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EJERCICIOS DE TEORIA DE COLAS a) Modelo M/M/1: Un servidor con llegadas de poisson y tiempos de servicio

exponenciales:

INVESTIGACIÓN OPERATIVA / “Ejercicios de teoría de colas” 2014

Ejercicios:

Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricante de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2,5 automóviles por hora y la tasa media de servicio es de 5 automóviles por hora. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial.

a) ¿Cuál es la cantidad de promedio de automóviles en el sistema?b) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil que comience el servicio de

aceite y lubricación?c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema?d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio?

Datos:

λ=2,5auto /hora μ=5auto /hora

Resolviendo:

a) ¿Cuál es la cantidad de promedio de automóviles en el sistema?

Lq=λ2

μ(μ−λ)

Lq=2,52

5(5−2,5)

Lq=0,5

Ls=Lq+λμ

Ls=0,5+2,55

Ls=1

b) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil que comience el servicio de aceite y lubricación?

2


W q=Lq

λ

W q=0,52,5

W q=0,8333

c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema?

W s=W q+1μ

W s=0,2+15

W s=0,4horas (24minutos)

d) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio?

Pw=λμ

Pw=2,55

Pw=0,5

Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco.

Datos:μ=10 clientes

hora

ρ= λμ= 710

=0.7

λ=7 clienteshora

s=1(unaestacionde servicio)

Ρο=1−0.7=0.3

Resolviendo:

3


L= λμ− λ

= 710−7

=73=2.33

Lq= λ2

μ(μ−λ)= 72

10(10−7)=1.63

W= 1μ−λ

= 110−7

=13=0.33

Wq= λμ (μ− λ)

= 710(10−7)

=0 .233

RESPUESTA: Según los datos obtenidos el sistema está ocupado el 70% del tiempo, vacío el 30% del tiempo; en promedio hay 2.33 clientes en el sistema y 1.63 en la cola; el tiempo promedio de un cliente en el sistema de 0.33 horas = 20 minutos y un tiempo promedio de un cliente en la cola de 0.233 horas = 14 minutos.

El escritor de referencia de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Supongamos que puede usarse una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa de media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegada y que los tiempos tasa media de 12 solicitudes por hora.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema?b. ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio?c. ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el

servicio?d. ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencia en minutos 9(tiempo de

espera más tiempo de servicio)?

Datos:λ=10 μ=12

Resolviendo:a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema?

P0=1−λμ

P0=1−1012

P0=0,1666

b) ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperaran por el servicio?

4


Lq=λ2

μ(μ−λ)

Lq=102

12(12−10)

Lq=4,166

c) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que comience el servicio?

W q=Lq

λ

W q=0,4166horas (24 ,99minutos)

d) ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencia en minutos 9 (tiempo de espera más tiempo de servicio)?

W s=W q+1μ

W s=0,4166+112

W s=0,4999horas (19minutos)

e)

Pw=λμ

Pw=1012

Pw=0,8333

5


Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.

Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema.b) Número Promedio de clientes en la cola.c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

Datos:λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos= Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)

Resolviendo:a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). Lo podemos calcular a partir de Wq y µ.

Ws=Wq+ 1μ=3minutos+ 1

1=3+1=4minutos

Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.

b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente: Lq= λ Wq.

Lq=λ∗Wq=0.75 clientesminutos

∗3minutos=2.25clientes

Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos clientes en la cola.

c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la fórmula: Ls= λ Ws.

Ls=λ∗Ws=0.75 clientesminutos

∗4minutos=3clientes

Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

6


Un fotógrafo de la embajada de los Estados Unidos toma las fotografías para los pasaportes a una tasa promedio de 20 por hora. El fotógrafo debe esperar hasta que el cliente deje de parpadear y hacer gestos, así que el tiempo para tomar una fotografía se distribuye exponencialmente. Los clientes llegan a una tasa promedio de acuerdo a una distribución de Poisson de 19 clientes por hora.

o ¿Cuál es la utilización promedio del fotógrafo? o ¿Cuánto tiempo promedio permanece el cliente en el estudio del fotógrafo?

a) Las suposiciones en el enunciado del problema son consistentes con el modelo de un solo servidor. El factor de utilización del servidor es:

ρ= ʎµ=1920

=0.95

b) El tiempo promedio que el cliente permanece en el estudio del fotógrafo es

W S=1

µ−ʎ= 120−19

=1hora

Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes:

a) ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso? b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del

cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando).

