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Espacios vestoriales euclídeos. Proyecciones ortogonales. Mínimos cuadrados.

MATEMÁTICAS I 115599

5. ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS.

PROYECCIONES ORTOGONALES. MÍNIMOS

CUADRADOS.

SUMARIO:

INTRODUCCIÓN

OBJETIVOS

INTRODUCCIÓN TEÓRICA

1.- Espacio vectorial euclídeo.

2.- Ortogonalidad. Propiedades.

3.- Norma. Propiedades.

4.- Proyecciones en espacios euclídeos.

5.- Método de los mínimos cuadrados

6.- Ajuste de datos con el método de los mínimos cuadrados.

PROBLEMAS RESUELTOS.

BILIOGRAFÍA

Guerra, N.; López, B.; Quintana, M.P.; Suárez, A.


INTRODUCCION

La estructura de espacio vectorial despliega una gran capacidad

operativa cuando incorpora los conceptos de distancia y ángulo entre sus

elementos. Para integrar estas dos cualidades métricas en un espacio

vectorial es preciso definir en él un producto escalar, el cual otorga a

dicho espacio el calificativo de euclídeo, de modo que a todo espacio

vectorial dotado de un producto escalar se le denominará espacio

vectorial euclídeo.

Si se dota al espacio vectorial de un producto escalar se va a poder

trasladar, al terreno de lo abstracto, las nociones de longitud y ángulo, en

especial el concepto de ortogonalidad, sin que éstas pierdan las

propiedades generales que les son inherentes.

Antes de comenzar con el estudio de los espacios vectoriales euclídeos es

preciso matizar que, en este curso, dicho estudio se limitará únicamente

al caso de productos escalares sobre espacios vectoriales reales.

Basándonos en la idea de ortogonalidad y proyección ortogonal,

estudiaremos el método de los mínimos cuadrados, para resolver de

forma aproximada sistemas de ecuaciones lineales incompatibles.

OBJETIVOS

• Reconocer en una forma bilineal un producto escalar y manejar

adecuadamente sus propiedades.

• Definir la norma asociada a cada producto escalar y demostrar sus

propiedades.

• Obtener para cada vector del espacio su norma, módulo, y para cada

par de vectores el ángulo que forman a partir del producto escalar.



• Reconocer diferentes expresiones para un producto escalar al

considerarlo en bases diferentes.

• Encontrar una base del espacio en la cual un producto escalar dado

adopte la expresión más simple (expresión canónica).

• Conocer y utilizar con soltura el método de ortonormalización de

Gram-Schmit.

• Determinar el complemento ortogonal de un subespacio.

• Entender y calcular la proyección ortogonal de un vector sobre un

subespacio.

• Comprender y manejar el método de los mínimos cuadrados.



INTRODUCCION TEORICA

1. Espacio vectorial euclídeo. Un conjunto E es un espacio vectorial euclídeo n-dimensional si es un

espacio vectorial real de dimensión n en el que se ha definido una

operación:

f E E: × ———— , verificando las siguientes propiedades:

1. ( , ) ( , )f x y f y x= , ,x y E∀ ∈

2. ( ) ( ) ( )f x y z f x z f y zλ µ λ µ λ µ+ , = , + , , ∀ , ∈ y ,x y z E∀ , ∈

3. ( ) ( ) ( )f x y z f x y f x zλ µ λ µ λ µ, + = , + , , ∀ , ∈ y ,x y z E∀ , ∈

4. ( ) 0 0f x x x x E, > , ∀ ≠ , ∈

Esta operación recibe el nombre de producto escalar y la notación que

vamos a utilizar es : ( , )f x y x y=

1.1 Matriz Asociada al Producto Escalar

Si { }1 2 nB e e … e= , , , es una base del espacio vectorial euclídeo E ,

entonces la matriz asociada al producto escalar respecto a dicha base

viene dada por:

1 1 2 1 1

2 1 2 2 2

1 2

n

n

n n n n

e e e e e ee e e e e e

A

e e e e e e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ≡⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

MATRIZ DE GRAM

como el producto escalar es conmutativo, sucede que

i j j ie e e e i j= , ∀ , y de ahí se obtiene que la matriz A es simétrica,

es decir:



1 1 2 1 1

1 2 2 2 2

1 2

n

nt

n n n n

e e e e e ee e e e e e

A A

e e e e e e

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2. Ortogonalidad

2.1 Vectores ortogonales.

Sea E un espacio vectorial euclídeo. Dos vectores u y v son

ortogonales si y sólo si 0u v = .

2.2 Proposición

El vector 0 es el único vector ortogonal a todos los vectores del espacio.

2.3 Vector ortogonal a un subespacio.

Un vector u es ortogonal a un subespacio S de E si y sólo si, x S∀ ∈ ,

0u x = .

2.4 Proposición

Un vector u es ortogonal a un subespacio S de E si y sólo si es

ortogonal a todos los vectores de una base de S .

