Departament de Física Aplicada i Òptica

Electromagnetisme

Grau de Física

Problemes

Curs 2014-2015

1 DISTRIBUCIONS DE CÀRREGUES EN EL BUIT

1.1 Dues esferes petites de suro de massa m i càrrega q

pengen de sengles fils de longitud l. Els punts de subjecció

estan sobre un pla horitzontal a una distància d. Determini

la relació entre aquestes magnituds i l'angle que els fils

formen amb la vertical un cop assolit l'equilibri. Com es

podria utilitzar el dispositiu per a verificar la dependència

amb la distància de les interaccions coulombianes.

1.2 Sigui un fil de certa longitud carregat uniformement.

Trobar el camp elèctric en un punt P exterior al fil i situat

a una distància D. Estudiï la situació límit quan la longitud

del fil tendeix a infinit.

a ) cos cos( + a ) sen sen( D 4

= E z12r12

0

1.3 Una barnilla té una càrrega Q = 3 C distribuïda

uniformement amb densitat , i es doblega per a formar

una circumferència quasi tancada de radi R = 50 cm, amb

una separació entre els extrems a = 2 cm. (a) Determini el

camp elèctric al centre de la circumferència, (b) íd.

mitjançant un procediment aproximat.

1.4 Trobi el camp creat per un disc carregat uniformement en

els punts del seu eix. Estudiï els casos límits en els que

R>> z i R<< z essent R el radi i z la distància del punt

al centre del disc.

a

z + R

z

z

z

2 = E z

220

1.5 Una esfera de radi R1 té una distribució volúmica

uniforme de càrrega de densitat , però al seu interior hi

ha una cavitat esfèrica de radi R2 sense càrrega. El centre

O' d'aquesta cavitat dista d del centre O de l'esfera de

forma que d+R2 < R1. Determini el camp elèctric en la

cavitat.

'OO3

E0

1.6 Una esfera de radi b, amb una cavitat concèntrica de radi

a, està carregada amb una densitat volúmica uniforme.

(a) Determini el camp elèctric en tots els punts de l'espai.

(b) Idem si =Cr, sent C una constant i r la distància al

centre de l'esfera.

1.7 Trobi el camp que crea una làmina plana indefinida de

gruix a carregada amb una densitat volúmica de carrega

i representar-lo gràficament. Què succeeix quan el gruix

tendeix a zero?.

a z

= E ; a z

z

2

a = E z

0intz

0ext

1.8 En una regió de l'espai el camp electrostàtic és paral·lel a

l'eix x. Demostri que: (a) en aquesta regió el camp és

independent de les coordenades y,z; (b) si a la regió no hi

ha càrrega, el camp és també independent de x.

1.9 A l'atmosfera el camp elèctric és aproximadament vertical

i dirigit cap a la terra. Si sobre la superfície val 200 V/m i

a 1400 m d'altura val 20 V/m, quina és la densitat mitjana

de càrrega a l'atmosfera per sota dels 1400 m.

3m

pC1.1

1.10 Demostri que el camp E que en la regió x>0, y>0, z>0 té

per components Ex= K/(x2yz), Ey = K/(xy

2z), Ez =

K/(xyz2), essent K una constant, pot ser un camp

electrostàtic. Calculi el potencial i determini la distribució

de càrrega que hi ha en aquella regió.

zy x

z + y + xK 2 = ,

zy x

K = V

222

0

1.11 Trobi el potencial en els punts de l’eix pel disc del

problema 1.4. Estudiï també els mateixos casos límits.

1.12 Un cilindre indefinit de radi R està uniformement carregat.

La densitat volúmica de càrrega és . Determini el

potencial que crea.

R

r ln +

2

1

2

R = V : R r

4

r = V : R r

0

2

0

2

1.13 Dos fils rectilinis indefinits estan carregats uniformement

amb densitats i -, i estan situats a (a,0) i (-a,0)

respectivament. Determini el potencial elèctric que creen.

y + )a (x

y + )a +(x ln

4 = V

22

22

0

1.14 Determineu quina es la distribució de càrrega que dóna

lloc a un camp elèctric de la forma: a) E = C r ar; b) E =

C/r2 ar.

1.15 El camp elèctric a una regió esfèrica de radi a és E =

Cr2ar. Determineu el camp elèctric en la regió exterior

(r>a) si aquesta regió exterior no està carregada.

1.16 Determineu la distribució de càrrega i el camp elèctric E

associats a un potencial de la forma r -e C )r(V .

g m 4

q = ) sin l 2 + d ( tan

0

22

m

V 692 = E ;

R 4

a = E

20

0 b) C 3 )a 0

r2

4

ar

a C E

ra

2r0ε4

)4a4C(b E br

ra

2r0ε4

)4a4C(r E bra

0 Ea r b)

ra

2r0ε3

)3a3(bρ E br

ra

2r0ε3

)3a3(rρ E bra

0 Ea r a)

1.17 Mitjançant integració de les equacions del potencial,

obteniu el camp elèctric creat per una esfera de radi a

carregada amb una densitat uniforme, .

