Filtro Pasabanda

Telecomunicaciones I 2012

FILTROS PASABANDASFILTROS PASABANDAS

I.- Objetivos:

Aprender cómo pueden conectarse uno o más amplificadores operacionales (Opamp´s), utilizando el Cr 741 (OPAMP), con redes resistivos – capacitivas para construir varios tipos de filtros.

Colocar en cascada un filtro pasabajas con un filtro pasaaltas para hacer un filtro pasabanda.

Conocer el diseño de filtros pasa bandas y probar su respuesta. Diseñar y analizar circuitos para filtros pasa bandas de banda ancha y angosta

respectivamente. Verificar experimentalmente como se obtiene la frecuencia de corte de los filtros pasa

bandas. Calcular las frecuencias de corte inferior y superior de un filtro pasabanda si se conoce:

el ancho de banda y el factor de calidad; o la frecuencia de resonancia y el factor de calidad.

II.- Marco Teórico:

Respuesta en frecuencia

Un filtro pasabanda es un selector de frecuencia. Permite seleccionar o dejar pasar únicamente una banda particular de frecuencias de entre otras que pueden estar presentes en un circuito. En la figura 1 se muestra su respuesta normalizada en frecuencia. Este tipo de filtro posee una ganancia máxima a una frecuencia resonante f r. En las experiencias estos filtros pasabanda tendrán una ganancia de 1 a 0 dB en f r. Hay una frecuencia por debajo de f r en la que la ganancia cae 0.707. es la frecuencia inferior de corte, f L. En la frecuencia de corte mayor,f H , la ganancia también es igual a 0.707, como la figura 1.

1


Figura 1

Donde:

f 1=f L=Frecuancia decorte∈ ferior

f 0=f r=frecuancia resonante

f 2=f H=Frecuanciade cortemayor

BW=f H−f L=Anchode Banda

Ancho de Banda:

El intervalo de frecuencia entre f L y f H recibe el nombre de ancho de banda B o bien:

BW=f H−f L ........(1)

El ancho de banda no está exactamente centrada en la frecuencia de resonancia (por ello se utilizara el nombre tradicional “frecuencia de resonancia” y no “frecuencia central” para designar f r). Cuando se conocen los valores de f H y f L , la frecuencia de resonancia se puede obtener a partir de:

f r=√ f H . f L …….(2)

2


Si se conoce la frecuencia de resonancia, f r y el ancho de banda B, es posible calcular las frecuencias de corte mediante:

f L=√ B2

4+ f r

2−B2

……..(3)

f H=f L+B ……..(4)

Factor de Calidad:

El factor de calidad Q se define como la relación entre la frecuencia de resonancia y el ancho de banda, o sea:

Q=f rB

.. ..….(5)

Q es la medida de selectividad del filtro pasabanda. Un Q alto indica que el filtro selecciona una banda de frecuencias más pequeña (es más selectivo).

Filtros de Banda Ancha y de Banda Angosta:

Un filtro de banda ancha tiene un ancho de banda de dos o más veces de frecuencia de resonancia. En otras palabras, Q≤0.5 en el caso de filtros de banda ancha. En general, esta clase de filtros constituyen poniendo en cascada un circuito de filtro pasabajas con un circuito de filtro fasaaltas. Un filtro de banda angosta Q≥0.5 , casi siempre puede construirse en una sola etapa.

FILTRO PASABANDA DE BANDA ANCHA:

En cascada:

Cuando la salida de un circuito está conectada en serie con la entrada de un segundo circuito, al proceso se le llama etapas de ganancia en cascada. En la figura 2, la primera etapa es un filtro pasabajas. Su salida está conectada a la entrada de un filtro pasaaltas. El par de filtros activos en cascada forman ahora un filtro pasabanda desde la entrada V ¿ hasta

3


la salida V 0. Se debe observar que no importa si el pasaaltas está conectado al pasabajas o a la inversa.

Figura 2

Circuito de Filtro de Banda Ancha:

En general un filtro de banda ancha (Q≤0.5) se construye poniendo en cascada un filtro pasabajas y uno pasaaltas. Las frecuencias de corte de las secciones pasaaltas y pasabajas no deben traslaparse y ambas deben tener la misma ganancia en la pasabanda. Más aun, la frecuencia de corte del filtro pasabajas debe ser 10 o más veces la frecuencia de corte del filtro pasaaltas.

