Preliminaressistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/1.pdf · 2010. 6. 7. · Preliminares Vamos a ver en...

Capıtulo 1

Preliminares

Vamos a ver en este primer capıtulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades queseran muyutiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre conjuntos, aplica-ciones, numerabilidad y propiedades de los numeros reales.

1.1 Conjuntos

Supondremos conocidos algunos conceptos basicos sobre conjuntos: union, interseccion, diferen-cia, etc... No obstante intentaremos fijar algunas ideas recordando varios resultados interesantes.

Recordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notacion para algunos conjuntos denumeros que son basicos.

• N sera el conjunto de los numeros naturales o enteros positivos.

• Z sera el conjunto de los numeros enteros.

• Q sera el conjunto de los numeros racionales.

• R sera el conjunto de los numeros reales.

• C sera el conjunto de los numeros complejos.

Definicion 1.1.1 (Familia de conjuntos).Una familia de conjuntosA sera un conjunto cuyoselementos son, a su vez conjuntos. Los representaremos con letras mayusculas caligraficas y sepueden expresar a traves de un conjunto deındicesI de la siguiente forma:

A = {Ai : i ∈ I}

1

2 CAPITULO 1. PRELIMINARES

Definicion 1.1.2 (Union e interseccion de una familia). Dada una familia de conjuntosA ={Ai : i ∈ I} definimos:

Union de la familiaA como el conjunto de todos los elementos que pertenecen a alguno delos conjuntos deA y lo representaremos de las dos maneras siguientes:⋃

A = {x : existeA ∈ A tal x ∈ A}

⋃i∈I

Ai = {x : existei ∈ I tal x ∈ Ai}

Interseccion de la familiaA como el conjunto de todos los elementos que pertenecen atodos los conjuntos deA y lo representaremos de las dos maneras siguientes:⋂

A = {x : x ∈ A para todoA ∈ A}

⋂i∈I

Ai = {x : x ∈ Ai para todoi ∈ I}

Proposicion 1.1.3 (Propiedad distributiva). Sea{Ai : i ∈ I} una familia de conjuntos yB unconjunto. Entonces:

1. B⋃

(⋂i∈I Ai) =

⋂i∈I(B

⋃Ai)

2. B⋂

(⋃i∈I Ai) =

⋃i∈I(B

⋂Ai)

Demostracion. -

(1) ⊂ Si x ∈ B⋃

(⋂i∈I Ai), supongamos quex ∈ B, entoncesx ∈ B

⋃Ai, para todoi ∈ I,

por tantox ∈⋂i∈I(B

⋃Ai). Si ahora suponemos quex /∈ B, sera x ∈

⋂i∈I Ai, luegox ∈ Ai

para todoi ∈ I lo que implica quex ∈ B⋃Ai para todoi ∈ I y por tanto esta en la interseccion⋂

i∈I(B⋃Ai) de todos ellos.

⊃ Seax ∈⋂i∈I(B

⋃Ai), entoncesx ∈ B

⋃Ai para todoi ∈ I; si x ∈ B tenemos que

x ∈ B⋃

(⋂i∈I Ai) y si x /∈ B serax ∈ Ai para todoi ∈ I, por tantox ∈

⋂i∈I Ai lo que lleva a

quex ∈ B⋃

(⋂i∈I Ai)

(2) Se realiza de forma analoga.

Definicion 1.1.4 (Complementario).DadoA ⊂ E, definimos el complementario deA enXcomo el conjuntoX r A = {x ∈ X : x /∈ A} de los elementos deX que no son elementos deA. Si el contexto esta suficientemente claro designaremos al complementario deA enX comoAc = X rA.

1.2. APLICACIONES 3

Esta claro que(Ac)c = A

Proposicion 1.1.5 (Leyes de Morgan).Sea{Ai : I ∈ I} una familia de subconjuntosAi ⊂ X,i ∈ I. Entonces

1. (⋃i∈iAi)

c =⋂i∈iA

ci o bienX r (

⋃i∈iAi) =

⋂i∈i(X rAi)

2. (⋂i∈iAi)

c =⋃i∈iA

ci o bienX r (

⋂i∈iAi) =

⋃i∈i(X rAi)

Demostracion. Vamos a ver la demostracion de la propiedad 1). La 2) se hara de forma analoga.

⊂ Si x ∈ (⋃i∈iAi)

c, entoncesx /∈ Ai para todoi ∈ I, por tantox ∈ Aci para todoi ∈ I, luegox ∈

⋂i∈iA

ci .

⊃ Si x ∈⋂i∈iA

ci , x /∈ Ai para todoi ∈ I, luegox /∈

⋃i∈iAi, por tantox ∈ (

⋃i∈iAi)

c.

Definicion 1.1.6 (Diferencia de conjuntos).Dados dos conjuntosA yB, definimos la diferenciade A y B como el conjuntoA r B = {x : x ∈ A y x /∈ B} de los elementos de A que no sonelementos de B.

Proposicion 1.1.7. SeanA,B ⊂ X, entonces se verifican:

1. ArB = A⋂Bc

2. Ar (ArB) = A⋂B

3. Ar (A⋂B) = ArB

4. Para la diferencia de conjuntos se verifican las Leyes de Morgan.

(a)B r

(⋃i∈I

Ai

)=⋂i∈I

(B rAi) (b)B r

(⋂i∈I

Ai

)=⋃i∈I

(B rAi)

1.2 Aplicaciones

Un concepto tan importante y basico como el de conjunto, y que tambien es conocido, es el deaplicacion entre conjuntos. Vamos a repasar algunas ideas y resultados sobre aplicaciones.

Definicion 1.2.1 (Aplicacion). Una aplicacion entre los conjuntosX eY es una correspondenciaentre ellos tal que, a cada punto deX le hace corresponder uno y solo un punto deY . Larepresentaremos de la siguiente manera

f : X −→ Y, o bien, Xf−→ Y


Una aplicacion,f : X −→ Y , esta dada por un conjunto de pares ordenados, y puede entendersecomo un subconjunto del producto cartesianoX × Y , de la forma siguiente:

Γ(f) = {(x, y) : x ∈ X, y = f(x) ∈ Y } ⊂ X × Y,

que se denomina la grafica def o el grafo def . Este conjunto debe cumplir que para todo elementox ∈ X existe ununico elementoy ∈ Y tal que(x, y) ∈ Γ(f). Estey se llama la imagen dex porf , y se representa pory = f(x).

Definicion 1.2.2 (Imagen e imagen inversa).SiA ⊂ X, el conjunto imagen deA, es el subcon-junto

f(A) = {y ∈ Y : existex ∈ A, y = f(x)} ⊂ Y

formado por todas las imagenesf(x) tales quex ∈ A.

SiB ⊂ Y , la imagen inversa deB es el subconjunto

f−1(B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B} ⊂ X

formado por aquellos elementos tales que su imagen pertenece aB.

Si y ∈ Y , se usara la notacion f−1(y) = f−1({y}), pero observese que es un subconjunto deXy no un punto.

Conviene tener en cuenta que el sımbolo f−1(B) es simplemente una notacion de un conjunto.No hay que cometer el error de suponer quef−1 indica que la aplicacion f tiene una aplicacioninversa.

Proposicion 1.2.3. Seaf : X −→ Y una aplicacion entre conjuntos y sean los subconjuntosA ⊂ X yB ⊂ Y . Entonces

1. A ⊂ f−1(f(A)),

2. f(f−1(B)) ⊂ B.

Demostracion. -

(1) Six ∈ A, entoncesy = f(x) ∈ f(A) ⊂ Y , luegox ∈ f−1(f(A)).

(2) Si y ∈ f(f−1)(B)), entoncesf(x) = y para algunx ∈ f−1(B), luegof(x) ∈ B, pero comola imagen de cadax esunica,f(x) = y ∈ B.

Ejemplo 1.2.4. Las inclusiones anteriores no son ,en general, igualdades.

1.2. APLICACIONES 5

(1) Consideremos la parabolaf : R −→ R, f(x) = x2.

f(f−1(([1, 2])) = [−√

2,−1]⋃

[1,√

2].

(2) Consideremos el seno dex, f : R −→ R, f(x) = senx.

f(f−1([−2, 2])) = [−1, 1].

�

Las imagenes y las imagenes inversas respecto de la union y de la interseccion de familias deconjuntos tienen las siguientes propiedades.

Proposicion 1.2.5. Seanf : X −→ Y una aplicacion entre conjuntos y las familias de subcon-juntos{Ai ⊂ X : i ∈ I} y {Bj ⊂ Y : j ∈ J}. Entonces

1. f(⋃i∈I Ai) =

⋃i∈I f(Ai),

2. f(⋂i∈I Ai) ⊂

⋂i∈I f(Ai),

3. f−1(⋃j∈J Bj) =

⋃j∈J f

−1(Bj),

4. f−1(⋂j∈J Bj) =

⋂j∈J f

−1(Bj .

5. f(ArB) ⊃ f(A) r f(B)

Ejemplo 1.2.6. Este ejemplo muestra que las inclusiones (1) y (5) de la proposicion anterior noson, en general, igualdades.

Consideremos los conjuntosA = [1, 2] × [1, 2] y B = [1, 2] × [3, 4] de R2 y la proyeccionπ1 : R2 −→ R, definida comoπ1(x, y) = x. Entonces tenemos que

π1(A) ∩ π1(B) = [1, 2] ∩ [1, 2] = [1, 2], pero π1(A ∩B) = π1(∅) = ∅

Por otra parte

π1(ArB) = π1(A) = [1, 2], pero π1(A) r π1(B) = [1, 2] r [1, 2] = ∅

�

Hay relaciones entre las imagenes inversas de los complementarios y el complementario de lasimagenes inversas. Ası se tiene:

Proposicion 1.2.7. Seaf : X −→ Y una aplicacion entre conjuntos y seaB ⊂ Y . Entoncesf−1(Y rB) = X r f−1(B).


Ejemplo 1.2.8. No se verifica ninguna relacion entre las imagenes y los complementarios.

Si consideramosf : R −→ R, definida comof(x) senx, tenemos quef([0, π]c) = [−1, 1] y, sinembargo[f([0, π])]c = [0, 1]c = (−∞, 0)

⋃(1,+∞) �

Un tipo especial de aplicaciones que se utilizaran con frecuencia son las sucesiones. Una sucesionenX es una aplicacionφ : N −→ X. Es costumbre representar la sucesion como{xn}∞n=1 dondexn = φ(n).

Es conveniente distinguir una sucesion de su conjunto imagen. Una sucesion siempre tiene in-finitos terminos, pero su conjunto imagen no tiene por que ser infinito. Por ejemplo, la sucesion{1, 0, 1, 0, ...} tiene como conjunto imagen el{0, 1}.

La ultima definicion de este apartado es la de subsucesion de una sucesion {xn}∞n=1. Dada unaaplicacion estrictamente crecienteα : N −→ N dondeα(k) = nk, se define la subsucesionasociada como la composicion

φ ◦ α : N −→ X

es decir, es la sucesion{xnk}∞n=1.

1.3 Numerabilidad

En esta seccion, y salvo que se diga lo contrario,X va a representar un conjunto no vacıo.

Definicion 1.3.1 (Conjunto finito). Diremos queX es un conjunto finito si existe un numeronaturaln 6= 0 y una aplicacion biyectiva

φ : {1, 2, ..., n} −→ X

Definicion 1.3.2 (Conjunto infinito numerable). Diremos queX es un conjunto infinito numer-able si existe una aplicacion biyectivaφ : N −→ X.

Definicion 1.3.3 (Conjunto numerable).Diremos queX es un conjunto numerable si es, o bienfinito, o bien infinito numerable. SiX no es numerable, se dice que es infinito no numerable.

Proposicion 1.3.4. Todo subconjuntoA ⊂ N de los numeros naturales es numerable.

Demostracion. SiA ⊂ N es finito el resultado es evidente.

Supongamos queA ⊂ N no es finito. Definimos entonces la aplicacion φ : N −→ A de lasiguiente manera,φ(0) es el menor elemento deA; φ(1) sera el menor elemento deA tal queφ(1) 6= φ(0), ası sucesivamenteφ(p) sera el menor elemento deA tal queφ(p) 6= φ(0) 6= φ(1) 6=· · · 6= φ(p− 1).

1.3. NUMERABILIDAD 7

Si existep tal que ya no podemos hacer lo anterior, es decirφ(p) ≤ φ(0) ≤ . . . φ(p − 1) es queA ya no tiene mas elementos y, por tanto es finito, con lo cual hemos acabado. En caso contrariopodremos continuar y para cadap ∈ N existeφ(p) ∈ A, φ(p) 6= φ(i) parai < p. Evidentementeφ es biyectiva yφ(p) ≥ p.

En ocasiones, en lugar de buscar una aplicacion biyectiva para comprobar la numerabilidad, con-viene hacer uso de la siguiente caracterizacion, que resulta evidente despues de la proposicionanterior.

Proposicion 1.3.5. Un conjuntoX es numerable si y solo si existe una aplicacion suprayectivaφ : N −→ X.

Esta propiedad puede interpretarse ası: un conjuntoX es numerable si existe una sucesion tal quesu conjunto imagen es todoX.

A continuacion estudiaremos algunas propiedades basicas de la numerabilidad y veremos algunosde los ejemplos mas importantes de conjuntos numerables.

Proposicion 1.3.6. SiX es numerable yS es un subconjunto deX, entoncesS es numerable.

Demostracion. Por el hecho de serX numerable, existe una aplicacion suprayectivaφ : N −→ X.Se define la aplicacion ψ : X −→ S como la identidad sobre los elementos deS y que llevalos que no pertenecen aS a un punto fijo deS. Evidentementeψ es suprayectiva, por tanto lacomposicion,ψ ◦ φ : N −→ S es una aplicacion suprayectiva yS es numerable.

Ejemplo 1.3.7. El conjuntoN×N es numerable; y como consecuencia tambien lo esN× n. . . ×N.�

Demostracion. Podemos ”colocar”el conjuntoN× N de la siguiente forma:

(0, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) . . .

(1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3) . . .

(2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) . . ....

......

......

Si los recorremos en diagonal de arriba a abajo y de izquierda a derecha, como se indica enel esquema anterior esta claro queN × N se puede escribir como una sucesion de elementos. Noobstante, si queremos hacer explıcita la aplicacion suprayectiva, podemos escribirla de la siguienteforma.φ : N −→ N× N, φ(n) = (k,m− k), dondem es elunico numero natural tal que

m(m+ 1)2

< n+ 1 ≤ (m+ 1)(m+ 2)2

, y k = n− m(m+ 1)2


Proposicion 1.3.8.SeaI un conjunto numerable deındices, y para cadai ∈ I, seaSi un conjuntonumerable. Entonces,S =

⋃i∈I Si es numerable.(La union numerable de conjuntos numerables

es un conjunto numerable).

Demostracion. Por el hecho de serSi numerable, para cadai existe una aplicacion suprayectivaψi : N −→ Si. Entonces, la aplicacion:

ψ : I × N −→ S

dada porψ(i, n) = ψi(n) tambien es suprayectiva.

Por el hecho de serI numerable, existe otra aplicacion suprayectivaθ : N −→ I. Seaφ : N −→N× N la aplicacion suprayectiva definida en el ejemplo anterior.

Entonces la composicion

N φ−→ N× N (θ,Id)−→ I × N ψ−→ S

es una aplicacion suprayectiva, y por tantoS es numerable.

Ejemplo 1.3.9. El conjuntoZ de los numeros enteros es numerable.�

La numerabilidad tambien se conserva por productos finitos:

Proposicion 1.3.10.Sea una coleccion de conjuntos numerablesSi para i = 1, 2, ..., n. EntoncesS = S1 × S2 × ...× Sn es numerable.

Ejemplo 1.3.11. El conjunto de los numeros racionales,Q, es numerable.�

Proposicion 1.3.12.El intervalo[0, 1] ⊂ R no es numerable; en consecuenciaR tampoco lo es.

Demostracion. Supongamos que sı es numerable, es decir[0, 1] = {x1, x2, x3, . . . } se trata deuna sucesion. Podemos expresar cada elemento del intervalo en forma decimal, con un numeroinfinito cifras decimales distintas de 0, de la siguiente forma:

x1 = 0, a11a12a13 . . . a1n . . .

x2 = 0, a21a22a23 . . . a2n . . .

. . . . . .

xn = 0, an1an2an3 . . . ann . . .

. . . . . .

1.3. NUMERABILIDAD 9

donde cadaaij ∈ {0, 1, . . . 9}. Para que el numero de cifras decimales sea distinto de 0 en todos,si tenemos un numero que tiene un numero finito de decimales no nulos, tomamos suotra formade expresion:

12

= 0, 5 = 0, 4999999 . . .

Consideremos el numero real del intervalo[0, 1], x = 0, b1b2b3 . . . bn . . . de la siguiente forma:b1 6= a11 y b 6 = 0; b2 6= a22 y b2 6= 0 y ası sucesivamente. Esta claro quey 6= xi para todoi, portantox /∈ [0, 1], lo cual es imposible.

Como consecuencia, todo conjunto que contiene al intervalo(0, 1) no es numerable. En particular,R no es numerable.

Una propiedad importante de los numeros reales, relacionada con el orden, es la propiedad arqui-mediana. esta propiedad se puede formular de varias maneras, damos aquı dos de ellas:

Proposicion 1.3.13 (Propiedad Arquimediana).Para cualquier numero real positivoε > 0existe un numero naturaln ∈ N tal que

nε = ε+ ...+ ε > 1.

Proposicion 1.3.14 (Propiedad Arquimediana).Para cualquier par de numeros reales tales quex < y, se puede encontrar siempre un numero racionalq ∈ Q verificandox < q < y.

Capıtulo 2

Espacios Metricos

2.1 Distancias y espacios metricos

Definicion 2.1.1 (Distancia). Dado un conjunto�

, una distancia es una aplicacion ��

que a cada par � �� le asocia un numero real �� y que cumple los

siguientes condiciones:

1. �� .2. �� si, y solo si �� (separacion).

3. �� para todo ��!� � (simetrıa).

4. �� "�� $#%��&'��(#)�� para todo ��$#*� � (desigualdad triangular).

Definicion 2.1.2 (Espacio metrico). Se llama espacio metrico a un par � � �$�+� , donde�

es unconjunto y � es una distancia definida en

�.

Ejemplo 2.1.3.

(1) El espacio metrico de los numeros reales con la metrica del valor absoluto de la diferencia, esdecir �� ,�-.��/

definida como �� 0�21 � � �31 .(2) El espacio metrico discreto. Sea

�un conjunto no vacıo cualquiera; si ��4� �

definimos�� si �-�� y �� 65 si �87�� . � � �$�+� es un espacio metrico. 9

Antes de continuar con el siguiente, e importante ejemplo, conviene establecer una interesanterelacion:

11

12 CAPITULO 2. ESPACIOS METRICOS

Proposicion 2.1.4 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si �� y � � � �� numeros

reales cualesquiera, entonces: �� " �� Demostracion. Dado cualquier � �

se verifica que � �� *& � � � � � . Si desarrollamos elcuadrado y agrupamos tendremos que � � � &�� &��,�� tomando � �� y �,�� .En estos terminos, lo que queremos probar es que � � "�� . Si � � � todos los � � � � y portanto tambien todos los

� �� . Si � 7�� podemos poner

� "�� &�� &��,� �"!)�*& � �$# � & �� para todo �8�

. El segundo miembro es mınimo si �� $%&y si lo sustituimos en la expresion

anterior

� " �� (')�� (')� � "��Ejemplo 2.1.5.

(1) Sea� � �

, y para los puntos �� , e �*� � � � �� se definen las aplicaciones:

� � � ��*1 � � � � � 1 &21 � � � � � 1 �� & � � � � � � � � � �+*,� ��--� ��0� .0/�13�$1 � � � � � 1 � 1 � � � � � 1 �2�

� � � ��

� � �

� �� --� ��

En el grafico anterior puede verse como es cada una de estas distancias. Las tres son generaliza-ciones de la metrica del valor absoluto de la diferencia, y las tres tienen nombre propio: � � sellama la metrica del taxi, � � se llama la metrica euclıdea o usual y �3- se llama la metrica delajedrez o del maximo.