1.18 Integrant les equacions del potencial determineu el camp

elèctric creat per un cilindre de radi a i molt llarg (po

considerar-se indefinit) carregat amb una densitat

uniforme, .

1.19 Determineu el camp elèctric creat per una superfície

plana, indefinida i carregada amb una densitat uniforme ,

a partir de les equacions del potencial.

1.20 Un dipol de moment p està situat al eix x i dirigit en sentit

positiu. Expressi en coordenades cartesianes el camp que

crea a una distància r i per a = 0, /2, radians.

a r

p = rEa

r

p = rEa

r

p = rE xxx

3

0

3

0

3

0 4

2),( ;

4)

2,( ;

4

2)0,(

1.21 Sigui un dipol de moment p atret per una càrrega puntual

Q. El dipol està orientat radialment respecte la càrrega.

Demostri que la força d'interacció ve donada per:

3r

0 2

pQ F

1.22 Determini l'energia electrostàtica d'interacció de dos

dipols coplanaris que disten a i els moments dels quals p1 i

p2 formen angles 1 i 2 amb la recta que els uneix.

Examini els casos particulars més notables.

]sin sin + cos cos 2 [ a 4

p p = U 21213

0

21

2 DIELÈCTRICS

2.1 Apliquem un camp elèctric de 103 V/m a un gas d'heli de

permitivitat relativa 1.00007. Si la concentració d'àtoms

d'heli és de 1025

m-3

, trobi: (a) la polarització P; (b) el

moment dipolar p; (c) la distància entre el centre del núvol

electrònic i el nucli, és a dir, la separació entre la càrrega

positiva i la negativa.

m 1.9 =

Cm 6.2 = ,mC/ 6.2 = 2

19

3813

10·l (c)

10·p (b)10· P(a)

2.2 Calculi el camp elèctric al centre d'una esfera dielèctrica

de radi a amb polarització P uniforme i paral·lela a l'eix

polar.

03

P- = E

2.3 Una làmina plana de gruix a té una polarització P

perpendicular a les cares de la placa que augmenta

linealment des del valor P1 en una cara fins a P2 en la cara

oposada. Calculi el camp elèctric en tots els punts de

l'espai.

2.4 Una esfera dielèctrica de permitivitat r i radi R té una

distribució volúmica de càrrega. La polarització dins de

l'esfera val P = kr. (a) Determini les densitats de càrrega

de polarització. (b) Determini la densitat volúmica de

càrrega. (c) Calculi el potencial dins i fora de l'esfera.

r 1)-(

Rk = V(r) Rr

, r - R 1+2 1)-( 2

k = V(r) Rr (c)

1-

k 3 = (b) ; Rk = ,k 3 - = (a)

ro

3r

22r

ro

r

rPP

2.5 En un camp elèctric uniforme Eo, s'introdueix

perpendicularment a Eo una làmina dielèctrica de cares

planes i paral·leles i permitivitat r. a) Determini el camp

elèctric a l'interior i a l'exterior de la làmina. b) Idem si Eo

és paral·lel a la làmina.

E = E = E (b) ; E = E , E

= E (a) 0ei0er

0i

2.6 En un medi dielèctric de permitivitat r existeix un camp

elèctric uniforme E. Es fa una cavitat dins del dielèctric.

Determini el camp elèctric Eo que resulta dins de la cavitat

a) si aquesta és en forma de agulla en la direcció del camp,

b) si és en forma de disc perpendicular al camp.

E = E (b) , E = E (a) r00

2.7 En un medi dielèctric lineal, isòtrop, homogeni i indefinit,

de permitivitat r, hi ha una càrrega puntual q. Determini

la càrrega de polarització i el camp elèctric. (Consideri

que la càrrega té un radi finit).

a r4

q = E ,

)q1( = q r2

r0r

rp

2.8 En el centre d'una esfera dielèctrica homogènia de

permitivitat relativa r i radi R, hi ha una càrrega puntual

q. Determini el camp i el potencial.

r -

0r

r - e r

2 C ae C E

a r 2

a = E : a r a

2

r = E : a r r

0

2

r

0

a 3

r = E : a r a

r 3

a = E : a r r

0

r20

3

a z

z

2 = E z

0

0 E ; P

- E e

0

i

R

1+

r

1

4

q=V Rr ;

r4

q=E R <r

r4

q=V Rr ;

r4

q=E R >r

r

r02

r0

r

02

0

r

2.9 Demostri que en els sistemes amb simetria esfèrica que

inclouen distribucions de càrregues i medis dielèctrics

lineals i isòtrops, el vector desplaçament D és independent

de la naturalesa dels medis. I si la simetria és cilíndrica? I

si és plana?