Para filtros pasaaltas y pasabajas en cascada, el filtro de banda ancha resultante tiene las siguientes características:

1.- La frecuencia de corte inferior, f L queda determinada solo por el filtro pasaaltas.

2.- La frecuencia de corte superior, f H queda establecida solo por el filtro pasabajas.

3.- La ganancia será máxima a la frecuencia de resonancia, f r, igual a la ganancia de pasabanda.

4


Respuesta en Frecuencia:

En la figura 3, la respuesta en frecuencia del filtro pasabajas y de −40dB/decada se grafica como una línea punteada. La respuesta en frecuencia del filtro pasaaltas se grafica como línea llena. La atenuación del filtro pasaaltas de 40 dB/decada determina f L y la de −40dB /decada del filtro pasabajas determina f H . Ambas atenuaciones constituyen la curva de respuesta en frecuencia del filtro pasabanda, V 0 en función de f .

Figura 3

FILTRO PASABANDA DE BANDA ANGOSTA:

Los filtros de banda angosta presentan la típica respuesta en frecuencia que se observa en la figura 4. El análisis y la construcción de esos filtros, se simplifica mucho al estipularse que el filtro de banda angosta tendrá una ganancia máxima de 1 ò 0 dB a la frecuencia de resonancia f r. Las ecuaciones (1), (2), (3), (4) y (5) se aplican igualmente a este tipo de filtro y se deben tomar en cuenta para su diseño.

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Figura 4

Circuito de Filtro de Banda Angosta:

Un circuito de filtro de banda angosta solo emplea un amplificador operacional, como se muestra en la figura 5. La resistencia de entrada del filtro queda establecida aproximadamente con la resistencia R. si se coloca una resistencia de retroalimentación (R1≈2 R) de modo que sea aproximadamente el doble de la resistencia de entrada R, la ganancia máxima del filtro será de 1 ò 0 dB en la frecuencia de resonancia f r. Ajustando Rr es posible cambiar o realizar el ajuste fino de la frecuencia de resonancia sin modificar el ancho de banda o la ganancia.

Figura 5

6


Funcionamiento:

El funcionamiento del filtro de banda angosta con ganacia unitaria de la figura 5 se determina con unas cuantas ecuaciones simples. El ancho de banda B en hertz se determina con la resistencia R y los dos condensadores C (iguales) mediante:

B=0.1591RC …………..(6)

La ganancia tiene un máximo de 1 en f r, a condición que la resistencia de retroalimentación R1 tenga aproximadamente el doble del valor de la resistencia de entrada.

El valor de la resistencia Rr queda determinado por la siguiente ecuación:

Rr=R

2Q2−1 ….………..(7)

La frecuencia de resonancia f r puede ser determinada también por la siguiente ecuación:

f r=0.1591RC √1+ R

R r …….……(8)

III.- Equipos y Materiales:

01 Osciloscopio de 2 Canales, 100 MHz. 01 Generador de funciones BK Precisión (5 MHz). 01 Fuente de Alimentación Regulada, ±15 VDC. 01 Multimetro digital. Resistencias. Potenciómetro. Condensadores. Circuito Integrado (741).

7


IV.- Procedimiento y Resultados Experimentales:

1.- Implementar el circuito de la figura 2.

2.- Aplicar una señal senoidal de 1 Vpp a la entrada (V ¿) del filtro. Conectar una punta del osciloscopio del CH1 a la entrada y la otra punta del CH2 a la salida V 0.

3.- Llenar la siguiente tabla con los siguientes valores:

f (KHz) 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 6 7 8V 0(pp) 318 436 556 660 740 796 952 984 992 992 992 984

f (KHz) 9 10 11 12 13 14 15 25 30 40 1.773 17.82V 0(pp) 968 960 936 912 888 856 816 456 344 208 707 707

4.- Graficar la curva de respuesta.

5.- Con los valores de las resistencias y condensadores, y utilizando las ecuaciones dadas para el filtro pasabanda, hallar el valor de las frecuencias de corte (inferior y superior, para eso utilizar las formas del filtro pasaaltas de 40 dB/decada), la frecuencia de resonancia, el ancho de banda y el factor de calidad (Q), y compararlos con los valores obtenidos en la curva respuesta.

