CURSO DE ECONOMETRA. SEGUNDA PARTE

PASOS PARA UN ANLISIS ECONOMTRICO.Para la realizacin efectiva de un anlisis economtrico es necesario efectuar una secuencia de pasos de manera que se construya un modelo adecuado de prediccin, dicha secuencia esta ligada a la experiencia y a las preferencias de los investigadores, en ningn momento representa una norma que se tenga que seguir al pie de la letra, adems es posible simultanear algunas actividades:Secuencia de pasos en econometra1. Planteamiento terico del modelo economtrico (formulacin de hiptesis; o relaciones funcionales)2. Supuestos del modelo y formulacin de hiptesis.3. Construccin de la forma matemtica del modelo terico e identificacin de las principales variables y relaciones funcionales de las mismas.4. Elaboracin funcional del modelo economtrico.5. Identificar la informacin necesaria para realizar el modelo economtrico.6. Recoleccin de datos de la serie y comparacin grfica de las observaciones.7. Estimacin de los coeficientes del modelo economtrico.8. Validez del modelo mediante la aplicacin de pruebas estadsticas.9. Pronstico.10. Toma de decisiones y diseo de polticas o acciones preventivas o correctivas, basadas en el modelo.

Paso 1. Planteamiento terico del modelo economtricoLa primera etapa consiste en seleccionar un modelo econmico, para ello es necesario adoptar un enfoque de teora econmica, por ejemplo bajo los supuestos de la teora clsica, neoclsica, keynesiana o estructuralista, todo depende del modelo que se estudie, esto con el objeto de facilitar la identificacin de las relaciones de las variables y el establecimiento de los supuestos, y de igual manera sirve como base para explicar las proyecciones y justificar la toma de decisiones y polticas derivadas de los resultados del modelo economtrico.Esta primer parte no es ms que tomar una hiptesis de teora econmica que relacione una variable dependiente a una o ms variables independientes.Ejemplo: en la medida que se aumenta el precio de un bien y/o servicio determinado y manteniendo todo lo dems constante, las cantidades demandadas de las mismas sern menoresPaso 2.Supuestos del modelo y formulacin de hiptesisA partir de esa seleccin se procede a conocer todos los lmites o alcances del modelo y por lo tanto se determinan los supuestos con los que el modelo adquiere validez terica.Ejemplo: se trata de un bien normal, en un mercado de competencia perfecta y no se tiene sustituto.En cualquier caso se parte de una hiptesis de teora econmica, la cual se busca demostrar mediante procedimientos estadstico, indistintamente que modelo se desee comprobar se parte de una afirmacin de relacin entre variables representada mediante una ecuacin matemtica.Este punto es importante por cuanto la hiptesis ser la referencia con la que se busca demostrar la investigacin, en caso que se encuentre informacin confiable que mediante la ecuacin de regresin calculada se compruebe la relacin de las variables, se esta en posicin de avalar o aceptar la hiptesis y por tanto el estudio se vuelve una herramienta de anlisis que facilita la explicacin de un fenmeno.Paso 3.Construccin de la forma matemtica del modelo terico e identificacin de las principales variables y relaciones funcionales de las mismas.Conociendo con exactitud las relaciones funcionales de la teora, los supuestos en los que el modelo tiene validez se pasa a determinar la forma matemtica de dicho modeloEjemplo D=a-bPDonde:D: Cantidades demandas (variable dependiente)a: Demanda Autnoma (Intercepto)b: Elasticidad precio de la demanda (Pendiente de la recta)P: Precio (variable independiente)Es posible que el investigador determine que existen otras variables como gustos y preferencias, edad, etnia, etc. Sin embargo el modelo se puede ajustar a esas variables siempre y cuando se posea la informacin para determinar la relacin y sobre todo de registros estadsticos numricos que permitan el clculo del modelo economtrico.