2.10 En dos punts molt propers als dos costats de la superfície

de separació de dos dielèctrics lineals, isòtrops i

homogenis de permitivitats 1 i 2, els camp elèctrics

formen angles 1 i 2 amb la normal a la superfície.

Determini la relació que existeix entre aquests angles.

2112 tg = tg

2.11 Una superfície esfèrica de densitat de càrrega i de radi a

està envoltada d'una capa dielèctrica de radi exterior b i

constant r = k/r, essent k una constant i r la distància al

centre de l'esfera. Trobi les càrregues de polarització. Faci

el mateix en el cas d'un cilindre indefinit.

b

a

k

b1 = , 1

k

a = ,

rk

a = b)

b

a

k

b1 = , 1

k

a = ,

rk

a = a)

PPP

2

2

PP2

2

P

3 CONDUCTORS

3.1 Un conductor es va carregant posant-lo en contacte amb

una làmina metàl·lica que després de cada contacte es

torna a carregar de manera que tingui la seva càrrega

inicial Q. Si després del primer contacte la càrrega del

conductor és q, quin serà el seu valor final?

qQ

q Q = q f

3.2 Sobre una esfera conductora de radi R es col·loca un petit

disc conductor de radi a=R/10 i massa 1 g. S'augmenta

progressivament el potencial V de l'esfera. Calculi a partir

de quin valor de V comença a elevar-se el disc.

kV 265.5 V

3.3 Una esfera metàl·lica de radi R=10 cm està carregada. Si

es parteix seguint un pla diametral s'observa que els dos

hemisferis es repel·leixen amb una força F=0.1 N. Calculi

la càrrega i el potencial de l'esfera.

kV 84.8 = V ; C 0.94 = Q

3.4 Una esfera conductora de radi b té una cavitat esfèrica i

concèntrica de radi a. En el centre de la cavitat hi ha una

càrrega puntual q. Trobi la càrrega a les superfícies del

conductor, el camp, i el potencial a tots els punts en els

següents casos: a) L'esfera està descarregada, b) La

càrrega de l'esfera es Q.

r 4

Q + q = V , u

r 4

Q + q = E : b >r

b 4

Q + q = V , 0 = E : b <r < a

b

Q +

a

q

b

q +

r

q

4

1 = V , u

r 4

q = E : a<r

Q + q = q , q- = q b)

a

1

b

1 +

r

1

4

q = V , u

r 4

q = E : a <r

b 4

q = V , 0 = E : b<r < a

r 4

q = V , u

r 4

q = E : b>r

q- = q , q = q a)

0r2

0

0

0r2

0

12

0r2

0

0

0r2

0

21

3.5 Quatre esferes conductores iguals estan centrades en els

vèrtex d'un tetràedre regular. Quan la càrrega de dues

esferes és q i la de les altres dues -q, el potencial de les

dues primeres és V. Si, en canvi, una esfera té càrrega Q i

les altres càrrega nul·la, quina és la diferència de potencial

entre aquella i aquestes?

V q

Q = V - V 21

3.6 Determini la capacitat d'un condensador esfèric de radis a

i b (a<b) i permitivitat del dielèctric .

ab

ab4C

3.7 Determini la capacitat d'un condensador cilíndric de radis

a i b (a<b), alçada h i permitivitat del dielèctric ε.

abln

h2C

3.8 La permitivitat del dielèctric d'un condensador plano-

parallel varia linealment entre les armadures. Els seus

valors extrems són 1 i 2 i la separació entre les

armadures és d. a) Calculi la capacitat del condensador per

unitat de superfície. b) Si la diferència de potencial és V,

quines són les densitats de càrrega de polarització?

d

) ( - =

;)( = (d) ;)( = (0)

V ) / ( ln d

= b)

) / ( ln d

=

S

C a)

2

120P

202P

101P

12

12

12

12

3.9 En un condensador pla, les armadures tenen 100 cm2 i

estan separades 1.1 cm. A 0.8cm de la primera placa es

col·loca una làmina conductora de 1 mm de gruix,

establint-se a continuació entre les armadures una tensió

de 1000 V. Trobi la càrrega sobre cada placa i el potencial

de la làmina (cas a)). Posteriorment es col·loca la làmina a

500 V respecte de la placa negativa; calculi la nova

càrrega de les plaques i la làmina i també el potencial de

la placa positiva en dos casos: b) si aquesta continua

connectada a 1000 V respecte la placa negativa c) si s'ha

desconnectat abans.

V 700 = V ; nC 5.5 = q ; nC 8.8 = q c)

V 1000 = V ; nC 5.5 = q ; nC 22 = q b)

V 800 = V ; nC 8.8 = q = q a)

+pp+p

+pp+p

lp+p

3.10 Un conductor esfèric de radi a està envoltat per una capa

esfèrica conductora de radis b i c (b<c). El conductor

extern es parteix seguint un pla diametral. El conductor

intern es connecta a terra i l'extern a un potencial V.

