Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería 1 Tema 6.- ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS PRODUCTO...

Fundamentos Matemáticosde la Ingeniería1

Tema 6.-Tema 6.- ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOSEUCLÍDEOS

PRODUCTO ESCALAR, NORMA Y DISTANCIA. MATRIZ PRODUCTO ESCALAR, NORMA Y DISTANCIA. MATRIZ DE GRAMDE GRAM

ORTOGONALIDADORTOGONALIDAD

PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDTSCHMIDT

APROXIMACIÓN LINEAL EN ESPACIOS APROXIMACIÓN LINEAL EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOSVECTORIALES EUCLÍDEOS

SOLUCIÓN APROXIMADA DE SISTEMAS SOLUCIÓN APROXIMADA DE SISTEMAS INCOMPATIBLES INCOMPATIBLES (MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS)


Una de las aplicaciones más interesantes en este capítulo es el método Una de las aplicaciones más interesantes en este capítulo es el método de de mínimos cuadrados. Con frecuencia, al tratar de comprender datos . Con frecuencia, al tratar de comprender datos experimentales, deseamos determinar una recta o una curva que experimentales, deseamos determinar una recta o una curva que “encaje” o “se ajuste” más (o describa mejor) estos datos. Por ejemplo, “encaje” o “se ajuste” más (o describa mejor) estos datos. Por ejemplo, imaginemos que un profesor de álgebra lineal mantiene las estadísticas imaginemos que un profesor de álgebra lineal mantiene las estadísticas (que se muestran a continuación) del porcentaje de notables otorgados (que se muestran a continuación) del porcentaje de notables otorgados durante un período de 6 cursos.durante un período de 6 cursos.

Si el profesor quisiera trazar una recta que se acerque a los puntos en Si el profesor quisiera trazar una recta que se acerque a los puntos en la tabla tendrá muchas opciones. Sin embargo, hay una que se ajusta la tabla tendrá muchas opciones. Sin embargo, hay una que se ajusta mejor a estos datos, mejor a estos datos, bajo cierto criteriobajo cierto criterio. En este capítulo veremos que . En este capítulo veremos que esa recta es esa recta es y = 0.13333 + 0.05 x

Curso

Porcentaje de notables

1

0.20 0.25 0.20 0.30 0.45 0.40

2 3 4 5 6


El método por mínimos cuadrados fue inventado por Karl Friedrich Gauss, y lo usó para resolver un problema de astronomía. En 1801 el asteroide Ceres se había observado mucho más brillante durante más de un mes antes de desaparecer cuando se acercó al Sol. Con base en las observaciones disponibles, los astrónomos deseaban aproximar la órbita de Ceres para observarlo de nuevo cuando se alejara del sol. Gauss empleó los mínimos cuadrados e impactó a la comunidad científica al predecir la hora y el lugar correctos (unos 10 meses después) para localizar el asteroide.

Karl Friedrich Gauss (1777 - 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo). Durante su vida, se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX.

Un poco de historiaUn poco de historia


PRODUCTO ESCALARPRODUCTO ESCALAR

Sea Sea V un espacio vectorial real un espacio vectorial real

es unes un producto escalar producto escalar sobre sobre V si si ::

1.-1.-

2.-2.-

3.-3.-

4.-4.-

es unes un espacio vectorial euclídeo espacio vectorial euclídeo


-EJEMPLOS.-

1.-1.- Producto escalar usual enProducto escalar usual en

Para vectores de definimos:Para vectores de definimos:

2.-2.- Otro producto escalar enOtro producto escalar en

Para vectores de definimos:Para vectores de definimos:


SiendoSiendo




Para definimos:Para definimos:

Para definimos:Para definimos:

Siendo la Siendo la trazatraza de una matriz cuadrada la suma de los elementos de su de una matriz cuadrada la suma de los elementos de su diagonal principal.diagonal principal.