2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS METRICOS 13

(2) El ejemplo anterior se puede generalizar a �

. Sean �-� � � � �� 0� � e �*� � � � �� 0� �se define:

� � � �� 1 � � � ��1 �

� � � ��

�� +*,� �

��--� �� $� � � 1 � � � ��1 �� 5 ��

La prueba de que � � y ��- son distancias es una mera comprobacion. Lo mismo sucede con laspropiedades (1) y (2); no ası con la desigualdad triangular en la que hay que utilizar la desigualdadde Cauchy-Schwarz. Veamoslo.

Sean ��$#*� � y consideremos

�(� � � ��$#%��&'� � �(#)�� #�� & �� (# � � �

��

�� #

�� & �� (# � � �

�� &�� #

�� (# � � �

��

aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz al ultimo sumando de la expresion anterior, podemoscontinuar

�� #

�� & �� (# � � �

�� &�� #

�� (#�� #

�� & �(#

�� &��)� � � � #

�� (#�� #

��3& �(#

��

��

��

�� (� � � ��

Las tres metricas se pueden considerar generalizaciones de la metrica del valor absoluto en

vistaen el Ejemplo 1.0.3(1)

(3) El conjunto � de los numeros complejos con la metrica del modulo de la diferencia ��(# � �# � ��21 # � � # � 1 con # � �$# � �� , es un espacio metrico.


(4) Sea� � � � � � � � � � (de la palabra inglesa bounded que significa acotada), el conjunto de

funciones acotadas �� . Dadas dos funciones (que son los puntos de este espacio),

��!� � , sea��--��)��

� 1�� 1 � �La siguiente grafica nos da una idea de como es esta distancia.

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

..

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

....

��-��

El par � � �$��-�� es un espacio metrico y la metrica se denomina metrica del supremo o metricauniforme.

En concreto podemos destacar por su interes el espacio de las sucesiones acotadas� - � � � � � � � � sucesion acotada � � � �*� � � �� acotada �

con la distancia � --�� 1 � � � � � 1 � .(5) El espacio �� continua � de las funciones reales continuassobre un intervalo cerrado � � � � con la distancia

��)�0�� 1 � � � � � � � � � 1 � �

es tambien un espacio metrico.

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

..

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

....�

�� (6) Las siguientes metricas se pueden definir en el producto de dos espacios metricos. Sean � � � �$�+�y � � � �$�� ; se define para ��6� � � �� , �*� � � � �� donde ��!� � � �-� � :

� � � ��0�� 3&4� � � � ��

2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS METRICOS 15

� � � �� (�� &'� � � � �� +*,� ��--� �� $� � � �� $� � � � ��

Se ve claramente que se trata de una construccion similar a la seguida en el ejemplo 1.0.5(1) parala construccion de tres distancias en

�; � y �� juegan el papel de 1+1 . 9

Proposicion 2.1.6. Sea � � �$�+� un espacio metrico, entonces se verifica

1 �� $#%� � ��(#)�� 1+"�� para todo ��$#��

Demostracion. Aplicando la desigualdad triangular tenemos �� $#%�." �� & �� $#%�� 3&'��(#)�� , por tanto �� $#%� � ��(#)�� "�� De forma analoga podemos poner ��(#)�� " ��(#)�� &�� $#%� &�� y tendremosque

� �� "�� $#%� � ��(#)�� .Si unimos las dos desigualdades obtenidas en los parrafos anteriores

� �� "�� $#%� � ��(#)�� "��

Definicion 2.1.7 (Subespacio metrico). Sea � � �$�+� un espacio metrico y sea��

un subcon-junto de

�. Sea tambien ��2� � ��

, definida por �� 6�� . El par � � �$�� es un espacio metrico y se llama un subespacio metrico de

�, y la metrica �� recibe el nombre

de metrica inducida por � .

Si��

, cuando se hable de�

como de un espacio metrico, siempre se estara suponiendo quesu metrica es la metrica inducida por la metrica euclıdea de

�, salvo que se diga otra cosa en

contra. En particular esto se aplica a los diferentes tipos de intervalos de numeros reales.

Ejemplo 2.1.8.

(1) � �+� 5 � con la metrica inducida por el valor absoluto es subespacio metrico de

.

(2) �� con la metrica inducida por � - es subespacio metrico de� � � � � � � � .

(3) El espacio �� de las sucesiones reales con lımite 0, es subespacio metrico de� - . 9

Definicion 2.1.9 (Distancia de un punto a un conjunto). Sea � � �$�+� un espacio metrico, sea unsubconjunto � � �

. Definimos la distancia de un punto �� al subconjunto � como

�� que existe dado que el conjunto sobre el que tomamos el ınfimo, esta acotado inferiormente por 0.


Definicion 2.1.10 (Distancia entre conjuntos). Sean � y � dos subconjuntos de�

. Se define ladistancia del subconjunto � al subconjunto � como

�� *�� Ejemplo 2.1.11.

(1) Si � es la metrica discreta sobre�

, � � � y � � � � �, entonces

�� 0� � 5 si �� si � � � � �� *�� 5 si �� 2��

� si �� 7��(2) Consideremos

con la distancia usual �� 21 � � �31 y sea � � � 5 ��

, entonces:

�� 1�� 1%� � �4� 5 �� ;�� 5 � � �� 1 5 � � 1 � � �4� 5 �� ;��(�+� � �� 1 � 1%� � �4� 5 �� 65 .

Evidentemente, si �� , entonces �� . El recıproco no es cierto, como muestra esteejemplo.

(3) Consideremos � � �$� � � y � � � � �� &�� ",5 � y �2� � � �� &��*� �� .Entonces �� *� � � � 5 . Una grafica ayuda a realizar este sencillo calculo: la distancia quequeremos calcular es la diferencia entre la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, quees � y diametro del cırculo � que es 1.

.......

.......

.......

.......

.......................................... ��5

5

�

�

9

2.2. BOLAS 17

2.2 Bolas

Los subconjuntos, quizas mas importantes, de un espacio metrico, que vamos a estudiar a contin-uacion, son las bolas abiertas; que daran origen a un concepto fundamental: el de conjunto abierto.Se trata de una generalizacion del concepto conocido de intervalo abierto centrado en un punto en

.

Definicion 2.2.1 (Bola abierta). Sea � � �$�+� un espacio metrico y sean � � � , y �� un numeroreal. Definimos la bola abierta en

�, centrada en � y de radio � como el conjunto�-� � � � ��

Si se necesita especificar con que metrica se esta trabajando, se representara la bola abierta por�� .Ejemplo 2.2.2.

(1) En � � 1�1 � la bola abierta de centro � y radio �� es el intervalo abierto de extremos � � � y� & � �-� � � � �� 1 � � � 1�� & � �(2) La palabra bola debe su origen al caso euclıdeo. En � � �$� � � , tenemos que�-� � � � � � � � �� &4� � � � � �es el interior del cırculo de radio � centrado en � .En el espacio � � �$� � � , �-� � � � �� $#%� � � � � � &8� � &'# � � � � � es el interior de la bola oesfera solida de radio � centrada en � .Las bolas abiertas, sin embargo, pueden ser realmente muy diferentes y no tener la apariencia deuna bola esferica. En � � �$��-*� , la bola �-�(�+� � � es el interior del cuadrado de centro � y de ladosparalelos a los ejes de coordenadas y con longitud � � .En � � �$� � � con la metrica � � , la bola �-�(�+� � � es el interior del cuadrado centrado en el punto �(�+�$� �y con vertices en los puntos �(�+� � � � �(�+� � � � � � � �$� � � � � � �$� � . Con la grafica siguiente nos podemoshacer una idea de como son estas tres bolas, con centro 0 y radio � �65 en el plano

�.

1

1

� 5� 5

1

1

� 5� 5

1

1

� 5� 5

..................................................................................................................

..................

....................

..................

...................

...

��--�(�+� 5 � � � �(�+� 5 � � � �(�+� 5 �


(3) En � �� +� 5 � � � � ��- � , �-�� es el conjunto de todas las funciones continuas � en � �+� 5 � , cuyagrafica se encuentra entre las graficas de las funciones �� y � � � � � & � .(4) En el espacio metrico discreto � � �$� � � se tiene que�-� � � � �� si � ",5�

si �� 5

(5) Sea� � � �+� 5 � �2

con la metrica del valor absoluto � en

. Entonces, en

, �� 5 � 5 � ��(�+�� , mientras que para la metrica inducida en

�, � �� 5 � 5 �0� �(�+� 5 � . 9

Las bolas abiertas en un subespacio metrico son la interseccion con el subespacio de la bola delespacio total con el mismo centro y radio:

Proposicion 2.2.3 (Bolas en subespacios metricos). Sea � � �$�+� un espacio metrico, y sea�

unsubconjunto de

�; entonces las bolas abiertas del subespacio metrico � � �$�� son la intersec-

cion de las correspondientes bolas en el espacio total con el subconjunto. Es decir, � �� 2.3 Abiertos. Propiedades

Uno de los objetivos de este curso es llegar al concepto de espacio topologico por medio delestudio de los espacios metricos, que son mas naturales, y de sus propiedades. Empezaremos conuna propiedad caracterıstica de las bolas abiertas, que nos va a dar lugar a introducir una primeradefinicion de conjunto abierto; en este caso, abierto en un espacio metrico.

Lema 2.3.1. Sea �-� �� una bola abierta en un espacio metrico � � �$�+� , y sea � � �-� �� ,entonces existe un

� � � tal que �-� �� -� �� ...............................

��

� ��

Demostracion. Basta tomar�

de modo que � � ��

� �� . El numero�

se puede escogerası ya que, como � � �-� �� , entonces �� . Entonces �-� �� -� � �� , puesto que si#*�$�-� �� entonces, por la desigualdad triangular,

�� $#%� " �� &'�� $#%� "�� 3& �� 3& � � ��

2.3. ABIERTOS. PROPIEDADES 19

Por tanto, # � �-� � �� .Teorema 2.3.2 (Propiedad de Hausdorff). Si � � �$�+� es un espacio metrico y ��

son dospuntos distintos, existen � � � � � � � tales que �-� �� -� �� .

Demostracion. (Ejercicio)

Este resultado permite plantearse la definicion de un tipo de subconjuntos que verifican esta condi-cion, es decir, de aquellos subconjuntos tales que, para cualquier punto del subconjunto, existe unabola abierta centrada en el y totalmente contenida en el subconjunto. Seran los conjuntos abiertos.

Definicion 2.3.3 (Conjunto abierto). Sea � � �$�+� un espacio metrico. Diremos que un subcon-junto � � �

es abierto en � � �$�+� si para cada �4� � existe un � � � � tal que �-� �� .Observemos que el numero real � � depende del punto � , es decir, para � diferentes seran necesar-ios diferentes radios � � .

Corolario 2.3.4. Cualquier bola abierta en un espacio metrico � � �$�+� es un abierto

Ejemplo 2.3.5.

(1) Cualquier intervalo abierto de la recta real, incluso los intervalos abiertos no acotados, es ensubconjunto abierto de la recta real con la metrica del valor absoluto de la diferencia. Tambien loson las uniones de intervalos abiertos. Sin embargo los intervalos � � � � , � � � � y � � � � no lo son.

(2) Un conjunto abierto no tiene por que ser una bola abierta. Ası el subconjunto de �

:�.� � � �� 1 � 1��,5 � 1 �31�� no es una bola abierta de

�para la metrica euclıdea, y sin embargo sı que es un subconjunto

abierto. Sin embargo el conjunto siguiente no es abierto�2� � � �� 1 � 1��,5 � 1 �31%" ��(3) En la metrica discreta, cualquier subconjunto es abierto.

(4) La condicion de ser abierto depende de la metrica. El subconjunto� � � ��

es abierto para lametrica discreta, pero no lo es para la metrica euclıdea.

(5) La condicion de ser abierto tambien depende del conjunto sobre el que se define la metrica.Ası, el intervalo � �+� 5 � es abierto en � � �+�� $� � � � � � � , pero no lo es en el espacio total

con la metrica

del valor absoluto. 9Teorema 2.3.6. Sea � � �$�+� un espacio metrico, entonces se verifican:

1.�

y � son abiertos.


2. Si� � � � �0� � � es una familia de abiertos en

�, entonces �

�� es un abierto.

3. Si� � � � � �65 ��%�� es una familia finita de abiertos, entonces � �� es un abierto.

Demostracion. (1) Es claro

(2) Si � �� , existira un � � � tal que � � �� ; como �� es abierto, para algun � � � � sera�-� �� , lo que quiere decir que la union es un conjunto abierto.

(3) Si � � � �� , entonces � �� para todo � � 5 ��%�� y como cada � � es abierto, cadauno de estos conjuntos debe contener una bola de centro � , es decir, para cada � � 5 ��%�� existira un �

�� tal que �-� �� . Si tomamos � � . �� 5 ��%�� tendremos que�-� �� -� �� para todo � �65 ��%�� y por tanto �-� �� .

Ejemplo 2.3.7.

La interseccion arbitraria de abiertos no es, en general un abierto. Si consideramos la familia deabiertos

� � �� en � � 131 � , su interseccion es � -� � � �� , que no es abierto. 9

Algunas de las propiedades e ideas mas importantes que abordaremos y, que de hecho, ya se estanabordando en analisis, necesitan del estudio de lo que ocurre en un punto y, mas en concreto, enlas cercanıas, en los alrededores de un punto; ası sucede con la continuidad, con la convergen-cia,... Necesitamos realizar un estudio local. Vamos a ver algunos conceptos que facilitaran dichoestudio.

Definicion 2.3.8 (Entorno). Sea � � �$�+� un espacio metrico, � �un subconjunto y �� .

Diremos que es un entorno de � si existe un �� tal que �-� �� .

Ejemplo 2.3.9.

(1) Una bola abierta en un espacio metrico, es entorno de todos sus puntos. En concreto, en

conla metrica usual, un intervalo abierto, es entorno de todos sus puntos.

(2) El intervalo � �+�� es un entorno del punto 5 , pero no lo es del punto � . 9Proposicion 2.3.10. Un subconjunto � de un espacio metrico � � �$�+� es abierto si y solo si � esentorno de todos sus puntos.


2.4 Cerrados

Tan importantes como los abiertos, son sus complementarios, los llamaremos cerrados.

2.4. CERRADOS 21

Definicion 2.4.1 (Cerrado). Sea � � �$�+� un espacio metrico. Diremos que un subconjunto � � �es cerrado en � � �$�+� si su complementario � � � � � � es un subconjunto abierto en � � �$�+� .Ejemplo 2.4.2.

En

, con la metrica usual, los intervalos cerrados son subconjuntos cerrados; tambien lo son lassemirrectas cerradas � � � & � � o � � � � � . No lo son los intervalos de la forma � � � � , � � � � o � � � � .

9Proposicion 2.4.3. Un subconjunto � de un espacio metrico � � �$�+� es un cerrado si y solo si paratodo �� existe un �� tal que �-� �� $�.�� .

Demostracion. ' Si � � �es cerrado quiere decir que � �

es abierto, por tanto, para todo�� ( � � � �

, existe �� tal que �-� ��

, es decir, �-� �� $�,�� Si para todo � �� ( � � � �

), existe �� tal que �-� �� .�� , entonces �-� ��

,entonces � �

es abierto, luego � es cerrado.

Ejemplo 2.4.4.

(1) En � � �$� � � , el conjunto �.� � � �� 1 � 1 � 5 � 1 �31)" �� no es cerrado y � � � � �� 1 � 1%",5 � 1 �31+" �� , sı lo es.

(2) En � � �$� � � , cualquier recta es un conjunto cerrado. 9Definicion 2.4.5. Sea � � �$�+� un espacio metrico, sea � � �

, y � � � numero real. Llamaremosbola cerrada de centro � y radio � al conjunto� � � � � �� " � �Las bolas cerradas contienen a las correspondientes bolas abiertas.

Proposicion 2.4.6. En un espacio metrico, las bolas cerradas son conjuntos cerrados


Teorema 2.4.7. Sea � � �$�+� un espacio metrico, entonces se verifican:

1.�

y � son cerrados.

2. Si� � � �� es una familia de cerrados en

�, entonces �

�� es un cerrado.

3. Si� � � �� 65 ��%�� es una familia finita de cerrados, entonces �

�� es un cerrado.

Demostracion. Se trata de aplicar las leyes de Morgan. (Ejercicio)


Ejemplo 2.4.8.

(1) La union arbitrario de cerrados no es, necesariamente un cerrado. Consideremos la familia� � �+� 5 � �� 3�� de intervalos cerrados en

; su interseccion

� � �� +� 5 � 5� � � � �+� 5 � �no es cerrado.

(2) En la metrica discreta cualquier subconjunto es cerrado.

(3) Hay subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo � �+� 5 � � con la metrica

euclıdea.

(4) Tambien es posible que un subconjunto sea a la vez abierto y cerrado. Por ejemplo, con lametrica discreta, cualquier subconjunto es a la vez abierto y cerrado. 9Definicion 2.4.9. Sea � � �$�+� un espacio metrico y

� �2�. Diremos que

�es un subconjunto

acotado si eixten � � � � y �� tal que�� -� � � � � � .

Ejemplo 2.4.10.

(1)

con la metrica euclıdea es un espacio metrico no acotado.

(2)

con la metrica discreta es un espacio metrico acotado.

(3) Los subespacios � 5 �� , � 5 �� y� � � � � 5 �� de

con la metrica euclıdea son subespacios

metricos acotados. El subespacio � � 5 � & � � no es acotado.

(4) Cualquier bola, abierta o cerrada, es un subespacio acotado. 9Definicion 2.4.11 (Diametro de un conjunto). Sea � � �$�+� un espacio metrico y

� � �un

subconjunto acotado. Definimos el diametro de�

, y se representa por� � � � como

� � � �0� �� Ejemplo 2.4.12.

(1) Los diametros de los subconjuntos � 5 �� , � 5 �� y� � � � � 5 �� de

con la metrica usual son

respectivamente 5 , 5 y � .(2) El subespacio � �+� 5 � � � �+� 5 � de

�es un subconjunto acotado para cada una de las tres metricas

� � , � � y ��- . Sus diametros para cada una de estas tres metricas son, respectivamente, � , � y 5 .9

Capıtulo 3

Espacios topologicos

3.1 Espacio topologico

Definicion 3.1.1. Un espacio topologico es un par(X, τ), dondeX es un conjunto, yτ es unafamilia de subconjuntos deX que verifica las siguientes condiciones

(1) X ∈ τ y ∅ ∈ τ .

(2) Dada una familia{Ai ∈ τ, i ∈ I} de elementos deτ , su union∪i∈IAi ∈ τ tambien estaenτ .

(3) SiA1, A2 ∈ τ , entoncesA1 ∩ A2 ∈ τ (la interseccion de dos elementos de la familiaτ

tambien es un elemento de la familia)

Diremos entonces, que la familiaτ es una topologıa sobreX, y a sus elementos les llamaremosconjuntos abiertos de(X, τ).

De la condicion (2) se deduce, por induccion, que la interseccion de una familia finita de conjuntosabiertos sigue siendo un conjunto abierto en(X, τ). (Ejercicio)

Ejemplo 3.1.2.

(1) Topologıa asociada a una metrica. Todo espacio metrico (X, d) tiene asociado un espaciotopologico(X, τd), dondeτd es la familia de los conjuntos abiertos deX para la distanciad tal ycomo los hemos definido en [2.3.3]. El teorema [2.3.6] prueba que, efectivamente, estos abiertosconstituyen una topologıa que llamamos topologıa τd asociada a la metricad.

(2) Topologıa discreta. SeaX un conjunto; consideremos la familiaτ = P(X), formada portodos los subconjuntos deX. Esta familia es una topologıa en la que cualquier subconjunto deX

23

24 CAPITULO 3. ESPACIOS TOPOLOGICOS

es un abierto y se llamatopologıa discreta, en este caso decimos que(X,P(X)) es un espaciotopologico discreto.