Paso 4.Elaboracin funcional del modelo economtricoA partir de ello se puede trabajar con esa ecuacin para adecuarla a su forma regresiva, es decir a plantearlo de manera que los datos se adecuen de manera natural a un promedio y se Ajusten a una tendencia, para ello se requiere expresar el modelo en trminos funcionales de Mnimos Cuadrados Ordenados, dicho mtodo se plantear ms adelante.Paso 5.Identificar la informacin necesaria para realizar el modelo economtrico.Cuando se esta seguro del modelo y se tiene la forma economtrica, se pasa a considerar el lugar donde se puede obtener la informacin, cual es la ms til y la facilidad de recoleccin de la misma.Este paso consiste en verificar la existencia y registro de las variables, en muchos de los casos, no se cuenta con una variable del modelo como tal, por ejemplo para la ecuacin de produccin el nivel de capital fsico de la economa, que no en todas las economas se calcula , no obstante por tratarse de anlisis de tendencia, se puede sustituir el nivel de capital por una representativa de su variacin, que en este caso, puede ser perfectamente el nivel de inversin, la idea central reside en adecuar la variable del modelo a los datos ms cercanos con que se cuentan .Es necesario considerar en ente punto cual de toda la informacin de serie estadstica que representa mejor a la o las variables estudiadas.A nivel general se esperara obtener al menos 31 observaciones de cada variable, debido principalmente a que a partir de ese nmero de observaciones una serie de registros se adecua al Teorema del Lmite Central, lo que significa que es una serie con curva normal, el cual es un requisito dentro de la econometra para dar validez estadstica al modelo.No obstante se sabe que los registros obtenidos de una unidad observacional poblacional tienden a cumplir los supuestos de la curva normal es decir que se adecua a una curva de probabilidad de forma de campana que es simtrica alrededor de su valor medio, aproximadamente el 68% del rea bajo la curva normal se posiciona entre los valores de su media () y su varianza (), el 95% se ubica entre 2 y alrededor del 99.7% se encuentra en 3, tal como muestra la grfica.

El supuesto que se trabaja con un modelo en que sus variables se comportan de manera normal permite garantizar:1. Una distribucin normal de las perturbaciones estocsticas.2. Que los estimadores sean insesgados o que no estn influenciados por variables externas.3. Tienen una varianza mnima lo que significa una media altamente representativa.4. Consistencia, en la media que se aumenta el valor de la muestra o de observaciones para estimar, los valores proyectados se acercan o igualan los valores poblacionales reales.5. Los coeficientes estimados tiene varianza mnima por lo que los parmetros encontrados por Mnimos cuadrados Ordinarios son los Mejores Estimadores Insesgados lineal

Paso 6.Recoleccin de datos de la serie y comparacin grfica de las observaciones.Al tener la certeza de poseer las observaciones necesarias y se cuenta con respaldo y validez en la recoleccin de las mismas, se pasa a efectuar una comparacin grfica (en el caso que se plante una variable dependiente y una independiente), utilizando un plano cartesiano y se observa la existencia de alguna tendencia en el comportamiento de las observaciones tal como lo muestran las siguientes grficas, los puntos reflejan las observaciones de una serie de datos, mientras que la lnea que se encuentra al centro es su tendencia.

En la anterior imagen se aprecia que no existe relacin linealUn coeficiente de correlacin cercano a 0

Paso 7.Estimacin de los coeficientes del modelo economtrico.Habiendo establecido las relaciones de manera grfica con una serie estadstica suficiente y con la viabilidad matemtica y terica del modelo se procede a la estimacin de los coeficientes para ello se utiliza el mtodo de Mnimos Cuadrados Ordinarios (MCO) por medio del cual se obtienen los mejores coeficientes que permiten determinar el comportamiento de una funcin de economtrica, para un rango determinado, estimando de esta manera los valores reales a partir de la muestra.El principal objetivo de una ecuacin de regresin obtenida por Mnimos Cuadrados Ordinarios es que las desviaciones de los valores observados respecto a los estimados sea el mnimo posible, es decir, se espera que se encuentren los coeficientes que sean (F(x) observado F(x)estimado)2 un mnimo, en otras palabras que la sumatoria de las diferencias del valor real menos el proyectado elevado al cuadrado tienda a cero, de ah el nombre que el mtodo se le denomine Mnimo Cuadrado Ordinario.Paso 8.Validez del modelo mediante la aplicacin de pruebas estadsticas.Para determinar la validez del modelo se debe haber pasado una serie de pruebas de hiptesis que hacen que el modelo se comporte de cierta manera o que se encuentre en ciertos parmetros donde existe suficiente probabilidad de ser fiables o buenos estimadores de los valores reales (dichas pruebas se presentaran ms adelante).

