Electiva II Mecanica de Suelos ULLA MI

Electiva II: Mecánica de Suelos

U n i v e r s i d a d N a c i o n a l d e

C a t a m a r c a

F a c u l t a d d e T e c n o l o g í a y

C s . A p l i c a d a s

C a r r e r a : I n g e n i e r í a d e

M i n a s

M . U . 0 7 0 6

1 8 / 1 2 / 2 0 1 3

MARIA INES ULLA

Esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo: Principio de

esfuerzo efectivo. Esfuerzos en un punto. Análisis bidimensional

de esfuerzos: circulo de Mohr de esfuerzos. Esfuerzos debidos

al propio peso y a cargas aplicadas. Asentamientos basados en

la teoría de la elasticidad.

Facultad de Tecnología y Cs. Aplicadas Electiva II: Mecánica de Suelos

María Inés Ulla- M.U. 0706 1

Contenido

Objetivos ................................................................................................................................ 2

Introducción ........................................................................................................................... 3

Minería y Geotecnia ............................................................................................................... 3

Suelos: origen y clasificación desde el punto de vista ingenieril ............................................. 4

Esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo ................................................................ 7

Principio de esfuerzo efectivo ................................................................................................ 7

Esfuerzos en un punto de la masa de suelo ........................................................................ 10

Análisis bidimensional de esfuerzos .................................................................................... 10

Círculo de Mohr de esfuerzos .............................................................................................. 11

Esfuerzos debidos al propio peso ........................................................................................ 13

Ejemplo 1 ......................................................................................................................... 15

Solución ........................................................................................................................... 15

Esfuerzos debidos a cargas aplicadas ................................................................................. 16

Carga puntual vertical ...................................................................................................... 18

Carga lineal vertical de longitud infinita ............................................................................ 18

Carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita ................................................ 18

Carga con distribución triangular sobre una franja infinita ................................................ 19

Carga uniformemente distribuida sobre un área rectangular ............................................ 19

Carga uniformemente distribuida sobre un área circular .................................................. 20

Diagrama de influencia de Newmark ................................................................................ 20

Cálculo aproximado del incremento del esfuerzo vertical ................................................. 21

Bulbos de esfuerzo........................................................................................................... 22

Asentamientos basados en la teoría de la elasticidad .......................................................... 22

Área rectangular con carga uniformemente distribuida ..................................................... 23

Área circular con carga uniformemente distribuida ........................................................... 24

Ejemplo 2 ......................................................................................................................... 24

Solución ........................................................................................................................... 25

Bibliografía ........................................................................................................................... 28

Índice de figuras .................................................................................................................. 29

Índice de tablas .................................................................................................................... 29

Índice de gráficos ................................................................................................................. 29



Objetivos

Describir la importancia de la Mecánica de Suelos para las obras de ingeniería civil, y

su relación con la ingeniería de minas.

Explicar el origen de los suelos y su clasificación ingenieril.

Comprender los esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo, la diferencia con

la mecánica de rocas, y la importancia de su estudio para el análisis de los suelos

utilizados en obras de ingeniería.

Distinguir entre los esfuerzos que resultan de las fuerzas que actúan sobre los

puntos de contacto entre partículas individuales, y los debidos al fluido intersticial que

ocupa los vacíos del suelo mediante el estudio del Principio de esfuerzo efectivo.

Entender el estado general de esfuerzos en un punto de una masa de suelo.

Estudiar la aplicación el análisis bidimensional de esfuerzos mediante la técnica del

círculo de Mohr de esfuerzos.

Calcular esfuerzos debidos al propio peso y a cargas aplicadas.

Calcular asentamientos basados en la teoría de la elasticidad.



Introducción

La Mecánica de Suelos es la aplicación de las leyes de la física y las ciencias

naturales a los problemas que involucran las cargas impuestas a la capa superficial de la

corteza terrestre. Fue fundada por Karl von Terzaghi. Junto con la mecánica de rocas, la

mecánica de suelos provee las bases teóricas para el análisis en la ingeniería geotécnica.

Todas las obras de ingeniería civil se apoyan sobre el suelo de una u otra forma, y muchas

de ellas, además, utilizan la tierra como elemento de construcción para terraplenes, diques y

rellenos en general; por lo que, en consecuencia, su estabilidad y comportamiento funcional

y estético estarán determinados, entre otros factores, por el desempeño del material de

asiento situado dentro de las profundidades de influencia de los esfuerzos que se generan, o

por el del suelo utilizado para conformar los rellenos. En conclusión, la mecánica de suelos

se utiliza para analizar las deformaciones y flujos dentro de estructuras artificiales o

naturales que están hechas de, sobre o bajo el suelo.

Minería y Geotecnia

La geotecnia puede definirse como aquella rama de la ingeniería que trata de las

aplicaciones de la Mecánica de Rocas, la Mecánica de Suelos y la Geología a la solución de

problemas específicos de construcción, relativos al uso de rocas y suelos como elementos

dentro de los cuales, encima de los cuales, o con los cuales llevar a cabo una obra.

Es así como son problemas geotécnicos todos aquellos relacionados con

excavaciones, a cielo abierto o en subterráneo, fundaciones y obras de tierra en general,

para citar solamente los más frecuentes e importantes.

La Ingeniería de Minas, por su parte, fundamenta su misma esencia en la ingeniería

de las excavaciones, intrínsecamente ligadas a la extracción desde la corteza terrestre, de

rocas y minerales económicamente aprovechables.

En otras palabras, bien puede afirmarse que la actividad primaria de la minería no es

otra cosa que la excavación, bien sea a cielo abierto o en subterráneo. Y es así como el

análisis, diseño y construcción de túneles y taludes, representan al mismo tiempo

aplicaciones propias e intrínsecas, sea de geotecnia o de minería que, en este sentido, se

confunden y tienden a coincidir-

Las consideraciones anteriores encuentran pleno reflejo en el campo profesional,

donde se puede constatar cómo los ingenieros de minas lo que con más frecuencia se

encuentran al frente del proyecto y construcción de obras subterráneas y grandes

excavaciones a cielo abierto, en todo el mundo.



Suelos: origen y clasificación desde el punto de vista ingenieril

Todos los suelos se originan de la meteorización de las rocas que constituyen

inicialmente la corteza terrestre, la cual puede ser producida por agentes físicos y químicos.

La meteorización física es el proceso de fragmentación física o desintegración de la

masa de roca. La fracturación inicial puede ser el resultado de esfuerzos inducidos por

factores tales como la retracción debida al enfriamiento, la liberación de esfuerzo después

de la remoción de una capa de material más superficial, o el plegamiento y las fallas. Esta

fractura incrementa su vulnerabilidad con respecto a otras formas de meteorización física y

química. El agua que penetra en las fisuras puede experimentar ciclos de congelación y

deshielo, los cuales aumentan de manera gradual la abertura de las fisuras y eventualmente

causan la caída de fragmentos de roca. Las crecientes resultante de las fuertes lluvias que

arrastran grandes cantidades de residuos de roca y la acción del mar, que repetidamente

golpea la costa, son fenómenos naturales que contribuyen en su momento, a la

desintegración física de la masa rocosa y extienden la erosión y la abrasión de la superficie

de la tierra.

