El Amigo Markov
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Cadenas de Markov yTeora de Colas
Cadenas de Markov yTeora de Colas
Carlos F. Belaustegui Goitia
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09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 2
Procesos y Cadenas de MarkovProcesos y Cadenas de Markov
Variables binomial, geomtrica y de Poisson.Variables binomial, geomtrica y de Poisson. Procesos puntuales.Procesos puntuales. Procesos de Markov.Procesos de Markov. Cadenas de Markov. Clasificacin de estados, clases de cadenas, Cadenas de Markov. Clasificacin de estados, clases de cadenas, estado estado
estacionario. Teorema de Perronestacionario. Teorema de Perron--Frobenius.Frobenius. Cadenas de Markov en tiempo continuo. Ecuaciones de balance globCadenas de Markov en tiempo continuo. Ecuaciones de balance global.al. Aplicaciones.Aplicaciones.
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09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 3
VariablesVariables BinomialBinomial y Geomtricay GeomtricaVariable Binomial: La probabilidad de que el eventoA, cuya probabilidad es P(A) = p, ocurra k veces en npruebas es
)!(!!,)1()(
knkn
kn
ppkn
kp knkn
=
=
Separacin entre eventos: sea X= nmero de pruebas hasta el primer xito
1 3 4 8 13 15 21
n=22, k=7
1 3 4 8 13 15 211 2 4 5 11 19 203 5 6 7 12 17 20...............
4 6 8 9 16 21 22
722 combinaciones
pqppnXP
ppXPpXP
nn 11)1()(
)1()2()1(
===
==
==
L
Distribucin geomtrica.X es el nmero de pruebas hasta el primer xito en unasecuencia de pruebas deBernoulli.
Propiedad sin memoria de la distribucin geomtrica
)(
11
11
)()(
)(),()/(
01
11
1
1
1
00
00
0
0
0
0
nnXPpq
qq
q
q
q
q
pq
pqnXPnXP
nXPnXnXPnXnXP
nnn
n
ni
i
n
nk
k
n
===
==
==
>
==
>
>==>=
=
+=
1 3 4 8 13 15 21
X=nX=n
n0
Aplicacin: Proceso de Bernoulli como modelo de flujo ATM
4848553 bytes
1 CC = 2.83 uSec @ 149.76 Mbps
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 4
VariablesVariables BinomialBinomial y dey de PoissonPoissonVariable Binomial: La probabilidad de que el eventoA, cuya probabilidad es P(A) = p, ocurra k veces en npruebas es
)!(!!,)1()(
knkn
kn
ppkn
kp knkn
=
=
Variable de Poisson: Si p
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 5
Puntos dePuntos de PoissonPoisson
Puntos de Poisson: Se colocan al azar n puntos en elintervalo real [0, T)
6 1 5 3 2 9 4 8 7
t1 t2t
T
)(e!)(]),[en puntos (
/0/cte.,,,
/
)1(]),[en puntos (
]),[en punto 1(
,21
21
1221
kpktttkp
tTtnnpaTtpTn
Tn
ppkn
ttkp
Tt
TttpttP
tk
Tnn
knkn
=
===
==
=
=
=
==
Densidad de puntos
ttt, tPlim
ktt
kt
ktkp
ttttp
t
k
t
kt
kt
t
+
=
=
=
])[en punto 1(!)()1(
!)(e
!)()(
)1(e)1(
0
0
0
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 6
Distribucin ExponencialDistribucin Exponencial
Separacin entre puntos: sea X = distancia desdet al primer punto a la derecha de t.
20
1)var(,1e)(
)(e)(
0e1]),[en puntos 0(1
)(1)()(
===
=
=+=
=>==
XdxxXE
xuxf
xxttP
xXPxXPxF
x
xX
xX
t t+xX
Propiedad sin memoria de la distribucin exponencial
)()(e)/(
e1)(1
)()()(
)()(
),()/()/(
00)(
0
)(
0
0
0
0
0
000
0
0
xxfxxuxXxf
xFxFxF
xXPxXxP
xXPxXxXPxXxXPxXxF
Xxx
X
xx
X
XX
X
==
=
=
=
=
==
tX
x0
Los tiempos entre arribos son independientes y distribudos exponencialmente con parmetro
Lo que ocurre despus de t0 es independiente de lo que ocurri antes de t0..
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 7
Relacin entre procesos deRelacin entre procesos deBernoulliBernoulli yy PoissonPoisson
Tiempo discreto Tiempo continuo
Proceso de Bernoulli Proceso de Poisson
Distribucin entre arribos:Geomtrica
Distribucin entre arribos:Exponencial
-
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Ejemplo: ArribosEjemplo: Arribos AleatoriosAleatorios
A B C Darribos
servidor
tiempo
El proceso de arribos es Poisson.Los tiempos entre arribos son independientes y distribuidos exponencialmente con parmetro .
-
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Ejemplo: ModeloEjemplo: Modelo de de Trfico TelefnicoTrfico Telefnico
: tasa de arribos (llamadas/seg)1/: duracin media de la llamada (seg)
20
1)var(,1e)(
)(e)(
===
=
XdxxXE
xuxf
x
xX
t t+xX
Arribos de Poisson Separacin entre arribos exponencial
)/1( =a Trfico (Erlang)
=
==
==
===
L
jj
ii
N
kki
N
kki
i
iihii
tjT
aa
tT
tNT
NTEaii
0
11
1
11)(
t
fTh(t) Th: duracin de la comunicacin(holding time)
)(e)( t tutfhT
=
Fdp experimental
1/
T
tk12
i
L
Tiempo medio de ocupacinde una lnea
Promedio de lneas ocupadas simultneamente
Nmero de ocupaciones simultneasTiempo total en el queexactamente j lneas estn ocupadas
-
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Procesos deProcesos de MarkovMarkov
Proceso de Markov: Es un proceso estocstico cuyo pasado no tiene influencia sobre el futuro si el presente est especificado.
[ ] [ ])(/)()(/)( 111
=0/ ij(n)>0.
Comunicantes: los estados i y j comunican si son accesibles entre s. Se escribe ij. La comunicacin es una relacin de equivalencia: ij, jk ik.
Absorbente: Si es imposible abandonarlo: ii=1. Recurrente: El estado i es recurrente si la probabilidad de regresar
alguna vez a l es 1.