Paso 9.Pronstico.El pronstico consiste en utilizar la ecuacin para establecer con certeza el posible comportamiento de la variable el cual puede darse en dos tiempos.1. Dentro del domino o rango de informacin con la que se obtuvieron los coeficientes2. Fuera del rango, para observaciones posteriores o anteriores a los del domino o rango de informacin.En el primer caso no es necesario ms que sustituir en la ecuacin la o las variables independientes, por que los coeficientes explican el comportamiento dentro del rango con que se cuenta la informacin; en este caso se esta tratando de una ecuacin que se puede llamar de Largo Plazo, para el segundo caso es necesario transformar la ecuacin en un modelo predictivo de corto plazo en el que se puede con alguna certeza aproximarse a los valores futuros y para ello se trabaja la serie estadstica en diferencias para obtener de esas variables los nuevos coeficientes, para el alcance de este curso se tomara la primer forma de prediccin.Paso 10.Toma de decisiones y diseo de polticas o acciones preventivas o correctivas, basadas en el modelo.Al haber establecido los coeficientes que dan validez al modelo se esta en la posibilidad de efectuar toma de decisiones y diseo de polticas o acciones preventivas o correctivas, basadas en el modelo, lo que supone que es una herramienta que facilita la toma de actividades y acciones, pero a pesar de ese valor estadstico en ningn momento se esta en la posibilidad de sustituir la experiencia o el conocimiento del comportamiento humano que es en algunos casos ms confiable que cualquier herramienta estadstica. CONDICIONES DE LOS MODELOSLos modelos economtricos suponen que la ecuacin estimada se comporta bajo ciertas condiciones o requisitos y bajo ciertos parmetros, uno de los principales tiene que ver con que en los que cada punto observacional utilizado se ajusta al teorema del lmite central y por tanto se ajusta a la curva normal, de igual manera, la serie estadstica necesaria para estimar los coeficientes debe estar apoyada en este supuesto y por tanto requiere un mnimo de 31 datos (este es un valor numrico aproximado en el que una variable comienza a ajustarse a la curva normal).Esa es una premisa no obstante se tiene que tomar en cuenta una serie de supuestos que son necesarios para estimar una ecuacin economtrica con validez estadstica, muchos de ellos se logran por el simple hecho de efectuar los clculos mediante el mtodo de Mnimos Cuadrados Ordinarios, los supuestos se mencionan a continuacin.

SUPUESTOS1. El modelo economtrico es lineal en sus parmetros es decir en sus coeficientes y en sus variables incluyendo su valor de error estocstico Yi = 1+ 2Xi + i Esto significa sencillamente que la potencia de cada factor de la ecuacin es igual a 1.2. Los valores que toma la variable X en un ejercicio de muestreo se mantienen constantes, es un valor no estocstico o no aleatorio, por ejemplo si consideramos lo niveles de educacin en grados escolares de la Poblacin Ocupada se tiene que el valor que puede tomar el nivel de educacin de una persona puede variar desde 0 hasta el nivel mximo 13 o 14 para un ao determinado manteniendo el valor de X que es un promedio inalterable, lo que importa es el valor medio que toma la variable Y a partir de la X pero el valor de esta ltima es independiente de ese promedio en Y.Lo que implica en trminos concretos que los coeficientes estimados estn condicionados al valor de la o de las variables dependientes.3. El valor promedio de las variaciones estocsticas i es cero, que significa que la variacin del valor observado con el estimado a partir de la ecuacin de regresin es cercano a cero para cada punto utilizado en la proyeccin. En trminos sencillos lo que pretende este supuesto es que el valor de las variaciones estocsticas es cero y por lo tanto la ecuacin economtrica se puede representar as: Yi = 1+ 2Xi + i;i aproximado a ceroYi = 1+ 2Xi + 0Yi = 1+ 2Xi