(3) Topologıa indiscreta. Si consideramos ahora la familia{∅, X} cuyosunicos conjuntos son elvacıo y el propioX, tambien constituye una topologıa sobreX que llamaremostopologıa gruesa,indiscreta o trivial.

(4) Sea el conjuntoX = {a, b, c, d, e}. Entre otras, podemos construir las siguientes familias desubconjuntos deX:

τ1 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}}

τ2 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}}

τ3 = {X, ∅, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, d, e}}

τ1 es una topologıa sobreX y sin embargo,τ2 falla en la union yτ3 falla en la interseccion, por lotanto no lo son.

(5) Topologıa cofinita. SeaX un conjunto cualquiera y definamosτ como el conjunto vacıo juntocon aquellos subconjuntosA ⊂ X tales queAc = X r A es finito. τ es una topologıa sobreXque se conoce como la topologıa cofinita y se representa porτcf . Cuando el conjuntoX es finito,entonces la topologıa cofinita coincide con la topologıa discreta. Como este caso no introducenada nuevo, siempre que se estudie la topologıa cofinita sera sobre conjuntos infinitos. �

Como hemos visto, sobre un conjunto se puede definir mas de una topologıa. Podemos estableceruna cierta comparacion:

Definicion 3.1.3 (Topologıas mas finas). Dado un conjuntoX, seanτ1 y τ2 dos topologıasdefinidas sobreX. Si todo abierto deτ1 es un abierto deτ2, es decir,τ1 ⊂ τ2, diremos queτ2 es mas fina queτ1 o queτ1 es menos fina queτ2, o bien queτ2 es mas debil queτ1. Dostopologıas son equivalentes si tienen los mismos abiertos y dos topologıas no son comparables sininguna es mas fina que la otra.

Ejemplo 3.1.4.

(1) La topologıa indiscreta es menos fina que cualquier otra y la topologıa discreta es la mas finaposible.

(2) La topologıa cofinita sobreR2 es menos fina que la topologıa usual, puesto que siA es abiertode la topologıa cofinita,A es complementario de un subconjunto finito deR2 y, como los conjuntosfinitos son cerrados para la topologıa usual,A tambien es abierto enR2 para la topologıa usual.�

Definicion 3.1.5 (Base de una topologıa). Sea(X, τ) un espacio topologico. Diremos que unasubfamiliaB ⊂ τ , es una base de la topologıa τ si cada abiertoA se puede expresar como unionde conjuntos deB, es decir, existe{Bi}i∈I ⊂ B tal queA =

⋃i∈I Bi.

3.1. ESPACIO TOPOLOGICO 25

Proposicion 3.1.6.SeaX un conjunto yB ⊂ P(X) una familia de subconjuntos deX. EntoncesB es base de una topologıa τ sobreX si, y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

(a) X =⋃

B∈B B.

(b) SiB1, B2 ∈ B, para cadax ∈ B1 ∩B2, existeB ∈ B tal quex ∈ B ⊂ B1 ∩B2.

Demostracion. =⇒ Si suponemos queB es base de una topologıa τ enX, comoX ∈ τ , estaclaro queX = ∪B∈BB y se cumple (a). Veamos que se cumple (b); siB1, B2 ∈ B, es evidentequeB1, B2 ∈ τ , por tantoB1 ∩ B2 ∈ τ , luego esta interseccion sera union de conjuntos deB,B1 ∩ B2 = ∪i∈IBi conBi ∈ B para todoi ∈ I. Si x ∈ B1 ∩ B2, entoncesx ∈ Bj para algunj ∈ I. Por tantox ∈ Bj ⊂ B1 ∩B2.

⇐= Supongamos ahora queB es una familia de subconjuntos deX que cumple (a) y (b) yveamos que existe una topologıa determinada porB. Definimos la familia

τ = {A ⊂ X : A = ∪j∈JBj , conBj ∈ B, para todoj ∈ J}.

Hay que comprobar que se trata de una topologıa. X ∈ τ por (a);∅ ∈ τ pues∅ ∈ B.

Si {Ai}i∈I es una familia de conjuntos deτ , tendremos que cadaAi sera union de conjuntos deB, es decir,Ai = ∪j∈JiBij para cadai ∈ I con Bij ∈ B para todoj ∈ Ji; como la union esasociativa, tendremos que ⋃

i∈I

Ai =⋃i∈I

(⋃j∈Ji

Bij) =⋃

i∈I,j∈Ji

Bij

lo que implica que la union de conjuntos deτ es deτ .

Por ultimo veamos que siA1, A2 ∈ τ entoncesA1 ∩ A2 ∈ τ . Tenemos queA1 = ∪i∈IBi yA2 = ∪j∈JBj conBi, Bj ∈ B para todoi ∈ I, j ∈ J . Para cadax ∈ A1 ∩ A2, x ∈ ∪i∈IBi yx ∈ ∪j∈JBj , luego existenio ∈ I y jo ∈ J tales quex ∈ Bio ∩ Bjo y por (b), existeBx ∈ B talquex ∈ Bx ⊂ Bio ∩Bjo ⊂ A1 ∩A2 y por tanto∪x∈A1∩A2Bx = A1 ∩A2.

Ejemplo 3.1.7.

(1) Los intervalos abiertos(a, b); a, b ∈ R son una base de la topologıa usual enR.

(2) La familia {B(x, r) : x ∈ X, r > 0} son base de la topologıa asociada a la distancia en unespacio metrico(X, d).

(3) Los rectangulos abiertos y de lados paralelos a los ejes, son una base de la topologıa euclıdeaenR2.

(4) Si consideramos(X, τD) espacio topologico con la topologıa discreta, la familiaB = {{x} :x ∈ X}, es una base de dicha topologıa. �


3.2 Cerrados

Definicion 3.2.1 (Cerrado). Dado un espacio topologico (X, τ), diremos que un subconjuntoC ⊂ X es cerrado si su complementarioCc = X r C es abierto. Representaremos la familia detodos los cerrados porC

Ejemplo 3.2.2.

(1) En un espacio metrico (X, d), la definicion de cerrado para la metricad coincide con la decerrado para la topologıa τd, asociada a la distanciad.

(2) En un espacio topologico con la topologıa indiscreta, losunicos cerrados sonX y ∅.

(3) En un espacio topologico con la topologıa discreta, todos los subconjuntos deX son cerrados.

(4) En la topologıa cofinita,(X, τcf ), un subconjuntoC ⊂ X es cerrado si y solo si C = X, obienC es finito. �

El hecho de que un conjunto sea cerrado no implica que este conjunto no sea abierto; de hecho,existen conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados, por ejemplo el espacio totalX en cualquierespacio topologico(X, τ); o la topologıa discreta del ejemplo anterior, tiene todos sus conjuntosque son a la vez abiertos y cerrados. Tambien existen, como hemos visto, conjuntos que no son niabiertos ni cerrados como cualquier intervalos[a, b) enR con la topologıa usual.

Los cerrados cumplen una serie de propiedades, que podemos llamar, duales de las propiedadesde los abiertos y que, en el caso de espacios metricos ya hemos visto en [2.4.7].

Teorema 3.2.3.Dado un espacio topologico(X, τ), la familia de los conjuntos cerrados cumplelas siguientes propiedades:

(1) X y ∅ son cerrados.

(2) Si{Ci : i ∈ I} es una familia de cerrados enX, entonces∩i∈ICi es un cerrado.

(3) Si {Ci : i = 1, 2, . . . , n} es una familia finita de cerrados, entonces∪ni=1Ci es un

cerrado.

Ya hemos visto en el ejemplo [2.4.8(1)] que la union arbitraria de cerrados no es, en general, uncerrado.

3.3 Entornos

Otro concepto que ya aparecio en los espacios metricos, pero que en realidad es topologico es elde entorno de un punto.

3.3. ENTORNOS 27

Definicion 3.3.1 (Entorno de un punto).Dado un espacio topologico (X, τ), diremos que unsubconjuntoU ⊂ X es un entorno de un puntox ∈ X si existe un abiertoA tal quex ∈ A ⊂ U .Al conjunto o familia de todos los entornos de un puntox ∈ X lo representaremos porUx.

Ejemplo 3.3.2.

(1) Si (X, d) es un espacio metrico, todo entorno para la metrica sera obviamente un entorno parala topologıa asociada a la distancia. El recıproco tambien es cierto.

(2) En un espacio topologico trivial elunico entorno posible de un punto es el espacio total.

(3) En un espacio topologico discretoU ∈ Ux si y solo six ∈ U .

(4) En la topologıa cofinita,U ∈ Ux si y solo six ∈ U y U c = X r U es finito.

Recordemos que, en un espacio metrico los conjuntos abiertos se pueden caracterizar a partir de lanocion de entorno. En el caso general de los espacios topologicos tambien se pueden caracterizarlos conjuntos abiertos de una manera analoga. �

Proposicion 3.3.3. En un espacio topologico (X, τ), un conjuntoA es abierto si, y solo si A esentorno de todos sus puntos.

Demostracion. =⇒ Si A es abierto, se tiene, obviamente, quex ∈ A ⊂ A, y por tantoA es unentorno dex, para todox ∈ A.

⇐= Recıprocamente, si suponemos queA es entorno de todos sus puntos, entonces, para todox ∈ A existe un abiertoUx tal quex ∈ Ux ⊂ A. De esta manera se puede escribirA = ∪x∈AUx,que sera abierto ya que es union de abiertos.

Proposicion 3.3.4.Dados un espacio topologico(X, τ) y un puntox ∈ X, la familia de entornosUx verifica las siguientes propiedades:

(1) SiU ∈ Ux, entoncesx ∈ U .

(2) SiU ∈ Ux y U ⊂ V , entonces tambienV ∈ Ux.

(3) SiU, V ∈ Ux, entoncesU ∩ V ∈ Ux.

(4) SiU ∈ Ux, existeV ∈ Ux tal quex ∈ V ⊂ U y V ∈ Uy para todoy ∈ V .

Demostracion. (1)Es evidente. (2) ComoU ∈ Ux, entonces existeA abierto de modo quex ∈A ⊂ U , pero entoncesx ∈ A ⊂ V ; por tantoV ∈ Ux.

(3) Si U, V ∈ Ux existen abiertosA, B, tales quex ∈ A ⊂ U y x ∈ B ⊂ V . Eso implica quex ∈ A ∩ B ⊂ U ∩ V , y comoA ∩ B es abierto por ser interseccion de dos abiertos, tendremosqueU ∩ V ∈ Ux.

(4)ComoU ∈ Ux, existe un abiertoA ∈ τ tal quex ∈ A ⊂ U ; basta tomarA = V


La familia de todos los entornos habitualmente es muy grande y, con frecuencia, difıcil de repre-sentar. Incluso en el caso deR con la topologıa usual, los entornos pueden ser muy complicados.Esto se resuelve trabajando solo con los intervalos. En el caso de un espacio metrico este papel lohacen las bolas y en el caso general introduciremos un concepto que facilitara el trabajo de formasemejante:

Definicion 3.3.5 (Base de entornos).Dado un espacio topologico(X, τ), un puntox ∈ X, y unasubfamiliaVx ⊂ Ux de la familia de entornos dex; diremos queVx es una base de entornos dex,o base local dex, en(X, τ) si verifica

SiU ∈ Ux es un entorno dex, entonces existeV ∈ V(x) tal queV ⊂ U

Ejemplo 3.3.6.

(1) En R con la topologıa usual, una base de entornos para cadax ∈ R es la familia formada porlos intervalos de centrox y radior > 0 variandor, es decir{(x− r, x + r) : r > 0}.

(2)En un espacio metrico(X, d), la familia de bolasVx = {B(x, r) : r > 0} es obviamente, unabase de entornos dex, para cadax ∈ X.

(3)En un espacio metrico (X, d), la familia de bolasVx = {B(x, 1n) : n ∈ N∗} es tambien una

base de entornos dex, para cadax ∈ X, puesto que para cadar > 0 existen ∈ N∗ tal que1n < r.

(4) En un espacio topologico trivial o indiscreta,(X, τI), la unica base de entornos posible es laformadaunicamente por el espacio totalX.

(5) Si el espacio topologico es discreto,(X, τD), {x} es un entorno dex, para todox ∈ X, y portanto se deduce que la familia formada por este entorno,Vx = {{x}}, es una base de entornos dex. �

3.4 Subespacios topologicos

Proposicion 3.4.1.Sea(X, τ) un espacio topologico yH ⊂ X entonces la familiaτH = {H∩A :a ∈ τ} de las intersecciones de los abiertos de(X, τ) conH es una topologıa sobreH.

Demostracion. EvidentementeH ∈ τH puesto queH = H ∩X y ∅ = H ∩∅, luego∅ ∈ τH .

Si tenemos una familia{H ∩ Ai : i ∈ I, Ai ∈ τ} de elementos deτH , entonces la union sera∪i∈I(H ∩ Ai) = H ∩ (∪i∈IAi) y como∪i∈IAi ∈ τ por ser abiertos, tendremos que la union deelementos deτH tambien es deτH . Aplicando la misma propiedad en sentido contrario se pruebaque la interseccion de dos elementos deτH tambien es deτH .

3.4. SUBESPACIOS TOPOLOGICOS 29

Definicion 3.4.2 (Subespacio topologico). Si (X, τ) es un espacio topologico y H ⊂ X, alespacio topologico (H, τH) se le llama subespacio topologico deX y a la topologıa τH se lellama topologıa inducida porτ sobreH o topologıa relativa deH con respecto a(X, τ). A losabiertos deτH les llamamos abiertos relativos o abiertos para la topologıa relativa.

Ejemplo 3.4.3. Los subconjuntos de un espacio metrico con la topologıa asociada a la distanciainducida son subespacios topologicos.

�

Los cerrados en la topologıa inducida tambien son intersecciones de cerrados del espacio total conel subespacio.

Proposicion 3.4.4. Sea(X, τ) un espacio topologico y seaH ⊂ X. Un subconjunto deF ⊂ H,es un cerrado relativo si, y solo si existe un cerradoC en el espacio total, de forma queF = C∩H.

Demostracion. =⇒ SeaF un cerrado en(H, τH). Eso significa que su complementario enH

es un abierto relativo,H r F ∈ τH . Por tanto, existeA ∈ τ tal queH r F = A ∩ H. PeroentoncesC = X r A es un cerrado en(X, τ), y

F = H r (H r F ) = H r (A ∩H) = H r A = H ∩ (X r A) = H ∩ C

⇐= Recıprocamente, seaF = C ∩H conC cerrado en el espacio total. Su complementario enH se puede expresar ası:

H r F = H r (C ∩H) = H r C = H ∩ (X r C)

ComoX r C ∈ τ , es abierto por ser complementario de un cerrado,H r F ∈ τH . TendremosqueF es cerrado en(H, τH).

Ejemplo 3.4.5. Es importante darse cuenta de que, en general, los abiertos relativos no tienenpor que ser abiertos en el espacio total. Ası, [0, 1) no es abierto enR con la topologıa usual; sinembargo, sı es abierto en[0,+∞) con la topologıa inducida.

�

Proposicion 3.4.6. Sea(X, τ) un espacio topologico y(H, τH) un subespacio. Entonces:

(a) Todo subconjuntoA ⊂ H abierto en(H, τH) es abierto en(X, τ) si, y solo H es abiertoen(X, τ).

(b) Todo subconjuntoC ⊂ H cerrado en(H, τH) es cerrado en(X, τ) si, y solo H escerrado en(X, τ).


Demostracion. (a) Si todo abierto enτH lo es enτ , comoH es abierto enτH tambien es abiertoenτ .

Recıprocamente, siH es abierto enτ , como todo abiertoA enτH es de la formaA = H ∩B, conB abierto en el espacio total,A sera abierto en el espacio total por ser interseccion de abiertos.

(b)(Ejercicio).

Cada una de las dos afirmaciones de la proposicion anterior son independientes, es decir la primera(a), habla de abiertos pero no dice nada de cerrados y la segunda (b) habla de cerrados pero no deabiertos. Observemos los dos ejemplos siguientes.

Ejemplo 3.4.7.

(1) ConsideremosR con la topologıa usual y el subespacio formado por los racionalesQ. Losabiertos enQ para la topologıa inducida seran intersecciones de abiertos deR conQ. Entonces elconjunto{x ∈ Q : 0 < x < 1} es abierto enQ pero no lo es enR.

(2) SeaA = {(x, y) ∈ R2 : xy > 1} que es abierto en(R2, d2) y, por tanto, todo abierto de(A, d2), lo es enR2, por ejemplo,B = B((0, 0), 2) ∩ A es abierto, sin embargoA r B es uncerrado en(A, d2) pero no lo es en(R2, d2). �

Veamos, para concluir esta seccion, como son los entornos y las bases de entornos en la topologıainducida.

Proposicion 3.4.8.Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaH ⊂ X. Dadox ∈ H, un subconjuntoV ⊂ H es un entorno relativo dex (V ∈ UH

x ) si, y solo si existeU entorno dex en el espaciototal, (U ∈ Ux), de forma queV = U ∩H.

Demostracion. =⇒ SeaV un entorno relativo dex: existeB ∈ τH tal quex ∈ B ⊂ V ;entonces existira A ∈ τ tal queB = A ∩ H. SeaU = A ∪ V ; evidentementeU ∈ Ux, puesx ∈ B = A ∩H, x ∈ A ⊂ A ∪ V . Ademas:

U ∩H = (A ∪ V ) ∩H = (A ∩H) ∪ (V ∩H) = B ∪ V = V.

⇐= Recıprocamente seaU ∈ Ux; tomamosV = U ∩ H; existeA ∈ τ tal quex ∈ A ⊂ U .Entoncesx ∈ A ∩H ⊂ U ∩H = V .

Proposicion 3.4.9. Sea(X, τ) un espacio topologico y seax ∈ H ⊂ X. SiB(x) es una base deentornos dex en(X, τ), la familiaBH(x) = {B ∩H : B ∈ B(x)} es una base de entornos parala topologıa relativa.

Demostracion. EvidentementeBH(x) ⊂ UHx . SeaV ∈ UH

x ; entoncesV = U ∩H, conU ∈ Ux.Entonces existeB ∈ B(x) tal quex ∈ B ⊂ U ; entoncesB ∩ H ⊂ U ∩ H = V y B ∩ H ∈BH(x).

3.5. ESPACIOS TOPOLOGICOS METRIZABLES 31

3.5 Espacios topologicos metrizables

Ya hemos visto en el ejemplo [3.1.2,1)] que cualquier espacio metrico (X, d) tiene asociada unatopologıa que llamamosτd, a partir de la definicion [2.3.3] y el teorema [2.3.6]. Nos podemospreguntar si todo espacio topologico procede de una metrica.

Definicion 3.5.1 (Espacio metrizable).Diremos que un espacio topologico(X, τ) es metrizablesi existe una distanciad definida sobreX, tal queτ coincide conτd.

Ejemplo 3.5.2.

(1) La topologıa discreta sobre cualquier conjuntoX, es metrizable y la distancia asociada es ladistancia discreta o trivial

(2) No todo espacio topologico es metrizable. Por ejemplo, siX es un conjunto que contienemas de un punto y lo consideramos dotado de la topologıa indiscreta(X, τI), no es un espaciometrizable, puesto que losunicos cerrados para esta topologıa son∅ y X, pero sabemos que enun espacio metrico, los conjuntos finitos son cerrados, con lo cual deberıan existir mas cerrados.�

Sigue teniendo, en el presente curso, un gran interes estudiar los espacios cuya topologıa es metriz-able, es decir, los espacios metricos. Vamos a recordar como se concretan en los espacios metricos,los conceptos estudiados hasta ahora en el presente capıtulo.

Base de la topologıa.- Tal y como hemos definido los abiertos [2.3.3] en un espacio metrico(X, d), el conjunto{B(x, r) : x ∈ X, r > 0} de las bolas abiertas es una base de la topologıa τd

asociada a la distancia.