-OBSERVACIÓN.- Otra forma (Otra forma (más cómodamás cómoda) de calcular el producto ) de calcular el producto escalar usual de dos matrices cuadradas del mismo ordenescalar usual de dos matrices cuadradas del mismo orden


6.-6.- Producto escalar usual enProducto escalar usual en es el espacio vectorial de las funciones continuas en es el espacio vectorial de las funciones continuas en [a , b][a , b], y por , y por tanto integrables en tanto integrables en [a , b][a , b]. .

Algunas propiedades del producto escalar.-Algunas propiedades del producto escalar.-

1.-1.-

2.-2.-

3.-3.-

El único vector de un espacio vectorial El único vector de un espacio vectorial euclídeo euclídeo VV que cumple que su producto que cumple que su producto escalar con todos los vectores de escalar con todos los vectores de VV es es cero, es el vector nulo.cero, es el vector nulo.

El único vector de un espacio vectorial El único vector de un espacio vectorial euclídeo euclídeo VV que cumple que su producto que cumple que su producto escalar con todos los vectores de escalar con todos los vectores de VV es es cero, es el vector nulo.cero, es el vector nulo.


NORMA Y DISTANCIA EUCLÍDEASNORMA Y DISTANCIA EUCLÍDEAS

Sea unSea un espacio vectorial euclídeoespacio vectorial euclídeo

Los conceptos geométricos de longitud, distancia y perpendicularidad, Los conceptos geométricos de longitud, distancia y perpendicularidad, que son bien conocidos para y , se definen en este capítulo que son bien conocidos para y , se definen en este capítulo para y, en general, para cualquier espacio vectorial euclídeo para y, en general, para cualquier espacio vectorial euclídeo V. . Estos conceptos nos van a proporcionar herramientas geométricas Estos conceptos nos van a proporcionar herramientas geométricas potentes para resolver muchos problemas aplicados, incluidos los potentes para resolver muchos problemas aplicados, incluidos los problemas de mínimos cuadrados que hemos mencionado en la problemas de mínimos cuadrados que hemos mencionado en la introducción. Los tres conceptos se definen en términos del producto introducción. Los tres conceptos se definen en términos del producto escalar, también denominado producto interior, de dos vectores.escalar, también denominado producto interior, de dos vectores.

Norma o longitud de un vector.-Norma o longitud de un vector.-

Distancia entre dos vectores.-Distancia entre dos vectores.-

-OBSERVACIÓN.-


Propiedades de la norma.-Propiedades de la norma.-

1.-1.-

2.-2.-

3.-3.-

4.-4.-

5.-5.-

6.-6.-

Desigualdad de SchwarzDesigualdad de Schwarz**Desigualdad de SchwarzDesigualdad de Schwarz**

Desigualdad de Minkowski o desigualdad triangularDesigualdad de Minkowski o desigualdad triangularDesigualdad de Minkowski o desigualdad triangularDesigualdad de Minkowski o desigualdad triangular


** Sobre la historia de la desigualdad Cauchy-Schwarz-BunyakovskySobre la historia de la desigualdad Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky

Se acredita a CauchySe acredita a Cauchy11 la desigualdad para vectores y a Schwarz la desigualdad para vectores y a Schwarz22 para los para los productos escalares con integrales. Sin embargo, fue Bunyakovskyproductos escalares con integrales. Sin embargo, fue Bunyakovsky33 quien quien demostró y publicó la desigualdad de Schwarz en una monografía, 25 años demostró y publicó la desigualdad de Schwarz en una monografía, 25 años antes que Schwarz.antes que Schwarz.