4. Las varianzas de cada error estocstico i deben ser idnticas o en trminos estadsticas cumplir con el criterio de Homocedasticidad (homo o igual y cedastico o dispersin), es decir que la varianza de i es igual para cada punto en todas las observaciones. Si este supuesto se cumple se esta asegurando que el nivel de varianza de las observaciones es el mismo.

5. No existe correlacin entre los errores estocsticos, lo que significa que al aplicar un modelo de regresin para perturbaciones i de distintos puntos observados, se obtiene un r cercano a cero, lo que se busca es que la estimacin de Y no dependa de la variacin sistemtica de los errores estndar la siguiente grafica muestran la condicin descrita de los errores estocsticos:

Correlacin serial Negativa, el valor de -i es correspondido con un valor +i y viceversa

Correlacin serial Positiva, el valor de +i es correspondido con un valor +i y viceversa

Correlacin cero de perturbaciones

1. No existe correlacin entre los valores estocsticos y la variable independiente, en otras palabras que no existe Covarianza entre i y X o que su covarianza es cero, al correr la variable independiente y el valor de la perturbacin se debera esperar que es cero, principalmente por que el valor de X es no aleatorio y se asume fijo para muestras repetidas.2. El nmero de observaciones debe ser mayor al nmero de parmetros a estimar, no obstante no se debe olvidar que debemos contar con una serie de al menos 31 datos para ajustarse al teorema de lmite central, no obstante este criterio varia de investigador a investigador, muchos economistas apuntan que ms de 20 valores estadsticos son suficientes, tambin es necesario considerar el tipo de variables que se desean estimar.3. Debe existir variabilidad en las variables independientes, es lgico pensar este supuesto ya que la funcin de regresin estimada se logra a partir de las desviaciones entre el valor de X y el de Y, determinando de esta manera un estimado de los parmetros, de no encontrar variabilidad, se estara esperando una no relacin lineal entre las variables.4. Debe el modelo debe estar especificado correctamente, es decir que lo que se plante matemticamente debe estar respaldado por supuestos del modelo econmico y que la forma funcional sea la que ms se ajusta, finalmente se deben incluir todas las variables involucradas que inciden en la explicacin de un fenmeno, para ello se pueden correr muchos modelos y aquellos que demuestren un mejor nivel de correlacin y de pruebas estadsticas son los que clasifican para hacer estimaciones o demostraciones de relaciones funcionales.El grado de cumplimiento de cada una de los supuestos anteriores puede variar segn el criterio del investigador, algunas pruebas que se mencionan son determinadas automticamente por programas computacionales, adems para hacer proyecciones a futuro se analiza la estacionariedad de la serie, el sentido de estas pruebas esta vinculado con la variabilidad de las perturbaciones, en este curso se presenta la prueba de significancia estadstica.