2.5 Subespacios ortogonales.

Dos subespacios V y W de E son ortogonales si

x V∀ ∈ , 0y W x y∀ ∈ ⇒ = .

2.6 Proposición

Para que dos subespacios V y W sean ortogonales es necesario y

suficiente que los vectores de una base de V sean ortogonales con los

vectores de una base de W .

2.7 Propiedades de la relación de ortogonalidad.



Las principales propiedades de la relación de ortogonalidad son las

siguientes:

1. Si { }1 2 kS u u u= , , , es un sistema de vectores ortogonales dos a

dos, 0iu ≠ , 1 2i … k∀ = , , , , entonces S es un sistema libre.

2. Si 1 2,V V son dos subespacios de E ,tal que 1 2 1 2,V V V V⊂ ≠ entonces

existe un vector no nulo de 2V ortogonal a todo el subespacio 1V .

3. Si V es un subespacio vectorial de E de dimensión k n< , todo

sistema libre formado con vectores de V tiene como máximo k

vectores ortogonales dos a dos.

4. Si V es un subespacio de E , de dimensión k n< , el conjunto de

todos los vectores ortogonales a V es un subespacio de dimensión

n k− . Dicho subespacio se denomina suplementario ortogonal o

complemento ortogonal de V y se representa por V ⊥ .

5. Si V es un subespacio de E entonces {0}V V ⊥∩ = .

6. Si V es un subespacio de E entonces V V E⊥⊕ = .

3. Longitud, norma o módulo de un vector. Se llama longitud, norma o módulo de un vector u , y se representa por

u ó u a la raíz cuadrada positivo del producto escalar u u , es decir,

u u u= +

------------

------------

E

u u u u

+⋅ :

= +

NOTA: Si 1u = , se dice entonces que el vector u es unitario.



3.1 Propiedades de la norma.

1. 0 0u u> , ∀ ≠

2. 0 0u u= ⇐⇒ =

3. u u u Eλ λ λ= , ∀ ∈ , ∀ ∈ .

4. 0 uu E uu

∀ ∈ , ≠ , , es un vector unitario en la dirección de u .

5. Desigualdad de Schwarz, u v E u v u v u v∀ , ∈ : − ≤ ≤

6. Desigualdades triangulares, u v E∀ , ∈ :

a. u v u v+ ≤ +

b. u v u v− ≥ −

3.2 Angulo que forman dos vectores.

Sean , nu v u v∈ , el producto escalar usual, es decir,

1

nt

i ii

u v u v u v=

= =∑

El ángulo α que forman dos vectores u y v se define por medio de la

expresión:

( ) u vcosu v

α =

3.3 Proposición.

Sean , ; , 0nu v u v∈ ≠

a) u y v son ortogonales ( u v⊥ ) ( ) 0 0tcos u vα⇐⇒ = ⇐⇒ = .

b) u y v son paralelos ( //u v ) ( ) 0 tcos u v u vα⇐⇒ = ⇐⇒ = ± .

3.4 Bases ortogonales y ortonormales.

Una base de un espacio vectorial euclídeo es ortogonal si sus vectores



son ortogonales dos a dos.

Una base ortonormal es una base ortogonal de vectores unitarios.

3.5 Método de ortogonalización de Gram-Schmidt.

Este método nos permite construir una base ortonormal a partir de una

base cualquiera del espacio.

Si { }1 2 nB e e … e= , , , es una base de E , los vectores que se obtienen de la

forma:

1 2

1 1

1 3 2 3

1 1 2 2

1 2 1

1 1 2 2 1 1

1 1

2 2 1

3 3 1 2

1 2 1....n n n n

n nn n n

c ec c

c e c ec c c c

c e c e c ec c c c c c

c e

c e c

c e c c

c e c c c−

− −−

=

= −

= − −

= − − − − −

constituyen una base ortogonal. Entonces { }1 2

1 2

n

n

cc c …c c c

B∗ , , ,= es una

base ortonormal.

4. Proyecciones en Espacios Euclídeos. 4.1 Proyección ortogonal de un vector sobre otro.

Sea 0v E v∈ , ≠ . Todo vector u E∈ se descompone como:

u vv vu v w= + .

siendo el vector w un vector ortogonal a v .

El vector u vv v v es la proyección ortogonal de u sobre v .

4.2 Proyección Ortogonal de un vector sobre un subespacio S.

Sea S un subespacio de E. Todo vector u de E se descompone de



manera única de la forma u s w= + , siendo s S∈ y w ortogonal a S .

El vector s es la proyección ortogonal de u sobre S .