Entornos.- Lo mismo ocurre con los entornos, ya los definimos en [2.3.8].

Cerrados.- Tambien hemos definido y caracterizado los cerrados de un espacio metrico en elcapıtulo anterior [2.4.7].

Base de entornos.- Hemos visto en el ejemplo [3.3.6 2)] que para un puntox ∈ X, una base deentornos es el conjunto{B(x, r) : r > 0} de todas las bolas abiertas con centro en dicho punto.Tambien hemos visto que en el ejemplo [3.3.6 3)] que el conjunto{B(x, 1

n) : n ∈ N∗} es tambienuna base de entornos.

Tambien hemos estudiado en el capıtulo anterior los subespacios metricos. Veamos que son lossubespacios topologicos asociados a la metrica.

Proposicion 3.5.3. Sea un espacio metrico (X, d) y sea un subconjuntoH ⊂ X. Entonces latopologıa asociada a la metrica inducida sobreH coincide con la topologıa inducida por latopologıa metrica enX. Es decir:τd\H = τdH


Demostracion. ⊂ SeaA′ ∈ τd\H , entonces existe unA ∈ τd tal queA′ = A ∩ H. VeamosqueA′ ∈ τdH

. Para cualquierx ∈ A′ ⊂ A existe unr > 0 tal queBd(x, r) ⊂ A, entoncesBd(x, r) ∩H ⊂ A′, pero ya hemos visto queBd(x, r) ∩H = BdH

(x, r). Por tanto,A′ ∈ τdH.

⊃ Sea ahoraA′ ∈ τdH, para cualquierx ∈ A′ existe unr > 0 tal queBdH

(x, r) ⊂ A′. Comoantes,BdH

(x, r) = Bd(x, r) ∩H. Si tomamos

A = ∪x∈A′Bd(x, r)

tendremos

A′ ⊂ A ∩H = (∪x∈A′Bd(x, r)) ∩H = ∪x∈A′(Bd(x, r) ∩H) = ∪x∈A′BdH(x, r) ⊂ A′

Entonces,A′ = A ∩H y por tanto,A′ ∈ τd\H .

Hemos visto que no todo espacio topologico es metrizable. Cabe entonces hacerse la siguientepregunta: ¿Existen diferenciastopologicasentre un espacio topologico que sea metrizable y otroque no lo sea? La respuesta es que sı, y existe una propiedad fundamental que se verifica en losespacios metrizables, pero que no es cierta, en general, en un espacio topologico arbitrario.

Definicion 3.5.4 (Espacio de Hausdorff oT2). Diremos un espacio topologico (X, τ) es unespacio de Hausdorff oT2 o separado, si para todo par de puntosx, y ∈ X distintos, existenentornos,Ux ∈ Ux, y Vy ∈ Uy, tales queUx ∩ Vy = ∅.

Proposicion 3.5.5. Un espacio topologico (X, τ) es de Hausdorff si, y solo si para todo par depuntos distintosx, y ∈ X, existen abiertosA,B ⊂ X, tales quex ∈ A, y ∈ B y A ∩B = ∅.

Demostracion. Es consecuencia directa de la definicion anterior y la de entorno.

Ejemplo 3.5.6.

(1) Todo espacio metrico es de Hausdorff.

(2) No todo espacio topologico esT2. La recta real, con la topologıa cofinita no es un espacio deHausdorff. �

Vamos a comparar las topologıas metricas. En realidad estudiaremos cuando dos metricas sobreun mismo espacioX generan la misma topologıa, que es lo realmente interesante.

Definicion 3.5.7 (Metricas equivalentes).Diremos que dos metricasd y d′ sobre un mismo con-juntoX son equivalentes si dan lugar a la misma topologıa, es decir, siτd = τd′ .

Proposicion 3.5.8. Seand y d′ dos distancias definidas sobre un conjuntoX. Entoncesd yd′ son equivalentes si, y solo si para todox ∈ X y para todor > 0 existeδ > 0 tal queBd(x, δ) ⊂ Bd′(x, r) y existeδ′ > 0 tal queBd′(x, δ′) ⊂ Bd(x, r)

3.5. ESPACIOS TOPOLOGICOS METRIZABLES 33

Demostracion. =⇒ Supongamos qued y d′ son equivalentes. Dadosx ∈ X y r > 0, Bd′(x, r)es un abierto deτd′ , y por tanto deτd; por eso existeδ > 0 tal queBd(x, δ) ⊂ Bd′(x, r).Analogamente se demuestra la segunda afirmacion.

⇐= Recıprocamente, si suponemos que se cumplen las dos afirmaciones veamos qued y d′ sonequivalentes. SeaA un abierto deτd y seax ∈ A. Entonces exister > 0 tal queBd(x, r) ⊂ A.Aplicando la segunda propiedad, existira δ′ > 0 tal queBd′(x, δ′) ⊂ Bd(x, r), y entoncesA esun entorno dex paraτd′ y es, por tanto, abierto en esta topologıa. De forma analoga se demuestraque todo abierto deτd′ lo es tambien deτd.

Corolario 3.5.9. Dos distanciasd y d′ sobre un conjuntoX son equivalentes si existen constantesm,M > 0 tales que para todox, y ∈ X

md(x, y) ≤ d′(x, y) ≤ Md(x, y)

Demostracion. Seanx ∈ X y r > 0. Entonces tomandoδ = rM , se tiene qued(x, y) ≤ δ implica

qued′(x, y) ≤ Md(x, y) ≤ Mδ = r, con lo queBd(x; δ) ⊂ Bd′(x, r). De forma analoga,tomandoδ′ = mr se tiene queBd′(x, δ′) ⊂ Bd(x, r).

Ejemplo 3.5.10.

(1) El hecho de que dos metricas sean equivalentes, significa que tienen los mismos abiertos,pero no necesariamente las mismas bolas; por ejemplo enRn las tres metricasd1, d2 y d∞ sonequivalentes (Ejercicio) y sin embargo, como ya hemos visto, no tienen las mismas bolas.

(2) La metrica euclıdea y la metrica discreta sobreR2 no son equivalentes. �

Capıtulo 4

Subconjuntos notables de un EspacioTopologico

4.1 Adherencia

Definicion 4.1.1 (Punto adherente).Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaS un subconjuntodeX. Diremos quex ∈ X es un punto adherente deS si todo entornoU dex cumpleU ∩S 6= ∅,es decir,U corta aS (no hay ningun entorno dex totalmente contenido enX r S). El conjuntode puntos adherentes deS se llama la adherencia deS y se representa porS.

Observacion.-

(1) Tal y como se ha definido la adherencia de un conjuntoS, es evidente queS ⊂ S.

(2) Si S1 ⊂ S2, entoncesS1 ⊂ S2.

La definicion exige que se compruebe una propiedad para todos los entornos de un punto. Portanto, sera util disponer de una caracterizacion que permita reducir el numero de comprobaciones.Esta es una de las razones mas importantes de la utilidad del concepto de base de entornos.

Proposicion 4.1.2. Sean(X, τ) un espacio topologico,S ⊂ X un subconjunto deX, x ∈ X, yseaB(x) un base de entornos dex en la topologıa τ . Entoncesx ∈ S si, y solo si V ∩ S 6= ∅para cadaV ∈ B(x).

Demostracion. -

⇒ Supongamos quex ∈ S, y V ∈ B(x). ComoB(x) ⊂ E(x), segun la definicion de puntoadherente,V ∩ S 6= ∅.

35

36 CAPITULO 4. SUBCONJUNTOS NOTABLES DE UN ESPACIO TOPOLOGICO

⇐ Si ahora suponemos que todoV ∈ B(x) cumpleV ∩S 6= ∅. ComoB(x) es base de entornosdex, para todoU ∈ E(x) existe unV ∈ B(x) tal queV ⊂ U . ComoV ∩S 6= ∅, y V ∩S ⊂ U ∩S

tenemos queU ∩ S 6= ∅.

En particular, si la topologıa esta generada por una metrica, se pueden utilizar algunas bases deentornos formadas por bolas y obtener los siguientes resultados particulares:

Ejemplo 4.1.3.

(1) Sea(X, d) un espacio metrico, y seaS un subconjunto deX. Entonces,x ∈ X es un puntoadherente deS (x ∈ S) si, y solo siB(x, r) ∩ S 6= ∅, para todor > 0.

(2) Sea(X, d) un espacio metrico, y seaS un subconjunto deX. Entonces,x ∈ X es un puntoadherente deS (x ∈ S) si y solo si para todon ∈ N, la bola de centrox y radio 1

n , B(x, 1n), corta

aS. Recordemos que estas bolas constituyen una base de entornos dex. �

La propiedad mas caracterıstica de la adherencia de un conjuntoS es la de que es el menor cerradoque contiene al conjuntoS.

Proposicion 4.1.4.Sea(X, τ) un espacio topologico, yS ⊂ X un subconjunto, entoncesS es uncerrado en(X, τ).

Demostracion. Veamos queX r S es un abierto comprobando que es un entorno de todos suspuntos. Seax ∈ X r S, entoncesx no es un punto adherente, por tanto, existeU , entorno dex,tal queU ∩S = ∅. ComoU es un entorno dex existe un abierto,A ∈ τ , tal quex ∈ A ⊂ U . PortantoA ∩ S = ∅.

Veamos queA ⊂ X r S, con lo queX r S sera abierto. Para todoy ∈ A, comoA es abierto,sera un entorno dey que no corta aS, luegoy /∈ S. Es decir,A ⊂ X r S. Por tantoX r S es unentorno dex. Y esto para todox que no este enS, entoncesX r S es abierto.

Proposicion 4.1.5. Sea(X, τ) un espacio topologico, S ⊂ X un subconjunto yC ⊂ X uncerrado tal queS ⊂ C. EntoncesS ⊂ C. Esto quiere decir queS es el menor cerrado quecontiene aS.

Demostracion. Veamoslo por reduccion al absurdo. SiC es un cerrado conS ⊂ C. SupongamosqueS 6⊂ C, es decir, que existe un puntox ∈ S tal quex /∈ C. Entonces,X r C es un abiertoque contiene al puntox y como queS ⊂ C, se cumple que(X r C) ∩ S = ∅. Por tanto,x no esun punto adherente deS, lo cual es una contradiccion.

En particular, la propiedad anterior proporciona una caracterizacion de los conjuntos cerradoscomo aquellos que contienen a todos los puntos de su adherencia:

4.1. ADHERENCIA 37

Corolario 4.1.6. Un conjuntoC, en un espacio topologico, es cerrado si y solo siC = C.


El Corolario anterior es equivalente a decir que un conjuntoC es cerrado si y solo si C ⊂ C, yaque la otra inclusion siempre es cierta.

Ejemplo 4.1.7.

(1) En el espacio topologico trivial (X, τT ), la adherencia de cualquier conjunto no vacıo es elespacio totalX.

(2) En un espacio topologico discreto(X, τD), la adherencia de cualquier conjuntoS es el mismoS.

(3) En la topologıa cofinita(X, τcf ), la adherencia de cualquier conjunto finito esel mismo, y lade los conjuntos infinitos es el espacio total.

(4) En (R, τu), (0, 1) = [0, 1]. �

4.1.1 Subconjuntos densos

Definicion 4.1.8 (Subonjunto denso).Sea(X, τ) un espacio topologico, diremos que un subcon-juntoS ⊂ X es denso enX si S = X.

Podemos caracterizar los subconjuntos de la siguiente forma.

Proposicion 4.1.9. Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaS ⊂ X. EntoncesS es denso en(X, τ) si, y solo si todo abierto no vacıo, A ∈ τ , cumple queA ∩ S 6= ∅.

Demostracion. -

⇒ Supongamos queS ⊂ X es denso, es decir,S = X y seaA 6= ∅ un abierto; six ∈ A comox ∈ S = X y A es entorno dex, se cumple, por la definicion de adherencia, queA ∩ S 6= ∅.

⇐ Supongamos ahora que para todoA 6= ∅ abierto, se cumple queA ∩ S 6= ∅. Si suponemosqueS 6= X, entoncesX r S serıa un abierto no vacıo, pero(X r S) ∩ S = ∅, en contra de losupuesto. Por tanto,S = X.

Ejemplo 4.1.10.

(1) El conjunto de los racionalesQ es denso en(R, τu). Destacamos queR contiene, entonces, unsubconjunto numerable denso que esQ. �


Definicion 4.1.11 (Espacio separable).Diremos que un espacio topologico(X, τ) es separablesi contiene un subconjunto numerable denso.

Ejemplo 4.1.12.

(R, τu) es separable.�

4.1.2 Puntos aislados y puntos de acumulacion

Definicion 4.1.13 (Punto de acumulacion). Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaS ⊂ X.Diremos que un puntox ∈ X es un punto de acumulacion deS en (X, τ), si cualquier entornoU dex contiene un punto deS distinto dex. Es decir, si(U − {x}) ∩ S 6= ∅. El conjunto detodos los puntos de acumulacion deS se llama la acumulacion o conjunto derivado deS, y serepresenta porS′.

Definicion 4.1.14 (Punto aislado).Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaS ⊂ X. Diremos queun puntox ∈ S ⊂ X es un punto aislado deS en (X, τ), si existe un entornoU de x tal queU ∩ S = {x}.

Proposicion 4.1.15.Sea(X, τ) un espacio topologico yS ⊂ X. Entonces:

a) El conjunto de puntos aislados deS esS r S′.

b) S = S ∪ S′


Ejemplo 4.1.16.

(1) En un espacio metrico (X, d) las definiciones anteriores se concretan diciendo que un puntox ∈ X es punto de acumulacion deS ⊂ X si para todor > 0 (B(x, r) r {x})∩ S 6= ∅ y que unpuntox ∈ S ⊂ X es punto aislado deS si exister > 0 tal queB(x, r) ∩ S = {x}.

(2) En R con la topologıa usual, todo naturaln ∈ N es un punto adherente aN pero no es deacumulacion, es decir, los naturales son puntos aislados en(R, τu). En efecto(B(n, 1

2) r {n}) ∩N = ∅.

(3) Si consideramos el conjuntoA = { 1n : n ∈ N} en (R, τu), entoncesA′ = {0} y todos los

elementos deA son puntos aislados.�

4.2. INTERIOR Y FRONTERA 39

4.2 Interior y frontera

Definicion 4.2.1 (Punto interior). Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaS ⊂ X un subcon-junto. Diremos quex ∈ S es un punto interior deS si S es un entorno dex. El conjunto de los

puntos interiores deS se denomina el interior deS y se representa por◦S.

Diremos que un puntox /∈ S es exterior aS si x ∈◦︷︸︸︷

(X r S), es decirx es del interior delcomplementario deS.

Observacion.-

(1) Si S ⊂ X con(X, τ) espacio topologico,◦S⊂ S.

(2) Si S1 ⊂ S2, entonces


Ejemplo 4.2.2.

(1) EnR con la topologıa usual,[0, 1)◦ = (0, 1).

(2) EnR con la topologıa usual◦Q= ∅ y el exterior deQ tambien es vacıo.

(3) Consideremos un espacio topologico con la topologıa trivial y seaS un subconjunto de dicho

espacio, que no sea el total. Entonces◦S= ∅. �

Proposicion 4.2.3. Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaS ⊂ X un subconjunto. Un puntox ∈ S es interior deS si, y solo six /∈ (X r S). Esto es lo mismo que decir,

◦S= X r (X r S)

Demostracion. - Ejercicio

Una importante caracterıstica del interior de un conjunto es que se trata del mayor abierto con-tenido en dicho conjunto.

Proposicion 4.2.4. Sea(X, τ) un espacio topologico yS ⊂ X un subconjunto. Entonces secumplen:

a)◦S es abierto.

b) SiA ⊂ S y A es abierto, entoncesA ⊂◦S

Esto quiere decir que◦S es el mayor abierto contenido enS.

Demostracion. -

(a) Por la proposicion anterior sabemos que◦S es el complementario de un cerrado, por tanto es

abierto.

(b) SeaA un abierto no vacıo tal queA ⊂ S, y seax un punto deA. ComoA es abierto, es un

entorno dex y por tanto tambien lo esS. Por tanto,x es un punto interior deS, luegoA ⊂◦S.

En particular, esta proposicion proporciona una caracterizacion de los conjuntos abiertos comoaquellos en los que todos sus puntos son interiores:

Corolario 4.2.5. Un subconjuntoS de un espacio topologico(X, τ) es abierto si y solo siS =◦S.

Se puede caracterizar el interior en terminos de bases de entornos.

4.2. INTERIOR Y FRONTERA 41

Proposicion 4.2.6. Sea(X, τ) un espacio topologico, S ⊂ X y x ∈ S. Si B(x) una base de

entornos dex en la topologıa τ . Entoncesx ∈◦S si, y solo si existeV ∈ B(x) tal queV ⊂ S.


De nuevo nos interesa concretar estas caracterizaciones en el caso de los espacios metricos.

Ejemplo 4.2.7.

(1) Sea(X, d) un espacio metrico yS ⊂ X; x ∈◦S si, y solo si exister > 0 tal queB(x, r) ⊂ S.

(2) Sea(X, d) un espacio metrico yS ⊂ X; x ∈◦S si, y solo si existen ∈ N tal queB(x, 1

n) ⊂ S.�

Definicion 4.2.8 (Frontera). Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaS ⊂ X un subconjunto.Diremos quex ∈ X es un punto frontera deS si todo entornoU dex cumple queU ∩ S 6= ∅y U ∩ (X r S) 6= ∅. El conjunto de puntos frontera deS se denomina la frontera deS, y serepresenta porfr(S).

Proposicion 4.2.9. Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaS ⊂ X un subconjunto. Entonces,fr(S) = S ∩ (X r S)


Corolario 4.2.10. SiS es un subconjunto de un espacio topologico, entoncesfr(S) es cerrado.

Ejemplo 4.2.11.

(1) La frontera de(0, 1) en(R, τu) es el conjunto de dos elementos{0, 1}.

(2) En (R, τu), fr(Q) = Q �

Proposicion 4.2.12.Sea(X, τ) un espacio topologico, seaS ⊂ X un subconjunto yB(x) unabase de entornos de un puntox ∈ X en la topologıa τ . Entoncesx ∈ fr(S) si, y solo si paratodoV ∈ B(x) se cumple queV ∩ S 6= ∅ y V ∩ (X r S) 6= ∅.


Ejemplo 4.2.13.

(1) Sea(X, d) un espacio metrico yS ⊂ X un subconjunto, un puntox ∈ fr(S) si, y solo si paratodor > 0, B(x, r) ∩ S 6= ∅ y B(x, r) ∩ (X r S) 6= ∅.

(2) Sea(X, d) un espacio metrico yS ⊂ X un subconjunto, un puntox ∈ fr(S) si, y solo si paratodon ∈ N, B(x, 1

n) ∩ S 6= ∅ y B(x, 1n) ∩ (X r S) 6= ∅. �


Proposicion 4.2.14.Sea(X, τ) un espacio topologico, y seaS ⊂ X un subconjunto. Los puntosadherentes son, o bien puntos interiores, o bien puntos frontera. Es decir:

fr(S) = Sr◦S

Demostracion. Hemos visto en la proposicion [4.2.9, pag.41] quefr(S) = S∩X r S. Entoncespor la proposicion [4.2.3, pag.40] tenemos

S ∩X r S = S ∩ (Xr◦S) = S−

◦S

4.3 Sucesiones

Definicion 4.3.1 (Sucesion convergente).Sea(X, τ) un espacio topologico, y sea(xn)∞n=1 unasucesion de puntos deX. Diremos que(xn)∞n=1 converge ax en(X, τ) (xn −→ x o limn xn = x)si para todo entornoU dex existe unn0, de modo que sin > n0, entoncesxn ∈ U . A x se lellama lımite de(xn)∞n=1.

Ejemplo 4.3.2.