Experiencia Nº1:

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Considerando las corrientes:

i1=i2+ i3

Vin−VxR1

=Vx−Vo1

R1+Vx−Vo1

1S C1

Vin−Vx=Vx−Vo1+SC1R1 (Vx−Vo1 )

Vin−Vx=Vx−Vo1+SC1R1 (Vx−Vo1 )

Vin=2Vx+SC R1Vx−Vo1−SC1R1Vo1…(1)

Además sabemos que:

i2=i4

Vx−Vo1

R1=Vo1

1S C1/2

Vx=Vo1+Vo1

R1C1S2

… (2)

Reemplazando (2) en (1):

Vin=2(Vo1+Vo1

R1C1S2 )+SC1 R1(Vo1+Vo1

R1C 1S2 )−Vo1−SC R1Vo1

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Agrupando quedaría:

Vin=Vo1R1C1S+S C1R1(Vo1

R1C1S2 )+Vo1

Vo1

Vin= 1

S2 R12C1

2

2+SC 1R1+1

En la segunda etapa:

i5=i6+i7

Vo1−Vy1SC2

=Vy−VoR2

+Vy−Vo1SC 2

SC2 R2(Vo1−Vy)=Vy−Vo+SC2R2(Vy−Vo)

SC2 R2Vo1=2SC2R2Vy+Vy−Vo−SC2R2Vo…(3)

Además sabemos que:

i7=i8

Vy−Vo1SC2

= Vo2 R2

Vy=Vo+Vo 12C2R2S

…(4)

Reemplazando (4) en (3):

10


SC2 R2Vo1=2SC 2R2(Vo+Vo 12C 2R2S )+(Vo+Vo 1

2C2R2S )−Vo−SC2 R2Vo

SC2 R2Vo1=Vo+SC2R2 (Vo )+Vo 12C 2R2S

2S2C22R2

2Vo1=2C2 R2SVo+2C22 R2

2S2Vo+Vo

VoVo1

=2C2

2R22S2

2C 22 R2

2S2+2C2 R2S+1

Reemplazando valores:

R1=1k Ω

R2=5 kΩ

C1=0.005uf

C2=0.01u f

Vo1

Vin= 109

S2 0.05+10 x103 S+109

VoVo1

= 5 x10−9S2

5 x10−9S2+100 x 10−6S+1

VoVin

= 5 x10−9S2

5 x10−9S2+100 x 10−6S+1x 109

S2 0.05+10x 103S+109

VoVin

= 5 x109S2

5 S2+100 x103S+109 x109

S2 0.05+10 x103S+109

VoVin

= 5S2

(5 x 10−9S2+100x 10−6S+1 )(S2 0.05+10 x103S+109)

VoVin

= 5S2

( 0 .25 x10−9S4+5 .5 x 10−5S3+6 .05 S2+110 x 103 s+109 )

Realizando el código en Matlab para obtener el diagrama de Bode:

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Y adjunto el diagrama de Bode de magnitud y fase:

Hallando f H en el filtro pasa bajos:

De la función de transferencia:

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Vo1

Vin= 1

S2 R12C2

2+SC R1+1

Haciendo S= jw y tomando el módulo:

H 1=Vo1

Vin= 1

( jw )2 R12C2

2+( jw )C R1+1

H 1= 1

1−w2 R12C2

2+( jw)C R1

|H 1|= 1

√(1−w2 R12C2

2 )2

+(wC R1 )2

|H 1|= 1

√1+w4 R1

4C4

4+w2 R1

2C2−w2R12C2

|H 1|= 1

√1+w4 R1

4C4

4

La frecuencia de corte f H se halla cuando baja 0.707 respecto de la Tf original, entonces:

w4R14C4

4=1

w= 1√2R1C1

f H=1

2π √2R1C1

Hallando f L en el filtro pasa altos

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De la función de transferencia:

VoVo1

=2C2

2R22S2

2C 22 R2

2S2+2C2 R2S+1

Haciendo S= jw y tomando módulo:

H 2=VoVo1

=2C2

2R22( jw)2

2C22R2

2( jw)2+2C2R2( jw)+1

H 2=−2C2

2R22w2

1−2C22 R2

2w2+ j 2C2R2w

|H2|=2C2

2 R22w2

√(1−2C22R2

2w2 )2+ (2C2R2w )2

|H 2|=2C2

2R22w2

√1+4w4R24C 2

4−4C22R2

2w2+4C22 R2

2w2

|H 2|=2C2

2R22w2

√1+4w4R14C 4

|H2|=1

√ 14w4 R2

4C24 +1

La frecuencia de corte f L se halla cuando baja 0.707 respecto de la Tf original, entonces:

14w4 R2

4C24 =1

w= 1√2R2C2

f L=1

2π √2R2C2

Diagrama de bode de magnitud vs frecuencia:

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Obteniendo la tabla teórica:

f(KHz) 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 3 4 5 6 7Vo(pp) 193.7 273.4 360.8 451 538.8 619.7 871.4 953.3 978.9 987.8 990.1

f(KHz) 8 9 10 11 12 13 14 15 25 30 40Vo(pp) 989 985 979.8 971.8 961.3 948.2 932.3 913.7 629.7 490.5 301.9

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Como se ve las medidas tomadas en la forma teórica nos dan un resultado más preciso de cómo sería el diagrama de bode de magnitud de la función de transferencia.

Hallando el error de los datos obtenidos:

error=|valor te òrico−valor experimental|valor te òrico

x100 %

En frecuencia: 1khz:

error 1=|193.7−318|193.7

x 100 %=64.1%

En frecuencia: 1.2khz

error2=|273−436|

273x100 %=59.7 %


error3=|360.8−556|

360.8x100 %=54.1 %


error 4=|451−660|

451x 100 %=46.34 %


error5=|538−740|

538x 100 %=37.54 %

En frecuencia: 2khz

error6=|619.7−796|

619x100 %=28.48 %

En frecuencia: 3khz

error7=|871.4−952|

871.4x100 %=9.25 %

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En frecuencia: 4khz

error8=|953.3−984|

953.3x 100 %=3.22%

En frecuencia: 5khz

error9=|978.9−992|

978.9x100 %=1.34 %

En frecuencia: 6khz

error10=|987.8−992|

978.9x 100 %=0.43 %

En frecuencia: 7khz

error11=|990.1−992|

990.1x100 %=0.19 %

En frecuencia: 8khz

error12=|989−984|

989x100 %=0.5 %

En frecuencia: 9khz

error13=|985−968|

985x100 %=1.73 %

En frecuencia: 10khz

error14=|979.8−960|

979.8x100 %=2.02 %


error15=|971−936|

971x100 %=3.6 %


error16=|961−912|

961x 100 %=5.1%


error17=|948−888|

948x100 %=6.33 %

17



error18=|932.3−856|

932.3x100 %=8.18 %


error19=|913.7−816|

913.7x100 %=10.7 %


error20=|629.7−456|

629.7x100 %=27.58%


error21=|490−344|

490x100 %=29.8 %


err∨¿22=|301.9−208|

301.9x 100 %=31.1% ¿

6.- Implementar el circuito de la figura 5, con los siguientes valores:

R=5KΩ

R1≈10.5KΩ

Rr=2.7KΩ

C=2.2nF

7.- Llenar la siguiente tabla con los siguientes valores:

f (KHz) 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14V 0

(pp)264 320 360 432 504 560 640 720 808 904

15 16 17 18 19 20 25 30 40 11.83 26.72984 1.03 1.07 1.07 1.04 1.20 768 600 408 707 707

Experiencia Nº2:

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Vin−VR

=(V−Vo ) sC+VsC+ VRr

sCV=−VoR1

V= −VosCR1

VinR

=V (2 sC+ 1Rr

+ 1R )−VosC

Vin=V (2RsC+ RRr

+1)−VosRC

Vin=V (2 RRrsC+R+RrRr )−VosRC

Vin=−Vo( 2RRrsC+R+RrsCRrR 1

+sRC)Vin=−Vo( s2C2RRrR 1+2RRrsC+R+Rr

sCRrR1 )

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VoVin=−(

sCRrR1R+Rr

s2C2RRrR 1R+Rr

+ 2RRrsCR+Rr

+ R+RrR+Rr

)VoVin

=−( sC (Rr+R1R+Rr )

s2C2( RRrR1R+Rr )+2 sC( RRrR+Rr )+1 )