4.3 Expresión matricial del vector proyección sobre un subespacio.

Sea u E∈ . Sea { } ( )1 2 linealmente independientesk iS L a a a a= , , , , un

subespacio de E , y sea A la matriz cuyas columnas son las coordenadas

de los vectores ia en una base B de E . El vector proyección, s , del

vector u sobre S viene dado por:

( ) 1t ts A A A A u−

=

NOTAS:

1. La existencia de la matriz ( ) 1tA A−

queda garantizada por ser

linealmente independientes los vectores ia , para 1 2i … k= , , , .

2. Obsérvese que en el caso particular de ( ) 1dim S = , { }S L v= , la

expresión del vector proyección s de u sobre S sería: 1( ) ( )t tu v

v vs v v v v v u−= =

que corresponde a la forma ( ) 1t ts A A A A u−

= tomando A la matriz

columna de las coordenadas de v . En este caso tv v A A= y tu v A u= .

4.5 Matriz Proyección asociada a un subespacio S.

Sea S un subespacio de E y { }1 2 kB a a a= , , , una base de dicho

subespacio. Sea A la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los

vectores ia en una cierta base de E . La matriz proyección para el

subespacio S es la matriz:



1( )t tSP A A A A−= .

El producto SP u para cualquier vector u E∈ nos proporciona la

proyección ortogonal de u sobre el subespacio S .

4.6 Teorema.

Sea S un subespacio vectorial de E y { }1 2S kB a a a= , , , una base del

mismo. Sea B una base de E y A la matriz n k× , cuyas columnas son

las coordenadas de los vectores ia respecto a la base B .

La matriz proyección: 1( )t t

SP A A A A−=

es la única matriz con la propiedad de que para todo vector u E∈ , el

vector SP u es la proyección de u sobre S .

NOTA: El teorema anterior nos dice que la matriz proyección es única,

independiente de la base elegida en el subespacio.

4.7 Propiedades de la matriz proyección.

La matriz proyección SP satisface:

7. 2( )S SP P= , es decir, SP es idempotente.

8. ( )tS SP P= , es decir, SP es simétrica.

4.8 Caracterización de las matrices proyección.

La condición necesaria y suficiente para que una matriz n n× sea una

matriz proyección es que sea idempotente y simétrica. En este caso, la

matriz es la matriz proyección para el subespacio generado por sus

columnas.

4.9 Matriz proyección utilizando bases ortonormales.

Si A es una matriz n k× de columnas ortonormales, tA A es la matriz



identidad. En esta propiedad simplifica en gran medida la expresión de

la matriz proyección.

Sea E un subespacio vectorial de dimensión n , S un subespacio y

{ }1 2 kB a a a= , , , una base ortonormal del mismo. Si A es la matriz

cuyas columnas son los vectores ia , entonces la matriz proyección para

el subespacio S , al ser tA A I= , es tSP AA= .

5. Método de los Mínimos Cuadrados

5.1 Planteamiento del Problema.

Trataremos de aplicar el estudio realizado sobre las proyecciones a

problemas de análisis de datos, que nos conducen a sistemas con mayor

número de ecuaciones que de incógnitas (sistemas sobredeterminados)

que, normalmente, son incompatibles. A pesar de la no existencia de

solución exacta en dichos sistemas. Los sistemas incompatibles surgen en

situaciones reales y hay que intentar encontrar la ”mejor” solución

posible. El problema será encontrar un vector que minimice el error que

cometemos al suponer que dicho vector es la solución del sistema.

5.2 Método de los Mínimos Cuadrados.

Sea el sistema Ax b= , siendo A una matriz m n× , con m n> , cuyas

columnas son linealmente independientes, es decir, ( )rang A n= . Si b

no es combinación lineal de las columnas de A , el sistema lineal anterior

Ax b= es incompatible. Se trata entonces de encontrar un vector *x

que minimice el vector error Ax b− que para nosotros significará

minimizar su norma euclídea:



( ) 2 2 21 2 1 2m mAx b d d … d d d … d− = , , , = + + + + .

Pero minimizar su norma es equivalente a minimizar su norma al

cuadrado, es decir, 2 2 2 2

1 2 mAx b d d … d− = + + + .

Esta es la razón del nombre del método de los mínimos cuadrados.

Para todo vector x , el vector Ax pertenece al subespacio S generado

por las columnas de A ; además, el error Ax b− es la distancia de b a

Ax . Entonces, buscar la mejor solución *x del sistema con el método

de los mínimos cuadrados, equivale a encontrar el vector *x , tal que la

distancia de *Ax a b sea la menor posible.

De todos los vectores Ax de S, el que minimiza Ax b− es el vector

proyección de b sobre S , es decir el vector 1( )t tA A A A b− , el vector *x

lo obtendremos de resolver: 1( )t tAx A A A A b−= .

Multiplicando la igualdad anterior por tA queda:

( )( ) 1t t t t tA Ax A A A A A b A b−

= = tA b= ,

Es decir *x , es la solución del sistema lineal compatible y determinado: t tA Ax A b=

(Nota: El sistema anterior es compatible y determinado ya que la matriz tA A es una matriz cuadrada de orden n, regular).

