7/18/2019 Distancia Entre Dos Puntos

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DISTANCIA ENTRE

DOS PUNTOS

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Distancia entre dos puntos

Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano  se usa como un sistema de referencia para localizar

puntos en un plano.

Otra de las  utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de

las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x  (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la

distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .

Ejemplo: 

La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la

distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada

por la relación:

(1)

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego

formar un triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo: 

Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1) 

Demostración 

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =  esta dada por:

(1)

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En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta 

Figura 1 

Al trazar por el punto P1  una paralela al eje x  (abscisas) y por P2  una paralela al eje y (ordenadas), éstas se

interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el Teorema de

Pitágoras:

En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor positivo.

El orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y 

P2 no afecta el valor de la distancia

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ACTIVIDADES

1) Determine la distancia entre cada par de puntos dados

(1,2) y (-3,4) (-3,0) y (-4,6)

2) Para los pares de puntos dados en cada figuraa) Estime las coordenadas de los puntos P1 y P2.

b) Estime la distancia entre P1 y P2 usando la fórmula de distancia

Demostrar las formulas de la distancia que los puntos A(0, 1), B(-5, 2), C(-3,-1) son los vértices de un triángulo

rectángulo . y encuentra el área

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EJEMPLO

Encuentre los puntos sobre el eje X que estén a 5 unidades de la distancia del punto (1, -4)

ACTIVIDAD

4) Encontrar todos los puntos P(x,3) que distan 5 unidades del punto (3,4). 

5) Determine todos los puntos cuya coordenada x es igual a 4 y la distancia al punto (4,-3) es de 2 unidades. 

6) La ordenada de un punto en el segundo cuadrante es 4 y está a 3 unidades del punto (2,5). Determine la otra

coordenada del punto. 

7) ¿Cuáles son los puntos con coordenada x igual a 4 y que están a 4 unidades del punto (2,3)? 

8) Determine todos los puntos sobre el eje x cuya distancia al punto (3,-2) sea 3 unidades

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Distancia de P(x, 0) a (1, -4) = 5

d (P,(1,!

4)) = 5

( x !1)2

+ (0 ! (!4))2

= 5

( ( x !1)2+ (0 ! (!4))2 ) = 52

( x !1)2

+ (0 ! (!4))2

= 52

Despejando

( x !1)2= 25 !16

( x !1)2

= 9

( x!

1)2

= ± 9Tiene 2 soluciones

 x !1 = +3

 x !1 = !3

 x  = +4

 x  =  !2

Los Puntos son (4,0) y (-2,0)

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UTILIZANDO LA FORMULA DE DISTANCIA ENTRE

DOS PUNTOS ENCUENTRA:

La distancia entre los puntos

PQ, OS, NR, OM, NP, RM, NO, RP, MP, OQ, RO, RS,

QN, PO.

VINCULOS

https://www.youtube.com/watch?v=2r8qM7FHdVk  

http://www.math2me.com/playlist/geometria-analitica/distancia-entre-

dos-puntos 

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