Determini: (a) les càrregues dels conductors, (b) la

resultant de les forces electrostàtiques sobre l'hemisferi

superior. Repeteixi els apartats (a) i (b) pel cas que el

conductor intern tingui potencial V i l'extern potencial nul.

)a-(b 2

V a = F

0 = Q , Q = Q ; V ab

a b 4 = Q c)

2

V

)a (b 2

V a = F b)

V a b

a b + c 4 = Q , V

a b

ba 4 = Q a)

2

220

beabi0a

20

2

220

0b0a

3.11 Dues capes esfèriques metàl·liques A i B de radis a i b

(a<b) estan connectades a terra mitjançant sengles bateries

de f.e.m. eA (pol "-" unit a terra) i eB (pol "+" unit a terra).

(a) Les esferes estan molt allunyades. Quant valen les

seves càrregues QA i QB? (b) Traslladem A i la col·loquem

concèntricament a B, evitant que en aquest procés es

toquin les esferes, quant valen ara les seves càrregues Q'A i

Q'B? (c) Si realitzem el procés anterior desconnectant

prèviament de la bateria l'esfera A, quant valdrien llavors

les càrregues Q"A i Q"B de les esferes? i el potencial V"A

de l'esfera A?

BBBAA

BA0BA0A

B0Be

ABiBA0A

B0BA0A

e = ''V , e eb

a1 = ''V

)e b + e (a 4 = ''Q , e a 4 = ''Q c)

e b 4 = 'Q

'Q= Q , )e+ (e a-b

b a 4 = 'Q b)

be 4 = Q , ae 4 = Q a)

3.12 Un cable coaxial està format per un conductor cilíndric

central de radi a, una capa dielèctrica de radi exterior b,

permitivitat dielèctrica relativa r i rigidesa dielèctrica Em,

i d'un conductor perifèric de radi interior b. (a) Determini

el camp elèctric E en el dielèctric, a la distància r de l'eix,

en funció de la diferència de potencial V entre els

conductors. (b) Si el valor b està fixat, determini a per a

que V pugui assolir el màxim valor possible Vm; calculi

Vm. (c) Determini en aquest cas la capacitat del cable per

unitat de longitud. ( b=1cm, r=7.2, Em=720 kV/m).

r0

mmr

2 = l

C c)

e

b E = V b) , a

(b/a)lnr

V = E a)

4 ENERGIA I FORCES

4.1 Un sistema de càrregues puntuals està constituït per n

càrregues -q igualment espaiades sobre una

circumferència de radi a i una càrrega q al centre.

Determini l'energia del sistema quan n=3, 4 i 5. Si es

deixessin lliures les càrregues, convergirien cap el centre o

bé divergirien?

a

q 0.150 = U ;

a

q 0.0137 = U ;

a

q 0.101 = U

0

2

50

2

40

2

3

4.2 Calculi l’energia de formació (per àtom) d’un cristall iònic

unidimensional i indefinit, és a dir, una fila de càrregues

+q i -q, equidistants a i de signe alternat. Suggeriment:

empri el desenvolupament de ln(1+x).

a 4

2 ln q = U

0

2

4.3 Determini per dos procediments diferents l'energia

electrostàtica d'una càrrega Q distribuïda uniformement

(a) dins d'una esfera de radi a, (b) sobre la superfície de la

mateixa esfera.

a 4

Q

2

1 = Ub) ,

a 4

Q

5

3 = Ua)

0

2

0

2

4.4 Dos condensadors de capacitats C1 i C2 estan carregats.

Llurs càrregues respectives són Q1 i Q2. Els condensadors

es connecten en paral·lel. Determini en aquest procés la

disminució de l'energia emmagatzemada pels

condensadors. Què se n'ha fet d'aquesta energia?

)C + C( C C 2

)C Q C Q( = U

2121

21221

4.5 Determini la màxima energia per unitat de volum que pot

emmagatzemar un condensador pla si el dielèctric té r=3 i

una rigidesa dielèctrica de 107 V/m.

E 2

1 = u m

2r0m

4.6 Una esfera conductora de radi R i càrrega Q està recoberta

d'una capa dielèctrica de constant relativa r i gruix g. Tot

el sistema es troba en el buit. a) Calculi l'energia associada

al sistema en funció de R, Q, g i r. b) El camp disruptor

d'un dielèctric Emax és el camp elèctric màxim que suporta

un material sense que es produeixi la ruptura dielèctrica.

Trobi el valor màxim de la càrrega emmagatzemada a

l'esfera conductora i l'energia associada al sistema.