La meteorización química es el proceso de descomposición química de algunos o de

todos los minerales que constituyen la masa rocosa. Por ejemplo, el dióxido de carbono

Figura 1- Algunas aplicaciones de la ingeniería geotécnica en minería y algunas posibles consecuencias de no aplicar el análisis geotécnico



disuelto en las aguas lluvias forma una solución diluida de ácido carbónico que puede atacar

muchos de los minerales que comúnmente formas las rocas, o el oxígeno de la atmósfera y

de las aguas lluvias pueden oxidar rocas, especialmente las portadoras de hierro.

Los procesos de meteorización y los efectos del transporte y depósito producen

partículas individuales de suelo ampliamente variables en tamaño y forma. El tamaño de las

partículas de un suelo tiene una influencia fundamental en las propiedades y en el

comportamiento ingenieril del depósito, por tanto las partículas de un suelo se describen en

función de su tamaño, utilizando términos tales como grava, arena, limo o arcilla. La Tabla 1

define la descripción de las partículas en función de su tamaño según diversas normas.

Tamaño de las partículas (mm)

Descripción de las partículas

Normas británicas1 AASHTO

22 ASTM

33 Unificado

44

Grava 60-2 75-2 >2 75-4,75 Arena 2-0,06 2-0,05 2-0,075 4,75-0,075 Limo 0,06-0,002 0,05-0,002 0,075-0,005 <0,075 finos Arcilla <0,002 <0,002 <0,005

Tabla 1-Definiciones del tamaño de las partículas según diferentes sistemas

El objeto de la clasificación de los suelos es aportar unas bases sobre las cuales

puedan agruparse los suelos dependiendo de sus propiedades físicas y de su apariencia,

con el propósito de comparar diferentes suelos, describir sus propiedades y estimar su

conveniencia para la utilización en un trabajo de ingeniería específico. Numerosos sistemas

de clasificación se han propuesto en el transcurso de los años, pero no existe un sistema

reconocido internacionalmente. En los Estados Unidos los sistemas más utilizados son el

sistema unificado de clasificación de suelos y el sistema de clasificación AASHTO. Ver

Tablas 2 y 3.

1BS 5930:1981

2 American Association of State Highway and Transportation Officials

3 American Society for Testing and Materials

4 Sistema de clasificación unificado



Tabla 2- Sistema de clasificación unificado

Tabla 3- Clasificación de suelos según AASHTO



Esfuerzos y deformaciones en una masa de suelo

Para explicar el comportamiento ingenieril de los suelos es necesario entender el

concepto de esfuerzo en una masa de suelo y en particular, la manera como el esfuerzo

que actúa sobre el suelo como un todo se relaciona con los esfuerzos que se desarrollan

dentro del esqueleto del suelo y del fluido intersticial.

Para poder resolver problemas de ingeniería, también es necesario entender cómo

evaluar los esfuerzos que actúan en un punto de la masa de suelo debidos a su propio peso

y así mismo al cambio de esfuerzos que se induce en el suelo debido a la acción de carga (o

descarga) externa producto de la construcción de obras de ingeniería. De la misma manera

son importantes las deformaciones de la masa de suelo, principalmente los asentamientos,

que resultan de los cambios de tales esfuerzos.

El esfuerzo sobre un punto no es el mismo en todas las direcciones. Por lo que es

importante estudiar el estado general de esfuerzos que existe en un punto dentro de la

masa de suelo y considerar las relaciones entre los esfuerzos actuantes en direcciones

diferentes. Sin embargo, en muchos problemas de ingeniería el interés principal se centra

sobre los esfuerzos que actúan en una dirección particular, por ejemplo, el estudio de la

capacidad portante y los asentamientos de cimentaciones dependen principalmente de los

esfuerzos que actúan en la dirección vertical, en tanto que el estudio de las presiones de

tierras sobre los muros de contención, requiere un conocimiento de los esfuerzos

horizontales en la masa de suelo.

Para entender la mecánica de suelos debemos comprender cómo los esfuerzos

normales y cortantes son compartidos por las diferentes fases. Los gases y líquidos no

proveen resistencia significante al esfuerzo cortante, la cual es causada por la fricción y el

entrelazamiento de las partículas. Los esfuerzos normales, en cambio, son compartidos por

los fluidos y las partículas.

Principio de esfuerzo efectivo

En una masa de suelo existen esfuerzos dentro del esqueleto del suelo que resultan

de las fuerzas que actúan sobre los puntos de contacto entre partículas individuales, y

existen esfuerzos dentro del fluido intersticial que ocupa los vacíos del suelo. Para estudiar

el comportamiento ingenieril de los suelos es necesario tener la capacidad de distinguir

estas dos clases de esfuerzos y también entender la relación entre ellos. Esta relación se

conoce como principio de esfuerzo efectivo y fue postulado por primera vez por Karl

Terzaghi, en 1923:

“En cualquier punto de una masa de suelo saturado el esfuerzo total σ en cualquier dirección

es igual a la suma algebraica del esfuerzo efectivo en esa dirección σ´ y la presión

intersticial u”



Figura 2- Principio de esfuerzo efectivo

Si se considera dentro de este propósito, una masa de suelo saturado con una

superficie horizontal, representado en la Figura 2, con el nivel freático a nivel del terreno. Se

tiene que en un plano horizontal XX de un área A de profundidad z, la columna vertical de

suelo por encima de XX tendrá el peso total W siguiente:

Las partículas del suelo por debajo del nivel freático están sometidas a un empuje U

de tal manera que su peso efectivo W´s está dado por:

Reemplazando en (1)

Si Vs representa el volumen de las partículas de suelo en la columna, y Vw el

volumen de agua, entonces, por el principio de Arquímedes:

Entonces

Como el suelo está saturado, el volumen de agua Vw es igual al volumen de vacíos

Vv por lo tanto Vs+Vw representa el volumen total V de la columna. Entonces

Y como V= Az, entonces:

W/A define el esfuerzo sobre XX como resultado del peso total de la columna y se

denomina esfuerzo total, representado por σ. W´s/A es el esfuerzo sobre XX como resultado

Nivel Freático Nivel del terreno

z

X X

área A

𝑾 𝑾 𝑾 (1)

𝑾´ 𝑾 − 𝑼

𝑾 𝑾´ 𝑼

𝑾 𝑾´ 𝑼 𝑾

𝑼 𝝆 𝒈𝑽

𝑾 𝝆 𝒈𝑽

𝑾 𝑾´ 𝝆 𝒈 (𝑽 𝑽 )

𝑾 𝑾´ 𝝆 𝒈𝑽

𝑾

𝑨 𝑾´

𝑨 𝝆 𝒈𝒛



del peso efectivo de las partículas de suelo y se denomina esfuerzo efectivo σ´. Puesto que

el plano XX está a la profundidad z por debajo del nivel freático, el termino ρwgz constituye la

presión intersticial hidrostática en XX, representada por u. Así obtenemos la relación

Esta ecuación se cumple generalmente para suelos saturados, sin tener en cuenta

las condiciones del agua en los poros ni la influencia de las cargas externas. A pesar de su

forma algebraica extremadamente simple, el principio de esfuerzo efectivo es quizás la

relación de más importancia en el estudio de la mecánica de suelos, y su publicación por

Terzaghi marco la aparición de esta materia como una disciplina separada en ingeniería.