TIPOS DE MODELO.Los modelos economtricos pueden incluir hbridos o combinaciones, generalmente se trata con modelos lineales, en la mayora de los casos encontraremos que con dificultad se logra una serie con tendencia lineal debido a la variabilidad de las observaciones y por tanto no siguen una tendencia visible en primera impresin.Por tal motivo el uso de los logaritmos es una herramienta que facilita ajustar una serie a una tendencia, en la medida que se tiene una serie con mucha dispersin, se aplica a todas las variables o a una parte de ellas los logaritmos con el objetivo de suavizar el efecto distorsionador.Por lo tanto tenemos los siguientes tipos de modelos1. Lineales en sus variables (lineales en sus variables y parmetros)2. Modelos log-lineales, se ajusta una o todas las variables que no tiene compartimiento lineal1. Log-log 2. Log lineales o semi logartmicosEn los modelos lineales al graficar podemos apreciar su tendencia y estimar sin mayor cambio utilizando el mtodo de MCO.Para los modelos doble log o log-log se aplica a ambos lados de la ecuacin los logaritmos, este es el caso de las funciones exponenciales y de potencia.En los semi-logartmicos aplicamos a la variable dependiente un valor en logaritmo para suavizar la tendencia y de esta manera obtener un mejor estimador.

MTODO DE MNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS Uno de los puntos determinantes en la econometra se basa en el procesamiento estadstico y para ello el mtodo de Mnimos Cuadrados Ordinarios MCO permite encontrar los Mejores Estimadores Lineales Insesgados, este mtodo presenta muchas ventajas en cuanto a lo fcil de su uso y por lo adecuado del planteamiento estadstico matemtico que permite adecuarse a los supuestos para los modelos economtricos.El trmino de MCO esta vinculado con la regresin y la correlacin, ambas determinan la existencia de relacin entre dos o mas variables (siempre una dependiente y una o varias independientes), la diferencia radica en que le regresin se expresa en una funcin o relacin funcional mediante una ecuacin con su uso predictivo, y la correlacin es un valor que mide la intensidad con que estn relacionadas linealmente las variables, se esta hablado de una regresin o correlacin simple cuando se relacionan 2 variables, si existen mas se habla de una correlacin mltiple (el alcance de este curso se limita a la simple).Las funciones regresivas principalmente pueden ser de cuatro tipos:1. LinealesDe la forma matemtica Y(x) = a+ bXi Y su expresin Regresiva Yi = 1+ 2Xi + i2. De segundo gradoDe la forma matemtica Y(x) = a+ bXi+cXiY su expresin Regresiva Yi = 1+ 2Xi + 3Xi+ i3, ExponencialesDe la forma matemtica Y(x) = ab Y su expresin economtrica log F(x) = log a + x log b + i4, De potenciaDe la forma matemtica Y(x) = ax^in Y su expresin Regresiva log Yi = log a + b log X + iObservacin: la variable i se refiere al trmino de perturbacin o de error, se le conoce como una variable aleatoria estocstica y se utiliza para recoger todos aquellos elementos que afectan a las variables del modelo de manera externa, es decir mejora la prediccin del modelo en la medida que captura los efectos de variables no relacionadas con el modelo, en la mayora de casos y cuando se cuenta con la suficiente informacin el valor que toma esta variable es aproximadamente igual a cero y por lo tanto es un valor descartable, siempre y cuando sea un valor cercano a cero.Para trabajar con una ecuacin no importando el tipo (exponencial, logartmica o de potencia), es necesario en primer lugar linealizar la ecuacin, que no es ms que llevar a potencia 1 la variable explicativa o independiente y para ello se puede valer de distintos mtodos algebraicos que permiten llevar efectuar este procedimiento. FUNCIN LINEAL Cuando se han recolectado los datos y si estos cumplen con el teorema de lmite central (informacin que se ajusta a una curva normal) se procede a presentar la informacin bajo un esquema bidimensional que no es ms que plantearla en trminos del plano cartesiano.

Que bien puede representar la funcin de oferta, donde Y seria la cantidad de productos ofertados, a el intercepto y b la elasticidad precio de la oferta; ahora la siguiente tabla muestra que la cantidad de kilos de carne de cerdo ofrecidas a los precios de mercadoCantidades Y22,5343.53.54.555.55.5677.598.5

Precio X3.34.43.35.54.45.56.66.67.27.77.78.88.8119.9

La forma grfica queda entonces

El grafico anterior muestra una relacin directa, como la funcin de oferta se supone es lineal su forma funcional as se expresa, no obstante esta puede ser una curva semejante a una parbola o a una exponencial (todo depende el caso) y por lo tanto se puede optar por la mejor forma, en este caso para efectos de simplificacin se muestra una lineal. DESARROLLOLa ecuacin de la lnea recta es Y(x) = a+ bXi , donde a es el intercepto o el valor que adquiere Y cuando X es igual a cero, b representa la pendiente o elasticidad de la ecuacin (por el cambio en una unidad adicional de x el valor total de Y cambia en la proporcin de b).