E g + R

R + g R 2 = UE R 4 = Q b)

g + R

1 +

R

1

8

Q = U a)

max2r3

max2

max

r2

4.7 Un electròmetre està format per dos conductors cilíndrics

coaxials de radis R1, R2 (R1<R2) i longitud l. El conductor

interior està desplaçat respecte a l'exterior segons l'eix dels

cilindres i penja del braç d'una balança que s'equilibra

col·locant pesos al plat que penja de l'altre braç. Quan

s'aplica una diferència de potencial V entre els conductors,

s'aconsegueix l'equilibri afegint al plat una massa m.

Determini l'expressió de V en funció de m.

0

1

2

R

R ln g m

= V

4.8 Calculi la força que actua sobre les plaques d'un

condensador pla si la ddp entre elles és V, la superfície S i

la separació d. Si les armadures s'aïllen, quin treball haurà

de fer el camp per a apropar-les fins una distancia , sent

<<d? Coincideix amb l'energia emmagatzemada

prèviament en el camp elèctric? Repetiu el problema

suposant que durant l'apropament es manté la connexió

amb el generador.

2

V S = W c)

S 2

d Q = W b)

d

V S

2

1 = F a)

20

0

2

2

20

z

4.9 Un dielèctric es va

introduint entre les

plaques d'un

condensador. Calculi,

en funció de l'enfonsament x, l'energia del sistema. A

partir d'aquesta última expressió, trobi la força sobre el

dielèctric en dos casos: suposant, primer, un generador

connectat a les plaques i suposant, després, que el

condensador està carregat abans d'introduir el dielèctric

però desconnectat del generador durant la introducció

d'aquell. Ajuda: suposi el sistema format per dos

condensadors en paral·lel. (Les dimensions de les plaques

són c, i b).

]1) ( x + [c

1

b 2

Q a = F b) ) (

a 2

b V = F a)

2r

r

0

2

0

2

4.10 Un condensador pla d'armadures verticals quadrades de

costat l i separació d, s'introdueix parcialment en un

dielèctric líquid de densitat . Quan s'aplica una diferència

de potencial V, el líquid dins del condensador puja una

alçada h sobre la superfície del líquid. Determini la

permitivitat del dielèctric.

1 + V

h g d 2 =

20

2

r

5 CORRENT ELÈCTRIC

5.1 Un corrent elèctric continu travessa la superfície de

separació de dos medis conductors. Demostri que aquesta

superfície està carregada amb una densitat superficial

nj = 1

1

2

2

, essent 1, i 2 les conductivitats dels

dos medis, i 1 i 2 les seves permitivitats, j

la densitat de

corrent i n

el vector unitari normal a la superfície. Si, a

més, els medis no són homogenis, demostri que existeix

una distribució volúmica de càrrega de densitat

j = .

5.2 Entre dos elèctrodes esfèrics, concèntrics de radis a i b

(a<b) hi ha un medi conductor de conductivitat .

Determini (a) la diferència de potencial entre els

elèctrodes, quan circula entre aquests un corrent

d'intensitat I, (b) la resistència entre els elèctrodes.

ab

a b

4

1 = R ),

b

1

a

1(

4

I = V(b) V(a)

5.3 Dos elèctrodes estan situats a les bases d'un cilindre de

radi b i alçada h. Aquest conté dos medis conductors

distribuïts de la següent manera: la conductivitat a la

distància r de l'eix és 1 per 0<r<a, i 2 per a<r<b.

Determini la resistència entre elèctrodes.

b + a ) (

h = R

22

221

5.4 En un conductor cilíndric de radi a i alçada h la

conductivitat és =kr, sent k una constant. Es col·loquen

dos elèctrodes a les bases. Determini la resistència entre

elles.

ak 2

h 3 = R

3

5.5 En un bloc conductor cúbic de costat a, la conductivitat

elèctrica varia linealment entre el valor 1 en una cara i el

valor 2 en la cara oposada. Es col·loca el cub entre dues

plaques planes perfectament conductores. Determini la

resistència entre les plaques a) quan aquestes estan sobre

les cares en les quals la conductivitat és uniforme b) en el

cas contrari.

) + ( a

2 = R (b) ,

) ( a

) / ( ln = R (a)

1212

12

5.6 Un condensador té entre les plaques un dielèctric de

permitivitat . La seva capacitat és C. Si se substitueix el

dielèctric per un conductor de conductivitat , la

resistència entre les plaques és R. Demostri que,

independentment de la forma de les plaques, RC = /.