Este principio puede ser expresado en dos partes:

1) El esfuerzo efectivo, para suelos saturados es

− siendo σ el esfuerzo total y u la presión intersticial hidrostática.

2) Todos los efectos medibles resultantes de variaciones de esfuerzos en los suelos,

como compresión, distorsión y resistencia al cortante son debidos a las variaciones

de los esfuerzos efectivos.

Las deformaciones en el suelo, que es un

sistema de partículas, tienen una característica muy

distinta de las deformaciones en otros materiales con

los que los ingenieros están acostumbrados a lidiar.

En el concreto, por ejemplo, las deformaciones

corresponden a cambios de forma o volumen, con

todos los elementos desplazándose de manera

continua, manteniendo sus posiciones relativas. En

los suelos, en cambio, las deformaciones

corresponden a cambios de forma o de volumen del conjunto, resultantes del

desplazamiento relativo de partículas como se muestra esquemáticamente en la Figura 3.

La compresión de las partículas, individualmente, es totalmente despreciable ante las

deformaciones que surgen de los desplazamientos de las partículas, unas en relación de las

otras. Por esta razón, se entiende que las deformaciones en los suelos sean debidas

solamente a la variación de los esfuerzos efectivos, que

representan la parte de los esfuerzos referidos a las fuerzas

transmitidas por las partículas.

El Principio de Esfuerzo Efectivo es tan importante

para el entendimiento del comportamiento de los suelos que

merece una atención especial. Considérese el conjunto de

partículas en la Figura 4, donde los vacíos se encuentran

llenos de agua. Si el esfuerzo total fuese aumentado con

igual aumento de la presión de agua, las partículas serían

comprimidas porque la presión del agua actúa en toda su

Figura 3- Deformación debida al desplazamiento de las partículas

Figura 4- Esfuerzos debidos a la interacción entre las partículas



periferia. Considerando que las áreas de contacto entre los granos son extremadamente

pequeñas y también, que ellas ocurren en los contactos tanto por encima como por debajo

de cualquier partícula, las fuerzas transmitidas a las partículas debajo de ella, y en las

cuales ella se apoya, no se alteran. En consecuencia, el esfuerzo efectivo no se altera. Por

lo tanto, el suelo, bajo el punto de vista práctico, no se deforma por efecto de este aumento

de esfuerzo, ya que las partículas pueden ser consideradas incompresibles para el nivel de

esfuerzos común y las deformaciones de los suelos se deben al desplazamiento relativo de

las partículas, en función de las fuerzas transmitidas entre ellas, que en el caso no se

alteran. Es justamente eso lo que indica la primera parte del Principio de Esfuerzo Efectivo.

La expresión empleada para la presión intersticial hidrostática, refleja bien el sentido de

inexistencia de cualquier efecto mecánico de esta componente del esfuerzo total.

Esfuerzos en un punto de la masa de suelo

En la Figura 5a se muestra

el estado general de esfuerzos

totales en un elemento de una

masa de suelo. El estado general

de esfuerzos que resulta en cada

cara se caracteriza por una

componente de esfuerzo normal σ

y dos componentes de esfuerzo

cortante τ, cada una de las cuales

se identifica con un sufijo

direccional relacionado con las tres

direcciones de referencia x, y, z.

Sin embargo, para este estado de esfuerzos debe existir en el elemento un conjunto

de tres planos mutuamente perpendiculares sobre los cuales el esfuerzo resultante es

normal, con las componentes de esfuerzos cortantes nulos. Estos son los planos principales,

y los esfuerzos normales asociados son los esfuerzos principales. En la Figura 5b se

representa el estado de esfuerzos del elemento cuando las caras del elemento están

orientadas en las direcciones de los planos principales. Si el elemento se toma de tamaño

infinitesimal, los esfuerzos que se muestran en las caras del elemento pueden tomarse para

describir los esfuerzos que actúan sobre planos diferentes en un punto de la masa de suelo.

Análisis bidimensional de esfuerzos

En los casos de muros de contención, terraplenes, cortes y cimentaciones corridas,

la masa de suelo sometida a esfuerzo a menudo es muy grande en una dirección, donde las

condiciones se aproximan a las de deformación plana, donde σy es el esfuerzo principal

intermedio. Por tanto, al tomar espesores unitarios de la masa de suelo en la dirección y,

reducimos el problema a un análisis bidimensional de esfuerzos, en el cual únicamente es

necesario considerar los esfuerzos en el plano x,z. Ver Figura 6.

x

z

y

σx

σy

τzx

τyz

τyx

τxy

τxz

τzy

σz

x

z

y

σ1

σ3σ2

Figura 5- Estado general de esfuerzos en un elemento de la masa de suelo y esfuerzos principales



Círculo de Mohr de esfuerzos

Desde hace mucho tiempo los círculos de Mohr han sido una forma de solución

gráfica para determinar los esfuerzos principales para el caso de esfuerzos planos. El plano

en el cual se trazan los círculos de Mohr- se organiza con sus ejes mutuamente

perpendiculares, aunque en el espacio real el ángulo entre ellos representa 180º, por lo que

todos los ángulos dibujados en el plano de Mohr tienen el doble de su valor en el espacio

real. La abscisa es el eje para todos los esfuerzos normales. Los esfuerzos normales

aplicados σx, y σz, se trazan a lo largo de este eje y los esfuerzos principales σ1 y σ3 también

se determinan sobre este eje. La

ordenada es el eje para todos los

esfuerzos cortantes. Se utiliza para

trazar los esfuerzos cortantes

aplicados τzx y τxz y determinar el

esfuerzo cortante máximo. La

convención de signos es tal que los

esfuerzos normales de compresión

y los esfuerzos cortantes en sentido

contrario a las manecillas del reloj

son positivos.

En la Figura 7 se muestra el

estado bidimensional de esfuerzos sobre un elemento de suelo. Para analizar las

condiciones de esfuerzos en el elemento, debe considerarse equilibrio del prisma abc de la

Figura 7. Sean σ y τ las componentes normal y cortante del esfuerzo que actúa sobre el

plano ab. Sea la longitud l de ab.

Resolviendo las fuerzas normales a ab

𝒛 − 𝒛 − 𝒛

Ahora 𝒛 𝒛 (esfuerzos cortantes complementarios) y por tanto

𝒛

− 𝒛

σz

σz

σx

τxz

τxz

τzx

τzx

a

b

a

bc

σx

τxz

σz

τ

σ

Resultante de esfuerzos sobre ab

θ

α

τzx

Muro de Contención

Terraplén

y

X

Z

y

X

Z

y

X

Z

Cimentación corrida

Figura 6- Problemas de deformaciones planas típicos

Figura 7- Estado de esfuerzos bidimensional en un elemento de suelo



( − )

𝒛( )

− 𝒛

( 𝒛) −

( − 𝒛) − 𝒛

[ −

( 𝒛)]

[

( − 𝒛) − 𝒛 ]

Resolviendo las fuerzas paralelas a ab

− 𝒛 𝒛 − 𝒛

( − 𝒛) − 𝒛

[

( − 𝒛) − 𝒛 ]

Sumando las ecuaciones 2.4 y 2.6

[ −

( 𝒛)]

[

( − 𝒛)]

𝒛

Una gráfica del esfuerzo cortante τ en función del esfuerzo normal σ, cuya relación

está definida mediante un círculo de radio √[

( − )]

con su centro sobre el eje

σ en

( ). Sobre la circunferencia de todo círculo de Mohr existe un punto

denominado polo, que tiene una característica única: una línea trazada a partir del polo,

paralela a un plano dado en el suelo cortará el círculo en un punto cuyas coordenadas

corresponden a las componentes normal y cortante del esfuerzo en ese plano.