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)?

d) ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Datos:

λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos.µ= 1 clientes/4minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto.

Resolviendo:

a) Por tanto ρ=λμ=1/61/6

=23=¿ 66.67% factor de utilización del sistema.

Es decir que el sistema permanece ocioso el 33.33%

7


b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero?

Lq= λμ(μ−λ)

= 1/6

1/4 ( 14−16)=43=¿

1.333 Puede haber 2 autos en la cola.

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco (incluyendo el tiempo de servicio)? Nos preguntan por el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema. Ws.

Ws= 1μ− λ

= 114−1/6

= 11/12

=¿12 Minutos pasa el cliente en el sistema

d) ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora? Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en el inciso a (1/4*60=15), el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3) (15)= 10 clientes. Esto es ρ*µ= 2/3 * 15 = 10 clientes.

El gerente de una tienda de abarrotes en una comunidad de jubilados está interesado en proporcionar buen servicio a los ciudadanos de la tercera edad que compran en su tienda. Actualmente, la tienda tiene una caja de cobro exclusiva para los ciudadanos de la tercera edad. En promedio, 30 ciudadanos de la tercera edad llegan por hora a la caja, de acuerdo a una distribución de Poisson, y se atienden a una tasa promedio de 35 clientes por hora, con tiempos de servicio exponencial. Determine las siguientes características de operación:

Probabilidad que no haya clientes en el sistema, o bien, la probabilidad de tener a todos los servidores desocupados.

Utilización promedio de la cajera. Número promedio de clientes en el sistema. Número promedio de clientes en la línea. Tiempo promedio de espera en el sistema. Tiempo promedio de espera en la línea.

a) P0=(1− ʎµ )=(1−3035 )=0.1429

b) ρ= ʎµ=3035

=0.1429

c) LS=ʎ

µ−ʎ= 3035−30

=6

8


d) Lq= ρLS=( ʎµ )LS=( 3035 )(6 )=0.1429

e) W S=LS

ʎ= 630

=0.2

f) W q=ρW S=( ʎµ )W S=(3035 ) (0.2 )=0.1714

b) Modelo M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio:

Ejercicios:

Un lavadero automático de autos tiene una línea de remolque de manera que los autos se mueven a través de la instalación de lavado como una línea de ensamble. Supóngase que se acepta un auto cada 5 minutos y que la tasa promedio de llegadas es de 9 autos por hora según Poisson. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1.

Datos:

o λ= 9 Autos/hora

o µ¿ 605 ¿12 Autos/hora

o 𝛒= 912 = 0.75

Desarrollo:

Lq=ρ2

2 (1−ρ )= 0.752

2(1−0.75) ¿1.125 clientes

W q=Lq

λ=1.125

9=¿ 0.125 hrs. =7.5 min

W S=W q+1µ=0.125+ 1

12 = 0.2083 hrs. = 12.5 min

LS=λW S=(9 ) (0.2083 ) = 1.8747 clientes

Un restaurante de papas fritas, tiene el servicio de Drive-In en la cual los clientes arriban al restaurante a una tasa de 45 por hora siguiendo una distribución de

9


Poisson. Las ordenes son procesadas con un modelo FIFO y existe un solo servidor, el cual se demora 1.2 minutos en preparar la orden.

Datos:

o 𝛌= 45 clientes/hora = 1.2 min = 72 clientes/hora

Desarrollo:

o Número promedio de clientes que esperan en la cola

Lq=λ2

2µ (µ−λ)= 452

2(72)(72−45) = 0.5208

o Tiempo promedio que un cliente espera en la cola

W q=λ

2µ(µ−λ)=¿

452(72)(72−45) = 0.0116 horas

o Número promedio de clientes en el sistema

LS=Lq+λµ=(0.508 )+ 45

72 = 1.1458

o Tiempo promedio que los clientes están en fila

W S=W q+1µ=0.0116+ 1

72 0.0255

A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1.