1 1 Augustin Louis Cauchy (1789-1857)Augustin Louis Cauchy (1789-1857) nació en París y murió en una villa cercana a esa misma ciudad. Es autor nació en París y murió en una villa cercana a esa misma ciudad. Es autor de trabajos importantes sobre ecuaciones diferenciales, series infinitas, determinantes, probabilidad, grupos de de trabajos importantes sobre ecuaciones diferenciales, series infinitas, determinantes, probabilidad, grupos de permutación y de física matemática. En 1814 publicó una memoria que se convirtió en el fundamento de la permutación y de física matemática. En 1814 publicó una memoria que se convirtió en el fundamento de la teoría de las funciones complejas. Su trabajo se conoce por su rigor. Publicó 789 artículos y ocupó puestos en a teoría de las funciones complejas. Su trabajo se conoce por su rigor. Publicó 789 artículos y ocupó puestos en a Facultad de Ciencias, en el Colegio de Francia y en la Escuela Politécnica, todos en París. Ha muchos términos Facultad de Ciencias, en el Colegio de Francia y en la Escuela Politécnica, todos en París. Ha muchos términos y teoremas que llevan su apellido. Fue un realista fiel y vivió en Suiza, Turín y Praga, después de rehusarse a y teoremas que llevan su apellido. Fue un realista fiel y vivió en Suiza, Turín y Praga, después de rehusarse a jurar la alianza. Regresó a París en 1838 y recuperó su puesto en la Academia de Ciencias. En 1848 recuperó su jurar la alianza. Regresó a París en 1838 y recuperó su puesto en la Academia de Ciencias. En 1848 recuperó su lugar en la Sorbona, que mantuvo hasta su muerte.lugar en la Sorbona, que mantuvo hasta su muerte.

22 Karl Herman AmandusKarl Herman Amandus Schwarz (1843-1921)Schwarz (1843-1921) nació en Hermsdorf, Polonia (hoy Alemania), y murió en Berlín. nació en Hermsdorf, Polonia (hoy Alemania), y murió en Berlín. Estudió química en Berlín, pero se cambió a matemáticas, obteniendo el doctorado. Desempeñó puestos Estudió química en Berlín, pero se cambió a matemáticas, obteniendo el doctorado. Desempeñó puestos académicos en Halle, Zurich y Göttingen. Reemplazó a Weierstrass en Berlín y enseñó alllí hasta 1917. Trabajó académicos en Halle, Zurich y Göttingen. Reemplazó a Weierstrass en Berlín y enseñó alllí hasta 1917. Trabajó en cálculo de variaciones y en superficies mínimas. Su memoria en ocasión del 70 aniversario de Weierstrass en cálculo de variaciones y en superficies mínimas. Su memoria en ocasión del 70 aniversario de Weierstrass contiene, entre otros temas importantes, la desigualdad para integrales que hoy se conoce como desigualdad de contiene, entre otros temas importantes, la desigualdad para integrales que hoy se conoce como desigualdad de Schwarz.Schwarz.

3 3 Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1804-1889)Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1804-1889) nació en Bar, Ucrania, y murió en San Petersburgo, Rusia. Fue nació en Bar, Ucrania, y murió en San Petersburgo, Rusia. Fue profesor en San Petersburgo de 1846 a 1880. Publicó más de 150 trabajos en matemáticas y mecánica. Fue autor profesor en San Petersburgo de 1846 a 1880. Publicó más de 150 trabajos en matemáticas y mecánica. Fue autor de trabajos importantes en teoría de los números, y demostró y publicó la desigualdad de Schwarz en 1859, 25 de trabajos importantes en teoría de los números, y demostró y publicó la desigualdad de Schwarz en 1859, 25 años antes que Schwarz. También trabajó en geometría y en hidrostática.años antes que Schwarz. También trabajó en geometría y en hidrostática.


Desigualdad de SchwarzDesigualdad de SchwarzDesigualdad de SchwarzDesigualdad de Schwarz

Definición de ángulo entre dos vectores no nulos.-Definición de ángulo entre dos vectores no nulos.-

Es el correspondiente al arco dado porEs el correspondiente al arco dado por::


EXPRESIÓN MATRICIAL DEL PRODUCTO ESCALAREXPRESIÓN MATRICIAL DEL PRODUCTO ESCALAR

Si Si V es un espacio vectorial euclídeo de dimensión es un espacio vectorial euclídeo de dimensión n y y

es una base de es una base de V, entonces:, entonces:


:: matriz de Grammatriz de Gram, o matriz del producto , o matriz del producto escalar dado, escalar dado, en la base en la base B..