La solución del sistema anterior, al ser A de rango máximo, es

( ) 1* t tx A A A b−

= , que nos da la ”solución óptima” del sistema Ax b= ,



en el sentido de mínimos cuadrados.

NOTA: Si m nA M ×∈ tiene columnas ortonormales, la solución del

sistema Ax b= por el método de los mínimos cuadrados es * tx A b= , al

ser tA A I=

6. Ajuste de datos con el método de mínimos cuadrados

6.1 Recta de ajuste de datos en el plano.

Supongamos que partimos de una colección de datos ( )i ix y, ,

1 2i … m= , , , , que nos proporcionan un conjunto de puntos en el plano. El

objetivo es hallar una función lineal ( )y f x= , que represente lo mejor

posible dichos valores. Geométricamente, significa que la gráfica de la

función ( )y f x= debe aproximarse lo más posible a la colección de

puntos.

El problema será determinar los valores de a y b tales que la recta

( )y f x a bx= = + , denominada recta de ajuste, se adapte lo mejor posible

a nuestros datos. Sustituyendo ( )i ix y, en la anterior igualdad se obtiene:

1 2i iy a bx i … m= + , ∀ = , , , .

Salvo en el caso de que los datos estén sobre una recta del plano, se

obtiene un sistema sobredeterminado incompatible que se puede expresar

matricialmente:

1 1

22

4

11

1m

y xy x a

y Ax Ax yb

y x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇔ = ⇔ =⎜ ⎟

⎝ ⎠



La solución que minimiza el error en términos de mínimos cuadrados es

la solución del sistema t tA Ax A y= , que es: * 1( )t tx A A A y−=

NOTA: ( )tA A es invertible siempre que las columnas de A sean

linealmente independientes, que, en este caso, equivale a decir que los

valores ix no sean todos iguales, es decir, que los puntos ( )i ix y, no estén

todos en una recta vertical.

6.2 Ajuste de datos en 1n+ por una función lineal.

Cuando los datos tienen más de dos componentes, se obtienen sistemas

con más de dos incógnitas por lo general sobredeterminados.

Supongamos que tenemos los datos:

( )1 2 1 2 1k k kn kx x … x y k … m m n, , , ; , = , , , , > +

y se quieren ajustar por la relación lineal 0 1 1 n ny s s x s x= + + + .

Se obtiene entonces el sistema:

0 1 1k k n kny s s x s x= + + + , 1 2k … m= , , , .

Matricialmente se expresa como:

1 11 1 0

21 22 1

1

11

1

n

n

m m mn n

y x x sy x x s

y x x s

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

de forma abreviada y As As y= ≡ = .

Si ( ) 1rang A n= + , estamos ante un problema que se puede resolver con

el método de los mínimos cuadrados, siendo la solución óptima la

solución del sistema t tA As A y= , que es ( ) 1* t ts A A A y−

= .

6.3 Otras funciones de ajuste.



En algunas ocasiones hay que recurrir a otras funciones, como las

polinómicas o las exponenciales, para que la curva ( )y f x= sea la que

mejor se adapte a un conjunto de datos ( )i ix y, .

Así, por ejemplo, si el ajuste se realiza por una función polinómica 2

0 1 2( ) nny f x c c x c x c x= = + + + + ,

al sustituir los datos ( )i ix y, en la igualdad anterior se obtiene el sistema:

20 1 2

ni i i n iy c c x c x c x= + + + + , 1 2k … m= , , , .

Matricialmente se expresa como:

21 01 11

22 12 22

2

11

1

n

n

nm nm mm

y cx x xy cx x x

y Ac Ac y

y cx x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= ⇔ = ⇔ =

siendo la solución óptima por el método de mínimos cuadrados la

solución del sistema t tA Ac A y= , que es ( ) 1* t tc A A A y−

= .



PROBLEMAS

1. Dado el espacio vectorial V de los polinomios de grado menor o

igual que 1 y el producto escalar: 1

1 2 1 20

( ) ( ) ( ) ( )p x p x p x p x dx• = ∫ . Calcular la matriz asociada al

producto escalar respecto de la base { }1B x= ,

SOLUCIÓN:

Un producto escalar es un caso particular de forma bilineal simétrica, por

lo tanto existe una matriz simétrica A, asociada al producto escalar,

respecto de cualquier base { }B u v= , de V . Dicha matriz vendrá dada

por: u u u vu v v v⎛ ⎞

.⎜ ⎟⎝ ⎠

En este caso particular tenemos que: 1u = y que v x= .