Datos:

o λ=8060

=1.33

o µ=13=0.33

o P=1.330.33

=4.03

Desarrollo:

10


Ls=λW s

LS=(1.33)(5.04)

Ls=6.70

Lq=P2

2 (1−P )=

(4.03)2

2(1−4.03)=¿ -2.68 =-2.68 (-1) = 2.68

W q=Lq

λ=2.681.33

=2.01

W s=W q+1µ=2.01+ 1

0.33=5.04

c) Modelo M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio:

Ejercicios:

Un solo empleado maneja las ventas al menudeo de una tienda de alimentos. Las llegadas de los clientes son aleatorios y la tasa promedio de llegada es de 21 clientes por hora. Un estudio del proceso de servicio muestra que el tiempo promedio de servicio es de dos minutos por clientes, con una desviación estándar 1.2 minutos. Calcule las medidas de eficiencia del sistema.

Determinar tasa de llegada y tasa de servicio

λ = Tasa de llegada λ = 21 clientes / hora λ = 0.35 clientes/minuto

μ = Tasa de servicio μ = 0.5 clientes/minuto

σ =1.2 minutos

Comprobar si el sistema tiene una capacidad de atención P<1

P = factor de utilización11


P =

λμ

p=0.350.50

p=0.70

a) Probabilidad que el sistema este vacío po=1−¿

Po = 0.30

La probabilidad de que la tienda este vacía 0.30

b) Longitud espera de la cola

Lq=λ2 σ2+ρ2

2(1−ρ)

Lq= 1.1107 clientes En promedio hay 1.1107 clientes esperando ser atendidos

c) Numero esperado en el sistema

Ls=Lq+ρ

Ls=1.18107 clientes

En promedio hay 1.18107 clientes en la tienda

d) Tiempo esperado en la cola

W q=Lq

λ

W q = 3.1733

e) Tiempo total de espera en el sistema

W s=W q+1μ

W s= 5.1733 minutos

f) Probabilidad que un cliente espere

12


Pw =

λμ

Pw = 0.70

La probabilidad de que un cliente tenga que esperar el servicio cuando llega a la tienda es 0.70

Un lava carro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media llegadas es de 9 autos por hora, desviación estándar 2 minutos .Obtenga las medidas de desarrollo de acuerdo con el modelo MG1.Ademas la probabilidad de tener cero clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio.

a) Longitud espera de la cola

Lq=λ2 σ2+ρ2

2(1−ρ)Lq= 1.31 clientes

b) Numero esperado en el sistema

Ls=Lq+ρLs= 1.31 +0.75Ls=2.06 clientes

c) Tiempo total de espera en el sistema

W s=W q+1μ

W s= 0.228 horas = 13.7 minutos

d) Tiempo esperado en la cola

W q=Lq

λ

W q= 0.145 horas = 8.7 minutos

e) Probabilidad que el sistema este vacío po=1−¿

Po = 0.25

13


Pw = 0.75

La probabilidad de que la tienda este vacía 0.30

d) Modelo M/M/S: Modelo de cola multicanal

Ejercicios:

En una copistería se dispone de 3 máquinas fotocopiadoras a disposición del público, Cada máquina es capaz de servir, por término medio, 8 trabajos cada hora, A la copistería llegan como promedio 5 clientes a la hora. Los parámetros del sistema: = 5 clientes/h, = 8 clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura porque <1.

P =

λsμ

p= 53 x8

p=0.21

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas estén libres a la vez?

po=(( ss ps

s ! (1−p))+∑n=0s−1 (sxp )n

n! )−1

po=(( 33 p3

3 ! (1−p))+∑n=02 (3 p )n

n! )−1

po=( 1252432+1+ 5

8+ 25128 )

−1

po=304569

po=0.5342706

b) ¿Cuál es el número medio de clientes en la cola?

Lq=ss ps+1 po

s ! (1−p )2

14


Lq=33 p4 304

5693 ! (1−p )2

Lq=30241791

Lq=0.00722643 Clientes

c) ¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?

wq=Lq

❑

wq=302

5.41791

wq=5235979

wq=0.00144529 hora

d) ¿Cuál es el tiempo medio de espera en el sistema?

w=wq+1❑

w= 5235979

+ 18

w= 5144065

w=0.126445hora

e) ¿Cuál es el número medio de clientes en el sistema?