:: expresión matricial del producto expresión matricial del producto escalar dado en la base escalar dado en la base B..

G es simétrica. es simétrica.

Los elementos de la diagonal principal de Los elementos de la diagonal principal de G son son estrictamente positivos.estrictamente positivos.

G es regular. es regular.


ORTOGONALIDADORTOGONALIDAD

Definición de vectores ortogonales.-Definición de vectores ortogonales.-

-EJEMPLOS.- En En ( p.e.usualp.e.usual) comprobar que los comprobar que los vectores son ortogonales.vectores son ortogonales.¿Son ortogonales estos vectores con el producto ¿Son ortogonales estos vectores con el producto escalarescalar

es el único vector de es el único vector de V ortogonal a todos los vectores ortogonal a todos los vectores de de V

IMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTEIMPORTANTE


Definición de subconjuntos ortogonales.-Definición de subconjuntos ortogonales.-

Dos Dos subconjuntossubconjuntos A y y B de de V son ortogonales son ortogonales ( ), , cuandocuando

Sea Sea S subespacio vectorialsubespacio vectorial de de V y y una base de una base de S. Entonces:. Entonces:

-EJEMPLO.- Comprobar que los Comprobar que los subconjuntossubconjuntos

son ortogonales en son ortogonales en ( ( p.e. usual p.e. usual))


-EJEMPLO.- Hallar el subespacio vectorial formado Hallar el subespacio vectorial formado por todos los vectores ortogonales al subespacio:por todos los vectores ortogonales al subespacio:

utilizando el producto escalar usual en .utilizando el producto escalar usual en .

Según la definición de , será:Según la definición de , será:

siendo siendo BB una base de una base de SS..

Primero encontramos una base de Primero encontramos una base de SS. .


SISTEMAS ORTOGONALES Y ORTONORMALES. SISTEMAS ORTOGONALES Y ORTONORMALES. PROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDTPROCESO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT

En este apartado describiremos un método muy importante, llamado En este apartado describiremos un método muy importante, llamado proceso proceso de Gram-Schmidtde Gram-Schmidt*. El proceso de Gram-Schmidt es un algoritmo sencillo para . El proceso de Gram-Schmidt es un algoritmo sencillo para producir una base ortogonal u ortonormal para cualquier subespacio producir una base ortogonal u ortonormal para cualquier subespacio vectorial, de un espacio vectorial euclídeo.vectorial, de un espacio vectorial euclídeo.

En honor del matemático y actuario danés En honor del matemático y actuario danés Jörgen Pedersen Gram (1850-1916)Jörgen Pedersen Gram (1850-1916) y y Erhard Erhard SchmidtSchmidt, matemático alemán , matemático alemán (1876-1959).(1876-1959).

es unes un sistema ortogonalsistema ortogonal de vectores side vectores si

es unes un sistema ortonormalsistema ortonormal de vectores side vectores si

Vectores unitariosVectores unitariosVectores unitariosVectores unitarios

Es decir, un sistema Es decir, un sistema ortonormal es un sistema ortonormal es un sistema ortogonal formado por ortogonal formado por vectores unitariosvectores unitarios

Es decir, un sistema Es decir, un sistema ortonormal es un sistema ortonormal es un sistema ortogonal formado por ortogonal formado por vectores unitariosvectores unitarios


-EJEMPLOS.-

1.-1.- EnEn (( p.e. usualp.e. usual))

el sistema es ortogonal, el sistema es ortogonal,

pues:pues:

pero no es ortonormal pues: pero no es ortonormal pues:

el sistema es el sistema es

ortonormal, pues:ortonormal, pues:

2.-2.- EnEn con el producto escalarcon el producto escalar

¿Son ortogonales los vectores ¿Son ortogonales los vectores ? ?