5.7 Sigui un generador tal que aplicant entre els seus borns un

voltímetre de molt elevada resistència mesura una

diferència de potencial de 12 V i unint aquells mitjançant

una resistència de 5 el mateix voltímetre marca 10 V. Per

un altra part, tenim dos elèctrodes cilíndrics coaxials de

radis 2 i 7 cm respectivament i d'alçada 1 m. Aquests

elèctrodes es connecten al generador anterior mitjançant

cables de resistència menyspreable i es submergeixen una

profunditat x (xh) en un líquid de resistivitat 1/ =50

.cm. Determini el valor que ha de tenir x per a que la

potència calorífica desenvolupada dins del líquid sigui

màxima.

cm 10 = x ; r 2

a) / (b ln = x

g

6 CAMP MAGNÈTIC CREAT PELS CORRENTS

6.1 Demostri que dos elements de circuit dl1 i dl2 recorreguts

pel mateix corrent I i simètrics respecte d'un pla , creen

en un punt de un camp magnètic dB que és

perpendicular a o nul, i com a corol·lari, que si una

distribució de corrents té un pla de simetria, el camp

magnètic en els punts del pla és perpendicular al pla o nul.

6.2 Calculi el camp magnètic B creat per un corrent rectilini

d'intensitat I (a) per càlcul directe, (b) aplicant el teorema

d'Ampère.

a r2

I = B o

6.3 Per una espira rectangular de costats a i b, que penja d'un

fil subjectat al punt mig del costat de longitud b, circula un

corrent d'intensitat I. L'espira està en el si d'un camp

magnètic B uniforme i horitzontal que forma un angle

amb la normal al pla de l'espira. Determini: (a) la força

que actua sobre cada costat de l'espira, (b) la força i el

moment resultants.

sen ba B I = , 0 = F (b)

cos b B I = F , a B I = F (a) ba

6.4 Trobi el camp magnètic en un punt qualsevol de l'eix d'un

solenoide de n espires per unitat de longitud, radi r i

longitud l.

a )cos - cos( 2

n I = B z12

0

6.5 Per un solenoide rectilini indefinit de n espires per unitat

de longitud circula un corrent d'intensitat I. (a) Demostri

que sobre l'eix del solenoide el camp magnètic val

B=0nI. (b) Justifiqui que les línies del camp magnètic són

rectes paral·leles a l'eix del solenoide. (c) Per aplicació del

teorema d'Ampère demostri que el camp magnètic és

uniforme a l'interior del solenoide i nul a l'exterior.

6.6 Per una làmina plana indefinida situada al pla z=0 circula

un corrent de densitat superficial k=kax uniforme. Calculi

el camp que crea en un punt d'ordenada z.

a z 2

zk = B y

0

6.7 Un disc de radi R carregat amb una densitat superficial

gira entorn de l'eix amb velocitat angular constant .

L'experiència mostra que al voltant del disc apareix un

camp magnètic (experiència de Rowland). (a) Interpreti el

resultat d'aquesta experiència. (b) Calculi el camp

magnètic B en un punt de l'eix que disti z del disc.

(Aplicació numèrica: R=30 cm, =6 C/cm2, =800 rad/s,

z=1 cm). (c) Calculi el moment magnètic del disc.

4

R = m (c)

T) 8.5=(B a z

z+R2

z2+R = B (b)

4

z22

22

0

6.8 Un cilindre de longitud L i de radi R té una polarització

uniforme P en la direcció de l'eix. El cilindre gira amb una

velocitat angular al voltant de l'eix. Calculi la densitat

superficial de corrent i el camp magnètic que crea en el

centre del cilindre.

0 = B

6.9 Una esfera de radi R carregada amb una distribució

superficial de càrrega de densitat uniforme , gira entorn

d'un diàmetre amb velocitat angular constant. Calculi el

camp magnètic B en el centre de l'esfera.

a R 3

2 = B z0

6.10 Un disc conductor homogeni vertical de radi a pot girar

entorn del seu eix. Pel disc hi circula un corrent

d'intensitat I que entra per l'eix i surt per un punt de la

perifèria en contacte amb el mercuri d'una cubeta. El disc

està situat en el si d'un camp magnètic uniforme B

paral·lel a l'eix. El disc s'anomena roda de Barlow. Calculi

el moment resultant , respecte de l'eix, de les forces

magnètiques que actuen sobre el disc, i demostri que el

resultat és independent de la forma en que es distribueix el

corrent.

2

B I a =

2

7 CAMP MAGNÈTIC EN ELS MEDIS MATERIALS

7.1 Un solenoide toroïdal de N espires té un nucli de ferro de

permeabilitat magnètica r=103. Compari B i H amb els

camps B0 i H0 del mateix solenoide sense nucli de ferro.

00r H= H , B = B

7.2 En un camp magnètic uniforme B0, s’introdueix

paral·lelament a B0 una làmina indefinida de cares planes i

paral·leles i permeabilitat r. Determini el camp magnètic

a l’interior i a l’exterior de la làmina.

B = B , B = B 0e0ri

7.3 Dues barres de ferro són aparentment idèntiques, però

l’una està imantada en la direcció longitudinal i l’altra no.

Expliqui com podria distingir-les mesurant únicament les

forces d’interacció entre les dues barres.

