CÁTEDRA DEANÁLISIS MATEMÁTICO III

TALLER # 2Ecuaciones Paramétricas y

Coordenadas Polares.

1) Se traza una circunferencia de radio “a” tangente al eje x, la recta OA intersecta a la circunferencia en el punto B, la proyección de A B sobre la recta vertical que pasa por A es el segmento AP . Halle las ecuaciones paramétricas de la curva descrita por el punto P.

2) Deduzca las ecuaciones paramétricas del conjunto de todos los puntos P, definidos como describe la figura OP = AB

3) Si a y b son números fijos, deduzca las ecuaciones paramétricas del conjunto de los puntos P definidos según indica la figura, usando del ángulo θ, como parámetro. El segmento AB es tangente al círculo mayor.

4) Deduzca las ecuaciones paramétricas de la cicloide, trocoide y de la hipocicloide.5) Deduzca las ecuaciones de las tangentes a la curva x=3 t 2+1 , y=2t 3+1

que pasan por el punto (4,3).

6) ¿En qué puntos de la curva x=t 3+4 t , y=6 t2 la tangente es paralela a la recta cuyas ecuaciones son x=−7 t , y=12 t−5 ?

7) Calcule el área limitada por la astroide x=a cos3θ , y=asen3θ .8) Halle el área de la región cerrada de la curva.

x=2 t+πsenty=2−πcos t

9) Una curva se define mediante las ecuaciones paramétricas.

x=∫1

tcosuudu y=∫

1

tsenuudu

Halle la longitud del arco de la curva, que va del origen al más cercano de los puntos con tangente vertical.

10) Una vaca está atada a la pared de un silo de radio “r” con una cuerda que tiene la longitud precisa para llegar al punto opuesto del silo. Deduzca las ecuaciones paramétricas de la evolvente y finalmente calcule el área de que dispone la vaca para pastar.

11) Encuentre la expresión para determinar la pendiente de una recta tangente en un punto (r , θ) en coordenadas polares.

12) Halle la tangente del ángulo Ψ comprendido entre la recta radial y la recta tangente a la curva r=f (θ) en el punto (r , θ) .

13) La mayor de las circunferencias mostradas en la figura siguiente es la gráfica de r=1. Hallar la ecuación polar para la circunferencia menor de manera que las áreas sombreadas sean iguales.

14) Hallar el área de la zona sombreada r=eθ /6

15) Hallar el área común entre las curvas.r=1+cosθr=1−senθ

16) Pasar la ecuaciónr=2 (hcosθ+ksen θ )a la forma rectangular y verificar que sea la ecuación de un círculo. Hallar el radio y las coordenadas rectangulares de su centro.

17) Hallar los puntos de tangencia horizontal y vertical (si los hay) a la curva polar.a) r=1−senθb) r=asenθ cos2θ

18) Hallar el ángulo entre la circunferencia r=3 senθ y el caracol r=4−5 senθ en el

punto de intersección (32,π6

).