Ejercicios y problemas resueltos de Estadística II

1. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

2. Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:

Nº de caries fi ni

0 25 0.25

1 20 0.2

2 x z

3 15 0.15

4 y 0.05

1. Completar la tabla obteniendo los valores de x, y, z.

2. Hacer un diagrama de sectores.

3. Calcular el número medio de caries.

3. Se tiene el siguiente conjunto de 26 datos:

10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

Obtener su mediana y cuartiles.

4. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses Niños

9 1

10 4

11 9

12 16

13 11

14 8

15 1

1. Dibujar el polígono de frecuencias.

2. Calcular la moda, la mediana, la media y la varianza.

5. Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:

xi fi Fi ni

1 4 0.08

2 4

3 16 0.16

4 7 0.14

5 5 28

6 38

7 7 45

8

Calcular la media, mediana y moda de esta distribución.

6. Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:

1. Calcular su media y su varianza.

2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y desviación típica.

7. El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:

Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4

1. Calcular la media y la desviación típica.

2. Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ, x + σ).

8. Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

Altura[170, 175)

[175, 180)

[180, 185)

[185, 190)

[190, 195)

[195, 2.00)

Nº de jugadores

1 3 4 8 5 2

Calcular:

1. La media.

2. La mediana.

3. La desviación típica.

4. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una desviación típica?

9. Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:

1 2 3 4 5 6

fi a 32 35 33 b 35

Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.

10. El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

1. Formar la tabla de la distribución.

2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?

3. Calcular la moda.

4. Hallar la mediana.

5. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?

11. De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas, calcular:

Edad Fi

[0, 2) 4

[2, 4) 11

[4, 6) 24

[6, 8) 34

[8, 10) 40

1. Media aritmética y desviación típica.

2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?

3. Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

12. Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1.60 m y la desviación típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1.80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1.70 m y la desviación típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?

13. Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación típica 1.5.

Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5.

Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?

14 La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.

1. Calcular la dispersión del número de asistentes.

2. Calcular el coeficiente de variación.

3. Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué efecto tendría sobre la dispersión?

A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:

Nº de caries fi ni

0 25 0.25

1 20 0.2

2 x z

3 15 0.15

4 y 0.05

1. Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z.

2. Hacer un diagrama de sectores.

3. Calcular el número medio de caries.

1. Tabla

La suma de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1:

0.25 + 0.2 + z + 0.15 + 0.05 = 1

0.65 + z = 1 z = 0.35

La frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia absoluta dividida entre 100, que es la suma de las frecuencias absolutas.

Nº de caries fi ni fi · ni

0 25 0.25 0

1 20 0.2 20

2 35 0.35 70

3 15 0.15 45

4 5 0.05 20

155

2. Diagrama de sectores

Calculamos los grados que corresponden a cara frecuencia absoluta.

25 · 3.6 = 90º 20 · 3.6 = 72º 35 · 3.6 = 126º

15 · 3.6 = 54º 5 · 3.6 = 18º

3. Media aritmética

Se tiene el siguiente conjunto de 26 datos:

10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

Obtener su mediana y cuartiles.

En primer lugar ordenamos los datos de menor a mayor:

3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20

Mediana

26/2 = 13.

Como el número de datos es par la mediana es la media de las dos puntuaciones centrales:

Cuartiles

26/4 = 6.5 Q1 = 7

Q2 = Me = 10

(26 · 3)/4 = 19.5 Q3 = 14

Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses Niños

9 1

10 4

11 9

12 16

13 11

14 8

15 1

1. Dibujar el polígono de frecuencias.

2. Calcular la moda, la mediana, la media y la varianza.

Polígono de frecuencias

xi fi Ni xi · fi x²i · fi

9 1 1 9 81

10 4 5 40 400

11 9 14 99 1089

12 16 30 192 2304

13 11 41 143 1859

14 8 49 112 1568

15 1 50 15 225

50 610 7526

Moda

Mo = 12

Mediana

50/2 = 25 Me = 12

Media aritmética

Varianza

Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:

xi fi Fi ni

1 4 0.08

2 4

3 16 0.16

4 7 0.14

5 5 28

6 38

7 7 45

8

Calcular la media, mediana y moda de esta distribución.