Tal y como se ha definido el producto escalar, lo que sabemos es que: 1 1

0 0

1 1 1 1 1dx dx= . = =∫ ∫

1 1

0 0

1 1 1 2x xdx xdx= . = = /∫ ∫

1 12

0 0

1 3x x x xdx x dx= . = = /∫ ∫

Luego, la matriz asociada al producto escalar en la base { }1 x, es:

1 1 21 2 1 3

/⎛ ⎞⎜ ⎟/ /⎝ ⎠

2. De un producto escalar definido en 2 respecto de la base



{ }B u v= , , se sabe que:

)i 2u u =

)ii (3 ) 5u u v+ =

)iii 5( )v v u u=

a) Calcular la matriz asociada al producto escalar.

b) Calcular (2 3) (1 4), ,

SOLUCIÓN:

a)

u u u vA

u v v v⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Tenemos que:

2u u =

(3 ) 5 3( ) 5 6 5 1u u v u u u v u v u v+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = −

5( ) 10v v u u= =

La matriz asociada al producto escalar es: 2 11 10

A−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

b)

( ) ( )1 2 1 1

(2 3) (1 4) 2 3 2 3 1134 1 10 4

A−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

, , = , = , =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3. Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión n y U un

subespacio vectorial de E , U ⊥ , el subespacio complemento

ortogonal de U , calcular:

a) ( )dim U U ⊥∩

b) ( )dim U U ⊥+

SOLUCIÓN:



a) Sabemos que la suma de U y U ⊥ es directa, por tanto {0}U U ⊥∩ =

con lo cual ( ) 0dim U U ⊥∩ = .

b) Además de ser suma directa se tiene que, U U V⊥⊕ = , directamente

se obtiene que ( ) ( )dim U U dim V n⊥+ = = .

4. Sea { }3( ) 2 0F x y z x y z= , , ∈ / + − = , calcular una base

ortonormal de F .

SOLUCIÓN:

Primero hallaremos una base de F, si es ortogonal, bastaría con

normalizar y el problema estaría resuelto, sino aplicaremos el método de

Gram-Schmidt para transformarla en otra base de F que sea ortonormal.

{ } { }3 3( ) 2 0 ( ) 2F x y z x y z x y z z x y= , , ∈ / + − = = , , ∈ / = + =

{ }3( 2 ) (1 0 2) (0 1 1)x y x y x y= , , + ∈ / , ∈ =< , , , , , >

Una base para F es 1 1 2

1 0{ 0 1 } { }

2 1B u u

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= , = ,⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

que sus vectores no son

ortogonales ya que 1 2

0(1 0 2) 1 2 0

1

tu u⎛ ⎞⎜ ⎟⋅ = , , = ≠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Aplicamos el método de Gram-Schmidt

1 1

102

v u⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠



1 1

1 1

25

22 2 1 5

15

0 11 0 11 2

t

tu vv v

v u v⋅⋅

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = − = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

25

215

1{ 0 1 }

2B

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ,⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

es una base ortogonal de F y normalizando los

vectores de 2B se obtiene 3

213055030

21530

{ }B

⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟,⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= que es una base ortonormal

de F .

5. Sea F ⊂ 1n B, una base ortonormal de 2F B, una base

ortonormal de F ⊥, demostrar que 1 2B B B= ∪ es una base

ortonormal de n .

SOLUCIÓN:

Sabemos que {0}F F ⊥∩ = , como el vector nulo no pertenece a ninguna

base, los vectores de 1B son linealmente independientes con los de 2B . Si

la ( )dim V k= entonces ( )dim V n k⊥ = − , luego una base de F unida con

una base de F ⊥ son ( )k n k n+ − = vectores linealmente independientes

de n , por tanto forman una base de n .

Por otra parte los vectores de 1B son ortonormales, es decir, todos tienen

norma igual a 1 y son ortogonales entre si, lo mismo ocurre con los

vectores de 2B y los vectores de 1B respecto de los de 2B también son

ortogonales ya que los de 1B son vectores de F y los de 2B lo son de



F ⊥.

En definitiva los vectores de B están normalizados y son todos

ortogonales entre si, forman una base ortonormal de n .

6. Dados los subespacios de 3

31

3 0( )

0x y z

F x y zy z

− − =⎧ ⎫= , , ∈ /⎨ ⎬− =⎩ ⎭

y

{ }32 ( ) 0F x y z x y z= , , ∈ / + + =

Calcular 1 2( )dim F F⊥ ∩

SOLUCIÓN:

1

1 1 3( ) 3 3 2 1

0 1 1dim F rango

− −⎛ ⎞= − = − = ;⎜ ⎟−⎝ ⎠

( )2( ) 3 1 1 1 3 1 2dim F rango= − = − = ;

1 1{(4 1 1)} { }FB w= , , =

2 1 2{( 1 1 0) ( 1 0 1)} { }FB v v= − , , , − , , = ,

{ }3 31 1{ · 0} ( ) 4 0tF x x w x y z x y z⊥ = ∈ / = = , , ∈ / + + =

11 2{(1 0 4) (0 1 1)} { }

FB u u⊥ = , ,− , , , − = ,

Sabemos que



1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( )2 2 ( )