Peridico: Un estado es peridico con perodo d si slo se puede regresar a l despus de d, 2d, ..., nd pasos.
Aperidico o Ergdico: Peridico con perodo d=1. Se puede regresar a l en cualquier momento.
Transitorio: La probabilidad de regresar al estado alguna vez es menor que 1.
=
==
1
1)(n
iii nf
=
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 17
Clases de EstadosClases de Estados
Cerrada: Si desde un estado interior no se puede alcanzar ningn estado exterior a la clase. Un estado absorbente es una clase cerrada con un nico estado.
Irreducible: Clase cerrada tal que ningn subclase propia es cerrada. En otros trminos, la nica clase cerrada es la de todos los estados.
Dos estados pertenecen a un mismo conjunto si se comunican.
Dos clases distintas deben ser disjuntas, pues si existe algn elemento comn, los estados de una clase se pueden comunicar con los de la otra, y as resultan ser de la misma clase.
Clase cerrada
Estados absorbentes
Clase irreducible
Clase reducible
-
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Clases de CadenasClases de Cadenas Irreducible. Definiciones equivalentes:
La que consiste en una nica clase de equivalencia. El nico conjunto cerrado es el de todos los estados.En una cadena irreducible, todos los estados son recurrentes o son todos transitorios. En una cadena irreducible finita, no pueden ser todos los estados transitorios; luego, son todos recurrentes.
Reducible. Opciones:1. Tiene uno o ms estados absorbentes.2. Tiene un subconjunto de estados S1 desde el cual no es posible alcanzar estados fuera de S1.
Absorbente: la que tiene al menos un estado absorbente, accesible desde cualquier otro estado. Aperidica: Todos sus estados son peridicos con perodo 1. Regular: Es posible ir de un estado a cualquier otro en exactamente n pasos: n>0/ (n)= n > 0.
Regular Todos los estados comunican Irreducible
Ergdica: Irreducible, aperidica, recurrente positiva.
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 19
Cadenas AbsorbentesCadenas AbsorbentesUna cadena es absorbente si es posible renombrar sus estados para escribir la matriz de probabilidades de transicin como
=
I0RQ
11 22 33 tt t+1t+1 t+rt+rt+2t+2
1 1 1
t estados transitorios r estados absorbentes
Q
I
R
0
t r
t
r
( ) ( )[ ]
[ ] [ ]
( ) )0()0()(,)()()()1(,)()1(
)()()1()1(
)()()(
1
121
IQnInQ
IQIQQ
IQIQ
IQ
n
nnnn
nn
nnnnn
nnnn
nnn
pRQIpp0p
pRppQppI0RQ
pppp
pppI0
RQI0I0
RIQQQ
+
+=+=+
=++
=
+++=
L
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 20
Cadenas Reducibles e IrreduciblesCadenas Reducibles e IrreduciblesMatrices de Permutacin
P es una matriz de permutacin si exactamente 1 elemento en cada fila y 1 elemento en cada columna es 1 y los restantes son nulos.
MPPPMPPPPP
P
PP
T
T
=
==
=
=
2121
1
,
1det
312
321
,100001010
APPA'APPA permuta las filas de A
permuta las columnas de A
Permuta las filas y columnas de A
Matriz ReducibleA es una matriz reducible (irreducible) si (si no) existe alguna matriz de permutacin P tal que:
==
D0CB
APPA' T
Test: A NN es irreducible sii: ( ) 0AI >+ 1NN
Identidad de NN
Matriz de valores absolutos
Matriz positiva
Permutacin de estados en una cadena de Markov
PP T=' Permutar filas y columnas de equivale a renombrar los estados de la cadena
Cadena ReducibleUna cadena de Markov es reducible si es posible renombrar sus estados para llevar la matriz de probabilidades de transicin a la forma
==
A0RQPP T'
En caso contrario, la cadena de Markov es irreducible.
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 21
Cadenas de Markov y GrafosCadenas de Markov y GrafosGrafo de una cadena
El grafo G() de es el grfico orientado sobre n nodos {N1, N2,..., Nn} en el cual hay un arco orientado de Ni a Nj si y slo si ij0
Cambio de nombre de los nodos
Si P es una matriz de permutacin, ( ) ( )PP GG T =Grafo fuertemente conexo
Para cada par de nodos (Ni, Nj ) existe una secuencia de arcos orientados que conduce de Ni a Nj.
Para cada par de nodos (Ni, Nj ) existe una secuencia de arcos orientados que conduce de Ni a Nj. es irreducible
es irreducible
Todos los estados comunican. La cadena consiste en una nica clase de equivalencia.
Todos los estados comunican. La cadena consiste en una nica clase de equivalencia.
Clase irreducible
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 22
Descomposicin Espectral de una Matriz Descomposicin Espectral de una Matriz Ann es diagonalizable cuando tiene un conjunto completo de autovectores linealmente independientes.
( ) ( )
ijiTj
iTi
jiiTj
iTjji
Tj
Tjj
Tj
iTjii
Tjiii
T
Tii
Tiiii
Tiii
=
=
==
==
=
==
=
vuvu
vuvuAvuuAu
vuAvuvAv
IAIAuAuuuA
vAv
0
si 0
detdet
Autovector derecho
Autovector izquierdo
A y AT tienen iguales autovalores
Autovectores derecho e izquierdo son biortogonales
Normalizacin[ ] [ ]
( )
( )Tii
n
ii
T
TTTTTT
n
nn
diag
uvUVVVA
IVUVUUAUUAU
AVVVAV
uuUvvV
=
===
==
==
==
=
==
1
1
11
1
1
11
,,,
KLL Conjunto completo de autovectores
l.i. A es diagonalizable
Descomposicin espectral
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 23
Teorema de PerronTeorema de Perron--FrobeniusFrobenius
Matriz primitivaA0, irreducible es primitiva si tiene un nico autovalor r = (A) de mdulo mximo (es decir, un nico autovalor sobre el crculo espectral).A0, irreducible es imprimitiva de ndice h si tiene h autovalores de mdulo mximo.Test de Frobenius: A0 es primitiva sii Am>0 para algn m1.Test de Wielandt: A0 nxn es primitiva sii 0A >+ 22
2 nn
Teorema de Perron-FrobeniusSi A0 es irreducible, entonces
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) 1mult geo1mult algmult geo1 :
:1)(mult alg
0
===>
=
>
AAAAxAAx0x
AA
AA
El radio espectral es un autovalor de AEl radio espectral es positivo
El radio espectral es un autovalor simple AEl autovector asociado al radio espectral es positivo.