(1) La convergencia de una sucesion depende de la topologıa. Sea un conjuntoX y (xn)∞n=1 conxn = x ∈ X para todon, la sucesion constantex. Entonces se dan las dos situaciones siguientes:

a) (xn)∞n=1 converge a cualquier puntoy ∈ X en la topologıa trivial (X, τT ).

b) {xn}∞n=1 solo converge ax en la topologıa discreta(X, τD).�

Proposicion 4.3.3. Sea(X, τ) un espacio topologico, sea(xn)∞n=1 una sucesion enX, y B(x)una base de entornos dex en la topologıa τ . Entonces(xn)∞n=1 converge ax si y solo si para todoV ∈ B(x) existe unno, tal que sin > no, entoncesxn ∈ V .

Demostracion. -

⇒ Si (xn)∞n=1 converge ax, comoB(x) ⊂ E(x), la condicion se cumple para todos losV ∈B(x).

⇐ Si ahora suponemosB(x) es una base de entornos dex y que para todoV ∈ B(x), existeno tal quen > no implica quexn ∈ V . Si U ∈ E(x) es un entorno dex, comoB(x) es base deentornos, existira V ∈ B(x) tal queV ⊂ U . Entonces para esteV existira unno de manera quesi n > no, se tiene quexn ∈ V ⊂ U . Por tanto, el mismono sirve ya que para todon > no,xn ∈ U .

4.3. SUCESIONES 43

Ejemplo 4.3.4.

(1) La definicion de convergencia enR, con la topologıa usual asociada al valor absoluto, coincidecon la conocida de sucesion convergente.

(2) En el caso de los espacios metricos, en general, la convergencia de una sucesion a un puntoobtenemos la siguiente formulacion:

Sea(X, d) un espacio metrico, y sea(xn)∞n=1 una sucesion enX. Entonces(xn)∞n=1 converge axsi y solo si para todo

ε > 0 existeno tal quen > no =⇒ d(xn, x) < ε

(3) La convergencia se puede reducir, en el caso de los espacios, el estudio de la convergencia deuna sucesion de numeros reales:

Sea(X, d) un espacio metrico, y(xn)∞n=1 una sucesion enX. Entonces,(xn)∞n=1 converge ax siy solo si la sucesion de las distancias(d(xn, x))∞n=1 converge a0 en(R, | |). �

Proposicion 4.3.5. Sea(X, τ) un espacio topologico de Hausdorff, y(xn)∞n=1 una sucesion enX. Entonces, si(xn)∞n=1 converge, su lımite eunico.

Demostracion. Supongamos que(xn)∞n=1 es convergente enX a dos puntos distintosx 6= y.ComoX es Hausdorff, existen entornosU ∈ E(x) y V ∈ E(y) tales queU ∩ V = ∅.

Por otra parte, como(xn)∞n=1 converge ax, par el entornoU dex, existe unno tal que sin > no,entoncesxn ∈ U .

Igualmente, para el entornoV dey, existe unn1 tal que sin > n1, entoncesxn ∈ V . Ası, paratodon > n1 y n > no a la vez, se cumplexn ∈ U y xn ∈ V , lo que esta en contradiccion con elhecho de queU ∩ V = ∅.

Proposicion 4.3.6. Sea(X, d) un espacio metrico, y seaS ⊂ X. Entoncesx ∈ S si, y solo siexiste una sucesion (xn)∞n=1 ⊂ S, tal quexn −→ x.

Demostracion. -

⇒ Supongamos quex ∈ S. Sabemos que{B(x, 1n) : n ∈ N} es una base de entornos dex en

(X, d), por tanto, segun hemos visto en una proposicion anterior,B(x, 1n) ∩ S 6= ∅. Podemos

construir entonces una sucesion de la siguiente forma:

Si n = 1 tomamosx1 ∈ B(x, 1) ∩ S.

Si n = 2 tomamosx2 ∈ B(x, 12) ∩ S.

Ası sucesivamente para cadan tomamosxn ∈ B(x, 1n) ∩ S.


De esta manera obtenemos una sucesion(xn)∞n=1 de puntos deS que converge ax evidentemente.

⇐ Si existe una sucesion (xn)∞n=1 enS tal quexn −→ x. Entonces para todoU ∈ E(x), existeunno tal quen > no implica quexn ∈ U , es decirU ∩ S 6= ∅ y por tantox ∈ S.

La propiedad anterior para los puntos adherentes permite dar dos caracterizaciones mas, una paraun conjunto denso, y otra para los puntos frontera.

Proposicion 4.3.7. Sea(X, d) un espacio metrico, y seaS ⊂ X un subconjunto. EntoncesS esdenso enX si, y solo si para todox ∈ X, existe una sucesion (xn)∞n=1 enS tal quexn −→ x.

Demostracion. Simplemente hay que tener en cuenta la definicion de conjunto denso y la proposi-cion anterior.

Proposicion 4.3.8. Sea(X, d) un espacio metrico, y seaS ⊂ X. Un puntox ∈ X es un puntofrontera deS si, y solo si existe una sucesion (xn)∞n=1 enS y otra (yn)∞n=1 enX r S, tales quexn −→ x eyn −→ x.

Demostracion. De nuevo, solo hay que tener en cuenta la definicion de punto frontera y laproposicion [4.3.6].

Capıtulo 5

Continuidad

5.1 Continuidad en un punto

Definicion 5.1.1 (Aplicacion continua en un punto).Sean(X, τ) e(Y, τ ′) dos espacios topologicos,y seaf : X −→ Y una aplicacion entre ellos. Diremos quef es continua en un puntoa ∈ X sipara todoU ∈ E(f(a)) existe unV ∈ E(a) tal quef(V ) ⊂ U .

Proposicion 5.1.2 (Continuidad y base de entornos).Sean(X, τX), (Y, τY ) dos espacios topologicos,f : X −→ Y una aplicacion yB(a) yB(f(a)) son bases de entornos dea enτX y def(a) enτY ,respectivamente. Entoncesf es continua ena si y solo si para todoU ∈ B(f(a)) existeV ∈ B(a)tal quef(V ) ⊂ U .

Demostracion. -

⇒ Supongamos quef es continua ena. DadoU ∈ B(f(a)) existira V ∈ E(a) tal quef(V ) ⊂U . Pero comoB(a) es base de entornos tendremos que existeV ′ ∈ B(a) de modo queV ′ ⊂ V ,con lo quef(V ′) ⊂ f(V ) ⊂ U .

⇐ Sea ahoraU ∈ E(f(a)), entonces existeU ′ ∈ B(f(a)) de modo queU ′ ⊂ U . Por hipotesisexisteV ∈ B(a) de modo quef(V ) ⊂ U ′ ⊂ U y comoV ∈ B(a) ⊂ E(a).

Corolario 5.1.3 (Continuidad en un espacio metrico). Sean dos espacios metricos (X, d) e(Y, d′), una aplicacion f : X −→ Y , y un puntoa ∈ X. Entoncesf es continua ena siy solo si para todoε > 0 existe unδ > 0 tal que siempre qued(x, a) < δ se verifica qued′(f(x), f(a)) < ε.

Demostracion. Solo hay que tener en cuenta que las bolas abiertas son base de entornos en unatopologıa metrica.

45

46 CAPITULO 5. CONTINUIDAD

Ejemplo 5.1.4.

(1)La continuidad enR, con la topologıa usual, coincide con el concepto habitual de continuidadutilizado en Analisis. En particular se tiene la siguiente lista de funciones continuas deR enR:

(a) las funciones constantes

(b) la funcion identidad

(c) las funciones elementalesxa, sen(x), cos(x), ex y sus inversas en sus dominios de definicion.

(d) la suma y el producto de funciones continuas.

(e) la inversa para el producto de una funcion continua no nula.

(2)EnRn con la topologıa usual (d = d2 o d1 o d∞), podemos hacer algo similar:f : Rn −→ Rn

es continua ena = (a1, . . . , an) ∈ Rn si y solo si

para todoε > 0 existeδ > 0 tal qued(x, a) < δ ⇒ d(f(x), f(a)) < ε

(3)Consideremos el conjuntoX = {a, b, c, d} con la topologıaτ = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}}.La funcionf : X −→ X, definida por el diagrama siguiente, es continua end y no lo es enc.

a

b

c

d

a

b

c

d

z

j

:

:

�

Proposicion 5.1.5 (Continuidad y sucesiones).Sean dos espacios metricos(X, d) e (Y, d′), f :X −→ Y una aplicacion entre ellos, ya ∈ X. Entonces son equivalentes:

(a) f es continua ena.

(b) Si(xn)∞n=1 es una sucesion enX con lımitea, entonces{f(xn)}∞n=1 converge af(a).

Demostracion. -

(a)⇒(b)

Supongamos quef es continua ena ∈ X y que(xn)n → a. para ver que(f(xn))n → f(a)tenemos que probar que dado

ε > 0, existeno tal quen > no ⇒ d′(f(xn), f(a)) < ε

5.1. CONTINUIDAD EN UN PUNTO 47

Comof es continua ena, dado

ε > 0, existeδ > 0 tal qued(x, a) < δ ⇒ d′(f(x), f(a)) < ε

Por otra parte, como(xn)n → a, dado

δ > 0, existeno tal quen > no ⇒ d(xn, a) < δ

Por tanto, sin > no, d′(f(xn), f(a) < ε puesto qued(xn, a) < δ.

b)⇒a)

Supongamos que(f(xn))n converge af(a) y supongamos quef no es continua. Eso significaque existe

ε > 0 tal que para cadaδ > 0 existexδ ∈ X cond(xδ, a) < δ y d′(f(xδ), f(a) ≥ ε.

Si para esteε fijo, tomamos

δ = 1 existex1 cond(x1, a) < 1 y d′(f(x1), f(a)) > ε

δ =12

existex2 cond(x2, a) <12

y d′(f(x1), f(a)) > ε

Ası sucesivamente para

δ =1n

existexn cond(xn, a) <1n

y d′(f(x1), f(a)) > ε

De modo que hemos obtenido una sucesion (xn)n en X que converge haciaa puesto que lasucesion de terminos positivos(d(xn, a))n es menor termino a termino que la sucesion( 1

n)n; y, sinembargo, la sucesion (f(xn))n no converge af(a) ya que siempre esd′(f(xn), f(a)) > ε.

Ejemplo 5.1.6.

Sea funcionf : R −→ R, en ambos casos con la topologıa usual, definida por

f(x)

{1

x−1 si x 6= 1

1 si x = 1

no es continua enx = 1, pues la sucesionxn = 1 + 1n tiene por lımite 1, y sin embargo

limn

f(xn) = limn

11n + 1− 1

= limn

n 6= f(1)

�

Proposicion 5.1.7 (Composicion de funciones continuas).Sean(X, τ), (Y, τ ′) y (Z, τ ′′) tresespacios topologicos, y seanf : X −→ Y , g : Y −→ Z dos aplicaciones tales quef es continuaena ∈ X, y g es continua enf(a). Entoncesg ◦ f es continua ena.


Demostracion. SeaU ∈ E(g(f(a))). Por el hecho de serg continua enf(a) existeV ∈ E(f(a))tal queg(V ) ⊂ U y comof es continua ena, existeW ∈ E(a) tal quef(W ) ⊂ V . Pero entoncesg(f(W )) ⊂ g(V ) ⊂ U .

Proposicion 5.1.8 (Continuidad y adherencia).Sean(X, τ) e (Y, τ ′) dos espacios topologicos,f : X −→ Y una aplicacion continua ena ∈ X y un subconjuntoS ⊂ X. Entonces sia ∈ S secumple quef(a) ∈ f(S) (f(S) ⊂ f(S)).

Demostracion. SeaU ∈ E(f(a)); comof es continua ena existeV ∈ E(a) tal quef(V ) ⊂ U .Peroa es un punto de adherencia deS, por tantoV ∩ S 6= ∅. Esto implica que

∅ 6= f(V ∩ S) ⊂ f(V ) ∩ f(S) ⊂ U ∩ f(S),

y ası f(a) es un punto de adherencia def(S).

Ejemplo 5.1.9.

El resultado anterior no es cierto ni para puntos interiores ni para puntos frontera pues la funcion

cos : R −→ R es una funcion continua,0 ∈◦R y, sin embargocos 0 = 1 /∈

◦︷︸︸︷f(R)= (−1, 1). Por

otra parte, siS = [0, π] ∪ {3π2 },

3π2 ∈ fr(S), perocos(3π

2 ) = 0 /∈ fr(cos(S)). �

5.2 Continuidad en todo el espacio

Definicion 5.2.1 (Funcion continua). Sean dos espacios topologicos(X, τ) e (Y, τ ′), y seaf :X −→ Y una aplicacion entre ellos. Diremos quef es continua (enX) si lo es en todo punto deX.

Proposicion 5.2.2. Sean(X, τ) e (Y, τ ′) dos espacios topologicos, y seaf : X −→ Y unaaplicacion. Entonces son equivalentes:

a) f es continua.

b) Para todoA ∈ τ ′, f−1(A) ∈ τ .

Demostracion. -

a)⇒b) Supongamos quef es continua y seaA ∈ τ ′. Para demostrar quef−1(A) es abierto enτ veremos que es entorno de todos sus puntos. Seax ∈ f−1(A), entoncesf(x) ∈ A, luegoA

es entorno def(x). Comof es continua, en particular lo sera enx, y existeV ∈ E(a) tal quef(V ) ⊂ A. Pero eso implica queV ⊂ f−1(A) y ası f−1(A) ∈ E(a).

5.2. CONTINUIDAD EN TODO EL ESPACIO 49

b)⇒a) Supongamos ahora que para todoA ∈ τ ′, f−1(A) ∈ τ y veamos quef es continua encada punto deX. Seax ∈ X y seaU ∈ E(f(x)). Entonces existeA ∈ τ ′ tal quef(x) ∈ A ⊂ U .Eso significa quex ∈ f−1(A) y como f−1(A) ∈ τ se puede tomarV = f−1(A) ∈ E(x).Ademas,f(V ) = f(f−1(A)) ⊂ A ⊂ U , por tantof es continua enx.

Proposicion 5.2.3. Una aplicacion f : (X, τ) −→ (Y, τ ′) es continua si y solo si para todocerradoC en(Y, τ ′), se tiene quef−1(C) es un cerrado en(X, τ).


Proposicion 5.2.4 (Continuidad y bases).Sean(X, τ) e (Y, τ ′) dos espacios topologicos yB′

una base de(Y, τ ′). Son equivalentes:

(a) La aplicacionf : X −→ Y es continua.

(b) Para todoB‘ ⊂ B′, se cumple queF−1(B′) es abierto en(X, τ).

Demostracion. Ejercicio.

Ejemplo 5.2.5.

(1) Hay que tener en cuenta que, en general, sif : X → Y es continua yA es un abierto enX, f(A) no tiene por que ser abierto enY . Por ejemplo la funcion f : R −→ R, dada porf(x) = sen(x), es continua para la topologıa usual y sin embargo,f(R) = [−1, 1] que no es unabierto enR.

(2) Una funcion constantef : X → Y es continua respecto cualquier topologıa enX y cualquiertopologıa enY .

(3) Si (X, τD) es un espacio topologico discreto, toda aplicacion f : X −→ Y en un espaciotopologico(Y, τ ′) es continua.

(4) Si (Y, τT ) es un espacio topologico con la topologıa trivial, toda aplicacion f : (X, τ) −→(Y, τT ) es continua.

(5) La funcion identidad1 : (X, τ) → (X, τ ′) tal que1(x) = x para cadax ∈ X, es continua si,y solo si τ es mas fina queτ ′. �

Proposicion 5.2.6 (Composicion y continuidad). Seanf : (X, τ) −→ (Y, τ ′) y g : (Y, τ ′) −→(Z, τ ′′) dos aplicaciones continuas, entonces la composiciong ◦ f : X −→ Z es continua.

Demostracion. SiA ∈ τ ′′ es un abierto, tenemos que probar que(g◦f)−1(A) ∈ τ . En efecto,(g◦f)−1(A) = f−1(g−1(A)), y comog es continua,g−1(A) ∈ τ ′, y al serf continuaf−1(g−1(A)) ∈τ .


Definicion 5.2.7 (Aplicacion abierta y aplicacion cerrada). Sean dos espacios topologicos(X, τ)e(Y, τ ′), yf : X −→ Y una aplicacion. Diremos quef es abierta si para todoA ∈ τ , f(A) ∈ τ ′

y diremos quef es cerrada si para todoC ⊂ X cerrado enτ , f(A) ⊂ Y , es cerrado enτ ′.

Ejemplo 5.2.8.

La proyeccion π : (R2, d2) −→ (R, τu) del plano sobre el eje de lasx, π(x, y) = x es unaaplicacion abierta puesto que la proyeccion de cualquier bola abiertaB((a, b), r) sobre el eje delasx es un intervalo abierto(a−r, a+r). Pero no es cerrada puesto que la proyeccion del conjuntocerradoC = {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 1} es el intervalo(0,+∞), que no es cerrado.

B((a, b), r).........................................................................

.........................................................................(a− r, a + r)

C

(0,+∞)

�

La ultima parte de esta seccion esta dedicada al estudio de los homeomorfismos. Este conceptotiene mucha importancia en Topologıa, ya que dos espacios topologicos que sean homeomorfosse pueden considerar iguales topologicamente.

Definicion 5.2.9 (Homeomorfismo).Dados dos espacios topologicos(X, τ) e (Y, τ ′), se llamahomeomorfismo entre(X, τ) e (Y, τ ′) a una aplicacion biyectivaf : X −→ Y tal que tantofcomo su inversaf−1 sean continuas (se dice quef es bicontinua). Diremos que dos espaciostopologicos son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos.

Diremos que una propiedad en un espacio topologico una propiedad topologica si es invariantepor homeomorfismos.

La siguiente caracterizacion de los homeomorfismos es consecuencia inmediata de las definicionesy de las proposiciones 5.2.2 y 5.2.3.

Proposicion 5.2.10.Seaf : X −→ Y una aplicacion biyectiva entre espacios dos topologicos(X, τ) e (Y, τ ′).Son equivalentes:

a) f es un homeomorfismo.

5.3. CONTINUIDAD UNIFORME. ISOMETRIAS 51

b) Un subconjuntoA ⊂ X es abierto(A ∈ τ) si y solo sif(A) ∈ τ ′.

c) Un subconjuntoC ⊂ X es cerrado si y solo sif(C) es cerrado en(Y, τ ′).

Ejemplo 5.2.11.

(1) Dos espacios topologicos triviales son homeomorfos si y solo si existe una biyeccion entreellos.

(2) Lo mismo pasa si se consideran dos espacios topologicos discretos.

(3) La aplicacion sen : (0, π/2) −→ (0, 1) es un homeomorfismo, ya que restringida a estosintervalos es biyectiva, y su inversaarcsen: (0, 1) −→ (0, π/2) es tambien continua.

(4) La funcion f : (−1, 1) −→ R definida porf(x) = tan(

π2 x

)es un homeomorfismo ya quef

es biyectiva y continua y tambien lo esf−1. Esto implica que(−1, 1) y R son topologicamenteequivalentes.

(5) La longitudy la acotacion no son propiedades topologicas. En el ejemplo anterior,(−1, 1) yR tienen longitudes diferentes y, ademas, el primero de ellos esta acotado y el segundo no.

(6) El que una sucesion sea de Cauchy tampoco es una propiedad topologica puesto que

f : (0,+∞) −→ (0,+∞) conf(x) =1x

es homeomorfismo y a la sucesion de Cauchy( 1n)n le corresponde porf la sucesion (n)n que no

es de Cauchy.

5.3 Continuidad uniforme. Isometrıas

En el caso de los espacios metricos, ademas de las aplicaciones continuas, hay otras clases deaplicaciones interesantes:

Definicion 5.3.1 (Funcion uniformemente continua). Diremos que una aplicacion entre espa-cios metricosf : (X, d) −→ (Y, d′) es uniformemente continua si para cadaε > 0 existe unδ > 0 tal que para todox, y ∈ X cond(x, y) < δ se verifica qued′(f(x), f(y)) < ε.

Ejemplo 5.3.2.

