NIVEL I: BÁSICO

1. Hallar la intersección de la rectas: x+9y–6=0 9x–y–21=0

X+9y=69 9x-y=21 x+9y=6 81x-9y=189 82x=195 x=195 82

2. El punto (-3;5) pertenece a la recta: 3x – 2y + k = 0. Hallar: “k”.

a) 8 b) 2 c) 17 d) 6 e) 19

3 = 5 – y_2 -3 – x

-9 – 3x = 10 - 2y0=3x - 2y +19

El valor de k=19

3. Si la ecuación lineal de la recta L es: 5x+3y–4=0 y el punto (2; k)Pertenece a dicha recta. Hallar: K

a) 0 b) -1 c) -2 d) -3 e) -4

X

Y5

-3

m= y2 – y1 x2 – x1

m= 5 – y -3 - x

X=2.5X=5 2

9x 5 _ y = 21 2 45 – 2y = 42 3 = 2y 3 = y 2

4. Una recta tiene un ángulo de inclinación de 135° y pasa por lo puntos P (5; -1) y Q (k; 3). Hallar “k”.

a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) -2

Solución:

P (5; -1) , Q (k; 3)

m= y2 – y1 x2 –x1

Tg 135º= 3 +1 k – 5 -1 =_4 _ K -5 -k + 5=4 -k=4 -5 -k= -1 K=1

5. Una recta pasa los puntos (-3; 1), (0; 4) y (8;n). Hallar “n”.

a) 6 b) 12 c) 4 d) 8 e) 7

Solución:

m= y2 –y1 X2 –x1m= 4 - 1 0 +3m=1

1= 4 –n 0 -8-8 -4=-n -12 = -n n= 12

6. Hallar la ecuación de la recta “L” que pasa por el punto (1; 2) y que esPerpendicular a la recta:

3x -4y +12 = 0 a) 4y + 3x – 10 = 0 b) 3x – y + 20 = 0 c) x + y – 10 = 0d) 4x + 3y – 10 = 0 e) x + y – 20 = 0

Solución:

m2 =3 4(1; 2) (X; Y)

m=y -2 X -1

3 x y -2 = -1 4 x -1 3y – 6 = -1 4x -4 3y -6 = -4x +44x +3y -6 -4=0

4x +3y -10=0

7. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A (7; 9) y B (-5; 7).

Encontramos el punto medio:

x=7+(−5 )

2x=1 El punto medio es: P (1; 8)

y=9+72y=8

Restamos los puntos para encontrar un punto en la mediatriz:

A−B=¿¿

A−B=(12 ;2)

El vector perpendicular A Y B es la inversa de las coordenadas con signo cambiado al primero:

n=(−2 ;12)

Entonces:

x−x1

nx=y− y2

ny

x−(1)−2

=y−(8)

12

12 x−12=−2 y+16

12 x+2 y−4=0

Simplificamos:

6 x+ y−2=0

8. Hallar el área del triángulo determinado por las rectas de ecuaciones y = x, y = 6, y = 2x.

1. Hallar el área del triángulo determinado por las rectas de ecuaciones y = x, y = 6, y = 2x.

y

(x1,6) 6 (x2 ,6)

x

y = x ; Si y = 6 x2= 6

y = 6

y = 2x ; Si y = 6 x1= 3

Por distancia entre dos puntos: d= √(x¿¿2¿−x1)2−( y2− y1)2¿¿

La base del triangulo es: b= √(6¿−3)2−(6−6)2¿

b = 3

Area del triangulo = bxh2

Area del triangulo = 3x 6

2

Area del triangulo = 9u2

9. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(0;0) y B(-6;-8)

a) x - y + 8 = 0 b) 3x + 2y - 8 = 0 c) 3x - 4y - 25 = 0 d) 3x + 4y + 25 = 0 e) x + y = 0

Encontramos el punto medio:

x=0+(−6)

2x=−3 El punto medio es: P (-3; -4)

y=0+(−8)

2y=−4

Restamos los puntos para encontrar un punto en la mediatriz:

A−B=¿¿

A−B=(6 ;8)

El vector perpendicular A Y B es la inversa de las coordenadas con signo cambiado al primero:

n=(−8;6)

Entonces:

x−x1

nx=y− y2

ny

x−(−3)−8

=y−(−4)

6

6 x+18=−8 y−32

6 x+8 y+50=0

Simplificamos:

3 x+4 y+25=0

y + 3 - 2kx + 8 = 0 m1=¿ −(3−2k )

1

k + 1y - x - 5 = 0 m2=−(−1)(k+1)

Para que sean perpendiculares: m1 x m2 = -1

m2

−(3−2k )1

x −(−1)(k+1)

= -1 −3+2kk+1

= -1

−3+2k=−k−1 3k=2

K = 23

y = -3x - 5 -y = 4x + 2

0 = -7x - 7 x = 1

Y = -8

m2

m2

m2

m2

m2

m2

m2

L1 : 2y - kx - 3 = 0 m1 = −ab

= k2

L2 : k + 1y - 4x + 2 = 0 m2 = −ab

= 4(k+1)

* Como son perpendiculares : m1 x m2=−1

( k2)¿ ) = -1

4 k2k+2

=−1 4k = -2k-2

6k = -2 k = −13

m1=

−132

m1=−16

m2=

4−13

+1

m2=423

m2=6

m1+m2=−16

+6

m1+m2=356