No existen otros autovectores no negativos aparte de x: Vector de PerronEl autovector asociado al radio espectral es nico.
( ) TT A yAy = El vector izquierdo de Perron tiene la misma propiedad.
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 24
Matrices primitivas e imprimitivasMatrices primitivas e imprimitivasSi A0 es irreducible e imprimitiva de ndice h, entonces tiene h autovalores sobre el crculo espectral.
{ }hi
AS
i
h
,,2,11mult alg,,),( 21
KK==
==
Teorema: Los h autovalores de A sobre el crculo espectral, son las races de orden h de (A)
=
= 1,,1,0:2exp)( hk
hikS K A
En este caso, A/r no es convergente, pero es sumable Cesro:
Tk
k krr
11
1)/()/(lim yxAAI =+++
L
Si A0 es irreducible y primitiva, entonces tiene un nico autovalor r = (A) sobre el crculo espectral.
{ }
( ) Tkk
k
k
n
i
Tiii
n
i
TTiii
Tjj
Tj
iii
i
n
r
nir
r
11
2111
1
21
/limlim
,,21,,,1)()(,1)(/
)(
yxAB
yxyxyxB
yByxBx
BBBABA
==
+==
=
=
==
>
iii
Tii
ni
Tni
Tiii
T
uv1p
uv1p
-
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Cadenas irreducibles y peridicasCadenas irreducibles y peridicasMatriz irreducible e imprimitiva
TTTTTT
k
Tk
k
kk
k
p1ppppp
1pI
==+++
=++
)0()1()1()0(lim
lim1
L
L
Interpretacin
( )jTj
k
n
Tk
nj
k
nn
jnnnn
k
nn
k
nn
n
knknpkZE
npZPZPZPZE
kjkZ
kjZ
jnZ
jZ
pp =
==
====+==
=
=
=
=
=
=
=
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
/)(/)(/
)()1()0(0)1(1)(
. tiempodel antes visitadoes estado el que vecesdefraccin :/
. tiempodel antes estado al visitasde nmero :
no si 0 es en tiempo estado el si 1
,no si 0
es inicial estado el si 1
La fraccin de tiempo a largo plazo que la cadena pasa en j es pj : componente j del vector de Perron pT. La interpretacin vale tambin cuando la matriz es primitiva y existe un estado estacionario.
Forma cannica de Frobenius para matrices imprimitivasSi es imprimitiva de orden h>1, entonces existe una permutacin tal que
=
000000
000000
PP
LL
MOOMMLL
1
1
23
12
h
,hh
T
La cadena es peridica de perodo h.
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 27
Cadenas reducibles (1)Cadenas reducibles (1)Cadena ReducibleUna cadena de Markov es reducible si es posible renombrar sus estados para llevar la matriz de probabilidades de transicin a la forma
==
++
++
++
++
++
mm
rr
rr
rmrrrrrr
mrrr
mrrrr
kk
k
k
T
00000
000000000000
0
X00
XX0XXX
W00VU0TSR
Z0YX
Z0YXPP
LLMOMMMLMM
LLLLLL
MLMMMLMMLLLL
LMOMM
LL
L
2,2
1,1
2,1,
22,21,2222
12,11,11211
222
11211
'
Si X o Z es reducible
Si R, U o W es reducible, etc.
Cada Xii es irreducible o [0]1x1.
Cada ii es irreducible o [0]1x1i-sima clase transitoria: cuando se la abandona, no se regresa a ella
Cada r+j,r+j es irreducible.j-sima clase ergdica. Cada clase ergdica es una cadena irreducible en s misma
Forma cannica para matrices reducibles
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 28
Cadenas reducibles (2)Cadenas reducibles (2)
++
++
++
++
++
22
1211
2,2
1,1
2,1,
22,21,2222
12,11,11211
0
00000
000000000000
0
mm
rr
rr
rmrrrrrr
mrrr
mrrrr
LLMOMMMLMM
LLLLLL
MLMMMLMMLLLL
Cada r+j,r+j es irreducible.j-sima clase ergdica. Cada clase ergdica es una cadena irreducible en s mismaLos autovalores unitarios de cada r+j,r+j son simples y son races de la unidad.Los autovalores unitarios de son el conjunto de los autovalores unitarios de las submatrices r+j,r+j .Pueden estar repetidos por aparecer en ms e una submatriz r+j,r+j .
Cada ii es irreducible o [0]1x1i-sima clase transitoria: cuando se la abandona, no se regresa a ella
1)(nulos no ,, bloqueshay porque
pero ,1)(
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 29
Cadenas reducibles (3)Cadenas reducibles (3)
++
++
++
++
++
22
1211
2,2
1,1
2,1,
22,21,2222
12,11,11211
0
00000
000000000000
0
mm
rr
rr
rmrrrrrr
mrrr
mrrrr
LLMOMMMLMM
LLLLLL
MLMMMLMMLLLL
Cada r+j,r+j es irreducible.j-sima clase ergdica. Cada clase ergdica es una cadena irreducible en s misma.Toda cadena reducible eventualmente queda absorbida en una clase ergdica.Si r+j,r+j es primitiva, la cadena llega a un estado estacionario determinado por el vector izquierdo de Perron de r+j,r+j .Si r+j,r+j es imprimitiva, la cadena oscila en la clase ergdica para siempre.