Obviamente, toda aplicacion uniformemente continua es continua, pero el recıproco no es cierto:basta considerar la funcionf(x) = x2. �

Definicion 5.3.3 (Isometrıa). Dados dos espacios metricos(X, d) e(Y, d′), diremos que una apli-cacion biyectivaf : X −→ Y es una isometrıa si verifica que para todos los puntosx1, x2 ∈ X,entoncesd(x1, x2) = d′(f(x1), f(x2)). En este caso decimos que(X, d) e(Y, d′) son isometricos.


Proposicion 5.3.4. Una isometrıa es uniformemente continua.

Proposicion 5.3.5.Si dos espacios metricos son isometricos, entonces tambien son homeomorfos.

Ejemplo 5.3.6.

El recıproco de laultima proposicion no es cierto en general. Si ConsideramosR con la distanciadiscreta y con la distancia

d(x, y) =

{2 si x 6= y

0 si x = y

la aplicacion identidad es un homeomorfismo que no es isometrıa. �

Capıtulo 6

Espacios conexos

6.1 Conexos

Definicion 6.1.1 (Conjuntos separados).Dado un espacio topologico(X, τ) y dos subconjuntosA,B ⊂ X, diremos queA y B estan separados si

A ∩B = A ∩B = ∅

Es evidente que siA y B estan separados, entonces son disjuntos. Sin embargo el recıproco no escierto como queda de manifiesto en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 6.1.2.

(1) EnR con la topologıa usual, los intervalos(0, 1) y (1, 2) estan separados, pero los intervalos(0, 1) y [1, 2) no lo estan, a pesar de que son disjuntos.

(2) En (R2, d2) los conjuntosA y B siguientes, estan separados

A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1} y B{(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1}

(3) EnR con la topologıa usual,Q y RrQ no estan separados. �

Definicion 6.1.3 (Espacio topologico conexo).Diremos que un espacio topologico (X, τ) esconexo siX no es union de dos subconjuntos no vacıos y separados. En caso contrario diremosqueX es no conexo.

Proposicion 6.1.4. Sea(X, τ) un espacio topologico y dos subconjuntosA,B ⊂ X disjuntos,tales queX = A ∪B. Son equivalentes:

(a) X es no conexo (A y B estan separados).

53

54 CAPITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

(b) A y B son cerrados.

(c) A y B son abiertos.

Demostracion. -

(a)⇒(b) Supongamos queA y B estan separados, es decir queA ∩ B = A ∩ B = ∅ y veamosqueA es cerrado. Podemos poner

A = A ∩X = A ∩ (A ∪B) = (A ∩A) ∪ (A ∩B) = A ∩∅ = A

por tantoA = A y es cerrado. AnalogamenteB tambien es cerrado.

(b)⇒(c) Suponemos ahora queA y B son cerrados, comoA∪B = X, tenemos que(A∪B)c =∅, luegoAc ∩ Bc = ∅; esto implica queAc ⊂ B y Ac es abierto y comoA ∩ B = ∅,, tambienesB ⊂ Ac, luegoAc = B y B es abierto. AnalogamenteA tambien es abierto.

(c)⇒(a) Supongamos queA y B son abiertos y queA ∪ B = X. Tal y como hemos visto, estoquiere decir queAc ∩ Bc = ∅, luegoAc ⊂ B; y comoA y B son disjuntos tambien ocurre queB ⊂ Ac luegoAc = B, lo que implica que,B es tambien cerrado yB = B de lo que obtenemosA ∩B = A ∩B = ∅. AnalogamenteA ∩B = ∅.

Corolario 6.1.5. Un espacio topologico(X, τ) es conexo si, y solo si losunicos conjuntos abiertosy cerrados sonX y∅.

Definicion 6.1.6 (Subconjunto conexo).Dado un espacio topologico (X, τ) y un subconjuntoS ⊂ X, diremos queS es conexo si(S, τS) con la topologıa relativa es conexo.

Proposicion 6.1.7. Un subconjuntoS de un espacio topologico(X, τ) es no conexo si, y solo siexisten dos subconjuntosA,B ⊂ X separados, tales queA ∪B = S.

Demostracion. Es una consecuencia inmediata de la definicion de topologıa relativa y la proposi-cion 6.1.4.

Ejemplo 6.1.8.

(1) Cualquier espacio topologico con la topologıa trivial es conexo.

(2) Cualquier espacio topologico con la topologıa discreta es no conexo. �

Teorema 6.1.9.Sea(X, τ) un espacio topologico y{Ai}i∈I una familia de subconjuntos conexosno vacıos deX, tales que no estan separados dos a dos. EntoncesA = ∪i∈IAi es conexo.

Demostracion. Hagamos la prueba por reduccion al absurdo. Supongamos queA = ∪i∈IAi esno conexo; entonces existeB ⊂ A, B 6= A no vacıo que es abierto y cerrado en(A, τA).

6.2. CONEXOS EN R 55

ComoB 6= ∅, existex ∈ B ⊂ A y comoB 6= A existey ∈ A, y /∈ B. Por tanto existenix, iy ∈ I

tales quex ∈ Aix e y ∈ Aiy . EntoncesB ∩ Aix 6= ∅ es abierto y cerrado en(Aix , τix) que esconexo por hipotesis, luegoB ∩Aix = Aix lo que implica queAix ⊂ B.

De la misma forma(ArB)∩Aiy 6= ∅ es abierto y cerrado e(Aiy , τiy), luego(ArB)∩Aiy = Aiy ,lo que implica queAiy ⊂ B rA.

PeroA y BrB estan separados en(A, τA) pues son dos abiertos y cerrados no vacıos cuya unionesA, lo que lleva consigo queAix y Aiy tambien estan separados, en contra de la hipotesis, lo queconcluye la prueba.

Corolario 6.1.10. Si (X, τ) es un espacio topologico y{Ai}i∈I es una familia de subconjuntosconexos no vacıos deX tales queAi ∩Aj 6= ∅ para cada pari, j ∈ I. EntoncesA = ∪i∈IAi esconexo.

6.2 Conexos enR

Lema 6.2.1. Sea(R, τu) y un subconjuntoI ⊂ R. Son equivalentes:

(a) I es un intervalo.

(b) Para cadax, y ∈ I, x ≤ y, se verifica que[x, y] ⊂ I.

Demostracion. Solo tenemos que probar que (b) implica (a). En efecto, si se cumple (b), llamem-os

a = inf I y b = sup I

teniendo en cuenta que siI no esta acotado inferiormente,a = −∞ y si I no esta acotadosuperiormente,b = +∞. Vamos a ver que ha de ocurrir que(a, b) ⊂ I ⊂ [a, b], cometiendoun pequeno abuso de notacion en el caso de quea = −∞ o bienb = +∞; con lo cual I sera unintervalo.

Si z ∈ (a, b), tenemos quea < z y por la definicion dea como unınfimo, existex ∈ I tal quex < z; de la misma manera tenemos quez < b y por la definicion deb como un supremo, existey ∈ I tal quez < y, entonces, comox < y conx, y ∈ I, por la hipotesis (b),z ∈ [x, y] ⊂ I,luego(a, b) ⊂ I. I ⊂ [a, b] por la propia definicion dea y deb

Teorema 6.2.2 (Conexos en(R, τu)). Un subconjuntoS R, con la topologıa usual, es conexosi, y solo siS es un intervalo o un conjunto unitario.

Demostracion. -

56 CAPITULO 6. ESPACIOS CONEXOS

⇒ Supongamos queS es conexo y que no es unitario ni es un intervalo; entonces existenx, y ∈ S

tales que[x, y] no esta contenido enS, es decir, existez ∈ (x, y) tal quez /∈ S. Consideremos losconjuntos

A = (−∞, z) ∩ S y B = (z, +∞) ∩ S.

EntoncesS = A ∪B, siendoA y B separados, en contra de queS es conexo.

⇐ Supongamos ahora queS es un intervalo y que es no conexo, esto quiere decir que existenA,B ⊂ R, no vacıos y separados tales queS = A ∪ B, seanx ∈ A, y ∈ B y supongamos quex < y. ComoS es un intervalo, por el lema anterior,[x, y] ⊂ S.

Consideremos el conjuntoC = [x, y] ∩ A, que es no vacıo (x ∈ A) y esta acotado superiormentepory; por tanto existeα = supC.

Tenemos entonces quex ≤ α ≤ y, es decir,α ∈ [x, y] ⊂ S. Por tanto, o bienα ∈ A o bienα ∈ B, pero no a los dos. Supongamos queα ∈ A, esto implica queα < y. ComoA es abiertoenS, por definicion de topologıa relativa, existira G abierto en(X, τ) tal queA = G ∩ S, luegoα ∈ G, que por ser abierto es entorno deα y para algunε > 0 (α− ε, α+ ε) ⊂ G, ademasα < y,luego podemos tomarε > 0 tal queα + ε < y, luegoα + ε ∈ S y por tantoα + ε ∈ G ∩ S = A,en contra de queα es supremo. De forma analoga se ve queα no puede ser deB.

Corolario 6.2.3. R con la topologıa usual, es un espacio conexo.

Ejemplo 6.2.4. EnR con la topologıa usual,S = [0, 1) ∪ [2, 3] es no conexo.

�

6.3 Conexion y continuidad

Teorema 6.3.1.Sean(Xτ) e (Y, τ ′), dos espacios topologicos,f : X −→ Y una aplicacioncontinua yS ⊂ X un subconjunto conexo enX. Entoncesf(S) es conexo enY .

Demostracion. Supongamos quef(S) es no conexo, entonces existenA,B ⊂ Y no vacıos yseparados tales quef(S) = A ∪ B. Comof : S −→ f(S) es continua yA y B son abiertosy cerrados enf(S) con la topologıa relativa, tendremos quef−1(A) y f−1(B) seran abiertos ycerrados enS con la topologıa relativa a(X, τ), que ademas son no vacıos, disjuntos y cumplen

S = f−1(f(S)) = f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B)

con lo queS serıa no conexo.

Corolario 6.3.2. Sean(X, τ) y (Y, τ ′) dos espacios topologicos homeomorfos. Entonces(X, τ)es conexo si, y solo si (Y, τ ′) es conexo.

6.3. CONEXION Y CONTINUIDAD 57

Corolario 6.3.3. Un espacio topologico(X, τ) es conexo si, y solo si cualquier aplicacion contin-ua entreX y el espacio discreto{0, 1} es constantef(x) = 0 para todox ∈ X, o bienf(x) = 1para todox ∈ X).

Lema 6.3.4.Si (X, τ) es un espacio topologico no conexo, existef : X −→ {0, 1} continua y noconstante.

Demostracion. Si (X, τ) es no conexo entoncesX = A ∪ B con A y B abiertos y cerradosdisjuntos. Definimosf(x) = 0 si x ∈ A y f(x) = 1 si x ∈ B. esta aplicacion es continua puestoquef−1({0}) es abierto y cerrado y lo mismo ocurre para{1}.

Teorema 6.3.5 (de los valores intermedios).Un espacio topologico(X, τ) es conexo si, y solo sicada aplicacion continuaf : X −→ R cumple que six, y ∈ X y c ∈ R tal quef(x) ≤ c ≤ f(y),existez ∈ X tal quef(z) = c.

Demostracion. -

⇒ Si X es conexo,f(X) es conexo enR y por tanto es un intervalo.

⇐ Supongamos queX fuera no conexo, entoncesX = A ∪ B conA y B no vacıos y separa-dos. Consideramos una funcion g : X −→ {0, 1} continua como la del lema anterior y tal queg(A) = {0} y g(B) = {1}. Consideremos la composicion deg con la inclusion i, de{0, 1} enR.Tendremos una aplicaciong ◦ i continua deX enR, que no cumple las hipotesis.

Teorema 6.3.6.Sea(X, τ) un espacio topologico, se verifican:

(a) Si H ⊂ X es un subconjunto conexo yS ⊂ X tal queH ⊂ S ⊂ H, entoncesS esconexo.

(b) SiS es un subconjunto conexo deX, entoncesS es conexo.

Demostracion. -

(a)Si S es no conexo, existef : S −→ {0, 1} no constante y continua. ComoH es conexo, larestriccion def aH sera constante, por ejemplof(H) = {0}.

Seas ∈ S, tal quef(s) = 1, como{1} es abierto en{0, 1} y f es continua,f−1({1}) es abiertoenS, luego sera f−1({1}) = S ∩ A, para algun A abierto en(X, τ). Entoncess ∈ A abierto ycomos ∈ H, tendremos por la definicion de adherencia, queA ∩ H 6= ∅, luego six ∈ A ∩ H

sera f(x) = 0, pero tambienf(x) = 1, ya quex ∈ H ∩ A ⊂ S ∩ A = f−1({1}), lo cual es unacontradiccion.

(b) Es una consecuencia inmediata de (a).

Capıtulo 7

Espacios compactos

7.1 Espacios compactos

Definicion 7.1.1 (Recubrimiento).SeaX un conjunto y seaS ⊂ X. Un recubrimiento deS esuna familiaA = {Ai}i∈I de subconjuntos deX tales queS = ∪i∈IAi. Un subrecubrimientoes una subfamiliaB ⊂ A que es tambien un recubrimiento deS. Un recubrimiento se dice quees finito si esta formado por una cantidad finita de conjuntos. En el caso de que(X, τ) sea unespacio topologico,S ⊂ X y A = {Ai}i∈I sea un recubrimiento deS tal que cadaAi sea unabierto de(X, τ), se dice queA es un recubrimiento abierto deS.

Ejemplo 7.1.2.

SeaX = R, entonces la familiaA = {[−n, n]}∞n=1 es claramente un recubrimiento deS = R,pero no es un recubrimiento abierto en la topologıa usual. Un ejemplo de un subrecubrimiento deA serıa: D = {[−2n, 2n]}∞n=1. La familia{(−n, n)}∞n=1 tambien es un recubrimiento abierto deR, pero no es un subcubrimiento deA. �

Definicion 7.1.3 (Espacio compacto).Diremos que un espacio topologico(X, τ) es compacto sitodo recubrimiento abierto deX admite un subrecubrimiento finito.

Ejemplo 7.1.4.

(1) El espacio(R, τu) no es compacto.

(2) En cambio(R, τcf ) sı que lo es.

(3) Si X es un conjunto finito(X, τ) es siempre compacto.

(4) (X, τT ) siempre es compacto.

(5) Si X es un conjunto infinito(X, τD) no es compacto. �

59

60 CAPITULO 7. ESPACIOS COMPACTOS

7.2 Subconjuntos compactos

Definicion 7.2.1 (Subconjunto compacto).Sea(X, τ) un espacio topologico yK ⊂ X un sub-conjunto. Diremos queK es un conjunto compacto en(X, τ) si (K, τK), con la topologıa relativa,es un espacio compacto. En este caso se dice que(K, τK) es un subespacio compacto.

Proposicion 7.2.2. SeaK un subespacio de un espacio topologico(X, τ). EntoncesK es com-pacto si y solo si para toda familia{Ai}i∈I de abiertos enX tal queK ⊂ ∪i∈IAi, existe unasubfamilia finita{Ai}n

i=1 tal queK ⊂ ∪ni=1Ai.

Demostracion. -

⇒ Supongamos queK es compacto y seaK ⊂ ∪i∈IAi, donde{Ai}i∈I es una familia de abiertosde(X, τ). Entonces, segun la definicion de topologıa relativa,{Ai ∩K}i∈I es un recubrimientodeK por abiertos de(K, τK), que es compacto, por lo que existen abiertosAi1 , ..., Ain tales que

K = (Ai1 ∩K) ∪ ... ∪ (Ain ∩K)

De aquı se deduce queK ⊂ Ai1 ∪ ... ∪Ain .

⇐ Supongamos ahora que de todo recubrimiento deK por abiertos de(X, τ) se puede extraerun subrecubrimiento finito y veamos queK es compacto. Para ello, sea{Ai}i∈I una familia deabiertos de(K, τK) que recubrenK. Entonces, cada abiertoAi se puede escribir de la formaAi = Bi ∩ K, dondeBi es un abierto en(X, τ) y ası se tiene queK ⊂ ∪i∈IBi. Por hipotesis,existiranBi1 , ..., Bin tales queK ⊂ Bi1 ∪ ... ∪Bin de forma que

K = (Bi1 ∩K) ∪ ... ∪ (Bin ∩K) = Bi1 ∪ ... ∪Bin

y por tanto,K es compacto.

Teorema 7.2.3.Todo subconjunto cerradoC de un espacio topologico compacto(X, τ) es com-pacto.

Demostracion. SeaA = {Ai}i∈I un recubrimiento deC por abiertos de(X, τ). EntoncesA ∪ Cc es un recubrimiento abierto deX, del cual se puede extraer un subrecubrimiento fini-to; si este subrecubrimiento finito no contiene aCc, estara formadounicamente por elementosdeA: {Ai1 , ..., Ain} y comoC ⊂ X ya lo tendrıamos. SiCc esta en el recubrimiento fini-to, sera de la forma{Ai1 , ..., Ain , Cc} y comoC ⊂ X = Ai1∪, ...,∪Ain ∪ Cc, tenemos queC ⊂ Ai1∪, ...,∪Ain .

Teorema 7.2.4.Todo subconjunto compacto de un espacio topologico de Hausdorff,(X, τ), escerrado en(X, τ).

7.3. COMPACTOS EN R Y RN 61

Demostracion. Probemos queKc es abierto, demostrando que es entorno de todos sus puntos.Seaa /∈ K, si x ∈ K, x 6= a, comoX es Hausdorff, existen abiertos disjuntosAx y Bx cona ∈ Ax y x ∈ Bx; y esto se puede hacer para cadax 6= a, x ∈ K.

Pero{Bx}x∈K es un recubrimiento deK por abiertos deX del cual se puede extraer un subre-cubrimiento finitoBx1 , ..., Bxn , para ciertos puntosx1, ..., xn ∈ K. Entonces tomemos

A = Ax1 ∩ ... ∩Axn ,

que es abierto y contiene aa y veamos queA ⊂ Kc. Si b ∈ A, entonces para cadai = 1, ..., n setiene queb ∈ Axi , y por tantob /∈ Bxi lo que implica queb /∈ K. De esta formaA ⊂ Kc.

7.3 Compactos enR y Rn

Los compactos enR y enRn tienen algunas caracterısticas especiales dadas por las propiedadesde los numeros reales, que es interesante conocer.

7.3.1 Compactos enR

Teorema 7.3.1 (de Heine-Borel).Todo intervalo cerrado y acotado[a, b], enR con la topologıausual, es compacto.

Demostracion. Supongamos que{Ai}i∈I es un recubrimiento abierto de[a, b]. Vamos a ver quese puede extraer un subrecubrimiento finito.

Consideremos el conjunto siguiente

G = {x ∈ R : a ≤ x y [a, x] se recubre con una subfamilia finita de{Ai}i∈I}

(A) G 6= ∅ y ademas existeδ > 0 tal que[a, a + δ) ⊂ G.

En efecto, comoa ∈ [a, b] ⊂ ∪i∈IAi, existira unj ∈ I tal quea ∈ Aj , que como es abierto, esentorno dea y por tanto existeδ > 0 tal que(a− δ, a + δ) ⊂ Aj y por tanto[a, a + δ) ⊂ Aj , estoimplica que six ∈ [a, a + δ), [a, x] ⊂ [a, a + δ) ⊂ Aj , que es unsubrecubrimiento finito. Portanto[a, a + δ) ⊂ G.

(B)G es un intervalo pues six, y ∈ G, entonces[x, y] ⊂ G ya que siz ∈ [x, y], [a, z] ⊂ [a, y] ⊂ G

y por el lema 6.2.1, pag. 55,G debe ser un intervalo.

(C) b ∈ G

Consideremosc = sup{G}, que eventualmente puede serc = +∞ y tengamos en cuenta que,comoa es cota inferior deG, a < c. Tendremos los siguientes casos:


(C1) Si b < c, entoncesb ∈ G pues existirıa, por la definicion de supremo,x ∈ G tal queb < x ≤ c y G es un intervalo.