Existe una relación entre i) el estado de esfuerzos en cualquier plano de un elemento

de suelo, ii) la dirección de dicho plano, y iii) la posición del polo. Si se conocen dos de ellos,

el tercero se obtendrá con una construcción simple del círculo de Mohr. Por ejemplo, en la

Figura 8, el punto H tiene las coordenadas (σz,-τzx) que definen el estado de esfuerzo en el

plano cb del elemento de suelo, y el punto K tiene las coordenadas (σx,τxz) que definen el

estado de esfuerzo en ac. Por tanto, el polo P se encuentra trazando una línea que pase por

H paralela al plano cb del elemento (o una línea que pase por K paralela a ac) la cual corta

al círculo en el punto P. Una línea que pase por P paralela al plano ab del elemento corta el

círculo en el punto L, cuyas coordenadas deben ser (σ,τ), que representan las componentes

normal y cortante del esfuerzo sobre el plano ab. Así, el esfuerzo resultante sobre ab, que

actúa con una inclinación θ medida en el sentido de las manecillas del reloj a partir de la

dirección normal, se representa sobre el diagrama de Mohr por el vector OL trazado con un

ángulo θ en el sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del eje de esfuerzo normal.

Por definición, los planos principales son planos de esfuerzo cortante nulo y, por

tanto, deben representarse con los puntos donde el círculo corta el eje del esfuerzo principal



mayor σ1 que actúa sobre el

plano principal mayor, y el

punto N, el esfuerzo principal

menor σ3 que actúa sobre el

plano principal menor. El

ángulo subtendido en el polo

es igual a 90º y, por tanto, los

planos principales forman

ángulo recto entre sí. De igual

modo, los valores máximos del

esfuerzo cortante se

representan con los puntos S y

T y se corresponden con un

esfuerzo normal de magnitud

( ). Nótese que los

planos de esfuerzo cortante máximo forman un ángulo de 45º con los planos principales.

El círculo de Mohr de esfuerzos es, por tanto, una herramienta muy útil para el

análisis de esfuerzos bidimensionales. Además, al considerar el elemento de suelo de la

Figura 7 de un tamaño infinitesimal, puede utilizarse un círculo de Mohr para representar las

condiciones de esfuerzo en un punto particular de la masa de suelo, en el que cada punto

de la circunferencia del círculo representa las componentes del esfuerzo sobre planos

diferentes alrededor del punto.

Aunque aquí se han ilustrado los esfuerzos totales de un suelo, el concepto del

círculo de Mohr se aplica igualmente al análisis bidimensional de esfuerzos efectivos. Esto

puede hacerse a partir del trazado de círculos de Mohr de esfuerzos efectivos sobre un

diagrama de Mohr de esfuerzo cortante en función del esfuerzo normal efectivo.

Esfuerzos debidos al propio peso

El esfuerzo vertical que existe en una masa de suelo debido solamente a su propio

peso se denomina esfuerzo de sobrecarga.

La Figura 9 muestra un depósito homogéneo de suelo con una superficie horizontal.

Para estas condiciones el esfuerzo

cortante en todos los planos

verticales es cero, y por tanto los

esfuerzos vertical y horizontal son

esfuerzos principales. El esfuerzo

vertical total σv (o presión de

sobrecarga total) en cualquier punto

es simplemente el esfuerzo que

resulta del peso de todo el material

por encima del punto. Así,

considerando el plano horizontal XX

de área A, a una profundidad z, el

σ1σ3 σxσz Esfuerzo normal σ

K (σx,τxz)

H (σz,τzx)

MA B CN

S

T

L (σ,τ)

σ

τ

R

RR

τzx

τxz

α β

G(α+β)

α P (Punto polo)

2α

θ ½(σx-σz)

z

X X

área A

zw

σ v

Densidad sobre el nivel freático = ρ

Densidad bajo el nivel freático = ρs

Figura 8- Diagrama de Mohr y Círculo de Mohr de esfuerzos

Figura 9- Esfuerzos debidos al propio peso



peso total de la columna vertical de suelo por encima de XX está dado por

𝑾 𝝆𝒈 (𝒛 − 𝒛 )𝑨 𝝆 𝒈𝒛

Donde ρ es la densidad aparente del suelo, ρs es la densidad saturada, y g es la

aceleración de la gravedad. Entonces, el esfuerzo vertical total σv sobre XX definido como

W/A, está dado por

𝝆𝒈 (𝒛 − 𝒛 ) 𝝆 𝒈𝒛

Con la densidad en Mg/m3, g= 9,81 m/s2, y la profundidad en metros, σv tiene

unidades de kN/m2.

La presión intersticial u en cualquier punto de la masa de suelo tendrá un valor de

equilibrio compatible con las condiciones de frontera hidráulicas existentes en la masa de

suelo. Las condiciones más simples son aquellas en las que el nivel de aguas subterráneas

es estático, como se considera aquí, en cuyo caso las presiones intersticiales se denominan

presiones hidrostáticas. Al ser una presión de fluido la presión intersticial en cualquier punto

es la misma en todas las direcciones, y por tanto no hay necesidad de atribuirle un sufijo

direccional. Así, en la Figura 9, la presión intersticial hidrostática en XX a una profundidad zw

por debajo del nivel freático está dada por

𝝆 𝒈𝒛

El esfuerzo vertical efectivo asociado (o presión de sobrecarga efectiva) sobre XX se

obtiene a partir del principio de esfuerzos efectivos

−

Entonces, sustituyendo σv y u en las ecuaciones (2) y (3) tenemos

𝝆𝒈 (𝒛 − 𝒛 ) (𝝆 − 𝝆 ) 𝒈𝒛

Se define la densidad efectiva 𝝆 𝝆 − 𝝆 quedando

𝝆𝒈 (𝒛 − 𝒛 ) 𝝆

𝒈𝒛

Bajo condiciones hidrostáticas, la presión efectiva de sobrecarga en una masa de

suelo es función de la densidad total del suelo que se encuentre por encima del punto

considerado sobre el nivel freático y de la densidad efectiva del suelo que se encuentre por

encima del punto considerado bajo el nivel freático.

El esfuerzo horizontal en un punto de la masa de suelo está fuertemente

determinado por la historia de esfuerzos del depósito, y como tal no puede calcularse de una

manera simple como los esfuerzos de sobrecarga.