( )
( )
=
=+++
L0LI0
L0LI0I
121
11
121
111
lim
lim
k
k
k
k kL Siempre
Sii todas las submatrices de 22son primitivas
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 30
Valor medio y autocorrelacin en la cadena de Markov (t. discretValor medio y autocorrelacin en la cadena de Markov (t. discreto)o)
[ ][ ]
1yxp
xpxp
yyy
x
1p
pppp
TTXnX
nTT
iiinX
n
TNN
TN
Tn
n
n
kTT
nmm
nnpxXEnm
nnpxnpxnpxn
xxx
nnkn
===
====
=
=
=
=
=
=+
)(lim
)0()()()()(
)(lim)()()()(
lim
)(lim)()(
2211
21
LL
( )( ) 222
2
2
222
)()0(
)()(
)(
)()()()(),(
)()(
)()(
)()/(
),()(),(
XXTTTTT
TkTX
XTT
k
kT
Xni
iiT
kT
n
kT
iiji j
ji
i jnnknji
i jnknjiknn
mXECmkRkC
mkR
nmXExnpnnnR
kRn
npkxx
iXPiXjXPxx
iXjXPxxXXEknnR
====
==
==
====
==
==
====
=====+
+
++
x1pyxyx1pIyx1py
x1pyxy
xy
xyxy
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 31
Cadenas deCadenas de MarkovMarkov en Tiempo Continuo en Tiempo Continuo
ai
aj
t1 t2
ij(t1, t2)
Puntos de Poisson
Cadena de Markov en tiempo continuo: Los cambios deestado ocurren en los puntos aleatorios Tn.
),(),(),(),()()(
),(
322131
2122
21
tttttttttt
ttTT
=
=
=
pp11
Propiedades bsicas
Cadenas homogneas
)()()(, 2312
=+== tttt
Ecuaciones de Kolmogorov
)0()()()()()(
)()()()()()(
&&&&
tttt
ddt
dtd
tt
=
=+
=
+
=+
)()(
)0()(0
tt
lim
=
+==+
&
&&
Matriz de velocidadde cambio de la probabilidad de transicin
Solucin
t
t
e)0()()0()(e)(
TTT ttt
ppp ===
==
100
010001
)0(
LLLLL
LL
I
Condicin inicial
)()()0()()0()()()0()(
tttttt
TTTT
TT
pppppp
===
=
&&
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 32
Ecuaciones de Balance GlobalEcuaciones de Balance GlobalSolucin en estado estacionario
1
0)(cte.)(
=
=
===
1p0p
ppp
T
T
tt
&Sistema de ecuaciones homogneas
Condicin adicionalp
===
==
jijijj
iji
iji
jijjjiji
iiji ppp
01
0
Ecuaciones de balance global
=
jiijiji
jij pp
Flujo de velocidad de probabilidadsaliente de jFlujo de velocidad de probabilidadsaliente de j
Flujo de velocidad de probabilidadentrante a jFlujo de velocidad de probabilidadentrante a j
ii jj
ij
ji
ll
kk
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 33
Evolucin de la cadena en tiempo continuoEvolucin de la cadena en tiempo continuo
0p010111
ppp
=
=
=
=
==
=
T
tt
ttt
)()(
e)0()()0()(e)(
t
t
&[ ] [ ]
T
t
Tii
i
tTTii
i
tt
N
Tii
ii
i
Tii
ki
k
TNN
ijjTi
Tii
Ti
iii
ii
ff
1puv1puv
uv
uvIVU
vvVuuUvu
uuvv
=+==
>>>=
=
=
=
==
=
=
=
>
1
21
11
eee
0
)()(
,
L
LL
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 34
Valor medio y autocorrelacin en la cadena de Markov (t. continuValor medio y autocorrelacin en la cadena de Markov (t. continuo)o)
( )( )
[ ][ ]
1yxp
xpxp
yyy
x
1p
ppppp
TTXtX
TT
iiiX
t
TNN
TN
T
t
t
TTT
tmm
tttpxtXEtm
ttpxtpxtpxt
xxx
t
tttt
tt
===
====
=
=
=
=
=
==+
=
)(lim
)()0()()())(()(
)(lim)()()()(
)(lim
)(limexp)()()()(
exp)(
2211
21
LL
( )( ) 222
2
2
222
121
112
122121
)()0()()()(
)()(
)())(()()(),(
)(e)()()(
)()(),(
)(),(
))(())(/)((
))(,)(())()((),(
XXTTTTT
TTX
XTT
k
T
Xi
iiT
TT
n
T
iiji j
ji
iiji j
ji
i jji
i jji
mXECmRC
mR
tmtXExtptttR
Rt
tpxxtR
tpttxx
itXPitXjtXPxx
itXjtXPxxtXtXEttR
====
==
==
====
===
==
==
====
=====
x1pyxyx1pIyx1py
x1pyxy
xy
xyxyxy
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 35
Ejemplo : Proceso de PoissonEjemplo : Proceso de Poisson
=+=
=
==
====
LLLLLLL
&
LLLLLLLLL
000
0
)0(
ee00!2/e)(ee0
!2/e)(ee
e)!(
)(]],0[en puntos [
])0(/)([)(
t
t2t
t2t
t
t
tttt
ijttijP
iXjtXPt
t
t
t
ij
ij Otra forma de obtener la matriz ::::
+
===
==+==
==
==>=====
e1)(][
])0(/1)([)(
e)(1
][1][])0(/)([)(
1
1
1
1,
11
T
ii
T
ii
FTP
iXiXP
F
TPTPiXiXP
==
==
++ )0()0(
1,1, iiii
iiii
&&
Solucin de )()( tt pp =&
t1
11101
000
e!)()()()()(
e)()(e)()()(
e)()()(
==
===
==
nttptptptp
ttptptptptp
tptptp
n
nnnn
tt
t
&
L&&
]001[)0( L=p Condicininicial
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 36
Ejemplo : Seal binaria aleatoriaEjemplo : Seal binaria aleatoria
-aa
b-b10
Puntos de Poisson
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ][ ]
+=
+=
=+
=
=
=
+
+
+
++
+
=
==
=
=====
=====
++
++
baap
babp
ppbpap
baba
bab
baa
baab
bbaa
PXXPPXXP
T
T
tbatba
tbatba
t
bb
aa
b
a
1
0
10
10
)()(
)()(
10
01
11
ee1
e1e
e
)0(
ee1e1e
)(
e1]`[0,en punto 11)0(/0)()(
e1]`[0,en punto 10)0(/1)()(
1p0p
&
[ ]
( )
)(22
)(2
2
e
ee)(
))((
0
10
baXX
batT
T
T
T
mba
abba
aR
baatXE
baa
baa
bab
+
+
+=
++
+==
+==
+
=
++
=
=
xy
xp
y
p
x
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 37
Clientes atendidos de a uno por vez en orden de llegadaTiempo entre arribos distribuido exponencialmente con parmetro .Tiempo de servicio de un cliente distribuido exponencialmente con parmetro .