1 0 1 14 0 1 1 0

4 1 0 1

1 0 1 14 0 1 1 0 4 3 1

0 0 3 34 3 1

dim F F dim F dim F dim F Frango u u v v

rango

rango

⊥ ⊥ ⊥∩ = + − += + − =

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − =⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

− −⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

= − =

7. Un producto escalar en 3 con respecto a la base

( ) ( ) ( ){ 1 0 1 2 1 0 1 0 1 }B′ = , , , , , , − , , tiene por matriz asociada

2 1 21 3 12 1 4

G⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, calcular la norma del vector v que en la base

canónica tiene por coordenadas ( )4 1 1, , −

SOLUCIÓN:

Lo primero que tenemos que hacer es expresar el vector v respecto a la

base B′ . Sabemos que la relación entre las coordenadas de un vector

respecto de ambas bases es ´x Px=

Sabemos que la matriz P cambio de base de 'B a la base canónica es:

1 2 10 1 01 0 1

P−⎛ ⎞

⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

, por lo tanto, se cumple que: 4 1 2 11 0 1 01 1 0 1

xyz

′⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

siendo x y z′ ′ ′⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠, , las coordenadas de v respecto a la base 'B .

Por lo tanto:



xyz

′⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟′⎜ ⎟⎝ ⎠

11 2 1 40 1 0 11 0 1 1

−−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 12 2 2

31 12 2 2

1 40 1 0 1 1

1 1

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Una vez que tenemos expresado el vector v respecto de la base B , su

norma será:

( ) ( )1 12 2

3 1512 2 2

3 32 2

2 1 21 1 3 1 1 1 2 4 1

2 1 4

tv v v v Gv⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = = − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

8. Si V es un espacio vectorial de dimensión 5n = y

{ }0W x V Ax= ∈ : = es un subespacio vectorial de V . Justificar

cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas:

a) W es el núcleo de la aplicación lineal f V V: → definida por

( )f x Ax= .

b) ( )dim W ⊥ coincide con el rango de A .

c) Todas las filas de la matriz A pertenecen a W ⊥

d) Si ( ) 2dim W = , el rango de A es 2.

SOLUCIÓN:

Sabemos que:

)i Al estar W definido como solución de un sistema de ecuaciones

homogéneo, ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( )dim W dim V rango A n rango A rango A= − = − = −

)ii ( ) ( ) ( )dim W dim W dim V⊥+ =

a) Verdadera

Para verlo, basta considerar la definición de núcleo de una aplicación

lineal:



Si tenemos la aplicación lineal: f V V: → definida por ( )f x Ax= , por

definición de núcleo se tiene que:

{ } { }( ) ( ) 0 0Ker f x V f x x V Ax W= ∈ / = = ∈ / = = .

b) Verdadera

Tenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ( )) ( )

dim W dim W dim V dim W dim W ndim W n dim W n n rango A rango A

⊥ ⊥

⊥

+ = ⇒ + = ⇒

⇒ = − = − − =

c) Verdadera

Sabemos que para cada w W∈ , entonces: 0Aw = , por lo tanto, al

multiplicar cada fila de la matriz A por w , el resultado es 0 . En realidad

esto es equivalente a decir que cada vector fila de la matriz A

multiplicado por el vector w , usando el producto escalar usual, nos da 0,

es decir que cada vector fila de la matriz A es ortogonal a todos los

vectores de W , por lo tanto cada vector fila de la matriz A pertenece a

W ⊥ .

d) Falsa

El subespacio vectorial W se puede ver como el núcleo de la aplicación

f V V: → definida por ( )f x Ax= . Por la fórmula de las dimensiones

sabemos que:

( ) ( ( )) ( ( ))dim V dim Ker f dim Im f= + .

y también sabemos que

( ( )) ( )dim Im f rango A= .

Luego, como ( ) 5dim V = y ( ) ( ( )) 2dim W dim Ker f= = , entonces

( ( )) 5 2 3dim Im f = − = luego ( ) 3rango A = .



9. Sea V un espacio vectorial euclídeo y U un subespacio vectorial

de V , U ⊥ el subespacio complemento ortogonal de U . Justificar

cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas:

a) ( ) ( )dim U dim U ⊥=

b) ( ) 0dim U U ⊥∩ =

c) ( ) ( )dim U U dim V⊥∩ =

d) { }( ) 0U ⊥ ⊥ =

SOLUCIÓN:

a) Falso

Veamos el siguiente contraejemplo.