L=¿λ w

L=5 x ( 5144065 )L= 5144065

L=0.632226

15


Suponga que dos cajeros bancarios puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora. Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución Poisson y el tiempo de servicio sigue la distribución exponencial. Realice un análisis acerca de la situación actual del Banco.

Datos:

o µ = 10 clientes / hora o ʎ = 7 clientes /hora o s = 2 (número de servidores)

Desarrollo:

p = ʎµk =

72(10) = 0.35

P0 =

1

( 710 )0

0 !+( 710 )

1

1 !+( 710 )

2

2!x ( 11−o .35 )

= 11+0.7+0.3769

=¿

0.48148

L = 7(10)¿¿ x 0.48148 + ¿¿ = 0.7977 clientes en el sistema

Lq = 0.7977 – 7/10 = 0.0977 clientes en cola

W = L/ʎ = 0.7977 / 7 = 0.11396 horas

Wq = Lq/ʎ = 0.0977 / 7 = 0.01396 horas

Una pequeña escuela de negocios ha asignado una secretaria a cada uno de sus departamentos: contabilidad, finanzas, mercadotecnia y dirección. Cada secretaria procesa material de clase y correspondencia únicamente para su propio departamento. El director de la escuela recibió muchas quejas, especialmente, del departamento de contabilidad acerca de los retrasos en los trabajos secretariales. El asistente del director reúne la información acerca de las tasas de llegada de los trabajos y tiempos de servicio. Después de un análisis detallado encuentra que las

solicitudes de trabajo siguen una distribución de Poisson λ =2 con solicitudes por

hora, para todos los departamentos, excepto contabilidad, que tieneλ =3 solicitudes por hora. El tiempo promedio de terminación de un trabajo (o servicio) es de 15 minutos independientemente del departamento que lo solicite, estos tiempos se distribuyen exponencialmente.

16


Debido a restricciones en el presupuesto ninguna secretaria adicional puede ser contratada. El director considera que el servicio puede mejorarse si se agrupa a las secretarias y se les ubica en un solo lugar, usando la política primero que entra, primero que se le da el servicio. Antes de proponer el nuevo plan el director pide a su asistente que analice el desempeño correspondiente y lo compare con el sistema actual.

Desarrollo:

El sistema actual consiste esencialmente de cuatro sistemas M/M/1 independientes con una tasa de servicio μ = 4 requerimientos por hora. La diferencia en los

departamentos es la tasa de llegada. En todos los departamentos λ =2 solicitudes por

hora, excepto contabilidad. En estos casos (p=λ /μ ):

En el caso de los departamentos de finanzas, mercadotecnia y dirección

o LS=❑

−¿¿

LS=24−2

LS=1TRABAJO

o Lq=P

−¿¿

Lq=24(1)

Lq=0.5dehoraó 30minutos

o W s=1

−¿¿

W s=14−2

W s=12 = 0.5 de horas o 30 minutos

W q=p

−¿¿17


W q=1/24−2

W q=14dehora ó15minutos

po=1−¿¿ λ❑

po=1−2

4 = 0.5

El número promedio de solicitudes de trabajo en la línea de espera para un sistema ocupado es

Lq=❑

−¿¿

Lq=24−2

=1 solicitudde trabajo

El tiempo promedio que una solicitud de trabajo permanece en la línea de espera en un sistema ocupado es

W b=1

−¿¿

Wb=¿ 1

4−2¿

W b=¿ 0.5horas¿

Probabilidad de que una solicitud que llegue tenga que esperar, o bien, el sistema esté ocupado

P(nk) =p*, si k=1 solicitud

P(n1) =p1= ❑❑=24=o .5ó50%

En el caso del departamento de contabilidad estos valores son μ

= 4 y λ

=3

o LS=❑

−¿¿

LS=34−3

LS=3 trabajos

o Lq=P

−¿¿

18


Lq=34(3)

Lq=2.25trabajo

o W s=1

−¿¿

W s=14−3

W s=1 hora

o W q=p

−¿¿

W q=3/44−3

W q=34dehora ó45minutos

o po=1−❑

❑

po=1−3

4 = 0.25

El número promedio de solicitudes de trabajo en la línea de espera para un sistema ocupado es