Reemplazando valores:R=5kΩ

R1=10.5 kΩRr=2.7k ΩC=2.2nf

VoVin

=−( 3.77×10−9 s8.91×10−11s2+7.71×10−6 s+1 )

VoVin

=−( s23.63×10−3 s2+2.06×103 s+265.25×106 )

H=VoVin=−( jw

23.63×10−3 ( jw )2+2.06×103 ( jw )+265.25×106 )

|H|=( w√558.38×10−6w4−12.54×106w2+70.36×1012)

Para hallar las frecuencias de corte tomamos:

558.38×10−6w4−12.54×106w2+70.36×1012=2

w21=2.25×1010→w1=150 Krad /seg

w22=5.61×106→w2=2.368 K rad /seg

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Ahora que tenemos las frecuencias a 3 dB Hallamos las frecuencias f L y f H :

f L=w2

2π=376.88Hzf H=

w1

2π=23.87KHz

VoVin

=−( s(s+ (43.6− j 96.6 )×103 )×(s+(43.6+ j96.6)×103))

Realizando el código en Matlab para visualizar el diagrama de Bode:

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Diagrama de Bode de magnitud y fase:

En el análisis obtuvimos la siguiente tabla:

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F(KHz) 5 6 7 8 9 10 11 12 13Vo(pp) 260 316 380 440 508 564 648 720 792

14 15 16 17 18 19 20 25 30 40848 904 928 936 921 904 880 712 568 392

Dándonos el diagrama de bode de magnitud vs frecuencia:

8.- Graficar la curva de respuesta.

V.- Cuestionario:

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1.- Con los valores de las resistencias y condensadores, y utilizando las ecuaciones dadas para el filtro pasabanda, halle el valor de la frecuencia de resonancia, el ancho de banda, el factor de calidad (Q) y las frecuencias de corte, y compárelos con los valores obtenidos en la curva de respuesta.

Solución:

Experiencia 1: Filtro Pasa banda de Banda Ancha:

Tenemos el siguiente diseño:

Este filtro posee las siguientes características:

f L=0.707

2π (0.01 x10−6 ) (5 x 103 )=2.25KHz; f H=

0.7072 π ( 0.005 x 10−6 ) (103 )

=22.5 KHz

Entonces:

a) B=f H−f L=22.5−2.25=20.25 KHz

b) f r=√ f H . f L=√ (22.5 ) (2.25 )=7.115KHz

c) Q=f rB

=7.11520.25

=0.35

Experiencia 2: Filtro Pasa banda de Banda Angosta:

Tenemos el siguiente diseño:

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a) B=0.1591RC

= 0.1591(5000 ) (2.2 x10−9 )

≈14.46KHz

b)Rr=

R2Q2−1

→Q=√ RR r+1

2=√ 5000

2700+1

2≈1.19

c) f r=0.1125RC

x√1+ RR r

= 0.1125(5000 ) (2.2 x10−9 )

x √1+ 50002700

≈17.27KHz

2.- Un filtro de voz pasa banda presenta frecuencias inferiores y superiores de 300Hz a 3400Hz. Calcular:

a) El ancho de bandab) La frecuencia de resonanciac) El factor de calidad del filtro

Solución:

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f L=300Hz ; f H=3400Hz

Entonces:

a) B=f H−f L=3400−300=3100Hz

b) f r=√ f H . f L=√ (3400 ) (300 )=1009.95Hz

c) Q=f rB

=1009.953100

=0.32579

3.- Diseñar un filtro de banda angosta empleando un amplificador operacional. La frecuencia de resonancia es de 128Hz y Q = 1.5. Seleccione C = 0.1uF.

Solución:

Tenemos como datos:

f r=128Hz ;Q=1.5 ;C=0.1 μF

El diseño del filtro de banda angosta será de acuerdo al siguiente diseño elaborado en el software Electronics Workbench.

Para obtener los valores sabemos:

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B=f rQ

=1281.5

=85.33

B=0.1591RC

→R=0.1591BC

= 0.1591(85.33 ) ( 0.1x 10−6 )

≈18.645 k Ω

Rr=R

2Q2−1= 18 645

2 (1.5 )2−1≈5.33 k Ω

R1≈2R=2 (18 645 )=37.29 k Ω

4.- Qué entiende por filtro de muesca (filtro rechaza banda). Mencione aplicaciones.