Ejemplo: Cola M/M/1 (1)Ejemplo: Cola M/M/1 (1)
)()(1eeee
])[0,en partida 1y arribo 1(])[0,en partida 0y arribo 0(
))0(/)(()()(e)()] en[0, partida 1(
))0(/1)(()()(!2/e)()][0,en arribo 2(
))0(/2)(()()(e)()][0,en arribo 1(
))0(/1)(()(
1,
2
2,
1,
o
PPjXjXP
oP
jXjXPoP
jXjXPoP
jXjXP
jj
jj
jj
jj
+++=
=++=
====
+==
====
==
==+==
+==
==+==
+
+
L
,...2,10)(00
)(0)(
0
)0(
11
10
==++
==+
=
+
+
==
+ jpppjpp
jjj
0p
LLLLLLL
&
,...2,1)(0
11
01
=+=+
==
+ jpppjpp
jjj
Flujo entrante Flujo saliente
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 38
Ejemplo: Cola M/M/1 (2)Ejemplo: Cola M/M/1 (2)
00 11 jj22 j+1j+1
111
10 0cte.1cte.
0+
+
=
===
jjjjjj
ppjpppp
pp
,...2,1)(
0
11
01
=+=+
==
+ jpppjpp
jjj
jj
j j
jj
nj
jjj
pppp
pp
ppp
)1(1
1
)/(
0
0
00
0
11
=
===
=
==
=
=
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 39
NjppNjppp
jpp
NNNN
jjjjjjj
==
=+=+
==
++
1- ,...,2,1)(0
11
1111
0011
Transiciones limitadas a estados adyacentes.Los arribos ocurren como un proceso de Poisson de tasa . Los tiempos entre arribos son vv.aa. exponenciales iid con media 1/ .El tiempo entre desapariciones est distribuido exponencialmente con media 1/ .
Ecuaciones de balance global
Solucin de las ecuaciones de balance global
00 11 jj22 j+1j+10 1 2 j-1 j N-1
1 N2 3 j j+1NN
NjppNjcteppp
jpp
NNNN
jjjjjjj
==
===++
==
++
0
1- ,...,2,10.)(00
11
1111
0011
0
1
1
01
1 ppp i
ii
i
ii
ii
ii
=
=
==
Ejemplo: Proceso de Nacimiento y Muerte GeneralEjemplo: Proceso de Nacimiento y Muerte General
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 40
Modelo para voz en paquetes.Duracin del intervalo de silencio: fdp exponencial, 1/ = 600 mseg.Duracin del intervalo de habla: fdp exponencial, 1/ = 400 mseg.
=
=
=
=
==
==
N
ii
ii
i
ii
i
ii
ii
ii
p
iiN
ppp
0
0
1
1
01
1
1
,)(
Ejemplo: Proceso deEjemplo: Proceso de PoissonPoisson Modulado porModulado por MarkovMarkov (MMPP)(MMPP)
00 11 jj22 j+1j+1 (1) (j)
N2 (j+1)NN
110
0101
=+
==
pp
pppp
4.0
6.0
1
0
=
+=
=
+=
p
p
Modelo para una fuente nica
00 11
hablasilencio
V paquetes/seg
Modelo para N fuentes
( )2)var(
)(
1
+=
+=
+
+
=
+
=
Ni
NiE
iN
iN
piNiNi
i
Probabilidad que i fuentes entre N estn activas
Nmero medio de fuentes activas
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 41
Aplicacin: Multiplexado Estadstico de VozDescribe el comportamiento de multiplicadores de tramas (DCME).Prxima generacin de DCME soportada por AAL2.Duracin del intervalo de silencio: fdp exponencial, 1/ = 600 mseg.Duracin del intervalo de habla: fdp exponencial, 1/ = 400 mseg.
Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de voz (1)Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de voz (1)
10
1
10
01
)var()(
4.0,6.0
pNpiNpiE
pp
ppiN
iN
p iNiiNi
i
=
=
=
+==
+=
=
+
+
=
Probabilidad que i fuentes
entre N estn activas
N fuentesde voz
Capacidad del canal:C canales de voz
equivalentes
MUXEstadstico
kNkN
k
kNkN
k
ppkn
CkNp
pCNF
CkCkCk
kr
ppkn
kr
pCNF
=
=
=
>
=
=
=
)1()(1),,(
0)(
)1()( recortado trficode Promedio
total trficode Promediorecortado trficode Promedio),,(
011
0
1
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 42
N fuentesde voz
Capacidad del canal:C canales de voz
equivalentes
MUXEstadstico
kNkN
kpp
kn
CkNp
pCNF =
= )1()(1),,(01
1
Freeze Out Fraction
Freeze Out Fraction
0
5
10
15
20
25
30
0 10 20 30 40 50 60
Nmero de Fuentes de Voz (N)
C
a
p
a
c
i
d
a
d
d
e
l
C
a
n
a
l
(
C
)
0.1 %0.5 %1.0 %5.0 %10.0 %
Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de voz (2)Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de voz (2)
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 43
Aplicacin: Multiplexado Estadstico de DatosCaracterizacin de una fuenteDuracin del intervalo OFF: fdp exponencial, 1/ = tOFF.Duracin del intervalo ON: fdp exponencial, 1/ = tON.Burstiness: vel. pico/vel. promedio.
Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de datos (1)Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de datos (1)
N fuentes Capacidad del canal:C canalesVelocidad del canal: rC
MUXEstadstico
rprm
Entradas
rc
Rfaga perdida o retrasada
1///
/1//)(
)(1)(1
1
1
0
>==
=
=
==
==
===
NrNrGrrCCNG
prrbrrpONP
ONPrtrT
dttrT
r
cppc
mp
pm
pi
ONip
T
m
Probabilidad de actividad de la fuente
Burstiness
Ganancia de multiplexado estadstico
Se debe cumplir la condicin de estabilidad:
1
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 44
Probabilidad que i fuentes entre N estn activas
/4)1(21
21
/110
/1)1(
)()1()var(
)(
,
121
1
111
111
11
1
10
01
+
=
+=
=
+
=
=
=
+=
+=
=
+
+
=
pp
Np
NppNp
CpNpNpC
QPpNpi
NpiE
pp
ppiN
iN
p
L
iNiiNi
i
Probabilidad de prdida
Nmero de canales para la prob. de prdida PL
Np1
)1( 11 pNp
i
pi
CAproximacin gaussiana a la distribucin binomial
Throughput normalizado
[ ]1
2
112
1
)/(
1/4)1(4
Gpr
Grr
rrGrr
NrS
ppp
NG
p
m
c
mpc
c
m====
+==
Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de datos (2)Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de datos (2)
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 45
[ ]21121
1/4)1(4
ppp
NG +== 1
)/(Gp
rGr
rrrGr
rNrS
p
m
c
mpc
c
m====
Ganancia de Multiplexado Estadstico
0.002.004.006.008.00
10.0012.0014.0016.00
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Relacin vel. pico/vel. enlace
G
a
n
a
n
c
i
a
b=2b=4b=6b=8b=10b=12b=14b=16b=18b=20
Throughput Normalizado
0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Relacin vel. pico/vel. enlace
T
h
r
o
u
g
h
p
u
t
b=2b=4b=8b=12b=16b=20
Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de datos (3)Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de datos (3)
Prob. prdida = 10-6
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 46
Ganancia de Multiplexado Estadstico
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Relacin vel. pico/vel. enlace
G
a
n
a
n
c
i
a
Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de datos (4)Ejemplo : Modelo MMPP del multiplexado estadstico de datos (4)
b=32
16
24
12
62
N=30
25
10
15
20
[ ]
NG
ppp
G
=
+=2
112
1
1/4)1(4
Prob. prdida 10-2Solucin simultnea de las ecuaciones
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 47
Utilidad de los modelos de MarkovUtilidad de los modelos de Markov
El modelo de Poisson es apropiado si hay un gran nmero de usuarios similares e independientes.
Si se combinan n procesos de arribos iid, no necesariamente Poisson de tasa /n,
La tasa de arribos del agregado es . El proceso agregado se aproxima a un
proceso de Poisson de tasa cuando n en condiciones bastante amplias.
PASTA: Poisson Arrivals See Time Averages
La distribucin exponencial no tiene memoria.
Lo que ocurre despus del tiempo t es independiente de lo que ocurri antes de t.
El conocimiento del pasado no sirve para predecir el futuro.
Para los tiempos de servicio:P(s>r+t / s>t) = P(s>r)
El tiempo adicional necesario para completar el servicio del cliente que est siendo atendido, es independiente de cundo comenz el servicio.
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 48
Teora de ColasTeora de Colas
Teorema de Little Cola M/M/1 Cola M/M/1/K Cola M/M/c. Frmula Erlang-C Cola M/M/c/c. Frmula Erlang-B Cola M/M/N/N/N
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 49
IntroduccinIntroduccin
Teora de Colas: Tipos de problemas y soluciones. Introduccin a las colas de espera. Fundamentos: Probabilidad, estadstica, procesos
aleatorios.
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 50
Tipos de problemas y soluciones (1)Tipos de problemas y soluciones (1)
El modelo de una cola de espera generalmente se usa para representar un sistema de recursos compartidos.
Usuario 1Usuario 1
Usuario NUsuario N
Recursos compartidosRecursos compartidos
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 51
Tipos de problemas y soluciones (2)Tipos de problemas y soluciones (2)Flujo entrante Flujo salienteServidorColaClientes que arriban Lnea de espera Cabeza de lnea Clientes atendidos
Bloqueo, prdida o desborde
Concepto bsico:Los clientes llegan para ser atendidos. Si todos los servidores estn ocupados, el cliente espera en la cola y es atendido despus.Parmetros: tasa de arribos, velocidad de atencin, nmero de servidores, capacidad de la cola...Medidas: tiempo de espera, utilizacin de los servidores, tamao de la cola, probabilidad de rechazo...
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 52
Ejemplos Ejemplos
ServidorClientesSistema
Web serverRequerimientos de clienteServicios Web
Medio (FO, UTP, RF)Paquetes o tramasRed de acceso mltiple (LAN, LAN inalmbrica)
CanalesLlamadasConmutador de circuitos
Enlace de comunicacionesPaquetes o celdasMUX estadstico
CPU, disco, dispositivos I/O, bus...
Programas o procesosProcesador
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 53
Objetivos y mtodosObjetivos y mtodos
Predecir la performance del sistema.
Determinar cmo 9 Dimensionar el sistema (ancho de
banda)9 Controlar la entrada
para obtener la performancerequerida, en trminos de:9 Grado de servicio (GoS)9 Retardo
Anlisis de un modelo matemtico.
Simulacin.
Medicin de sistemas reales.
Objetivos Mtodo
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 54
FactoresFactores
Bsicos Tasa de arribos. Tiempo de servicio. Nmero de servidores. Longitud mxima de la cola (tamao del buffer).Otros Tamao de la poblacin. Disciplina de servicio (FCFS, LCFS, prioridades, vacaciones). Modelo de carga de trabajo (trfico). Comportamiento del cliente: Desistir, abandonar, ...
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 55
Modelos de trficoModelos de trfico
Voz
Video CBR
Datos en paquetes
Imgenes
Video VBR
Dificultad del modelo
Modelos de trfico
Dependencia de corto alcance
Dependencia de largo alcance
PoissonModelos de regresin
F-ARIMA (Fractional AutoRegressive Integrated Moving Average)FBM (Fractional Brownian Motion)...
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 56
Tasa de arribosTamao del Buffer
Tasa de servicio
Paquetes/seg
= R/8LPaquetes/seg
B paquetesL bytes/paquete
Velocidad de TransmisinR bits/seg
Modelo de Modelo de switchswitch o de o de routerrouterLink
Port Port
Router / Switch Router / Switch
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 57
Componentes del RetardoComponentes del Retardo
Procesamiento:Tiempo desde que el paquete es recibido hasta que se le asigna un enlace de salida.
Cola: Tiempo desde que al paquete se le asigna un enlace de salida hasta que comienza la transmisin (tiempo de espera).
Transmisin:Tiempo entre la transmisin del primer bit y el ltimo bit del paquete.
Propagacin: Tiempo desde que el ltimo bit es transmitido por la fuente hasta que el ltimo bit es recibido por el receptor.
Dependen de la carga de trfico y el tamao de los paquetes
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 58
Tipos de ColasTipos de Colas
A / S / M / K / N / QA / S / M / K / N / QDisciplina de servicio:FIFO, LIFO, prioridad,...