Tabla

Primera fila:

F1 = 4

Segunda fila:

F2 = 4 + 4 = 8

Tercera fila:

Cuarta fila:

N4 = 16 + 7 = 23

Quinta fila:

Sexta fila:

28 + n8 = 38 n8 = 10

Séptima fila:

Octava fila:

N8 = N = 50 n8 = 50 − 45 = 5

xi fi Fi ni xi · fi

1 4 4 0.08 4

2 4 8 0.08 8

3 8 16 0.16 24

4 7 23 0.14 28

5 5 28 0.1 25

6 10 38 0.2 60

7 7 45 0.14 49

8 5 50 0.1 40

50 238

Media artmética

Mediana

50/2 = 25 Me = 5

Moda

Mo = 6

Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:

1. Calcular su media y su varianza.

2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y varianza.

xi xi2

2 4

3 9

4 16

6 36

8 64

10 100

33 229

1

2

El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:

Sumas 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Veces 3 8 9 11 20 19 16 13 11 6 4

1. Calcular la media y la desviación típica.

2. Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ, x + σ).

xi fi xi · fi xi2

· fi

2 3 6 12

3 8 24 72

4 9 36 144

5 11 55 275

6 20 120 720

7 19 133 931

8 16 128 1024

9 13 117 1053

10 11 110 1100

11 6 66 726

12 4 48 576

120 843 6633

1

2

x − σ = 4.591 x + σ = 9.459

Los valores comprendidos en el intervalo (4.591, 9.459) son los correspondientes a las sumas de 5, 6, 7, 8 y 9.

11 + 20 + 19 + 16 + 13 = 79

Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

Altura[170, 175)

[175, 180)

[180, 185)

[185, 190)

[190, 195)

[195, 2.00)

Nº de jugadores

1 3 4 8 5 2

Calcular:

1. La media.

2. La mediana.

3. La desviación típica.

4. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una desviación típica?

xi fi Fi xi · fi xi2

· fi

[1.70, 1.75) 1.725 1 1 1.725 2.976

[1.75, 1.80) 1.775 3 4 5.325 9.453

[1.80, 1.85) 1.825 4 8 7.3 13.324

[1.85, 1.90) 1.875 8 16 15 28.128

[1.90, 1.95) 1.925 5 21 9.625 18.53

[1.95, 2.00) 1.975 2 23 3.95 7.802

23 42.925 80.213

Media

Mediana

Desviación típica

4

x + σ = 1.866+ 0.077 = 1.943

Este valor pertenece a un percentil que se encuentra en el penúltimo intervalo.

Sólo hay 3 jugadores por encima de x + σ.

Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:

1 2 3 4 5 6

fi a 32 35 33 b 35

Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.

xi fi xi · fi

1 a a

2 32 64

3 35 125

4 33 132

5 b 5b

6 35 210

135 + a + b 511 + a + 5b

a = 29 b = 36

El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

1. Formar la tabla de la distribución.

2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?

3. Calcular la moda.

4. Hallar la mediana.

5. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?

1

xi fi Fi

[60,63 ) 61.5 5 5

[63, 66) 64.5 18 23

[66, 69) 67.5 42 65

[69, 72) 70.5 27 92

[72, 75) 73.5 8 100

100

2

5 + 18 + 42 + 27 = 92 alumnos más ligeros que Andrés.

Moda

Mediana

5

El valor a partir del cual se encuentra el 25% de los alumnos más pesados es el cuartil tercero.

De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas, calcular:

Edad Fi

[0, 2) 4

[2, 4) 11

[4, 6) 24

[6, 8) 34

[8, 10) 40

1. Media aritmética y desviación típica.

2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?

3. Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

xi fi Fi xi · fi xi2

· fi

[0, 2) 1 4 4 4 4

[2, 4) 3 7 11 21 63

[4, 6) 5 13 24 65 325

[6, 8) 7 10 34 70 490

[8, 10) 9 6 40 54 486

40 214 1368

Media y desviación típica

2

Los 10 alumnos representan el 25% central de la distribución.

Debemos hallar P37.5 y P62.5.

Las 10 edades centrales están en el intervalo: [4.61, 6.2] .

Polígono de frecuencias

Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1.60 m y la desviación típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1.80 m y vive en una ciudad donde la estatura

media es de 1.70 m y la desviación típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?

La persona A es más alta respecto a sus conciudadanos que la persona B.

Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación típica 1.5.

Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5.

Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?

En el segundo test consigue mayor puntuación.