Un filtro rechaza banda, elimina banda, filtro Notch, o filtro trampa, no permite el paso de una banda de frecuencias. Es decir, este tipo de filtros rechaza aquellas frecuencias que se encuentran dentro un ancho de banda definido. Este tipo de filtro permite el paso de las frecuencias inferiores o superiores a dos frecuencias determinadas como de corte inferior FL y superior FH.

Los filtros de rechazo de banda, también pueden clasificarse en 2 tipos tales como un filtro pasabanda, pues éste realiza exactamente lo opuesto:

De banda amplia De banda estrecha.

Ejecutando comando en Math Lab tendríamos los gráficos de magnitud y fase siguientes:

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Las aplicaciones de este tipo de filtro serían, para eliminar el zumbido de la retroalimentación que produce un micrófono, entre otras.

5.- Mencionar aplicaciones del filtro pasa banda.

Estos filtros tienen aplicación en ecualizadores de audio, haciendo que unas frecuencias se amplifiquen más que otras.

Otra aplicación es la de eliminar ruidos que aparecen junto a una señal, siempre que la frecuencia de ésta sea

fija o conocida.

Fuera de la electrónica y del procesado de señal, un ejemplo puede ser dentro del campo de

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Circuito de un filtro Rechaza

Banda

Respuesta en Frecuencia de un

filtro Rechaza Banda


las ciencias atmosféricas, donde son usados para manejar los datos dentro de un rango de 3 a 10 días.

Subwoofer cerrado amplificado con filtros pasa banda

6.- En qué se diferencian un filtro de pasa banda de banda ancha con uno de banda angosta. Citar aplicaciones de cada uno.

En general un filtro pasa banda de banda ancha puede ser elaborado conectando en cascada secciones de filtros pasa altas y pasa bajas, el orden de las secciones debe de ser el mismo.

Es importante que las frecuencias de las secciones pasa bajas y pasa altas no se traslapen y que ambas tengan la misma ganancia en la banda de paso. Para que esto se cumpla, la frecuencia de corte del filtro pasa bajas debe de ser 10 veces o más veces la frecuencia de corte del filtro pasa altas, mientras que en un filtro pasa banda angosta usualmente puede ser armado en una sola etapa. El análisis y la construcción de los filtros de banda angosta se simplifica considerablemente si se parte del supuesto de que la ganancia máxima del filtro de banda angosta es de 1 (0 dB) cuando la frecuencia es la resonante. El ancho de banda determina cual de los dos tipos de filtros es más SELECTIVO, siendo éste el filtro de banda angosta.

VI.- Conclusiones:

El diseño de filtros activos con amplificadores operacionales es relativamente sencillo y con aceptable precisión, ya que los resultados esperados y los obtenidos son muy cercanos (error menor al 7 %).

El factor Q de un filtro pasa banda se define como la frecuencia central dividida entre el ancho de banda:

Todos los circuitos se pueden utilizar como filtros, la elección depende de la aplicación y las características que se requieran.

El ancho de banda (BW; bandwidth) de un filtro pasa banda es la diferencia entre las frecuencias superior e inferior de corte: Bw = f2 - f1

Las frecuencias por debajo de la frecuencia inferior de corte y por encima de la frecuencia superior de corte son la banda eliminada

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VII.- Bibliografía:

http://www.dalcame.com/wdescarga/fbp.pdf http://iie.fing.edu.uy/publicaciones/2002/AA02/Aa02.pdf http://iteso.mx/~erayas/documents/cad_course/final_projects/

Filtro_PB_6o_Jose_Valencia.pdf http://www.forosdeelectronica.com/f11/diseno-filtro-pasabanda-banda-angosta-21417/ http://www.eviltec.com/Electr%C3%B3nica/Circuitos/audio-filtro-pasa-banda.html

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http://www.forosdeelectronica.com/f11/diseno-filtro-pasabanda-banda-angosta-21417/

http://iteso.mx/~erayas/documents/cad_course/final_projects/Filtro_PB_6o_Jose_Valencia.pdf

http://iteso.mx/~erayas/documents/cad_course/final_projects/Filtro_PB_6o_Jose_Valencia.pdf

http://iie.fing.edu.uy/publicaciones/2002/AA02/Aa02.pdf

http://www.dalcame.com/wdescarga/fbp.pdf

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