(C2) Si c ≤ b, tambien b ∈ G pues como[a, b] ⊂ ∪i∈IAi, c ∈ Ak para algun k ∈ I. Ak esabierto luego es entorno dec y por tanto existeε > 0 tal que(c − ε, c + ε) ⊂ Ak. Pero, comoc = sup{G}, c− ε ∈ G, y por tanto[a, c− ε] ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪ Ain , con lo cual tenemos quec + ε

tambien esta enG ya que[a, c + ε] tiene un subrecubrimiento finito de la forma

[a, c + ε] ⊂ Ai1 ∪ · · · ∪Ain ∪Ak

y esto es una contradiccion con el hecho de quec = sup{G}.

Por tanto, comob ∈ G, [a, b] tiene un subrecubrimiento finito.

7.3.2 Compactos enRn

Lema 7.3.2.Si [c, d] ⊂ R yx ∈ R, con la topologıa usual. EntoncesS = {x}×[c, d] es compactoenR2 con la topologıa usual.

Demostracion. Sea{Ai}i∈I un recubrimiento abierto deS = {x} × [c, d]; vamos a ver quepodemos extraer un subrecubrimiento finito.

Si (x, y) ∈ S, como{Ai}i∈I recubreS, tendremos que(x, y) ∈ Aiy coniy ∈ I y Aiy es abierto,luego para algun ry > 0 sera (x, y) ⊂ B∞((x, y), ry) ⊂ Aiy . Tengamos en cuenta que

B∞((x, y), ry) = (x− ry, x + ry)× (y − ry, y + ry)

De tal modo que{(y − ry, y + ry)}y∈[c,d]} es un recubrimiento abierto de[c, d] que, como escompacto, admitira un subrecubrimiento finito y

[c, d] ⊂ (y1 − ry1 , y1 + ry1) ∪ · · · ∪ (yn − ryn , yn + ryn)

y por tanto

{x} × [c, d] ⊂ ∪nj=1{(x− ryj , x + ryj )× (yj − ryj , yj + ryj )} =

= ∪nj=1B∞((x, yj), ryj ) ⊂ ∪n

j=1Aiyj

Con lo que hemos obtenido un subrecubrimiento finito.

Lema 7.3.3. Si R = [c1, d1] × . . . [cn−1, dn−1] ⊂ Rn−1 es un rectangulo cerrado yx ∈ R,entonces{x} ×R es un compacto deRn, siempre con la topologıa usual.


7.3. COMPACTOS EN R Y RN 63

Lema 7.3.4.Si [c, d] ∈ R, x ∈ R y {Ai}i∈I es un recubrimiento abierto de{x} × [c, d], entoncesexister > 0 tal que(x− r, x + r)× [c, d] esta recubierto por una cantidad finita de elementos de{Ai}i∈I .

Demostracion. Por el lema anterior{x} × [c, d] es compacto, por tanto admite un subrecubrim-iento finito de{Aj}n

j=1 ⊂ {Ai}i∈I .

Si y ∈ [c, d], (x, y) ∈ Ak para algun k ∈ {1, 2, . . . , n}, que al ser abierto es entorno de(x, y) ypor tanto existery > 0 tal que

(x, y) ∈ B∞((x, y), ry) = (x− ry, x + ry)× (y − ry, y + ry) ⊂ Ak

Tenemos entonces que{(y − ry, y + ry)}y∈[c,d] es un recubrimiento abierto de[c, d] que es com-pacto y por tanto admite un subrecubrimiento finito{(yj − ryj , yj + ryj )}m

j=1.

Si ahora tomamosr = min{ryj : j = 1, . . . ,m}, tendremos que(x − r, x + r) = ∩mj=1(x −

ryj , x + ryj ) y por tanto

(x− r, x + r)× [c, d] ⊂ ∪mj=1{(x− r, x + r)× (yj − ryj , yj + ryj)} ⊂

⊂ ∪mj=1{(x− ryj , x + ryj)× (y − ryj , y + ryj)} ⊂ ∪n

k=1Ak

y obtenemos el subrecubrimiento finito.

Lema 7.3.5. Si R = [c1, d1] × . . . [cn−1, dn−1] ⊂ Rn−1 es un rectangulo cerrado yx ∈ R y{Ai}i∈I es un recubrimiento abierto deR, entonces exister > 0 tal que(x− r, x + r)× R estarecubierto por una cantidad finita de elementos de{Ai}i∈I .


Corolario 7.3.6. Un rectangulo[a, b]× [c, d] ⊂ R2 es compacto.

Demostracion. Si {Ai}i∈I es un recubrimiento abierto de[a, b]× [c, d], tambien es un recubrim-iento de{x} × [c, d] para cadax ∈ [a, b] y por el lema anterior, existerx > 0 tal que el con-junto (x − rx, x + rx) × [c, d] admite un subrecubrimiento finito. Pero{(x − rx, x + rx)}x∈[a,b]

es un recubrimiento abierto de[a, b], que, al ser compacto, admite un subrecubrimiento finito{(xk − rxk

, xk + rxk)}m

k=1. entonces tenemos que

[a, b]× [c, d] ⊂ ∪mk=1{(xk − rxk

, xk + rxk)× [c, d]}

y cada uno de los(xk − rxk, xk + rxk

)× [c, d], esta recubierto por un numero finito de elementosde{Ai}i∈I , luego el rectangulo[a, b]× [c, d] es union finita elementos de{Ai}i∈I .

Corolario 7.3.7. [a, b]× [c1, d1]× . . . [cn−1, dn−1] ⊂ Rn es compacto.



Teorema 7.3.8 (de Heine-Borel).SeaK ⊂ Rn con la topologıa usual. Son equivalentes:

(a) K es compacto.

(b) K es cerrado y acotado.

Demostracion. (Haremos la prueba enR2)

a)⇒b) ComoR2 es Hausdorff yK compacto, por la proposicion 7.2.4,K es cerrado. Por otraparte, sia ∈ K la coleccion de bolas{B(a, n)}n∈N, constituye un recubrimiento abierto deK

que, como es compacto, admite un subrecubrimiento finito, cuya union sera la bolaB(a,m) masgrande y por tantoK ⊂ B(a,m) y es acotado.

b)⇒a) Si K esta acotado hay alguna bola cerrada tal queK ⊂ B∞(a, r) para algun a ∈ R2 yesta bola es un rectangulo cerrado que, por el corolario anterior es compacto. ComoK es cerradoy esta contenido en un compacto, por la proposicion 7.2.3, es compacto.

7.4 Compactos en un espacio metrico

Proposicion 7.4.1. Todo subconjunto compactoK de un espacio metrico (X, d) esta acotado.

Demostracion. Solo es repetir la prueba de la implicacion a)⇒b) del teorema anterior de Heine-Borel.

Teorema 7.4.2.Sea(X, d) un espacio metrico y(xn)n ⊂ X una sucesion. Son equivalentes:

(a) (xn)n converge ax ∈ X.

(b) Cada subsucesion (xnk)k converge ax.

Demostracion. -

a)⇒b) Supongamos quexn → x, entonces para cadaε > 0, existeno ∈ N tal que sin >

no, entoncesd(xn, x) < ε. Esto quiere decir quexn ∈ B(x, ε) y por tanto que solo hay unacantidad finita de terminos de la sucesion que no estan en dicha bola. Y esto significa que ningunasubsucesion (xnk

)k, puede tener infinitos terminos fuera de la bola, luego debe ser convergente ax.

b)⇒a) Es evidente puesto que cualquier sucesion es subsucesion de si misma.

Ejemplo 7.4.3.

7.4. COMPACTOS EN UN ESPACIO METRICO 65

Si una sucesion no converge, no quiere decir ninguna subsucesion es convergente, por ejemplo lasucesion ((−1)n)n, que no es convergente, tiene dos subsucesiones(1, 1, . . . ) que converge a1 y(−1,−1, . . . ) que converge a−1. �

Proposicion 7.4.4. Sea(X, d) un espacio metrico yS ⊂ X un subconjunto. Son equivalentes:

(a) x ∈ X es un punto de acumulacion deS.

(b) Existe enS una sucesion no trivial que converge ax.

Demostracion. -

a)⇒b) Si x ∈ S′ es un punto de acumulacion, para todor > 0 se cumple que(B(x, r) r {x})∩S 6= ∅ y esta interseccion contiene infinitos puntos. Construimos entonces la sucesion siguientetomando parar > 0 los valores1, 1

2 , . . . , 1n , . . . , sucesivamente:

Parar = 1, tomamosx1 ∈ (B(x, 1) r {x}) ∩ S

Parar = 12 , tomamosx2 ∈ (B(x, 1

2) r {x}) ∩ S, x1 6= x2

. . .

Parar = 1n , tomamosxn ∈ (B(x, 1

n) r {x}) ∩ S, xn−1 6= xn

. . .

Es evidente, tal y como se ha construido, quexn −→ x.

b)⇒a) Sea(xn)n una sucesion enS que converge ax, entonces para todor > 0, existenr ∈ Ntal que sin > nr entoncesxn ∈ B(x, r) lo que implica que(B(x, r) r {x})∩ S 6= ∅ y por tantox ∈ S′.

Definicion 7.4.5 (Conjunto secuencialmente compacto).Sea(X, τ) un espacio topologico yK ⊂ X un subconjunto, diremos queK es secuencialmente compacto si dada una sucesion(xn)n enK, existe una subsucesion (xnk

)k convergente a un punto deK.

Ejemplo 7.4.6.

(1) Cualquier espacio topologico finito es compacto y secuencialmente compacto.

(2) El intervalo abierto(0, 1), con la topologıa inducida por la usual deR, no es secuencialmentecompacto, la sucesion ( 1

n)∞n=2 ⊂ (0, 1), converge a 0, y por tanto cualquier subsucesion suyatambien converge a 0; pero0 /∈ (0, 1). �

Definicion 7.4.7 (Espacio totalmente acotado).Dado un espacio metrico (X, d) y T ⊂ X unsubconjunto, diremos queT es totalmente acotado, si para cadar > 0 existe un numero finito depuntosx1, ..., xn ∈ T tales queT ⊂ B(x1, r) ∪ ... ∪B(xn, r).

Proposicion 7.4.8. Si (X, d) es un espacio metrico yT ⊂ X, se verifican:


(a) SiT es compacto, entoncesT es totalmente acotado.

(b) SiT es totalmente acotado,T es acotado.

Ejemplo 7.4.9.

(1) (0, 1) ⊂ R con la metrica usual es totalmente acotado, pero no es compacto.

(2) R con la distancia discreta es un espacio metrico acotado, pero no es totalmente acotado.�

Proposicion 7.4.10. Si (X, d) es un espacio metrico y K ⊂ X es secuencialmente compacto,entoncesK es totalmente acotado.

Demostracion. Supongamos queK es secuencialmente compacto y no es totalmente acotado.Existira r > 0 de modo que no existe un recubrimiento finito deK con bolas de radior y centroen un punto deK. Vamos a construir un sucesion de la siguiente manera:

Tomamosx1 ∈ K arbitrario yx2 ∈ K, tal qued(x1.x2) ≥ r, que existe puesto que si no existieraB(x1, r) serıa un recubrimiento finito deK; tomamosx3 ∈ K tal qued(x,x2), d(x2, x3) ≥ r

que existe pues en caso contrario{B(x1, r), B(x2, r)} serıa un recubrimiento finito deK y asısucesivamente. Obtenemos una sucesion (xn)n enK que verifica qued(xn, xm) ≥ r si n 6= m,que no tiene ninguna subsucesion convergenteK, pues si tuvieramos(xnk

)k conlimk xnk= x ∈

K, dador > 0 existirıa kr ∈ N tal que sink > nkr , d(xnk, x) < r

2 con lo que tendrıamos que sink, nm > nr

d(xnk, xnm) ≤ d(xnk

, x) + d(x, xnm) <r

2+

r

2= r

en contra de qued(xnk, xnm) ≥ r, puesto que los terminos de la subsucesion tambien estan en la

sucesion; y entoncesK no serıa secuencialmente compacto.

Lema 7.4.11 (Lema de Lebesgue).Si (X, d) es un espacio metrico yK ⊂ X un subconjuntosecuencialmente compacto y{Ai}i∈I es un recubrimiento abierto deK, entonces exister > 0 talque para cadax ∈ K existei ∈ I de modo queB(x, r) ⊂ Ai. (A ester > 0 se le llama numerode Lebesgue del recubrimiento).

Demostracion. Supongamos que{Ai}i∈I es un recubrimiento abierto deK para el que no existeningun numero de Lebesgue. Entonces para cadan ∈ N existiraxn ∈ K tal queB(xn, 1

n) no estacontenido en ningunAi para todoi ∈ I.

ComoK es secuencialmente compacto, ha de existir una subsucesion (xnk)k convergente a un

puntox ∈ K. Ademas, como{Ai}i∈I es un recubrimiento deK, x ∈ Aj para algun j ∈ I. Aj esabierto en, luego existe unnj ∈ N tal queB(x, 2

nj) ⊂ Aj .

Como la subsucesion anterior es convergente ax, dado 1nj

> 0, existira unr0 ∈ N tal que si

nr ≥ nr0 , xnr ∈ B(x, 1nj

).

7.4. COMPACTOS EN UN ESPACIO METRICO 67

Tomemos ahoranr ≥ nr0 tal que tambien seanr ≥ nj . Entonces,B(xnr ,1nr

) ⊂ B(x, 2nj

), ya

que siy ∈ B(xnr ,1nr

), entonces

d(x, y) ≤ d(x, xnr) + d(xnr , y) <1nj

+1nr≤ 2

nj

De aquı se deduce queB(xnr ,1nr

) ⊂ Aj , en contradiccion con la hipotesis.

Teorema 7.4.12 (de Heine-Borel-Lebesgue).Sea(X, d) un espacio metrico y K ⊂ X. Sonequivalentes:

(a) K es compacto.

(b) Todo subconjuntoS ⊂ K infinito, tiene un punto de acumulacion enK.

(c) K es secuencialmente compacto.

Demostracion. -

a)⇒b) Supongamos queK es compacto y queS ⊂ K es un subconjunto infinito que no tieneningun punto de acumulacion, entonces para cadax ∈ K, existe unrx > 0 tal que la bolaB(x, rx)no corta aS o bien solo corta aS en el propiox.

Si consideramos la familia{B(x, rx)}x∈K , tenemos un recubrimiento abierto deK que, al sercompacto, admite un subrecubrimiento finito. Este subrecubrimiento finito tambien recubre aScon lo que segun lo visto en el parrafo anteriorS serıa finito, en contra de la hipotesis.

b)⇒c) Si (xn)n es un sucesion enK con infinitos terminos iguales ax, no hay nada que probarpues ella misma converge ax. Supongamos entonces que(xn)n es una sucesion enK, con in-finitos terminos distintos. Segun b), dicha sucesion tiene un punto de acumulacion x ∈ K y porla proposicion 7.4.4, existe una subsucesion de(xn)n convergente ax y K sera secuencialmentecompacto.

c)⇒a) Supongamos queK es secuencialmente compacto y que{Ai}i∈I es un recubrimientoabierto deK. Por el lema de Lebesgue anterior, exister > 0 un numero de Lebesgue paraeste recubrimiento. Entonces, como por la proposicion 7.4.10,K es totalmente acotado, existeun recubrimiento finito deX por bolas de radior, {B(x1, r), ..., B(xn, r)}. Pero como ca-da bolaB(xi, r) ha de estar contenida en un abierto del recubrimiento{Ai}i∈I , tendremos que{A1, ..., An} es un subrecubrimiento finito deX.

7.4.1 Compactos enRn de nuevo

Despues de lo que acabamos de ver en lo referente a espacios metricos y compacidad, podemoscompletar el teorema 7.3.8 de Heine-Borel que vimos en la seccion 7.3.2. Rn es un espacio


metrico, con lo que podemos aplicar los resultados anteriores y unirlos al citado teorema, quepodemos enunciar ahora de la siguiente forma:

Teorema 7.4.13 (de Heine-Borel-Lebesgue).SeaK ⊂ Rn con la topologıa usual. Son equiva-lentes:

(a) K es compacto.

(b) K es cerrado y acotado.

(c) Todo subconjuntoS ⊂ K infinito, tiene un punto de acumulacion enK.

(d) K es secuencialmente compacto.

7.5 Compactos y funciones continuas

Teorema 7.5.1.Si f : (X, τ) −→ (Y, τ ′) es una aplicacion continua entre espacios topologicosy K ⊂ X es compacto, entoncesf(K) es compacto en(Y, τ ′).

Demostracion. Supongamos que{Ai}i∈I es un recubrimiento abierto def(K) en (Y, τ ′). En-tonces, comoK = f−1(K) = f−1(∪i∈IAi) = ∪i∈If

−1(Ai), tendremos que{f−1(Ai)}i∈I

es un recubrimiento abierto deK que, como es compacto admite un subrecubrimiento finitoK = f−1(A1) ∪ · · · ∪ f−1(An) = f−1(A1 ∪ · · · ∪ An), lo que implica que{A1, ..., An} esun subrecubrimiento finito def(K).

Corolario 7.5.2. Si (X, τ), (Y, τ ′) son espacios topologicos homeomorfos. Son equivalentes:

(a) (X, τ) es compacto.

(b) (Y, τ ′) es compacto.

Corolario 7.5.3. Si(X, τ) es un espacio topologico yK ⊂ X un subconjunto compacto, entoncestoda funcion continuaf : X −→ R esta acotada enK.

Corolario 7.5.4 (Teorema de Weierstrass).Si (X, τ) es un espacio topologico yK ⊂ X es unsubconjunto compacto, entonces toda funcion continuaf : X −→ R alcanza sus extremos enK.

Demostracion. f(K) es un subconjunto compacto deR y por tanto, es cerrado y acotado. Por seracotado, existenc = inf{f(K)} y d = sup{f(K)}; y por ser cerrado, existiranc, d ∈ f(K), demodo que existenx, y ∈ K tales quef(x) = c y f(y) = d.

Corolario 7.5.5. Seaf : R −→ R una aplicacion continua. Entonces el conjunto imagenf([a, b])es un intervalo cerrado y acotado[c, d].

7.6. PROPIEDAD DE LA INTERSECCION FINITA 69


Proposicion 7.5.6. Toda aplicacion continuaf : (X, d) −→ (Y, d′) entre espacios metricos,donde(X, τd) es compacto, es uniformemente continua.

Demostracion. Comof es continua, dadox ∈ X y dadoε > 0, existeδx >= tal que sid(y, x) <

δx, entoncesd′(f(x), f(y)) < ε2 .

Entonces, fijadoε > 0, la coleccion de bolas{B(x, δx2 )}x∈X constituye un recubrimiento abierto

deX que, al ser compacto admite un subrecubrimiento finito{B(xi,δi2 )}n

i=1.

Tomemosδ = min{ δi2 : i = 1, 2, . . . , n}. Tomemosx, y ∈ X arbitrarios cumpliendod(x, y) < δ;

tendremos quex ∈ B(xk,δk2 ) para algunk ∈ {1, . . . , n} y entonces

d(y, xk) ≤ d(y, x) + d(x, xk) < δ +δk

2≤ δk

lo que implica qued′(f(y), f(xk)) <

ε

2y entonces

d′(f(x), f(y)) ≤ d′(f(x), f(xk)) + d′(f(xk), f(y)) <ε

2+

ε

2= ε

y f es uniformemente continua.

Corolario 7.5.7. Toda funcion real continua, definida en un intervalo cerrado y acotado[a, b], esuniformemente continua.

7.6 Propiedad de la interseccion finita

Definicion 7.6.1 (Propiedad de la interseccion finita). SeaF una familia de subconjuntos deun conjuntoY ; se dice queF tiene la propiedad de la interseccion finita si la interseccion decualquier subfamilia finita deF es no vacıa.

Ejemplo 7.6.2.

(1) La familia{(0, 1n)}n∈N de subconjuntos deR tiene la propiedad de la interseccion finita.

(2) La familia{[n, n+1]}n∈N de subconjuntos deR no tiene la propiedad de la interseccion finita.

