros de respuesta finita al impulso (FIR finite impulse response) tienen la ventaja de ser utilizados con facilidad y poseer fase lineal para una respuesta al impulso par o impar, a esta propiedad se le llama simetría. Otra de las características que debe de tener un filtro FIR es que debe ser causal, esto significa que debe tener un retraso hacia los positivos y no debe existir señal en frecuencias negativas.

REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA.

Existen tres técnicas de diseño de filtros FIR que son de gran importancia:

1-La técnica de ventanas.

2-La técnica de muestreo en frecuencia.

3-La técnica de diseños con rizado uniforme.

De las diferentes técnicas de diseño se desarrollo la técnica de ventaneo con la que lo primero es decidir las especificaciones de respuesta en frecuencia ideal de nuestro filtro como Hd(ejω) y luego determinar su correspondiente respuesta al impulso ideal hd(n).

La técnica de diseño que se utilizara para construir un filtro paso banda, está basada en la construcción de dos filtros ideales, que como se dijo en el apartado anterior están denotados con Hd(ejω) a las frecuencias de interés.

Un esquema de lo descrito anteriormente seria como el que se muestra en la siguiente fig.1

Fig.1 Filtro ideal pasabanda construido a partir de dos paso bajo.

Nosotros representaremos a un filtro seleccionador de frecuencia ideal por medio de Hd(ejω) el cual tiene una ganancia de magnitud uno y una característica de fase línea sobre su banda de paso y una respuesta de cero sobre sus bandas de supresión. La representación de un filtro ideal de ancho de banda Wc < π viene dado por:

Donde:

Wc: frecuencia de corte.

α : el retardo.

La respuesta al impulso de este filtro ideal es de duración infinita y viene dada por.

Que se obtuvo al aplicar la transformada inversa de Fourier a la función de respuesta en frecuencia de un filtro ideal paso bajo, notando que hd(n) es simétrica con respecto a α.

Para obtener un filtro FIR de hd(n), se tiene que truncar a ambos lados de la función respuesta al impulso ideal. Y además para obtener un filtro FIR de fase línea y causal h(n) de longitud M, debemos tener:

A la cual se le llama enventanado. En general la respuesta al impulso de un filtro real está realizado por la multiplicación de hd(n) con una función ventana w(n) como se muestra en la siguiente expresión.

Donde:

Dependiendo como definamos w(n) así obtendremos diferentes diseños para las ventanas.

Para el diseño que aquí se implementa ( ventana Bartlett ) una expresión que representa a la ventana es la que se nuestra a continuación.

Que para el caso hipotético de una ventana de longitud M=45 obtenemos el resultado que se muestra en la fig.2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

w(n

)

Ventana Bartlett

M=45

Fig.2 ventana Bartlett de longitud M=45

En el dominio de la frecuencia la respuesta del filtro FIR causal Hd(ejω) está dada por la convolucion periódica de Hd(ejω) y de la ventana W(ejω) que es.

De la cual se muestra un resultado grafico aproximado de la convolucion en la fig.3, para el cual la ventana es rectangular.

Que es la operación del enventanado en el dominio de la frecuencia.

IMPLEMENTACIÓN DE CÓDIGO MATLAB PARA UN DISEÑO DE FILTRO FIR POR EL MÉTODO

DE VENTANA BARTLETT.

Para nuestro caso se busca construir un filtro FIR (Bartlett ) pasa-banda con las siguientes características: (Todas las frecuencias están en Hz )

fs1=900; fp1=1000;

fp2=1500; fs2=1600;

%para nuestro caso, para sacar la frecuencia de muestreo nos basamos en la frecuencia máxima del filtro, siendo esta dos veces la frecuencia máxima o mayor eligiendo la que me-jor se ajuste a los resultados pre-sentados.

fmax=fs2;

fm=3*fmax; %frecuencia de muestreo

Un esquema del diseño a implementar es el que se muestra en el grafico inferior.

0 f (Hz)

|H(f)|

Wstop1

Wpass

Wstop2

|F

pass1

|F

pass2

|F

stop1

|F

stop2Fs/2

Lo que significa que para nuestro caso todas las frecuencias serán normalizadas con respecto a fm.

Para un mayor orden el diseño del código fuente se efectuara en tres archivos llamados:

Pasobajo.m

freqz_modificado.m

pasabanda.m

Pasobajo.m

Este código contiene la realización de un fil-tro pasobajo ideal hd(n), mediante la implementación de su función sinc.

Para la cual el código fuente que desarrolla la expresión mostrada arriba en cómo se muestra a conti-nuación:

%filtro pasobajo idealfunción hd=pasobajo(wc,M);% hd = respuesta al impulso del fil-tro ideal 0-(M-1)% wc = frecuencia de corte en radia-nes/s% M = longitud del filtro idealalpha=(M-1)/2;n=[0:1:(M-1)];m = n-alpha+eps;hd=sin(wc*m)./(pi*m);

Con la resta de la respuesta de este código podemos implementar nuestro filtro

pasabanda que es la respuesta al impulso ideal de un filtro paso bajo.

freqz_modificado.m

Creada para obtener la magnitud de la respuesta en frecuencia, su angulo de fase y la magnitud en dB de la misma. Cabe mencionar que esta función obtiene la respuesta en frecuencia compleja de la respuesta al impulso de un filtro paso bajo ideal.