Ejemplo 1

Un perfil de suelo se compone de 5 m de arena depositados encima de 4 m de grava que

descansa sobre el lecho rocoso. El nivel freático (NF) está a 2 m por debajo de la superficie horizontal

de la arena.

a) Determinar las distribuciones del esfuerzo vertical total, la presión intersticial y el esfuerzo

vertical efectivo en función de la profundidad hasta llegar al lecho rocoso, dado que la

densidad aparente de la arena por encima del NF= 1,70 Mg/m3, la densidad saturada de la

arena por debajo del NF=2,05 Mg/m3 y la densidad saturada de la grava= 2,15 Mg/m

3.

Solución

El perfil del suelo es como se muestra en la Figura 10.

Figura 10- Perfil del suelo del ejemplo 1

Se realiza el cálculo del esfuerzo vertical total, la presión intersticial y el esfuerzo efectivo en

los límites de las tres zonas:

Profundidad [m] σv [kN/m2] u [kN/m

2] σ´v [kN/m

2]

Superficie 0 0 0

2 33,35 0 33,35

5 93,69 29,43 64,26

9 178,01 68,67 109,34

Tabla 4- Cálculo del esfuerzo vertical total, la presión intersticial y el esfuerzo efectivo en cada zona del ejemplo 1

Gráfico 1- Representación de la variación del esfuerzo total, presión intersticial y esfuerzo efectivo con la profundidad del ejemplo 1

Are

na

Gra

va

NFρ=1,7 Mg/m3

ρ=2,05 Mg/m3

ρ=2,15 Mg/m3

5 m

4 m

2m



Si la densidad del suelo en cada zona es constante, la relación σv=ρgz predice una variación

lineal de σv en función de la profundidad a lo largo de cada zona. De igual manera, la variación de u=

ρwgzw es lineal en función a la profundidad por debajo del nivel freático. Entonces se llega a que σ´v

varía linealmente a lo largo de cada zona. Esto puede verse en el Gráfico 1.

Esfuerzos debidos a cargas aplicadas

Las distribuciones de esfuerzos

que producen en una masa de suelo la

aplicación de las cargas resultantes de la

construcción de obras de ingeniería

dependen del espesor y la uniformidad

de la masa de suelo, del tamaño y forma

del área cargada, y de las propiedades

esfuerzo-deformación del suelo. Ahora,

el comportamiento esfuerzo-deformación

de los materiales reales rara vez es

simple, y en caso de los suelos

ingenieriles frecuentemente es muy

complejo. Para ilustrarlo, nos referimos a

las Figuras 11 y 12 y comparamos las

relaciones esfuerzo-deformación para un

número de materiales ideales con la de

un suelo real.

Sin embargo, dentro del contexto

de la búsqueda de los esfuerzos y

deformaciones en una masa de suelo

pueden identificarse dos categorías de

problemas de ingeniería. Los problemas

de estabilidad se analizan considerando

el equilibrio límite de una masa de suelo

que está en estado de falla por cortante a

lo largo de una superficie de

deslizamiento potencial. Se supone que el

suelo en la zona de falla se encuentra en

un estado de equilibrio plástico, y en el

análisis el com portamiento del suelo se

define con un valor de resistencia a la

condición de falla a lo largo de la

superficie de deslizamiento. Con la

comparación entre los esfuerzos reales

sobre la superficie de deslizamiento

potencial con aquellos necesarios para

generar la falla, se obtiene un factor de

seguridad con respecto a la inestabilidad.

Figura 11 Relaciones esfuerzo-deformación de materiales: a) elástico, b) plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento, e)

material real

Figura 12- Ejemplos de relaciones esfuerzo-deformación para suelos reales

0 5 10 15

Arena densa

Arena suelta

Esfu

erzo

co

rtan

te τ

Deformación unitaria en cortante (%)

Arena densa

Arena suelta

Máx

imo

esf

uer

zo c

ort

ante

τ

Esfuerzo normal efectivo σ`

φ`

φ`

0 5 10 15

Arena densa

Arena suelta

ΔV/V0

+

-

Esfu

erzo

co

rtan

te τ

Deformación unitaria en cortante (%)

Arcilla preconsolidada

Arcilla normalmente consolidada

0 5 10 15ΔV/V0

+

-



φ`

φ`

φ` r

Residual



Esfuerzo normal efectivo σ`

Máx

imo

esf

uer

zo c

ort

ante

τ



La teoría del equilibrio límite para el análisis de estabilidad se consideran las presiones de

tierras en los muros de contención, la estabilidad de taludes y la capacidad portante de

cimentaciones.

La segunda categoría la constituyen los problemas de distribución de esfuerzos y

de deformaciones, en los que el interés está centrado en la predicción de esfuerzos y

deformaciones (por lo general asentamientos) en el suelo cuando los niveles de esfuerzos

se restringen a un rango de trabajo muy por debajo del valor de falla y dentro de la parte

inicial, aproximadamente lineal, de la curva esfuerzo- deformación. Para estas condiciones

se supone que el suelo se encuentra en un estado de equilibrio elástico y las distribuciones

de esfuerzos y las deformaciones se determinan bajo el supuesto de que el suelo se

comporta como un material homogéneo, isotrópico y linealmente elástico, cuyas

propiedades se definen con el módulo de elasticidad E, y la relación de Poisson, ν.

Muchas de las soluciones obtenidas para las distribuciones de esfuerzos se derivan

de los trabajos de Boussinesq, quien en 1885 desarrolló expresiones matemáticas para

obtener el incremento de esfuerzo de una masa semiinfinita5 de suelo debido a la aplicación

de una carga puntual en su superficie. Las expresiones de Boussinesq se han integrado

para obtener soluciones para áreas cargadas y se han modificado para tomar en cuenta

estratos de suelo de espesor finito, sistemas de varios estratos y aplicación de cargas por

debajo de la superficie de la masa de suelo.

Las condiciones complejas de carga con frecuencia pueden tratarse como una

combinación de dos o más de estos casos simples de carga, y su solución puede obtenerse

aplicando el principio de superposición. Los cambios de esfuerzo debidos a la descarga, por

ejemplo, en excavaciones, pueden calcularse simplemente con una carga negativa aplicada

sobre el área de excavación.

Debe recordarse que las soluciones producen cambios en esfuerzo que resultan de

la aplicación de cargas, y no toman en cuenta los esfuerzos que existen en la masa de suelo

debidos a su propio peso.

5 Una masa semiinfinita es la que está limitada por una superficie horizontal y se extiende al infinito

verticalmente hacia abajo, y horizontalmente en todas direcciones.



Carga puntual vertical

( )

[

( ) −

−

√ ]

−

( − ) [

( ) −

√ ]

( )

Carga lineal vertical de longitud infinita

( )

( )

( )

Carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita

[ ( )]

[ − ( )]

( )

N

z

r

Q

Δσv

Δσr

Δσθ

Figura 13- Carga puntual vertical

N

z

Q

Δσy

Δσx

x

Por metro

Figura 14- Carga lineal vertical de longitud infinita

N

z

ΔσvΔσx

β α

q

Figura 15- Carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita



Carga con distribución triangular sobre una franja infinita

[

−

]

[

−

]

[ −

]

Carga uniformemente distribuida sobre un área rectangular

En este caso se presenta la solución para el

incremento de esfuerzo vertical total en un punto N debajo de

una esquina de un área rectangular flexible uniformemente

cargada (Figura 17). La solución puede expresarse de la

forma

Donde Iσ es un factor de influencia de esfuerzo que

depende de la longitud L y del ancho B del área

rectangular y de la profundidad z del punto N. Los valores

de Iσ expresados en función de los parámetros m=B/z y

n=L/z se presentan y determinan utilizando el ábaco de

Fadum (Gráfico 2).