Lb=❑

−¿¿

Lb=34−3

Lb=3 solicitudesde trabajo

El tiempo promedio que una solicitud de trabajo permanece en la línea de espera en un sistema ocupado es

W b=1

−¿¿

Wb=¿ 1

4−3¿

W b=¿ 1horas¿

Probabilidad de que una solicitud que llegue tenga que esperar, o bien, el sistema esté ocupado

P(nk) =p*, si k=1 solicitud

19


P(n1) =p1= ❑❑=34=o .75ó75%

La propuesta para reunir al personal de secretarias, crea un sistema de múltiples canales, una sola línea de espera, o un sistema M/M/4 en este caso. La tasa de llegada son las llegadas combinadas (2 + 2 + 2 + 3) en todos los departamentos, o bien λ =2 + 2 + 2 + 3 =9, solicitudes de trabajo por hora μ =4, solicitudes de trabajo por hora y s = 4 servidores.

El factor de utilización promedio del sistema es:p=❑

s

p= 9(4 )4

p= 916

Probabilidad de que cero clientes estén en el sistema o que el sistema esté desocupado

po={(∑n=0s−1

(¿ )n

n ! )+ ( ¿ )s

s !(−p)}−1

po=¿[ (9 / 4)0

0! + (9 /4 )1

1 ! + (9/4 )2

2 ! + (9 /4)3

3 ! ]+ (9/4 )4

4 !(1− 916 )

¿

po=[[ (9/ 4 )0

0 !+

(9/4 )1

1 !+

(9/4 )2

2!+

(9 /4 )3

3 ! ]+ (9/4 )4

4 !(1− 916

) ]−1

po=[ 27,2042,688 ]−1

po=0.0988

Número promedio de clientes en el la línea de espera

Lq=p

o(❑❑ )ps !(1−p)2

20


Lq=

2242267 (94 )

4 916

4 !(1− 916 )

2

Lq=0.31 solicitudesde trabajo

Número promedio de clientes en el sistemaLs=Lq+

❑❑

Ls=0.31+94

Ls=2.56 solicitudes de trabajo

Tiempo promedio de espera de las solicitudes de trabajo en el la línea

W s=LS

❑

W s=2.569

W s=0.2844 Horas o 17 minutos

Probabilidad de que haya s = 4 servidores y se tenga que esperar.

P(ns)=( ❑❑ )ss

s !¿¿

po=( 94 )

4

(4)(4)

4 !(4 x 4−9) (0.09881)

po= 24.1155%

Número promedio de solicitudes de trabajo en la línea de espera en un sistema ocupado.

Lb=Lq

P(n s)

Lb=0.31

0.241155

Lb=1.2855Solicitudes de trabajo Tiempo promedio que permanece el cliente en la línea de espera en un sistema

ocupado

21


W b=wq

P(ns)

W b=0.0340.241155

W b=0.141horasu8.48minutos

En resumen

e) Modelo M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio:

Ejercicios:

Considere una línea de espera con dos canales con llegadas de poisson y tiempos de servicio exponencial. La tasa media de llegada es de 14 unidades por hora, y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora para cada canal.

o ¿cuál es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema?o ¿Cuál es la cantidad de unidades promedio en el sistema?o ¿Cuál es el tiempo promedio que espera una unidad por servicio?o ¿Cuál es el tiempo promedio que una unidad está en el sistema?o ¿Cuál es la probabilidad de tener que esperar por el servicio?

Datos:

22

Estado LS Lq W S W q PO

Actual (contabilidad) 3 2.25 1 0.75 0.25

Actual (Finanzas mercadotecnia y

dirección)1 0.5 0.5 0.25 0.50

Secretaria agrupadas 2.56 0.31 0.28 0.034 0.098


= 14 unidades/hora = 10 unidades/hora K= 2

Desarrollo:

a) P0=¿ 1

∑ k−1n=0

(❑μ )n

n !+

(❑μ )k

k !¿ ¿

¿

P0=¿ 1

( 1410 )0

0! +( 1410 )

1

1! +( 1410 )

2

2 ! ( 2 (10)2 (10)−14 )

¿

P0=0.1764

b) L

q=¿(❑μ )

k

(k−1) !¿ ¿¿¿

Lq=¿

(1410 )2

( 10) (14 )