�

Proposicion 7.6.3. Sea(X, τ) un espacio topologico. Son equivalentes:

(a) X es compacto.


(b) Toda familia{Fi}i∈I de cerrados en X que tiene la propiedad de la interseccion finitatiene interseccion no vacıa.

Demostracion. -

a)⇒b) Supongamos queX es compacto y que{Fi}i∈I es una familia de subconjuntos cerradosdeX con la propiedad de la interseccion finita tal que∩i∈IFi = ∅; si tomamos complementariostendremos que∪i∈IF

ci = X, luego, como losF c

i son abiertos, tenemos un recubrimiento abiertodeX que, por ser compacto, admite un subrecubrimiento finito yF c

1 ∪ · · · ∪ F cn = X, tomando

de nuevo complementarios tendremos queF1 ∩ · · · ∩ Fn = ∅ en contra de que la familia{Fi}i∈I

tiene la propiedad de la interseccion finta.

b)⇒a) Supongamos que se cumple b) y queX no es compacto, esto quiere decir que existe unrecubrimiento abierto{Ai}i∈I del cual no se puede extraer un subrecubrimiento finito. Tendremosentonces que∪i∈IAi = X, por tanto tomando complementarios∩i∈IA

ci = ∅, lo cual implica

que la familia de cerrados{Aci}i∈I no tiene la propiedad de la interseccion finita y por tanto, al

cumplirse b), debe existir una subfamilia finita cuya interseccion es vacıa Ac1 ∩ · · · ∩ Ac

n = ∅; siahora tomamos complementariosA1 ∪ · · · ∪An = X y tendrıamos un subrecubrimiento finito de{Ai}i∈I lo que llevarıa a queX fuera compacto, en contra de lo supuesto.

Ejemplo 7.6.4.

(R, τu) no es compacto, ya que la familia de cerrados{[z, +∞)} tiene la propiedad de la intersec-cion finita, y sin embargo la interseccion de todos los elementos de esta familia es vacıa. �

Capıtulo 8

Espacios completos

8.1 Sucesiones de Cauchy

Definicion 8.1.1 (Sucesion de Cauchy).Diremos que una sucesion(xn)∞n=1 en un espacio metrico(X, d) es de Cauchy si para todoε > 0 existe unno tal que sin,m > no se cumple qued(xn, xm) < ε.

El concepto de sucesion de Cauchy depende de la distanciad como se pone de manifiesto en losejemplos siguientes. Ademas como vimos en el ejemplo 5.2.11 6), tampoco es una propiedadtopologica ya que no se conserva mediante homeomorfismos.

Ejemplo 8.1.2.

(1) Lasunicas sucesiones de Cauchy en un espacio metrico discreto son las decolaconstante.

(2) ( 1n)∞n=1 es de Cauchy tanto en(R, | |) como en((0, 1), | |).

(3) La sucesion (n)∞n=1 no es de Cauchy en(R, | |). �

Proposicion 8.1.3. Si una sucesion (xn)∞n=1 en un espacio metrico (X, d) converge ax ∈ X,entonces(xn)∞n=1 es de Cauchy.

Demostracion. Como xn → x, para todoε > 0 existe unno tal que sin > no, entoncesd(xn, x) < ε

2 . Ası, para todon,m > no se tiene

d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(x, xm) <ε

2+ε

2= ε

El recıproco de este resultado no es cierto en general.

71

72 CAPITULO 8. ESPACIOS COMPLETOS

Ejemplo 8.1.4.

La sucesion ( 1n)n∈N es de Cauchy en((0,+∞), | |) y sin embargo no converge. �

Lema 8.1.5. Si (xn)∞n=1 es una sucesion de Cauchy en un espacio metrico (X, d) tal que existeuna subsucesion (xnk

)∞k=1 que converge ax, entonces la sucesion (xn)∞n=1 tambien converge ax.

Demostracion. Como(xn)∞n=1 es de Cauchy, dadoε > 0 existe unn1 tal que para todon,m > n1

se cumple qued(xn, xm) < ε2 .

Por otra parte la subsucesion (xnk)k es convergente ax, luego existe unko tal que sink > nko se

cumpled(xnk, x) < ε

2 .

Consideremosno = max{n1, nko}, y tomemosn > no y k tal quenk > no, entonces

d(xn, x) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk

, x) <ε

2+ε

2= ε

y la sucesion (xn)∞n=1 converge ax.

Proposicion 8.1.6. Toda sucesion de Cauchy en un espacio metrico (X, d) esta acotada.

Demostracion. Consideremosε = 1, por el hecho de ser de Cauchy existeno tal que sim,n > no

se tiene qued(xn, xm) < 1, de modo que sin > no, xn ∈ B(xno+1, 1). Solo quedan un numerofinito de terminos que pueden estar fuera de esta bola. Sea

r = max{d(x1, xno), ..., d(xno , xno+1)}

Para todon se cumpled(xn, xno+1) ≤ r. Ası,

{xn : n = 1, ...,∞} ⊂ B(xno+1, r + 1)

8.2 Espacio metrico completo

Definicion 8.2.1 (Espacio completo).Diremos que un espacio metrico(X, d) es completo si todasucesion de Cauchy es convergente.

Ejemplo 8.2.2.

(1) Todo espacio metrico discreto es completo.

(2) (0,∞) no es completo con la distancia usual. �

8.2. ESPACIO METRICO COMPLETO 73

Proposicion 8.2.3. El espacioRn con cualquiera de las tres metricasd1, d2, d∞ es completo.

Demostracion. Sea(xn)∞n=1 una sucesion de Cauchy que, por la proposicion anterior esta acotada,luego esta contenida en una bola cerrada, que por el teorema de Heine-Borel-Lebesgue 7.4.13, escompacto; entonces segun este mismo teorema, dicha sucesion tiene una subsucesion convergente.Aplicando ahora el Lema 8.1.5(xn)∞n=1 tambien es convergente.

Proposicion 8.2.4. Todo espacio metrico compacto es completo.

Demostracion. Sea(X, d) un espacio metrico compacto y sea(xn)∞n=1 una sucesion de Cauchy enX. Como(X, τd) es compacto, tambien es secuencialmente compacto, luego existe una subsuce-sion de(xn)∞n=1, (xnk

)∞k=1, convergente y como consecuencia del Lema 8.1.5(xn)∞n=1 tambien esconvergente.

La implicacion recıproca no es cierta, pero sı que se cumple si se considera una hipotesis adi-cional, la de ser totalmente acotado. La demostracion siguiente es algo complicada. Ademas,estapropiedad justifica que los espacios metricos totalmente acotados reciban tambien el nombre deprecompactos.

Proposicion 8.2.5.Todo espacio metrico completo y totalmente acotado es secuencialmente com-pacto.

Demostracion. Sea(X, d) un espacio metrico completo y totalmente acotado, sea(xn)∞n=1 unasucesion enX. Vamos a construir una subsucesion de Cauchy que sera convergente al serXcompleto y por tantoX sera secuencialmente compacto.

Si la sucesion es finita no hay nada que probar, pues tiene infinitos terminos iguales y ya tenemosla subsucesion convergente. Supongamos entonces que la sucesion S = (xn)∞n=1 tiene infinitosterminos distintos. ComoX es totalmente acotado yS ⊂ X, S tambien es totalmente acotado, portanto dado1

2 existe un numero finito de bolas con este radio que recubrenS. ComoS es infinito,una de estas bolas contendra infinitos puntos de dicha sucesionS, llamemos a esta bolaB1.

Consideremos ahoraB1 ∩ S. Este conjunto es tambien totalmente acotado, de modo que si con-sideramos1

22 , B1 ∩ S estara recubierto por un numero finito de bolas de radio122 y de ellas, al

menos una, que llamaremosB2, contendra una cantidad finita de terminos de la sucesion.

Ası sucesivamente hemos construido una sucesion de bolasBk de radio 12k , cada una de las cuales

tiene infinitos terminos de la sucesion y que, segun se han construido, dos a dos tienen interseccionno vacıa.

Vamos a construir la subsucesion de la siguiente manera:


El primer termino sera un termino arbitrario de la sucesion que este enB1 y le llamamosxn1 ,como enB2 hay infinitos terminos de la sucesion, existe un termino de la sucesion xn2 6= xn1

y conn2 > n1, ası sucesivamente construimos una subsucesion (xnk)k, tal que cadaxnk

∈ Bk.Veamos que esta subsucesion es de Cauchy. Sip, q ∈ N conp < q, comoBp∩Bq 6= ∅, tendremosque siy ∈ Bp ∩Bq

d(xnp , xnq) ≤ d(xnp , y) + d(y, xnq) ≤12p

+12q

<12p

+12p

=1

2p−1

Por tanto, dadoε > 0, existem tal que 12m−1 < ε y si p, q > m (conp > q por ejemplo), entonces

d(xnp , xnq) <1

2p−1<

12m−1

< ε

y la subsucesion es de Cauchy.

Teniendo en cuenta que todo espacio metrico compacto es secuencialmente compacto, podemosexpresar los dos resultados anteriores en el siguiente teorema:

Teorema 8.2.6.Un espacio metrico (X, d) es compacto si, y solo si (X, d) es completo y total-mente acotado.

Proposicion 8.2.7. Todo subespacio cerrado de un espacio completo es completo.

Demostracion. Sea(X, d) un espacio metrico completo y seaH ⊂ X cerrado.

Sea(xn)∞n=1 una sucesion de Cauchy enH. Evidentemente, tambien es sucesion de Cauchy enX. Por tanto, converge a un puntox ∈ X. ComoH cerradox ∈ H, y (xn)∞n=1 converge ax enH.

Proposicion 8.2.8. Todo subespacio completo de un espacio metrico es cerrado.

Demostracion. Sea(X, d) un espacio metrico y seaH ⊂ X tal que(H, dH) es completo. VeamosqueH es cerrado comprobando queH = H. Si x ∈ H, entonces existe una sucesion enH,(xn)∞n=1, que converge ax y por tanto es de Cauchy, tanto enX como enH. Como(H, dH) escompleto la sucesion (xn)∞n=1 converge enH a un puntox′. Pero(X, d) es un espacio metrico ypor tanto de Hausdorff yx = x′. Es decir,x ∈ H.

8.3 Algunos resultados interesantes

Teorema 8.3.1 (Teorema de Encaje de Cantor).Sea(X, d) un espacio metrico completo y sea{Cn}∞n=1 una sucesion decreciente de cerrados enX, no vacıos y tales que la sucesion de susdiametros converge a0. Entonces∩∞n=1Cn es exactamente un punto.

8.3. ALGUNOS RESULTADOS INTERESANTES 75

Demostracion. Que la sucesion de cerrados es decreciente quiere decir queC1 ⊃ C2 ⊃ · · · ⊃Cn ⊃ . . . .

Sea(xn)∞n=1 una sucesion enX de manera quexn ∈ Cn para cadan ∈ N∗.

Veamos que esta sucesion es de Cauchy:

Como los diametros de(δ(Cn))n forman una sucesion que tiende a0, tendremos que dadoε > 0,existeno ∈ N tal que sin > no, δ(Cn) < ε. Por tanto, como la sucesion de cerrados esdecreciente, tenemos que sin,m > no, conm > n, xn, xm ∈ Cn y entoncesd(xn, xm) <δ(Cm) < ε y la sucesion es de Cauchy.

Entonces, comoX es completo(xn)n es convergente a un puntox ∈ X.

Veamos quex ∈ ∩n∈NCn. Supongamos que no fuera ası, entonces existek ∈ N tal quex /∈ Ck ycomoCk es cerrado, tenemos qued(x,Ck) = r > 0, con lo que la bolaB(x, r

2) y Ck no tienenpuntos comunes, pero sin > k, xn ∈ Ck (la sucesion de cerrados es decreciente), lo que implicaquexn /∈ B(x, r

2), lo cual es imposible puesto quexn → x.

Veamos por fin que este punto es elunico en la interseccion. Supongamos que existe otro puntoy ∈ ∩n∈NCn, entoncesd(x, y) ≤ δ(Cn) para todon ∈ N y como limnδ(Cn) = 0, ha de serd(x, y) ≤ 0, perod es una distancia, luegod(x, y) = 0. Por tantox = y.

Teorema 8.3.2 (Baire).Sea(X, d) un espacio metrico completo y sea{An}∞n=1 una sucesion deabiertos deX tales queAn es denso enX para cadan ∈ N. Entonces se cumple que∩∞n=1An esdenso en X.

Demostracion. Es suficiente probar que todo abierto no vacıo deX corta a∩∞n=1An. SeaA ⊂ X

un abierto. ComoA1 es denso,A ∩A1 es no vacıo y por tantox1 ∈ A ∩A1 y A ∩A1 es abierto,luego exister1 < 1 tal que la bola cerradaB(x1, r1) ⊂ A ∩A1.

Como la bolaB(x1, r1) es abierto y no vacıo yA2 es denso resulta queB(x1, r1)∩A2 es no vacıoy por tanto existex2 ∈ B(x1, r1) ∩A2 y es abierto luego exister2 < 1

2 tales que

B(x2, r2) ⊂ B(x1, r1) ∩A2 ⊂ A ∩A1 ∩A2

Ası, por induccion se puede construir una sucesion de bolas{B(xn, rn)}∞n=1 tales que para cadan ∈ N, rn < 1

n , yB(xn, rn) ⊂ A ∩A1 ∩ ... ∩An.

Si consideramos las bolas cerradas, la familia{B(xn, rn)}∞n=1 cumple la hipotesis del Teoremade encaje de Cantor, y por tanto su interseccion es ununico punto:

∩∞n=1B(xn, rn) = {x}, x ∈ X

Ası, tal y como se han construido estas bolas,x ∈ A ∩ (∩∞n=1An) y ∩∞n=1An es denso.


8.4 Completadode un espacio metrico

Definicion 8.4.1 (Espacio completado).Diremos que un espacio metrico(X, d) es el completadode un espacio metrico (X, d) si (X, d) es completo yX es isometrico a un subconjunto denso deX.

Ejemplo 8.4.2.

(R, | |) es un completado de(Q, | |). �

Teorema 8.4.3.SeaX un conjunto cualquiera. Entonces el espacio metrico (B(X,R), d∞) conB(X,R) = {f : X −→ R : f acotada} y d∞(f, g) = sup{| f(x) − g(x) |: x ∈ X}, es unespacio metrico completo.

Demostracion. Sea(fn)∞n=1 una sucesion, de funciones, de Cauchy en(B(X,R), d∞). Entoncespara cadax ∈ X la sucesion de numeros reales(fn(x))∞n=1, es una sucesion de Cauchy en(R, ||).

Como(R, | |) es completo se tiene que, para cadax ∈ X, (fn(x))∞n=1 converge a un punto enRque llamaremosf(x). A partir de estos lımites definimos una funcion, f : X −→ R, tal que acadax ∈ X le hace corresponder el lımite de la sucesion (fn(x))∞n=1, que hemos llamadof(x).

Veamos que(fn)n converge af . Como la sucesion es de Cauchy, tendremos que para todoε > 0,existeno tal que sim,n > no, entoncesd∞(fn, fm) = sup{|fn(x)− fm(x)| : x ∈ X} < ε. Enparticular, si tomamosn > no fijo y p ∈ N, tendremos que

d(fn, fn+p) = sup{|fn(x)− fn+p(x)| : x ∈ X} < ε

Entonces tendremos que para todox ∈ X, se cumple que

|fn(x)− fn+p(x)| < ε

Si ahora tomamos lımites cuandop→∞, tendremos que, para todox ∈ X

|fn(x)− fn+p(x)| → |fn(x)− f(x)|

lo que implica que|fn(x)− f(x)| < ε y por tanto la conclusion es que sin > no entonces

d∞(fn, f) = sup{|fn(x)− f(x)| : x ∈ X} < ε

lo que implica que(fn)n converge af .

Esto tambien implica quef ∈ B(X,R), es decir, esta acotada, pues como(fn)n es de Cauchy, porla proposicion 8.1.6, esta acotada, luego existeM > 0 tal que(fn)n ⊂ B(0,M), con0 la funcion

8.5. EJERCICIOS 77

identicamente nula, es decird∞(0, fn) < M para todon ∈ N. Entonces, dado1 > 0, como(fn)n

converge af , existe unn1 tal que sin > n1, entoncesd∞(fn, f) < 1. Por tanto podemos poner

d∞(0, f) ≤ d∞(0, fn) + d∞(fn, f) < M + 1

Proposicion 8.4.4. Existe un completado de cualquier espacio metrico (X, d).

Demostracion. Seaa ∈ X fijo. Definimos la aplicacionψ : X −→ B(X,R) comoψx : X −→R, tal queψx(y) = d(y, x)− d(y, a). ψx ∈ B(X,R) puesto que

d∞(0, ψ) = sup{|ψx(y)| : y ∈ X} = sup{|d(y, x)− d(y, a)| : y ∈ X} = d(x, a)

Ademasψ es una isometrıa puesto que

d∞(ψx, ψz) = sup{|d(y, x)− d(y, z)| : y ∈ X} = d(x, z)

Si ahora consideramos la adherenciaψ(X) enB(X,R), con la distancia inducida, tenemos quepor la proposicion 8.2.7,ψ(X) es completo por ser cerrado enB(X,R) que es completo. Yahemos encontrado un completado deX.

8.5 Ejercicios

1. Pruebe que toda sucesion de Cauchy en un espacio metrico es totalmente acotada.[Lipschutz],

pag. 199

2. Sea(X, d) un espacio metrico. Una aplicacion f : X −→ X se llama contractiva, si existek ∈ R con0 ≤ k < 1, tal que para todox, y ∈ X, d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y). Pruebe:

a) Sif es contractiva, entoncesf es continua.

b) Sif es contractiva y(X, d) es completo, existex ∈ X tal quef(x) = x (Teorema delpunto fijo)

[Lipschutz], pag. 201

3. En el teorema de punto fijo del ejercicio anterior, las hipotesis son necesarias:

a) Completitud. Demuestre que la aplicacion f : (0, 13) −→ (0, 1

3) dada porf(x) = x2

es una contractiva y que no tiene punto fijo.

b) Contractiva. Demuestre que la aplicacion f : [1,∞) −→ [1,∞) dada porf(x) =x+ 1

x no cumple| f(x)− f(y) |<| x− y | y no tiene punto fijo.

4. El Teorema de Encaje de Cantor necesita de todas las hipotesis:


a) Espacio metrico completo. Demuestre que{(0, 1n ]}∞n=2 es una sucesion de conjun-

tos cerrados de((0, 1), | |) tales que sus diametros convergen a0 y, sin embargo, suinterseccion es el vacıo.

b) Conjuntos cerrados. Demuestre que{(0, 1n)}∞n=1 es una sucesion de conjuntos no

cerrados enR tales que sus diametros convergen a cero y su interseccion es el vacıo.

c) Sucesion de diametros convergente a0. Demuestre que{[n,∞)}∞n=1 es una sucesiondecreciente de conjuntos cerrados enR tales que su interseccion es el vacıo.

5. Sea(X, d) un espacio metrico. Demuestre que siA,B ⊂ X son completos, entoncesA∪Btambien es completo.[Fleitas], pag. 180

6. Sea(xn)n una sucesion en un espacio metrico(X, d) y sea la sucesion de conjuntos

A1 = {x1, x2, . . . }, A2 = {x2, x3, . . . }, . . . , An = {xn, xn+1, . . . }

Pruebe que(xn)n es una sucesion de Cauchy si, y solo si la sucesion de los diametros(δ(An))n, converge a 0.[Lipschutz], pag. 199

REFERENCIAS

[Lipschutz]: Topologıa General. Autor: S. Lipschutz. Serie Schaum. Ed. McGraw-Hill.1970

[Fleitas]: Problemas de Topologıa General. Autores: G. Fleitas y J. Margalef. Ed. Alham-bra 1983

Preliminaressistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/1.pdf · 2010. 6. 7. · Preliminares Vamos a ver en...

Documents

Transcript of Preliminaressistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/1.pdf · 2010. 6. 7. · Preliminares Vamos a ver en...