El mérito de presentar una solución para un punto

esquinero radica en que por simple superposición Δσv

puede calcularse con facilidad para cualquier punto en la

masa de suelo debido a cualquier área uniformemente

cargada que pueda subdividirse en

rectángulos. Por ejemplo para la

Figura 18:

Figura 18- División en subáreas

( ) ( ) ( ) ( )

N

z

ΔσvΔσx

B

β α

q

R1 R2

x

Figura 16- Carga con distribución triangular sobre una franja infinita

N

L

B

Presión uniforme q

zΔσv

Figura 17- Carga uniformemente distribuida sobre un área rectangular

Gráfico 2- Ábaco de Fadum

B

L

(1) (2)

(3) (4)

x



Carga uniformemente distribuida sobre un área circular

El incremento del esfuerzo vertical total a una profundidad z

bajo el centro de un área circular flexible de radio R cargada con

una presión uniforme q que está dado por:

{ − [

( ) ]

}

Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el

centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente

complicada, y por lo general se presentan en forma gráfica o en

tablas. En el punto N de la Figura 19, puede escribirse el

incremento en el esfuerzo vertical total como:

Donde el factor de influencia Iσ

depende del R, z y r. Los valores de Iσ

en función de los parámetros z/R y r/R

se obtienen según el gráfico de Foster y

Ahlvin (Gráfico 3).

Diagrama de influencia de Newmark

En 1942 Newmark propuso un

procedimiento gráfico para determinar el

incremento de esfuerzo vertical total

bajo cualquier área de forma flexible

uniformemente cargada. El gráfico de

Newmark, que se muestra en el Gráfico

4, consta de un número de áreas de

influencia creadas por la intersección de

una serie de círculos concéntricos con líneas que parten del

origen en sentido radial. El gráfico está construido de tal

manera que cuando cada área de influencia se carga con una

presión uniforme q se obtiene el mismo incremento de

esfuerzo vertical total a una profundidad AB por debajo del

origen de la gráfica. Por tanto, si en este caso el número total

de áreas de influencia en la gráfica es 200, cada una

representará un cambio de esfuerzo de 0,005q; de esta

manera se define un valor de influencia I que para este gráfico

es 0,005.

Para utilizar el gráfico se dibuja el contorno del área

cargada a una escala compatible con la del gráfico; esta

N

z

r

Δσv

qR

Figura 19- Carga uniformemente distribuida sobre un área

circular

Gráfico 3- Gráfico de Foster y Ahlvin

Gráfico 4- Diagrama de influencia de Newmark



escala debe ser tal que la longitud de la línea de escala AB sobre el gráfico corresponda a la

profundidad z a la cual se quiere encontrar el incremento de esfuerzo. El contorno a escala

se localiza de manera tal que el punto bajo el cual se quiere encontrar el esfuerzo quede

directamente sobre el origen del gráfico. El número de áreas de influencia al interior del

contorno se calcula y se denomina n. El incremento en el esfuerzo vertical total se obtiene

entonces así

Desplazando el contorno a escala alrededor del gráfico, puede determinarse Δσv en

todos los puntos del suelo a la profundidad z. Para calcular Δσv a cualquier en otra

profundidad, el proceso se repite con el contorno dibujado a otra escala.

El gráfico de Newmark es particularmente útil para áreas cargadas de forma irregular

y como método adicional para evaluar esfuerzos debajo de áreas circulares cargadas.

Cálculo aproximado del incremento del esfuerzo vertical

Para áreas circulares o rectangulares uniformemente cargadas, puede hacerse un

cálculo aproximado del incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la carga

aplicada se distribuye dentro de un cono truncado o una pirámide truncada formados por

lados con pendiente de 2 en la vertical y 1 en la horizontal, como se ilustra en la Figura 20.

Por ejemplo, si el área cargada es un rectángulo de longitud L y ancho B, el incremento

promedio en el esfuerzo vertical total a una profundidad z estará dado aproximadamente por

( 𝒛)( 𝒛)

Cualquier área cargada puede considerarse como

un número discreto de subáreas, que contribuyen cada

una con una carga puntual aplicada sobre la superficie

del suelo en su punto central. El incremento de esfuerzo

debido al área completa se obtiene entonces utilizando la

ecuación de Boussinesq correspondiente a una carga

puntual y el principio de superposición. Si la profundidad

a la que se va a encontrar el esfuerzo es por lo menos

tres veces el ancho escogido para las subáreas, sólo se

presentarán pequeñas inexactitudes. En realidad, con la

disponibilidad de las computadoras, considerar un

número suficiente de subáreas para asegurar precisión

en los cálculos es algo simple, caso en el cual la aproximación será más conveniente que

una basada en el uso de gráficos o tablas de factores de influencia.

z

L x B

(L+z) x (B+z)

Δσv

1

2

Figura 20- Cálculo aproximado del incremento del esfuerzo vertical



Bulbos de esfuerzo

Las soluciones presentadas anteriormente

pueden utilizarse para obtener las líneas de igual

incremento de esfuerzo en una masa de suelo

producido por una carga aplicada en su superficie.

Por ejemplo, en la Figura 22 se muestran las líneas

de igual incremento del esfuerzo vertical total

expresado como una fracción de la presión aplicada

q en una franja infinitamente larga, y en la Figura 21

se muestra una sección transversal en la línea

central de un área cuadrada. Las líneas forman lo

que se denomina bulbos de esfuerzo del área

cargada, y dan una representación visual útil de la

manera como el incremento de esfuerzo se

distribuye a través de la masa de suelo. Se ve, por

ejemplo, que para cualquier profundidad el mayor

incremento de esfuerzo tiene lugar debajo del centro.

Por tanto, las distribuciones de Δσv por debajo del punto central son de especial interés, y se

muestran por separado para una franja y un área cuadrada en las Figuras 22 y 23

respectivamente. Por debajo del centro de un área rectangular cargada de ancho B, Δσv a

una profundidad de tres veces el ancho es más o menos el 5% de la presión superficial q.

De otro lado, debajo de la línea central de una franja de ancho B una reducción similar de

Δσv se logra sólo cuando la profundidad es superior a 10B. La profundidad hasta la cual el

incremento de esfuerzo es

significativo se denomina zona de

influencia y puede tomarse

entonces como aproximadamente

10 veces el ancho en el caso de

una franja infinitamente larga y

aproximadamente tres veces el

ancho en el caso de un área

cuadrada cargada. De manera

similar, la zona de influencia de un

área circular cargada se extiende

hasta una profundidad de más o

menos tres veces su diámetro.

Asentamientos basados en la teoría de la elasticidad

La teoría de la elasticidad en la cual se apoyan las soluciones dadas en la sección

anterior también puede utilizarse para obtener expresiones de las deformaciones que

resultan en una masa de suelo cuando se le aplica una carga. En la práctica, son de

especial interés las deformaciones verticales, es decir, los asentamientos que se producen

en la superficie de la masa de suelo cuando la carga se aplica sobre el área de cimentación.

