Errores calculo numerico
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OrigendelosErroresenlosClculos
Error de Truncacin Es la diferencia entre el valor verdadero y el valor
producido por un mtodo numrico o algoritmo usando aritmtica exacta
Es un error inherente al mtodo, debido a la aproximacin introducida por ste
Ejemplo:
ex=1 x x2
2
x3
3 !
k=4
xk
k !
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ErrordeTruncacin Ejemplo: e0.5 =1.6487213 en la calculadora Si tomamos diferente nmero de trminos de la
serie infinita, obtenemos
ex1 e0.51ex1x e0.51.5
e x1x x2
2e0.51.625
e x1x x2
2 x
3
3 !e0.51.64583333
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ErrordeTruncacin
Ya vimos en varios mtodos numricos el error de truncacin del mtodo
Ejemplo: diferenciacin numrica
f ' x = f xh f xh2h
h2
6f ' ' '
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OrigendelosErroresenlosClculos
Errores de Redondeo Es la diferencia entre el resultado obtenido por un
algoritmo empleando aritmtica exacta y el resultado producido por el mismo algoritmo usando precisin aritmtica limitada
Se debe a la capacidad finita de las computadoras para representar a los nmeros reales
Generalmente se emplea como representacin de los reales el conjunto de nmeros en punto flotante
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nmeros complejos
nmero reales 2
racionales pq
punto flotanteMbe
ERROR de REDONDEO!!
Origen del Error de Redondeo en Computacin: precisin finita de las computadoras
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Representacindenmerosenpuntoflotante
Un nmero en representacin de punto flotante se escribe (o almacena)de la siguiente manera:
d.dddde
mantisasigno base
exponente
Esto representa al nmero:
d 0d11d p1
p1 e con 0d iEjemplo: -100.5 en base 10 se escribe -1.005 x 102Por lo que uno slo debera almacenar la mantisa -1005 y el exponente 2
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Qu queremos decir con BASE?
Base natural: 10
1045=5x100+4x101+0x102+1x103
Cualquier nmero natural puede ser usado como base
Otras bases empleadas:
Base 8: Octal
Base 16: Hexadecimal
Base 2: Binario
7038=3x80+0x81+7x82=45110
13916=9x160+3x161+1x162=31310
1012=1x20+0x21+1x22=510
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Basedelsistemanumrico Para representar un nmero en una Base
determinada, requiero disponer de smbolos o dgitos
Base 10, uso 10 dgitos: 0-9 Base 2, uso 2 dgitos: 0 y 1 Base 8, uso 8 dgitos: 0-7 Base 16, uso 16 dgitos: 0-9, A-F
Ejemplo: A02F16=4100710 Las computadoras usan internamente el formato
binario, o sea Base 2
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Representacinbinariadenmerosenpuntoflotantesimpleprecisin
Se emplea en standard de IEEE 754 Nmeros reales representados con 4 bytes 1 bit para el signo 8 bits para el exponente (con bias 127) 23 bits para la mantisa (1 bit oculto, normalizado) Mayor nmero real representable: 2127 1038
Menor nmero real representable: 2-126 10-38
Slo hay posibilidad de representar 232 nmeros, o sea aproximadamente 109 nmeros
Con 24 bits la precisin es de 7 dgitos (224 107)
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Conjuntodenmerosenpuntoflotante
Caractersticas:- conjunto finito, acotado superior e inferiormente- presenta regiones de Overflow y Underflow- los elementos del conjunto no estn uniformemente distribuidos- la precisin depende del nmero de bits de la mantisa - el rango depende de la base y el exponente
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ParmetrosparaelstandardIEEE754
Ejercicio: calcular el rango y el nmero aproximado de dgitos significativospara el formato doble precisin
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Ejercicio:calcularelconjuntoderealesenpuntoflotante
Asuma que dispone de 8 bits 1 bit para el signo 4 bits para el exponente (bias 7) 4 bits para la mantisa (1 bit oculto) Proponga una estrategia para representar el resto
de los reales
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Erroresderedondeoenlosclculos
Suma: Alinear las mantisas hasta que los exponentes
coincidan Sumar las mantisas Despreciar los bits que sobran (truncar o redondear)
Multiplicacin: Sumar los exponentes Multiplicar las mantisas Despreciar los bits que sobran en la mantisa
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Ejemplosimple
Para exagerar el error de redondeo vamos a usar slo 2 dgitos de mantisa
1.0 como nmero flotante es 1.0x100
0.01 como nmero flotante es 1.0x10-2
Qu pasa cuando sumamos estos nmeros? El rden en que realizamos la suma puede
afectar el resultado?
1.0k=1
100
0.01
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Cancelacincatastrfica
Si dos nmeros son muy similares, es posible que su resta d como resultado cero (ejemplo: diferenciacin numrica)
Divisin N/D da error de redondeo muy grande si N>>D
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CancelacinCatastrfica
! 0.1 0.953101798043 !! 0.01 0.995033085317 !! 0.001 0.999500333083 !! 0.0001 0.999950003333 !! 0.00001 0.999995000040 !! 0.000001 0.999999499918 !! 0.0000001 0.999999950584 !! 0.00000001 0.999999988923 !! 0.000000001 1.00000008224 !! 0.0000000001 1.00000008269 !! 1.00000000E-11 1.000000082735 !! 1.00000000E-12 1.000088900582 !! 1.00000000E-13 0.999200722163 !! 1.00000000E-14 0.999200722163 !! 1.00000000E-15 1.110223024625 !! 1.00000000E-16 0. !