Tamao de la poblacin.Puede ser finito o infinito.
Tamao mximo de la cola,longitud del buffer o capacidad de almacenamiento.Nmero de servidores
Distribucin del tiempo de servicio:M: exponencial (Markov)D: determinstica (constante)G: General
Distribucin del tiempo entre arribos:M: exponencial (Markov)D: determinstica (constante)G: General
Notacin de Kendall
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 59
Teora de ColasTeora de Colas
Teorema de Little Cola M/M/1 Cola M/M/1/K Cola M/M/c. Frmula Erlang-C Cola M/M/c/c. Frmula Erlang-B Cola M/M/N/N/N
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 60
Teorema deTeorema de LittleLittle
T1
T2
Tk
A(t): arribos
D(t): partidas
N(t)=A(t)-D(t): nmero de clientes en el sistema t
tT
Tk
TA
kk
T TA
kkT
T TA
kk
TTTAT
TATTAT
TdttN
TtN
TdttN
)()(
1)(1)(1)(
)(
)(
10
)(
1
0
)(
1
====
=
==
=
TTTA )( =
TkTT TtN )( =
)()( TENE =
Nmero medio de clientesen el sistema
Tasa de arribos
Tiempo medio depermanencia en elsistema
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 61
Teorema deTeorema de LittleLittle: Aplicacin: Aplicacin
Little means a lot!)()(
)()(
TENEWENE q
=
=
Flujo entrante Flujo salienteServidorCola
TTiempo en el sistema
o retardo
Clientes que arriban Lnea de espera Cabeza de lnea Clientes atendidos
clientes/seg Tiempo medio de servicio:E(S) = 1/ seg/cliente
Nqclientes en la cola
WTiempo de espera
en la cola
STiempo de
servicioN
clientes en el sistema
+=
=+=
+=
+=
)(
/)()(/1)()(
q
q
NENENEWETE
SWT
=
=
+=+=
===
11
/1)(
/1)(/1)()()(/)()/1)(()(
TE
TEWETETETENEWE
++E(W)
E(T)1/
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 62
Tipos de ColasTipos de Colas
A / S / M / K / N / QA / S / M / K / N / QDisciplina de servicio:FIFO, LIFO, prioridad,...
Tamao de la poblacin.Puede ser finito o infinito.
Tamao mximo de la cola,longitud del buffer o capacidad de almacenamiento.Nmero de servidores
Distribucin del tiempo de servicio:M: exponencial (Markov)D: determinstica (constante)G: General
Distribucin del tiempo entre arribos:M: exponencial (Markov)D: determinstica (constante)G: General
Notacin de Kendall
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 63
Cola M/M/1 (1)Cola M/M/1 (1)
00 11 jj22 j+1j+1
,...2,1)(0
11
01
=+=+
==
+ jpppjpp
jjj
Sistema de un nico servidor.Clientes atendidos de a uno por vez en orden de llegada.Los clientes arriban como un proceso de Poisson de tasa . Los tiempos entre arribos son vv.aa. exponenciales iid con media 1/ .Tiempo de servicio de un cliente distribuido exponencialmente con media 1/ .El sistema puede acomodar un nmero ilimitado de clientes.
Ecuaciones de balance global
Solucin de las ecuaciones de balance global
s
ss
qq
N
jj
NPpP
SNNE
SWNNE
SSSSTWWE
SENETTE
NNNE
jtNPp
=
=
====
=
===
=
===
=
=
=
===
==
==
===
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 64
Cola M/M/1 (2)Cola M/M/1 (2)
E(N) E(T)
=
1)(NE
=
=
1/1
1)()( SETE
0
5
10
15
20
0 0,2 0,4 0,6 0,8 10
5
10
15
20
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 65
Aplicacin: Multiplexado de trficoAplicacin: Multiplexado de trfico
FDM, TDM Estadstico
Capacidad de transmisin del canal: C bit/seg.M flujos de trfico de Poisson de tasa /M comparten el canal.Longitud de paquetes distribuida exponencialmente con media L.
/M
/M
/M
C/M
C/M
C/M
/M
/M
/M
C
Retardo de transmisin del canal
=
=
==
MMM
T
MLMC
i
//1
/
CL
=
1
=
=
1T
LC
Los paquetes de cada flujo se combinan en una sola cola y se transmiten con un ordenamiento FCFS.
Se crean M canales separados, cada uno de capacidad C/M.En FDM, el retardo de transmisin es ML/C.En TDM, el retardo de transmisin es ML/C si el paquete es mucho ms largo que 1 TS. Si L = 1 TS, el retardo de transmisin es L/C, pero debe esperar (M-1) tiempos de TS entre transmisiones.
Un paquete tarda M veces ms en la cola y en ser servido en TDM o FDM, que en multiplexado estadstico.Sin embargo, lavarianza del retardo es menor en TDM o FDM.TDM y FDM malgastan capacidad del canal cuando un flujo no tiene trfico, pero eliminan la necesidad de identificar a qu flujo pertenece cada paquete.
Un paquete tarda M veces ms en la cola y en ser servido en TDM o FDM, que en multiplexado estadstico.Sin embargo, lavarianza del retardo es menor en TDM o FDM.TDM y FDM malgastan capacidad del canal cuando un flujo no tiene trfico, pero eliminan la necesidad de identificar a qu flujo pertenece cada paquete.
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09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 66
Cola M/M/1/K (1)Cola M/M/1/K (1)Cola M/M/1 con capacidad finita. El sistema puedecontener hasta K clientes. Los que llegan cuando el sistema est lleno, son devueltos.