Consideramos 3V = , espacio vectorial euclídeo con el producto escalar

usual, ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3x x x y y y x y x y x y, , ⋅ , , = + + , y el subespacio

( )1 0 1U = , , . Veamos cuál es su complemento ortogonal:

( ) ( ) ( ){ }3 1 0 1 0 con el producto escalar usualU x y z x y z⊥ = , , ∈ : , , ⋅ , , = , ⋅ =

( ){ } ( ){ } ( ) ( )3 30 1 1 0 0 0 1x y z x y x y z x y= , , ∈ : + = = , , ∈ : = − = ,− , , , ,

( ) 1dim U = y sin embargo ( ) 2 1dim U ⊥ = ≠

b) Verdadera

Una de las propiedades del subespacio complemento ortogonal nos dice

que: U U V⊥⊕ = de donde se deduce inmediatamente que

{ }0U U ⊥∩ = , o equivalentemente: 0dim U U ⊥⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∩ =

c) Falsa



Sabemos que { }0U U ⊥∩ = , por lo tanto la dimensión de esta

intersección nunca puede ser igual a la dimensión de V porque se parte

de la hipótesis de que el espacio vectorial V es no nulo.

d) Falsa.

( )U U⊥ ⊥ = , por lo tanto, siempre que U sea distinto del subespacio

nulo, { }( ) 0U ⊥ ⊥ ≠ .

10. El vector ( )1 1 0v F= , , ∉ , siendo ( ) ( )0 1 1 1 3 1F = , , , , , − . Calcular el

vector de F que mejor se aproxima a v en el sentido de mínimos

cuadrados.

SOLUCIÓN:

El vector que mejor se aproxima a v en el sentido de mínimos cuadrados

es su proyección ortogonal sobre F, dicha proyección ortogonal viene

dada por ( ) 1t tw A A A A v−

= siendo A la matriz cuyas columnas son los

vectores de la base que genera al subespacio F .

NOTA : Una condición necesaria para que exista la matriz ( ) 1tA A−

es

que los vectores que definen las columnas de la matriz A sean

linealmente independientes, es decir, no basta con que generen a F , es

necesario que sean base de F .

( ) 1t tw A A A A v−

=

10 1 0 1 1

0 1 1 0 1 11 3 1 3 1

1 3 1 1 3 11 1 1 1 0

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦



11 118 9

1 19 9

0 1 10 1 1

1 3 11 3 1

1 1 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 131

9 18 181 2 29 9 9

0 1 11 3 11 1 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1613

130 171 36

1 1 16

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠

Otra forma de enfocar y resolver el problema es sabiendo que el vector

( )1 1 0v F= , , ∉ , siendo ( ) ( ) 1 20 1 1 1 3 1 ,F u u=< , , , , , − >=< > , quiere decir

que el sistema:

11 2

2

0 1 1 0 1 11 3 1 1 3 11 1 0 1 1 0

αα α

α

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

es un sistema incompatible. Se plantea y resuelve el sistema

t tA A A vα = , obteniéndose 1

1 61

2 3

αα

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

que son las coordenadas de la

proyección ortogonal de v sobre F, el vector proyección de v sobre F

es por tanto

( )131

1 6 71 2 61

2 3 16

0 11 31 1

A u uα

αα

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟= = = .⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11. Sea el espacio vectorial 3 , y el subespacio ( ) ( )1 0 1 0 1 1W = , , , , , .



Si ( ) 34 3 0u = , , ∈ , u W∉ . Calcular el vector de W que mejor se

aproxima a u en el sentido de mínimos cuadrados.

SOLUCIÓN:

El vector de W que mejor se aproxima a u en el sentido de mínimos

cuadrados es su proyección ortogonal sobre W . Dicha proyección

ortogonal viene dada por la siguiente expresión:

( ) 1t tx A A A A u−

= , siendo A la matriz cuyas columnas son las

coordenadas de un sistema generador, linealmente independiente de W .

Por lo tanto, se tiene que:

( ) 1t tx A A A A u−

=

11 0 1 0 4

1 0 1 1 0 10 1 0 1 3

0 1 1 0 1 11 1 1 1 0

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 00 11 1

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

1 4

2 1 1 0 13

1 2 0 1 10

− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 13 3

1 23 3

1 0 41 0 1

0 1 30 1 1

1 1 0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

532373

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

12. Dado el sistema: 01

2 3 1

x yx yx y

+ = ⎫⎪− + = ⎬⎪+ = ⎭

, calcular la mejor solución por

mínimos cuadrados.

SOLUCIÓN:



Si llamamos A a la matriz de los coeficientes y b a la matriz de los

términos independientes del sistema anterior, como las columnas de A

son linealmente independientes, sabemos que la mejor solución por

mínimos cuadrados viene dada por:

( ) 1t tx A A A b−

=

11 1 0

1 1 2 1 1 21 1 1

1 1 3 1 1 32 3 1

−⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 06 6 1 1 2

16 11 1 1 3

1

− ⎛ ⎞−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠

11 130 5

1 15 5

01 1 2

11 1 3

1

⎛ ⎞− −⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

1330

35

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Luego, la mejor solución por mínimos cuadrados es: 1330

x = − e

35

y = .