(2−1) ! (2 (10)−14)2×(0.1764)¿

Lq=¿1.345 ¿

c) Wq=¿ Lq

❑¿

Wq=¿ 1.345

14¿

W q=¿0.096horas(5.76minutos)¿

d)W

s=¿W q+1μ

¿

Ws=¿0.096+ 1

10¿

W s=¿0.196 horas(11.76minutos)¿

e)

23


Pw=¿

(❑μ )k

k !¿ ¿

Pw=¿

( 1410 )2

2! ( 2 (10 )2 (10 )−14 )(0.1764)¿ Pw=¿ 0.5762¿

Remítase al problema anterior. Suponga que el sistema se expande a una operación de tres canales.

a) Calcule las características operadas para este sistema de línea de espera.b) Si la meta de servicio es proporcionar capacidad suficiente de modo que no

más de 25% de los clientes tenga que esperar por servicio. ¿Es preferible el sistema de dos canales o tres canales?

= 14 unidades/hora = 10 unidades/hora K= 3

a) P0=¿ 1

∑ k−1n=0

(❑μ )n

n!+

(❑μ )k

k !¿ ¿

¿

P0=¿ 1

( 1410 )0

0! +( 1410 )

1

1! +( 1410 )

2

2 ! +(1410 )

3

3 ! ( 3 (10)3 (10)−14 )

¿

P0=0.2359

Lq=¿

(❑μ )k

(k−1) !¿ ¿¿¿

Lq=¿

(1410 )3

(10) (14 )

(3−1) ! (3 ( 10)−14 )2×(0.2359)¿

Lq=¿ 0.1769¿

Wq=¿ Lq❑ ¿

Wq=¿ 0.1769

14¿

W q=¿0.012 horas(0.758minutos)¿

Ws=¿W q+

1μ

¿

24


Ws=¿0.012+ 1

10¿

W s=¿0.112horas (6.72minutos)¿

Pw=¿

(❑μ )k

k !¿ ¿

Pw=¿

( 1410 )3

3! ( 3 ( 10)3 ( 10)−14 )(0.2359)¿

Pw=¿ 0.2022¿

b) Es más preferible el sistema de 3 canales porque se cumple con lo requerido que es tener menos del 25%.

El gerente del Banco Americano, debe determinar cuántos cajeros abrir en sus sucursal los días sábados. Por cada minuto que el cliente espera en la cola, se supone que se incurre en una pérdida de U$0.05. Al banco llegan un promedio de 120 clientes por hora. En promedio un cajero atiende a 30 clientes por hora. Al banco le cuesta u$9/hora la contratación de cada cajero. Se considera las llegadas con distribución de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. ¿Determinar el número óptimo de servidores k que minimice el costo total?

Tasa de llegada de clientes por hora () = 120 clientes/hora Tasa de servicio por servicio por hora ()= 30 clientes/hora Costo del servidor ocupado por hora = U$9 hora Costo del servidor desocupado por hora= U$9 hora Costo de espera de los clientes por hora= U$0.05(60)=U$3 hora K () > Debemos tener mínimo k =5 cajeros ( se cumple que (5)(30)>120

Desarrollo:

a)P0=¿ 1

∑ k−1n=0

(❑μ )n

n !+

(❑μ )k

k !¿ ¿

¿

P0=¿ 1

( 12030 )0

0 ! +( 12030 )

1

1 ! +( 12030 )

2

2 ! +( 12030 )

3

3 ! +( 12030 )

4

4 ! +(12030 )

5

5 ! ( 5(30)5 (30)−120)

¿

P0=0.0130

25


b) L

q=¿(❑μ )

k

(k−1) !¿ ¿¿¿

Lq=¿

( 12030 )5

(30) (120 )

(5−1) ! (5 (30)−120 )2× (0.0130)¿

Lq=¿ 2.2187¿

c)L

s=¿ Lq+❑❑¿

Ls=¿ 2.2187+ 120

30¿

Ls=¿ 6.2187¿

Entonces el costo por los r cajeros es igual a: K x costo del servidor ocupado por hora(CS) + Ls x costo de espera de los clientes por hora (CW) = 5 x (9) + 6.2187 x (3) = U$ 63.66.

26

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