D x= f xh f x h
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ExactituddeMquina La exactitud de una operacin en punto flotante
se caracteriza por el psilon de la mquina (unit round-off)
Este valor es el nmero decimal ms pequeo que cumple fl(1+ eps)>1
Si r 1
El error relativo mximo cometido al representar un nmero x en el rango de nmeros de punto flotante es:
fl x x
xeps
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ErrorAbsolutoyErrorRelativo Error Absoluto: suma de Errores de Truncacin +
Errores de Redondeo Tambin se lo conoce con el nombre de Error de
Cmputo Error Relativo: Error Absoluto dividido el valor
calculado El Error Relativo suele multiplicarse por 100 y
espresarse como % del valor calculado Por lo general el Error Absoluto slo puede
estimarse o acotarse, por lo tanto el Error Relativo tambin
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Errorhaciaadelanteyhaciaatrs Supongamos que queremos calcular y=f(x) Debido al error de cmputo obtenemos
Eadelante= y=y yEatrs= x=x x
y=f x x= f 1 y
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Errorhaciaadelanteyhaciaatrs Ejemplo: calculo el cos(1)
cos x =n=0
1n x2n
2n !=1 x
2
2x
4
4 !...
y=f 1=cos 10.5403
y=f 1cos 1=112
2=0.5
x=arccos y =arccos0.5 1.0472
Eadelante= y=y y0.50.5403=0.0403Eatrs= x=x x1.04721=0.0472
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SensibilidadyCondicionamiento
Se dice que un problema est bien condicionado (es insensible) si un pequeo cambio en los datos de entrada produce un pequeo cambio en la solucin
Un problema est mal condicionado (es sensible) si un pequeo cambio en los datos de entrada causa un cambio grande en la solucin
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SensibilidadyCondicionamiento Nmero de Condicin
cond= cambiorelativo en la solucincambiorelativo endatos deentrada
= f xf x / f x
xx / x= y / y x /x
Si cond >>1 entonces estamos ante un problema mal condicionado o sensible
El nmero de condicin es un factor de amplificacin que relacionael error relativo hacia adelante con el error relativo hacia atrs
Es difcil de calcular exactamente, por lo que se lo suele estimar o acotar
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SensibilidadyCondicionamiento Estimacin del nmero de condicin de una
funcin f(x) para un valor perturbado de x
cond=f xf x / f x xx / x
= f xhf x / f x
h/ x
f xhf x h f ' x
condh f ' x / f x h/ x =
x f ' x f x
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SensibilidadyCondicionamiento Ejemplo de Sensibilidad:
el clculo del valor tan(x) cerca de /2
tan(1.57078) 6.58058x104
tan(1.57079) 1.58058x105
Para x 1.57079 cond 2.48275x105
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SensibilidadyCondicionamiento Probar en Scilab
A=[93.47710.20228.8321.96332.81662.41426.82136.81657.234]
b=[34.717770.924182.9271]
c=[34.770.982.9]
Resolver y comparar:
Ax=b
Ax=c
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Algoritmo
Ab Abdallh Mu ammad ibn Ms al-Khwrizm: Matemtico, gegrafo y astrnomo persa Vivi entre el 780 y 850 de nuestra era
Algoritmo: es el procedimiento, paso a paso, empleado en un clculo
Para una funcin f(x) dada, pueden existir mltiples algoritmos que se pueden emplear para su cmputo
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Estabilidad
Un algoritmo es estable si el resultado producido es relativamente insensible a perturbaciones durante el cmputo
Estabilidad del algoritmo es anlogo a el condicionamiento del problema
Desde el punto de vista de anlisis de error hacia atrs, un algoritmo es estable si el resultado producido es la solucin exacta de un problema cercano
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Exactitud Exactitud: grado de cercana de la solucin
calculada a la solucin real del problema La exactitud depende de la estabilidad del
algoritmo y de la condicin del problema Se obtienen resultados exactos cuando se aplican
algoritmos estables a problemas bien condicionados.
Se pueden obtener resultados inexactos cuando Se aplica un algoritmo estable a un problema mal
condicionado Se aplica un algoritmo inestable a un problema
bien condicionado
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ProblemasBienDefinidos Se dice que un problema est bien definido si
Existe solucin La solucin es nica La solucin depende en forma continua de los
datos Un problema puede estar bien definido y an as
ser sensible a perturbaciones Un algoritmo puede simplificar el problema sin
empeorar su sensibilidad Infinito Finito No lineal Lineal Complejo Simple
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Resumen
Problemas bien definidos Errores de cmputo
Error de truncacin Error de redondeo
Sensibilidad (condicionamiento) del problema Nmero de condicin
Estabilidad del algoritmo
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