Figura 22- Bulbo de esfuerzo para una franja infinita con carga uniformemente distribuida

Figura 21- Bulbo de esfuerzo para un área cuadrada con carga uniformemente distribuida



Las soluciones para los asentamientos basadas en la teoría de la elasticidad utilizan el

módulo de elasticidad E y la relación de Poisson ν. Sin embargo, una masa de suelo no

tiene valores únicos de E y ν, y la dificultad para determinar los valores apropiados de esos

parámetros limita la aplicación práctica de estas soluciones.

En depósitos de arena el valor del módulo varía no sólo con la profundidad, sino

también con el ancho del área cargada, y en el rango “elástico” inicial de deformación el

valor de la relación de Poisson varía con la deformación. En consecuencia, las soluciones

basadas en la elasticidad son poco utilizadas en la predicción de asentamientos en arenas.

En la práctica, dichas predicciones se basan por lo general en métodos más empíricos como

los que se describen en otro capítulo.

Sin embargo, en depósitos de arcilla saturada, los asentamientos que se presentan

inmediatamente durante la construcción se producen sin ningún drenaje del agua intersticial

del suelo. Esta es una condición de cambio de volumen nulo en la masa de suelo para la

cual la relación de Poisson ν=0,5; y es razonable la hipótesis de un módulo de elasticidad no

drenado constante. Por tanto, en la práctica, las soluciones que se presentan en esta

sección se utilizan principalmente para predecir los asentamientos inmediatos (a veces

llamados asentamientos elásticos) que se producen en los depósitos de arcilla en

condiciones no drenadas.

Área rectangular con carga uniformemente distribuida

El asentamiento en la superficie de una masa de suelo semiinfinita en la esquina de

un área rectangular flexible de longitud L y

ancho B a la que se aplica una carga uniforme

q está dado por

( − )

Donde Is es el factor de influencia del

asentamiento que depende de la relación

longitud/ancho del área rectangular. La relación

entre Is y L/B fue establecida por Terzaghi y se

muestra en el Gráfico 5.

Si el área rectangular está en la

superficie de un estrato de suelo de espesor

finito D que reposa sobre una base rígida, el

asentamiento en una esquina puede obtenerse

a partir de la solución aproximada presentada

por Steinbrenner. En este caso el factor de

influencia Is puede expresarse en términos de

las funciones F1 y F2, así

Gráfico 5- Factor de influencia de Terzaghi para masa de suelo semiinfinita

Gráfico 6- Diagrama de Steinbrenner para espesor finito



( −

− )

Las funciones F1 y F2 dependen de las relaciones L/B y D/B y se presentan

gráficamente en el Gráfico 6. Los asentamientos superficiales en otros puntos diferentes de

las esquinas o debidos a áreas cargadas constan de una combinación de formas

rectangulares, y pueden determinarse aplicando el principio de superposición como se

explicó anteriormente.

Área circular con carga uniformemente distribuida

Los asentamientos en la superficie

debidos a una carga uniforme q que actúa

sobre un área circular flexible de radio R

están dados por

Donde el factor de influencia Is

depende del valor de la relación de

Poisson y de la distancia radial desde el

centro del área hasta el punto en el que se

busca el asentamiento. Valores de Is para

una masa de suelo semiinfinita y para dos

casos de estratos de suelo de espesor

finito D los presentó Terzaghi y se

reproducen en el Gráfico 7.

Ejemplo 2

Un área rectangular flexible de 8 m de longitud por 4 m de ancho aplica una presión uniforme

de 40 kN/m2 en la superficie de un estrato de 20 m de espesor de arcilla saturada que reposa sobre el

lecho rocoso. Calcular el incremento en el esfuerzo vertical total en la arcilla a una profundidad de 5 m

bajo el centro y bajo una de las esquinas del área cargada

Calcular también el asentamiento diferencial inmediato

entre el centro y una esquina del área cargada.

Las propiedades de la arcilla son: módulo de

elasticidad no drenado: 3.500 kN/m2 y relación de Poisson=

0,5.

z=5 m

(1)(2)

(3) (4)

Arcilla

Lecho rocoso

8 m

4 m

Gráfico 7- Valores de factor de influencia de asentamientos para área circular flexible uniformemente cargada, según Terzaghi

Figura 23- Esquematización del ejemplo 2



Solución

Para determinar los incrementos en el esfuerzo vertical total bajo un área rectangular cargada se

utiliza el diagrama de Fadum. Para los esfuerzos bajo el punto central, debe dividirse el área cargada

en cuatro subáreas y aplicar el principio de superposición. Tenemos entonces la Figura 23.

Calculamos los parámetros y los factores de influencia para el total y para una de las

subáreas:

Área B (m) L (m) z (m) m= B/z n= L/z Iσ

Total 4 8 5 0,8 1,6 0,18

Subárea (1) 2 4 5 0,4 0,8 0,09

Tabla 5- Cálculo de parámetros y factores de influencia del ejemplo 2

Obtenemos el incremento en el esfuerzo vertical total a una profundidad de 5 m bajo una

esquina del área cargada:

Y bajo el centro

Para determinar los asentamientos superficiales inmediatos de un área rectangular flexible

sobre un estrato de espesor finito se utiliza el diagrama de Steinbrenner. Para el asentamiento en el

centro, se divide nuevamente el área cargada en cuatro subáreas y se aplica el principio de

superposición. La arcilla saturada tiene una relación de Poisson ν= 0,5 y tanto el factor de influencia

Is se reduce a Is=F1. Entonces, con referencia a la Figura 23:

Área L (m) B (m) D (m) L/B D/B Is=F1

Total 8 4 20 2 5 0,525

Subárea (1) 4 2 20 2 10 0,64

Tabla 6- Cálculo de parámetros y factores de influencia para el asentamiento en el ejemplo 2

Obtenemos entonces el asentamiento inmediato en una esquina del área cargada:

( − )

Y en el centro

( − )

Por consiguiente, el asentamiento diferencial inmediato= 44 mm – 18 mm = 26 mm

Puede verificarse de inmediato que el asentamiento máximo de un área flexible cargada tiene

lugar bajo su centro, y el asentamiento mínimo bajo una esquina (el borde, en caso de un área

circular cargada). De esta manera 26 mm representa el asentamiento diferencial inmediato máximo

para esta área cargada.



Conclusiones

El comportamiento de los suelos, dispuestos por la naturaleza en depósitos

heterogéneos, es demasiado complicado para realizar un tratamiento teórico riguroso,

debido a lo cual su estudio merece toda una disciplina aparte, la Mecánica de Suelos.

El análisis y estudio de los suelos es de suma importancia para asegurar el buen

comportamiento y estabilidad todas las obras de ingeniería que se apoyan sobre el suelo

o en que están hechas de suelo.

Los suelos están formados por diferentes fases: partículas, agua y aire; por lo que se

debe diferenciar cómo los esfuerzos normales y cortantes son compartidos por las

diferentes fases. Los gases y líquidos no proveen resistencia significante al esfuerzo

cortante, la cual es causada por la fricción y entrelazamiento de las partículas. Los

esfuerzos normales, en cambio, son compartidos por los fluidos y las partículas.