%funsion freqz modificadofunction [db,mag,pha,w]=freqz_modifi-cado(b,a);% db = magnitud relativa en dB simu-lada sobre 0-pi.% mag = magnitud absoluta simulada sobre 0-pi.% pha = respuesta de fase en radia-nes de 0-pi.% w = 501 muestras en frecuencia en-tre 0-pi.% b = coeficientes del polinomio del numerador H(z).% a = coeficientes del polinomio del denominador H(z) para un filtro fir [a]=1.[H,w]=freqz(b,a,1000,'whole') %respuesta en frecuencia compleja.H=(H(1:1:501))';w=(w(1:1:501))';mag=abs(H);db=20*log((mag+eps)/max(mag));pha=angle(H);

los vectores de H y w están arreglados para que operen de 0-pi en frecuencia angular.

Estas dos funciones anteriores son llamadas por el programa pasabanda que se detalla a continuación.

pasabanda.m

Este es el programa principal que llama a las demás funciones anteriormente creadas.Este archivo además contiene todos los pará-metros de diseño necesarios del filtro a im-plementar así como la señal que va ser filtra-da por este.El código resultante es el siguiente.

%FILTRO PASO BANDA TIPO BARTLETT%Generación de la señal TC más ruidofm =3*1600; fp1=1000; fp2=1500;fc1=950; fc2=1550;fcentral=(fp1+fp2)/2;N = 1024; %Total de muestrast = 0:1/fm:(N-1)/fm;x = sin(2*pi*fcentral*t)+sin(2*pi*fc1*t)+sin(2*pi*fc2*t); %Ruido%Conversion TC a TDfcentraln = fcentral/fm; fc1n=fc1/fm; fc2n=fc2/fm;n = t*fm;xn = sin(2*pi*fcentraln*n)+sin(2*pi*fc1n*n)+sin(2*pi*fc2n*n); %Ruido%Diseño del filtro FIR pasabandafs1=900; fp1=1000;fp2=1500; fs2=1600;fmax=fs2;fm=3*fmax; %frecuencia de muestreo%las frecuencias angulares normali-zadas a la frecuencia de muestreo.% w=2*pi*f, entonces al normalizar tenemos.ws1=2*pi*fs1/fm; %frecuencia de stop1wp1=2*pi*fp1/fm; %frecuencia de pa-so1wp2=2*pi*fp2/fm; %frecuencia de pa-so2ws2=2*pi*fs2/fm; %frecuencia de stop2banda_tr=min((wp1-ws1),(ws2-wp2));M=ceil(6.1*pi/banda_tr)+1;n=[0:1:M-1];

wc1=(ws1+wp1)/2; wc2=(wp2+ws2)/2;hd=pasobajo(wc2,M)-pasobajo(wc1,M); % respuesta al impulso idealventana=(bartlett(M))';h= hd.*ventana; % respuesta al impulso realb=h;%para nuestro caso b==h para el caso del filtro FIR y [a]=1.[db,mag,pha,w]=freqz_modificado(h,[1]);%respuesta del filtro a la señal de entrada.%y = conv(b,xn);%[HH,ww]=freqz(y,1);%plot(ww/pi,abs(HH));%graficando los resultadossubplot(2,2,1);stem(n,hd);ti-tle('Respuesta al Impulso ideal')axis([0 M-1 -0.4 0.5]);xla-bel('x[n]');ylabel('hd[n]')subplot(2,2,2);stem(n,ventana);ti-tle('Ventana Bartlett')axis([0 M-1 0 1.1]);xla-bel('x[n]');ylabel('w[n]')subplot(2,2,3);stem(n,h);title('Res-puesta al Impulso real')axis([0 M-1 -0.4 0.5]);xla-bel('x[n]');ylabel('h[n]')subplot(2,2,4);plot(w/pi,db);ti-tle('Magnitu Respuesta en frecuencia en dB');grid;axis([0 1 -200 10]);xlabel('Frecuen-cia en unidades de pi');yla-bel('[dB]')legend('wc1=0.39 and wc2=0.64') % Pone una leyenda

Donde para encontrar el valor de M se dis-puso de la siguiente tabla para el diseño de filtros por medio de ventanas.

El resultado obtenido al ejecutar el código fue el siguiente:

Con M = 148

La banda de transición es igual a (6.1*pi)/M

Esta es la grafica de respuesta en frecuencia en magnitud de dB. En donde se observa que antes de wc1 y después de wc2 el filtro atenúa su magnitud, que es lo que se andaba buscando. Y dentro de la frecuencia de paso deja pasar las señales.

La respuesta del filtro al introducir una señal es tal como se muestra en la grafica inferior

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

50

100

150

200

250

300

350

400

450

frecuencia angular en unidades de pi

Y(e

jw)

La cual nos dice que para una señal que este dentro de la banda de paso, esta no sufre atenuación, y para señales interferentes e iguales en frecuencia a la de corte y con un

mismo valor en amplitud que la señal fundamenta o frecuencia de banda media, estas se atenúan hasta caer en un 30% aproximadamente de la amplitud de la señal fundamental.

Características de la señal introducida:

%señal fundamental.xn = sin(2*pi*fcentraln*n)%ruido a las frecuencias de corte.+sin(2*pi*fc1n*n)+sin(2*pi*fc2n*n)%A estas frecuencias la señal se atenúa en 30% de la amplitud de la señal fundamental.

CONCLUSIONES

♦ Para diseñar un filtro, primero partimos de la respuesta en frecuencia de un filtro ideal paso bajo.

♦La respuesta al impulso de un filtro ideal paso bajo es una sinc infinita.

♦Para crear un filtro FIR tenemos que truncar la respuesta al impulsó que equivale a enventanar la sinc.

BIBLIOGRAFÍA:

- Tratamiento digital de la Seña usando MATLAB V4, Proakis.

-Documento ITQ, Martínez Barrera.

-Señales : Openhim