13. Utilizando el método de los mínimos cuadrados, calcular una

solución aproximada del sistema de ecuaciones 2 3

2 03 2

x yx yx y

+ =⎧⎪ − =⎨⎪ − = −⎩

SOLUCIÓN:

La matriz de los coeficientes del sistema es 2 11 23 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

,

( ) 2rango A = .

La matriz de los términos independientes es 302

b⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

.



El sistema no tiene solución ya que

2 1 3( ) ( ) 1 2 0 3 2 ( )

3 1 2rango A rango A b rango rango A∗

⎛ ⎞⎜ ⎟= | = − = ≠ =⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠

Tenemos el sistema: Ax b= , siendo x

xy

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

.

La solución óptima del sistema en el sentido de los mínimos cuadrados,

es la solución del sistema t tA Ax A b= como la matriz A es de rango

máximo, viene dada por: ( ) 1* t tx A A A b−

=

Es decir: 1

*

2 1 32 1 3 2 1 3

1 2 01 2 1 1 2 1

3 1 2x

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 125 251 1425 75

32 1 3

01 2 1

2

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠ −⎝ ⎠

15

1415

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

14. Dado el sistema 1 2

1 2

1 2

03 1

1

x xx xx x

+ = ⎫⎪− + = − ⎬⎪− + = ⎭

calcular la solución por

mínimos cuadrados.

SOLUCIÓN:

La matriz de coeficientes del sistema es 1 13 11 1

A⎛ ⎞⎜ ⎟= − ,⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) 2rango A = .



La matriz ampliada es 1 1 03 1 11 1 1

A∗

⎛ ⎞⎜ ⎟= − − ,⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

( ) 3rango A∗ = ,

por tanto el sistema es incompatible, luego no tiene solución exacta.

Se plantea el nuevo sistema t tA Ax A b= , siendo 1

2

xx

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= y 0-11

b⎛ ⎞⎜ ⎟= ,⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

para encontrar solución aproximada al sistema por el método de mínimos

cuadrados, el nuevo sistema a resolver es:

1

2

1 1 01 3 1 1 3 1

3 1 11 1 1 1 1 1

1 1 1

xx

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2

1 2

11 3 23 3 0x xx x− = ⎫

⎬− + = ⎭ cuya solución exacta es 1 2

1 14 4

x x= , = .

15. Calcular la recta que mejor se ajusta en el sentido de mínimos

cuadrados al conjunto de puntos siguiente

{( 2 2) ( 1 0) (0 1) (1 4)}− , , − , , ,− , ,

SOLUCIÓN:

Buscamos la recta, y mx n= + , que mejor se ajuste al conjunto de

puntos, primero se intentará encontrar una recta que contenga a los cuatro

puntos, si no existe, se buscará la que menor error cuadrático cometa.

( 2 2) 2 2 2 2( 1 0) 0 1 0(0 1) 1 0 1

(1 4) 4 1 4

m n m nm n m nm n nm n m n

− , → = − + − + =⎫ ⎫⎪ ⎪− , → = − + − + =⎪ ⎪≡ ;⎬ ⎬,− →− = + = −⎪ ⎪⎪ ⎪, → = + + =⎭ ⎭



2 1 21 1 0

0 1 11 1 4

A∗

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟= ,⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

si hallamos una forma escalonada equivalente de A∗

obtenemos 12

2 1 20 1 10 00 0 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟,⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

directamente se observa que ( ) 2rango A = y

( ) 3rango A∗ = ⇒ Sistema incompatible, no hay una recta que pase por

los cuatro puntos.

Se plantea el nuevo sistema t tA Ax A b= .

Siendo

2 11 1

0 11 1

mA x

n

−⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎛ ⎞⎜ ⎟= , = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y

201

4

b

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

y nos queda:

6 2 02 4 5m nm n− = ⎫

⎬− + = ⎭ cuya solución exacta es 31

2 2m n= , = .

La recta es por tanto 312 2

y x= +



Bibliografía

[1] BURGOS, J. ”Álgebra Lineal y Geometría Cartesiana”. McGraw-

Hill. Madrid, 1999.

[2] DE LA VILLA, A. ”Problemas de Álgebra”. Clagsa. Madrid, 1994.

[3] GROSSMANN, S.I. ”Álgebra Lineal con aplicaciones”. McGraw-

Hill. México, 1996.

[4] GUERRA, N.; LÓPEZ, B. ”Problemas resueltos tipo test de Álgebra

Lineal (Con esquemas teóricos)”. El Libro Técnico. Las Palmas de G.C.,

1999.

[5] LAY DAVID C. ”Algebra lineal y sus aplicaciones”. Addison

Wesley Longman. México 1999.

[6] NOBLE, B.; DANIEL, J.W. ”Álgebra Lineal Aplicada”. Prentice-

Hall, Inc. México, 1989.

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