Terzaghi postuló el Principio de Esfuerzo Efectivo para saber distinguir y entender la

relación entre los esfuerzos en el esqueleto del suelo y los debidos a la presión

intersticial.

El análisis bidimensional mediante la aplicación del diagrama de Mohr es muy útil

cuando las condiciones de esfuerzos se aproximan a los de deformación plana. Aunque

actualmente con la aplicación de programas informáticos es posible calcular los

esfuerzos con gran precisión sin recurrir a este método, aunque sigue siendo de gran

validez puesto que es una representación gráfica que explica la situación tensional de un

sólido mediante un golpe de vista.

Los esfuerzos que se deben estudiar en una masa de suelo son los debidos al propio

peso y los debidos a cargas aplicadas. El cálculo de los esfuerzos debidos a cargas

aplicadas se basa en la aplicación de la teoría de la elasticidad utilizando las soluciones

de Boussinesq, las cuales se han integrado y modificado para obtener soluciones para

otros sistemas más complejos.

El cálculo de los asentamientos (deformaciones verticales) en una masa de suelo debido

a la aplicación de una carga sobre el área de cimentación, también puede realizarse

basándose en la teoría de la elasticidad, la cual tiene limitaciones, ya que la masa de

suelo no tiene valores únicos de su módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson

ν, lo que hace difícil determinar un valor apropiado de tales parámetros en la aplicación

práctica de estas soluciones.

Los conceptos de la teoría de la elasticidad son aplicables solamente con carácter

aproximado a los suelos, debido a que éstos no cumplen con las hipótesis establecidas

por la teoría elástica. Sin embargo, las soluciones presentadas se utilizan principalmente

en depósitos de arcilla saturada no drenada, donde los asentamientos inmediatos no

producen drenaje del agua intersticial del suelo, donde podemos considerar un módulo

de elasticidad y coeficiente de Poisson constantes, siendo aplicables tales soluciones.



Es importante determinar de manera confiable y apegado lo más posible a la realidad los

valores del módulo de elasticidad y del coeficiente de Poisson para obtener de manera

más precisa el cálculo de las deformaciones del suelo. De ahí la importancia de los

ensayos.

El cálculo aproximado permite obtener una gran precisión en los cálculos combinando

herramientas de cálculo numérico con la ecuación de Boussinesq correspondiente a una

carga puntual y el principio de superposición, mediante la subdivisión de un área

cargada en un número discreto suficiente de subáreas para asegurar la precisión en los

cálculos.

Aunque se estén desarrollando teorías exclusivas en la mecánica de suelos para

determinar las deformaciones que sufre una masa de suelo bajo la aplicación de cargas,

en la actualidad se recurre aún a la teoría elástica.



Bibliografía

Berry, Peter L.; Reid, David: ¨Mecánica de Suelos¨. Department of Civil Engineering,

University of Salford. McGraw-Hill.

Perry, Gianfranco; “La Geotecnia en Minería”. Profesor de Mecánica de Rocas de la UCV y

Jefe del Departamento de Ing. de Minas.

Carlos de Sousa Pinto; “Curso básico de Mecânica dos Solos, 3ª edição”. Oficina de Textos,

São Paulo, 2006.

Prof. Dr. Jorge A. Capote Abreu, “La Mecánica de Suelos y las Cimentaciones”.



Índice de figuras Figura 1- Algunas aplicaciones de la ingeniería geotécnica en minería y algunas posibles consecuencias de no

aplicar el análisis geotécnico ___________________________________________________________________ 4

Figura 2- Principio de esfuerzo efectivo __________________________________________________________ 8

Figura 3- Deformación debida al desplazamiento de las partículas ____________________________________ 9

Figura 4- Esfuerzos debidos a la interacción entre las partículas _______________________________________ 9

Figura 5- Estado general de esfuerzos en un elemento de la masa de suelo y esfuerzos principales __________ 10

Figura 6- Problemas de deformaciones planas típicos ______________________________________________ 11

Figura 7- Estado de esfuerzos bidimensional en un elemento de suelo _________________________________ 11

Figura 8- Diagrama de Mohr y Círculo de Mohr de esfuerzos ________________________________________ 13

Figura 9- Esfuerzos debidos al propio peso _______________________________________________________ 13

Figura 10- Perfil del suelo del ejemplo 1 _________________________________________________________ 15

Figura 11 Relaciones esfuerzo-deformación de materiales: a) elástico, b) plástico rígido, c) elastoplástico, d)

elastoplástico con ablandamiento, e) material real ________________________________________________ 16

Figura 12- Ejemplos de relaciones esfuerzo-deformación para suelos reales ____________________________ 16

Figura 13- Carga puntual vertical ______________________________________________________________ 18

Figura 14- Carga lineal vertical de longitud infinita ________________________________________________ 18

Figura 15- Carga uniformemente distribuida sobre una franja infinita _________________________________ 18

Figura 16- Carga con distribución triangular sobre una franja infinita _________________________________ 19

Figura 17- Carga uniformemente distribuida sobre un área rectangular _______________________________ 19

Figura 18- División en subáreas ________________________________________________________________ 19

Figura 19- Carga uniformemente distribuida sobre un área circular ___________________________________ 20

Figura 20- Cálculo aproximado del incremento del esfuerzo vertical __________________________________ 21

Figura 21- Bulbo de esfuerzo para un área cuadrada con carga uniformemente distribuida _______________ 22

Figura 22- Bulbo de esfuerzo para una franja infinita con carga uniformemente distribuida _______________ 22

Figura 23- Esquematización del ejemplo 2 _______________________________________________________ 24

Índice de tablas Tabla 1-Definiciones del tamaño de las partículas según diferentes sistemas ____________________________ 5

Tabla 2- Sistema de clasificación unificado ________________________________________________________ 6

Tabla 3- Clasificación de suelos según AASHTO ____________________________________________________ 6

Tabla 4- Cálculo del esfuerzo vertical total, la presión intersticial y el esfuerzo efectivo en cada zona del ej. 1 _ 15

Tabla 5- Cálculo de parámetros y factores de influencia del ejemplo 2 _________________________________ 25

Tabla 6- Cálculo de parámetros y factores de influencia para el asentamiento en el ejemplo 2 _____________ 25

Índice de gráficos Gráfico 1- Representación de la variación del esfuerzo total, presión intersticial y esfuerzo efectivo con la

profundidad del ejemplo 1 ____________________________________________________________________ 15

Gráfico 2- Ábaco de Fadum ___________________________________________________________________ 19

Gráfico 3- Gráfico de Foster y Ahlvin ____________________________________________________________ 20

Gráfico 4- Diagrama de influencia de Newmark ___________________________________________________ 20

Gráfico 5- Factor de influencia de Terzaghi para masa de suelo semiinfinita ____________________________ 23

Gráfico 6- Diagrama de Steinbrenner para espesor finito ___________________________________________ 23

Gráfico 7- Valores de factor de influencia de asentamientos para área circular flexible uniformemente cargada,

según Terzaghi _____________________________________________________________________________ 24

Electiva II Mecanica de Suelos ULLA MI

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