DIVISION DE UN SEGMENTO DE UNA RECTA EN UNA RAZON DADA

Divisin de un segmento de recta en una razn dada. Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) los extremos del segmento AB , si se desea encontrar el punto P(xr, yr) que divida al segmento de recta en una razn dada r, como se muestra en la siguiente figura. Si se proyectan las coordenadas de cada punto hacia los ejes, tenemos los tringulos semejantes APC y BPE.

Sabemos que dos tringulos son semejantes cuando tienen sus ngulos respectivamente iguales y sus lados proporcionales. De acuerdo a lo anterior tenemos que:

Al sustituir el valor de cada segmento en trminos de x,

Se obtiene la siguiente expresin.

Por lo tanto el punto P(xr, yr), que divide a un segmento en una razn dada r se determina:

Un caso particular es cuando el punto P(xr, yr) se encuentran a la mitad del segmento AB, esto es que esta en el punto medio, esto implica que AP = PB por lo tanto la razn de semejanza

As las frmulas de punto medio P son

Xm= Valor de la abscisa en el punto medio. Ym= Valor de la ordenada en el punto medio.

Ejemplo 1. Sea A(5, 3) y B(-3, -3) los extremos del segmento AB encuentre las coordenadas del punto P que lo divide a una razn r=1/3

Lo que significa que la medida de PA es una tercera parte de la medida de PB .

Ejemplo 2. Los puntos A(-2, 2) y B(4, 2) son los extremos del dimetro de una circunferencia, determine las coordenadas del centro C que divide en dos partes iguales al segmento AB

P o r l o t a n t o l a s coordenadas del centro son C(1, 2).

REFERENCIA http://math2me.com/playlist/geometria-analitica/division-de-un-segmento-en-una-razon-dada

ACTIVIDADES:

Encuentra el punto medio del segmento que une a los puntos dados:

1.- (-1, -2) y (2, 2) 2.- (-2, 5) y (-7, 5) 3.- (3, 6) y (6, 1)

4.- (-3, -1) y (-3, -8) 5.- (-4, 2) y (2, 6) 6.- (7, 1) y (-5, 7)

7.- (-3, -5) y (9, 3) 8.- (1, 1) y (-2, -2) (9, -2) y (-3, 5)

10.- (6, -3) y (-2, 8)