CLCULOPara obtener los valores de los coeficientes se tiene en primer lugar efectuar los productos encontrar sus sumatorias y luego simultanear la ecuacin y despejando en cada caso el valor que se requiera.Esto puede observarse en la siguiente tabla:

Precio XCantidades Y(X)(Y)

3.326.610.89

4.42.51119.36

3.339.910.89

5.542230.25

4.43.515.419.36

5.53.519.2530.25

6.64.529.743.56

6.653343.56

7.155.539.32551.1225

7.75.542.3559.29

7.7646.259.29

8.8761.677.44

8.87.56677.44

11999121

9.98.584.1598.01

TOTAL100.6577585.475751.7125

Con el coeficiente encontrado se procede a sustituir en cualquiera de las dos funciones originales para despejar el valor de a por lo que se obtiene585.475 = (a) 100.65+ (b) 751.7125585.475 = (a) 100.65+ 0.901166978) 751.7125585.475-667.7418482 = (a) 100.65-91.94348195/100.65= aa = -0.913497088De manera tal que la ecuacin queda:Y(X) = 0.9012 X- 0.9135A un precio de 0, segn esa ecuacin, la produccin seria -0.91 unidades, la elasticidad precio de la oferta como es de esperarse es positiva en la medida que cambie el precio de la produccin este tendr un impacto en el cambio de oferta a un mayor precio se ofrecer una mayor cantidad de producto.Para efectos simplificadores se puede usar de manera general

FUNCIN CUADRTICALa forma funcional de cada modelo economtrico depende en alguna parte por su forma grfica, es decir que al reflejar en un esquema bidimensional se puede apreciar la forma y hacerse una idea de la ecuacin que se ajusta de mejor manera al modelo que se busca.Para el caso tomaremos un ejemplo hipottico en el que se toma el esquema de una funcin de costos totales, donde se sabe que hasta cierto punto en el que la produccin aumenta los costos caen dado un nivel de tecnologa llegando a un mnimo y a partir de ah existe un incremento progresivo por cada unidad adicional por tanto se espera una forma parablica.La siguiente tabla muestra el valor del costo total Y que se obtiene con un nivel de produccin especfico X. x 2002403004005005406006407008009001000104011001200

y391036802990207020701380161013801725149520701840253029904025

Y su forma grfica es:Como ejercicio de aplicacin, construir la grfica.

El grfico anterior muestra claramente que la tendencia no se ajusta a una recta, esta se plantea como una curva en forma de u, siendo una parbola la ecuacin que ms se ajusta es cuadrtica.

En este caso estamos tratando con una ecuacin de la forma

lo que indica que tiene un valor mximo o en su defecto un mnimo.

DESARROLLOPara el caso de la funcin cuadrtica es necesario aclara que es un caso espacial que se ve en muchos ejemplos econmicos, su aplicacin es til para determinar mximos y mnimos.El procedimiento es el mismo que en el anterior se encuentra

mnimo, se deriva respecto a los coeficientes a, b y c y luego se igualan a cero, para posteriormente simultanearlas, las ecuaciones quedan entonces:

CLCULOEl siguiente paso a realizar consiste en obtener los productos y sumatorias indicadas en las tres ecuaciones:

XYXYX2YX2X3X4

2003,910782,000156,400,00040,0008,000,0001,600,000,000

2403,680883,200211,968,00057,60013,824,0003,317,760,000

3002,990897,000269,100,00090,00027,000,0008,100,000,000

4002,070828,000331,200,000160,00064,000,00025,600,000,000

5002,0701,035,000517,500,000250,000125,000,00062,500,000,000

5401,380745,200402,408,000291,600157,464,00085,030,560,000

6001,610966,000579,600,000360,000216,000,000129,600,000,000

6401,380883,200565,248,000409,600262,144,000167,772,160,000

7001,7251,207,500845,250,000490,000343,000,000240,100,000,000

8001,4951,196,000956,800,000640,000512,000,000409,600,000,000

9002,0701,863,0001,676,700,000810,000729,000,000656,100,000,000

1,0001,8401,840,0001,840,000,0001,000,0001,000,000,0001,000,000,000,000

1,0402,5302,631,2002,736,448,0001,081,6001,124,864,0001,169,858,560,000

1,1002,9903,289,0003,617,900,0001,210,0001,331,000,0001,464,100,000,000

1,2004,0254,830,0005,796,000,0001,440,0001,728,000,0002,073,600,000,000

10,16035,76523,876,30020,502,522,0008,330,4007,641,296,0007,496,879,040,000

Con 15 observaciones se tiene un n de 15

Siguiendo el esquema anterior se procede a simultanear las ecuaciones, comenzaremos con (1) y (2)

Simultaneando (1) y (3)

Multiplicando -8.330.400 por la (1) y 15 por la (3)

Sustituyendo este valor en 4 y despejando b tenemos b= (-5,227,900 29,982,576,000(0.009954675))/ 21,730,400b= -13.97556819Para encontrar el coeficiente c hay que sustituir en cualquiera de (1), (2) (3), tomando la ecuacin primera se tiene:35,765 = 15 a + 10,160 b + 8,330,400 c 35,765 = 15 a + 10,160 (-13.97556819) + 8,330,400 (0.009954675)35,765 = 15 a -141991.7728 + 82926.42106a = (35,765+141991.7728- 82926.42106)/15a = 6322.023448En consecuencia la ecuacin quedaY(x) = 0.009954675 X2 - 13.97556819 X + 6322.023448

FUNCIN EXPONENCIAL.El caso de una ecuacin exponencial requiere de un tratamiento especial, el crecimiento exponencial se le aplica en la mayora de variables poblacionales, la explicacin se debe entre otras, adems de la relacin grfica, a que el crecimiento en un tramo es lento y a partir de cierto punto, este se incrementa en mayor cantidad, tal como muestra la siguiente grfica.

La forma de la funcin estimada es

Los coeficientes a y b se calculan a partir de un sistema de ecuaciones que a continuacin se explicara, el primer paso a realizar es linealizar la funcin para ello se aplican logaritmos base 10.Teniendo el siguiente cuadro que relaciona tiempo y niveles Poblacin ocupada, se puede observar una tendencia no lineal, una curvatura en la secuencia de datos, la forma grfica muestra que el modelo de regresin mas adecuado es la exponencial.Es necesario aclarar que cuando se relaciona el tiempo y otra variable, se considera al tiempo como la variable independiente.

escolaridad

19792.890

19802.740

19813.230

19823.400

19833.123

19843.365

19853.563

19863.735

19873.960

19883.560

19893.573

19903.662

19913.842

19923.523

19933.760

19943.990

19954.126

19964.356

19974.653

19985.236

19995.136

20005.313

20015.459

20025.609

20035.763

N= 25

DesarrolloEl procedimiento para determinar los coeficientes entonces es:

Al igual que en los casos anteriores se busca que la desviaciones de los valores observados respecto a los estimados sea el mnimo posible, por lo que se debe derivar respecto a los coeficientes a y b para luego igualar los resultados a cero.Para el caso se debe sustituir la funcin exponencial linealizada en la expresin sumatoria a minimizar por lo que:

CLCULOTomando como base la tabla presentada anteriormente y para simplificar los clculos, se sustituyen los valores de aos por un equivalente numrico que no afecta el resultado (este mtodo se utiliza principalmente en aos o en variables de tiempo que poseen un incremento unitario). En consecuencia tenemos la siguiente grfica que relaciona el tiempo y la cantidad de poblacin ocupada en millones de personas:Aos XYLog YX*log YX2

1979-122.8900.46089784-5.53077411144

1980-112.7400.43775056-4.81525619121

1981-103.2300.50920252-5.09202522100

1982-93.4000.53147892-4.7833102581

1983-83.1230.49457198-3.9565758764

1984-73.3650.52698507-3.6888954849

1985-63.4680.54007909-3.2404745336

1986-53.6840.56631962-2.8315981125

1987-43.8600.5865873-2.3463492216

1988-33.5600.55149767-1.6544939

1989-23.5730.55301164-1.106023284

1990-13.6620.56367494-0.563674941

199103.8420.5845079700

199213.9000.591064610.591064611

199323.7600.575187841.150375694

199433.9900.60097291.802918699

199544.1260.615487122.4619484716

199654.3560.639087873.1954393625

199764.6530.667733054.0063983236

199875.2360.718999645.0329974749

199985.0180.700494745.603957964

200095.1900.7151856.4366650181

2001105.3330.726959227.26959218100

2002115.4790.738739078.12612979121

2003125.6300.75051589.00618959144

0101.06722914.94699215.07422681300

En este caso no habr necesidad de simultanear debido a que la sumatoria de X es igual a cero y por lo tanto el valor de a y b se obtienen de manera ms rpidaEn consecuencia el valor de a se obtiene:

Para este caso se debe sustituir valores comprendidos entre -12 y 12, para que de como resultado el valor en su equivalente en aos. FUNCIN DE POTENCIA.A esta funcin se le conoce como curva geomtrica de la forma f[x] = x^n, ; al igual que los casos anteriores es necesario linealizar la ecuacin, como se puede esperar basta aplicar logaritmo a la ecuacin de igual manera que el en caso exponencial para obtener una ecuacin de la tendencia buscada y se procede a derivar respecto a a y b .

En este caso utilizamos la relacin ingreso y consumo

IngresoConsumo

3.011.904236782

3.262.389395036

3.692.93138203

3.983.321130844

3.6542.884343721

4.0243.074481512

3.893.198127393

4.23.629445223

4.363.860393932

4.564.156912734

4.2683.726912485

4.6893.957023376

4.934.727987654

5.35.327630566

5.215.179181854

5.364.934102133

n=16

DESARROLLOLa secuencia de pasos es similar a la exponencial se tiene que minimizar la expresin, substituir el valor equivalente de Y estimado y derivar.

Aplicando propiedades de logaritmos

Igualando a cero y derivando respecto a los coeficientes a y b se llega a las siguientes expresiones

CLCULOCon la informacin anterior se construye los cuadros respectivos que permitirn determinar los valores de los coeficientes; tal como lo muestra la siguiente tabla:

Y (Consumo) X (Ingreso)Log XLog YLog X* Log Y(Log X) 2

1.9043.0100.4790.2800.1340.229

2.3893.2600.5130.3780.1940.263

2.9313.6900.5670.4670.2650.322

3.3213.9800.6000.5210.3130.360

2.8843.6540.5630.4600.2590.317

3.0744.0240.6050.4880.2950.366

3.1983.8900.5900.5050.2980.348

3.6294.2000.6230.5600.3490.388

3.8604.3600.6390.5870.3750.409

4.1574.5600.6590.6190.4080.434

3.7274.2680.6300.5710.3600.397

3.9574.6890.6710.5970.4010.450

4.7284.9300.6930.6750.4670.480

5.3285.3000.7240.7270.5260.525

5.1795.2100.7170.7140.5120.514

4.9345.3600.7290.6930.5050.532

Sumatorian=1610.0028.8425.6616.333

En consecuencia la ecuacin quedaY(X) = aXb Y(X) = 3.57 X70.32