7.4 Un cilindre de ferro de 10 cm de longitud i 5 cm de

diàmetre està quasi uniformement imantat en la direcció

paral·lela a l’eix. El seu moment magnètic dipolar és 75

Am2. Faci una estimació del valor del camp magnètic B a

l’interior del cilindre.

T 0.48 B

7.5 Una làmina plana pràcticament indefinida i de gruix a té

una imantació uniforme M perpendicular a la làmina.

a) Determini primer el camp B dins i fora de la làmina i, a

partir de B, determini H. b) Determini H i, a partir d’H,

determini B.

0H,MH,0B eii,e

7.6 a) En el si d’un camp magnètic uniforme Bo es col·loca

una barra cilíndrica molt llarga de susceptibilitat

magnètica m amb el seu eix paral·lel al camp. Determini

la imantació de la barra. b) íd. si es col·loca un disc molt

extens perpendicular al camp. c) Si es col·loca una barra

de ferro dins d’un camp magnètic uniforme la imantació

que adquirirà tindrà la direcció del camp? d) Expliqui i

interpreti l’experiment de la visualització de les línies del

camp magnètic mitjançant llimadures de ferro.

0

m0

m

0

0

mB

1)(χμ

χ = M (b) , B

μ

χ = M (a)

7.7 Un electroimant té un nucli de ferro dolç de 1 m de

longitud mitja amb un entreferro de 1 cm i dues bobines

de 1000 espires cadascuna. Determini el camp magnètic B

a l’entreferro quan per les bobines circula un corrent de 1

A, a) a partir de la relació B-H corresponent al ferro dolç,

b) suposant que el ferro dolç te una permeabilitat de 5000,

c) mitjançant un mètode aproximat.

0 500 1000 1500 2000

0

0.25

0.50

1.00

0.75

1.25

B(T

)

H(A/m)

T 0.25 B c) T; .2450 b) T; 0.24 B )a

7.8 El circuit magnètic de la

figura té un imant

permanent de 8 cm,

dues parts de ferro dolç

de 8 cm cadascuna i un

entreferro de 0.8 cm. En

promig, la secció recta de l’imant i del ferro es de 4 cm2 i

la del entreferro 3 cm2. La permeabilitat del ferro és 5000.

a ) Calculi el camp magnètic B a l’entreferro per a dos

materials de l’imant diferents: òxid sinteritzat i acer 35 %

Co. Consideri que les pèrdues de flux son negligibles. b)

Repeteixi els càlculs anteriors per al cas d’un entreferro de

0.8 mm.

T 0.96 :acer T, 0.53 :òxid b)

T; .230 :acer T, 0.4 : òxid )a

8 INDUCCIÓ ELECTROMAGNÈTICA. ENERGIA I

FORCES MAGNÈTIQUES

8.1 Sobre dos rails rectilinis, paral·lels, horitzontals i de

resistències negligibles, es col·loquen dues barres mòbils i

perpendiculars als rails. La separació entre els rails és l, la

resistència de la part de cada barra compresa entre els rails

és R i la massa de cada barra és m. El sistema està sotmès

a l’acció d’un camp magnètic vertical uniforme B. Si una

barra es mou envers l’altra en direcció paral·lela als rails i

amb velocitat v0 constant, estudiï el moviment de l’altra

barra.

t

m R 2

l B exp 1 v = v

22

0

8.2 Trobi el coeficient d’autoinducció d’un solenoide toroidal

de secció quadrada, essent R el radi interior , a el costat de

la secció i N el nombre d’espires.

R

a + 1 ln

2

a N = L

20

8.3 Un cable coaxial està format per dos tubs metàl·lics de

gruixos negligibles i radis a i b (a < b). Pel conductor

interior circula un corrent d’intensitat I. El tub exterior

serveix de fil de retorn i està recorregut pel mateix corrent

però en sentit oposat. Calculi l’autoinducció L del cable

per unitat de longitud.

a

b ln

2 =

dl

dL 0

8.4 La bobina d’un reòstat és assimilable a un solenoide de n

espires, d’àrea S, per unitat de longitud. El reòstat està

col·locat en el si d’un camp magnètic uniforme B paral·lel

a l’eix de la bobina, i es forma un circuit tancat unint els

seus borns als d’una resistència R. Sabent que la

resistència d’una espira és r, calculi la intensitat I del

corrent en el circuit quan movem el cursor del reòstat amb

velocitat v constant.

0 = i

8.5 Un disc metàl·lic gira ràpidament entorn del seu eix en el

si d’un camp magnètic B uniforme paral·lel a l’eix. La

rotació del disc origina una diferència de potencial entre

l’eix i la perifèria del disc. El dispositiu constitueix un

generador. Si el radi del disc és 30 cm i dona 3000 voltes

per minut en un camp de 0.5 T, quina serà la intensitat de

corrent que passarà per una resistència de 1 ?