00 11 K-1K-122 KK
KjppKjppp
jpp
KK
jjj
==
=+=+
==
+
1
11
10
1.,2,1)(0
L
Kjppp
pppj
KjKK
jj
jjj
,,01
1
111 1
1
00
01
L=
=
==
==
++
=
0 K KK 00
1pjpj
pj
K
K
K
K
BA
K
K
KAA
BBA
BB
KKKB
K
K
KP
NENETE
pSENE
SENEP
P
pKNPP
KNE
+
=
==
===
==
==
=
====
+
=
+
+
+
+
+
+
11
1)1(
111
)1()()()(
111)1()()(
)()()1(
11)(
1)1(
1)(
1
1
1
1
1
1
Probabilidad de bloqueo
Tasa efectiva de arribos
Carga ofrecida
Carga satisfecha
Tasa de rechazos
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 67
Cola M/M/1/K (2)Cola M/M/1/K (2)
11 11
11
++
=
= K
K
K
K
A
K
K
K
KKTE
+
=
+
+ 11
1)1(
111)(
1
1
A/ E(T)
/)( AANE =
0
2
4
6
8
10
0 0,5 1 1,5 20
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 0,5 1 1,5 2
K=2
K=10 K=10
K=2
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 68
Ejemplo: Dimensionamiento de un Ejemplo: Dimensionamiento de un bufferbuffer
)1(
11)( 1
BBA
BB
KKKB
PP
pKNPP
==
=
====+
Probabilidad de "overflow"
1,00E-10
1,00E-09
1,00E-08
1,00E-07
1,00E-06
1,00E-05
1,00E-04
1,00E-03
1,00E-02
1,00E-01
1,00E+00
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tamao del buffer
P
(
o
v
e
r
f
l
o
w
)
0.50.70.80.9
Capacidad del buffer requerida
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Carga ofrecidaC
a
p
a
c
i
d
a
d
= 0.9
0.7
0.8
0.5
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 69
Cola M/M/c (1)Cola M/M/c (1)El nmero de servidores es c. La tasa de partidas es k cuandok servidores estn ocupados, pues:
>=
=>=>
=
ckcckk
tTPtTPtTTminPtTP
TTT
kk
k
k
partidas de tasaocupados servidoresk
eee
)()(]),,([)(
),min( partida prxima la hasta tiempoocupados servidoresk
ttt1
1
1
LL
LL
00 11 c-1c-122
2 3 (c-1)cc
cc+1c+1
c c
1)(,,1)()1(
0
11
11
10
++=+=+=++
==
+
+
cjpcpcpcjpjpjp
jpp
jjj
jjj
L
1///
11
!!
1!
,,0!
11
00
0
0
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 70
Cola M/M/c (2)Cola M/M/c (2)
aNEWETENE
acacCSEWETE
acacC
cacCNEWE
acCpcjpcjNE
ca
ja
caacC
acCppcNPWP
q
q
cjc
cj
cjjq
c
j
cjc
cj
cc
cj
+=+==
+
=+=
=
==
===
+
=
=
===>
=
=
=
=
)()()()(
1)(
),()()()(
)(),(),()()(
),(1
)()()(
11
!!!11),(
),(1
)()0(
11
0
Probabilidad de encontrar todos los c servidores ocupados y tener que esperar en la cola: frmula Erlang C.
Nmero medio de clientes en la cola.
Tiempo medio de espera en la cola.
Tiempo medio total en el sistema (retardo).
Nmero medio de clientes en el sistema.
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 71
Frmula ErlangFrmula Erlang--CC
11
0 11
!!!11),(
=
+
= cj
cjc
ca
ja
caacC
Probabilidad de encontrar todos los c servidores ocupados y tener que esperar en la cola: frmula Erlang C.
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 72
Frmula ErlangFrmula Erlang--C: Tiempo de espera C: Tiempo de espera
)(),(),()()(
acacC
cacCNEWE q
=
==
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 73
Ejemplo: Ejemplo: Call CenterCall CenterEjemplo
Un call center recibe 600 llamadas por hora, con una duracin media de 3. El operador trabaja durante 20 despus de cada llamada. Se quiere que el tiempo medio de espera sea 20. Obtener el nmero de operadores necesario.
a = (600/3600) (360+20) = 33.33 ErlangE(W) = 20/(360) = 0.111 (Tiempo de espera normalizado)E(W) =C(c,a)/(c-a)0.111 = C(c,33.33)/(c-33.33) c = 36 operadores.
-
09/11/2003 C.F. Belaustegui Goitia - Cadenas de Markov y Teora de Colas 74
Ejemplo: Retardo en acceso DVBEjemplo: Retardo en acceso DVB--RCSRCS
DVB-S BASIC ACCESS PROFILE BA1 BA2 BA3 BA4 BA5 BA6 BA7 BA8Forward max (Kbps) 256 256 256 512 1024 2048 4096 4096Forward min (Kbps) 8 16 32 64 128 256 512 1024Return max (Kbps) 16 32 64 128 256 512 1028 1028Return min (Kbps) 2 4 8 16 32 64 128 256Unav/month (%) 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1Activity MBH (%) 20 20 20 25 25 25 30 30
Internet access (browsing) Assumptions:Users: 1000Internet usage/month/user 20 hDay-to month ratio 1/20BH-to-day ratio 1/10
Pages/session 36Page size 50 KbytePage delivery time 2 secPage view time 60 secMean upstream packet length 80 ByteMean downstream packet length 560 ByteSimultaneous session in BH 100 i.e. 10 % usersProtocol: TCP/IP with 560 bytes/OB packet and 80 bytes/IB packet.
Qty. UnitPeak dnstream thput in BH/user 200.0 Kbit/sPeak upstream thput in BH/user 28.6 Kbit/s
Session duration 37.2 sec Pag/session *(2+60)/60Mean thput/user 6.5 Kbit/s PageSize*8/(2+60)
Mean upstream thput in BH 92.2 Kbit/s Mean dnstream thput*80/560Mean dnstream thput in BH 645.2 Kbit/s MeanThput/user*10 users
Upstream packets in BH 147.5Dnstream packets in BH 147.5 (50*1024/560)*10/(4+60)
Trfico elstico NRT - transferencia de archivos. Proceso de arribo de archivos: Poisson con tasa .(archivos/seg) Tamao medio de archivo: L (bits) Max. Bitrate de una terminal: rb (bit/seg) Ancho de banda (capacidad total) disponible: C (bit/seg). Objetivo: Garantizar un tiempo medio de transferencia E(T), o bien un determinado throughput promedio L/E(T) para
todas las transacciones.
Downstream UpstreamL Byte 560.0 80.0
bits 4,480.0 640.0rb Kbit/s 256.0 32.0 paq/s 57.1 50.0 paq/s 147.5 147.5a Erlang 2.6 2.9
40.159.2
)9.2,(3.09.2
)9.2,(10.50
1)(
:Upstream
41.166.2
)6.2,(3.06.2
)6.2,(11.57
1)(
:Downstream/,/,/
),(111)(),()()()(
=