A 7.07 = i ;R 2

B a = i

2

8.6 Demostri que quan dues bobines es connecten en sèrie el

coeficient d’autoinducció de l’associació és L=L1+L2

2M, essent L1 i L2 els coeficients d’autoinducció de les

bobines i M el seu coeficient d’inducció mútua. Indiqui

quan val el signe + i quan el signe -.

8.7 Un cilindre conductor de conductivitat té una alçada h i

un radi a, i està en el si d’un camp magnètic de la forma

B=B0 cos t az paral·lel al seu eix (eix z). Determini la

potència mitjana dissipada per efecte Joule degut als

corrents induïts.

ah B 16

1 = > p < 42

02

00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

-0.01-0.03-0.04-0.05-0.06

0H (T)

B(T)

acer 35% Co

òxid

8.8 Per un cable coaxial de radis a i b circula un corrent

d’intensitat I. Calculi l’energia emmagatzemada per unitat

de longitud en els següents casos: a) El conductor interior

és buit. b) El conductor interior és massís.

a

b ln +

4

1

4

I =

dl

dU b)

)a

b(ln

4

I =

dl

dU a)

20

20

8.9 Per un solenoide toroïdal de N espires de secció quadrada

circula un corrent d’intensitat I. Si el radi del toroide és R

i el costat de l’espira és a, calculi l’energia

emmagatzemada.

R

a+ 1 ln

4

I N a = U

220

8.10 Una molla vertical de constant 0.628 N/m, de longitud 10

cm, amb 100 espires d’àrea 10 cm2, té l’extrem superior

fix. A l’extrem inferior es penja un pes i la molla s’allarga

fins a 20 cm. Si llavors es fa circular per la molla un

corrent continu d’intensitat 10 A, quina serà la nova

longitud de la molla?

m 0.16 =x

8.11 Dos solenoides (1) i (2) amb el mateix eix, n1 i n2 espires

per unitat de longitud i seccions S1 i S2 estan recorreguts

per corrents d’intensitats I1 i I2 en el mateix sentit. Un

extrem de (2) està situat a l’interior de (1) en la regió en la

que el camp magnètic és uniforme, i l’altre extrem de (2)

està en una regió de camp nul. Determini el coeficient

d’inducció mútua i la força d’interacció entre les dues

bobines.

I I S nn = F 212210x

9 EQUACIONS DE MAXWELL

9.1 Un condensador plano-paral·lel de plaques de secció

circular s'omple amb un dielèctric amb pèrdues de

permitivitat ε i conductivitat γ. La capacitat del

condensador és C. El condensador es carrega amb una

diferència de potencial V i a continuació s'aïlla. a) Calculeu

la càrrega del condensador en funció del temps. b) Trobeu

els corrents de desplaçament i de conducció en el dielèctric.

c) Calculeu el camp magnètic en el dielèctric.

0 = H c)

e ε

V C γ = I ; e

ε

V C γ- = I b)

e V C = Q a)

tε

γ -

C t

ε

γ -

D

tε

γ -

9.2 Entre els extrems d'un conductor cilíndric no magnètic de

radi a, longitud l i conductivitat γ, s'aplica una diferència de

potencial V. a) Determineu els camps elèctric i magnètic en

el conductor. b) Trobeu el flux del vector de Poynting a

través de la superfície del conductor. c) Calculeu la

potència dissipada per efecte Joule en el conductor i

compareu-la amb el resultat de l'apartat b).

l

V a πγ = P c)

l

V a πγ - = Sd b)

a l 2

r V γμ = B ; a

l

V = E a)

22

J

22

S

0z

S

9.3 El camp elèctric d'una ona electromagnètica en el buit

s'escriu com y0x0 a ωt) - (Kz sen E a ωt)-(Kz cos E E

.

a) Trobeu el camp magnètic B

. b) Determineu el vector de

Poynting.

a E μ

ε = b)

a t)ω - z(K cos E ω

k + a t)ω - z(K sen E

ω

K - = B a)

z20

0

0

y0x0

S

9.4 Dues ones planes de la mateixa freqüència ω, amplitud E0,

direcció de propagació segons l'eix z i amb els seus camps

elèctrics en el sentit positiu de l'eix x, es propaguen en

sentits oposats. a) Determineu el camp elèctric de l'ona

resultant (ona estacionària). b) Determineu el vector de

Poynting de l'ona resultant.

0 = b) a t)ω (cos z)k (cos E 2 = E a) x0 S

9.5 La densitat de potència de la radiació solar a la part

superior de l'atmosfera és aproximadament 1.3 kW/m2.

Suposant que la llum solar es comporta com una ona plana

monocromàtica i que incideix perpendicularment a

l'atmosfera, trobeu l'amplitud dels camps elèctric i

magnètic.

T 10 x 3.00 = B m

V 900 = E 6-