Propiedades de los sistemas ortogonales.-Propiedades de los sistemas ortogonales.-

a)a) s.ortogonals.ortogonal de vectores de vectores no nulosno nulos del e.v. del e.v. euclídeo euclídeo V, entonces:, entonces:

b)b) s.ortogonals.ortogonal, entonces:, entonces:

IMPORTANTEIMPORTANTE

-OBSERVACIÓN.- Para r = 2Para r = 2

En con el producto escalar usual:En con el producto escalar usual:

Teorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de PitágorasTeorema de Pitágoras


Proyección ortogonal de un vector.-Proyección ortogonal de un vector.- La La proyección ortogonalproyección ortogonal de sobre es el vector:de sobre es el vector:

-OBSERVACIÓN.-

-EJEMPLO.- En con el p.e. usual la proyección En con el p.e. usual la proyección ortogonal del vector sobre es:ortogonal del vector sobre es:


Todo espacio vectorial euclídeo Todo espacio vectorial euclídeo de dimensión finita n admite de dimensión finita n admite

bases ortogonales y ortonormalesbases ortogonales y ortonormales

Todo espacio vectorial euclídeo Todo espacio vectorial euclídeo de dimensión finita n admite de dimensión finita n admite

bases ortogonales y ortonormalesbases ortogonales y ortonormales

¿Cómo se hallan estas bases?¿Cómo se hallan estas bases?¿Cómo se hallan estas bases?¿Cómo se hallan estas bases?

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt:Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt:Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt:Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt:

Si es un s. libre Si es un s. libre de un espacio vectorial euclídeo de un espacio vectorial euclídeo

V, entonces:, entonces:

tales que:tales que:

yy

s.ortogonals.ortogonals.ortogonals.ortogonal

s.ortonormals.ortonormals.ortonormals.ortonormal


¿Cómo se construye una base ortogonal ¿Cómo se construye una base ortogonal BBOO

((ortonormal ortonormal BBONON)) de un espacio vectorial euclídeo de un espacio vectorial euclídeo SS??¿Cómo se construye una base ortogonal ¿Cómo se construye una base ortogonal BBOO

((ortonormal ortonormal BBONON)) de un espacio vectorial euclídeo de un espacio vectorial euclídeo SS??

1.-1.- Hallar una base Hallar una base B de de S::

2.-2.- Proceso de ortogonalización de Gram-SchmidtProceso de ortogonalización de Gram-Schmidt::

3.-3.- Normalizar los vectores del paso Normalizar los vectores del paso 2.-2.-::


-OBSERVACIONES.-

1.-1.- No es necesario partir de No es necesario partir de una base una base BB de de SS, basta con , basta con partir de un sistema partir de un sistema generador de generador de SS. El proceso de . El proceso de Gram-Schmidt detectará si el Gram-Schmidt detectará si el sistema es libre o ligado. sistema es libre o ligado.

1.-1.- No es necesario partir de No es necesario partir de una base una base BB de de SS, basta con , basta con partir de un sistema partir de un sistema generador de generador de SS. El proceso de . El proceso de Gram-Schmidt detectará si el Gram-Schmidt detectará si el sistema es libre o ligado. sistema es libre o ligado.

2.-2.- Suele resultar conveniente Suele resultar conveniente calcular los productos calcular los productos escalares de los diversos escalares de los diversos vectores de la base o s.g. de vectores de la base o s.g. de SS y “reordenarlos” escribiendo y “reordenarlos” escribiendo en primer lugar aquellos en primer lugar aquellos vectores que sean ortogonales vectores que sean ortogonales entre si.entre si.

2.-2.- Suele resultar conveniente Suele resultar conveniente calcular los productos calcular los productos escalares de los diversos escalares de los diversos vectores de la base o s.g. de vectores de la base o s.g. de SS y “reordenarlos” escribiendo y “reordenarlos” escribiendo en primer lugar aquellos en primer lugar aquellos vectores que sean ortogonales vectores que sean ortogonales entre si.entre si.

Utilizando el p.e. usual Utilizando el p.e. usual hallar una base ortogonal hallar una base ortogonal del s.v. engendrado por del s.v. engendrado por los vectores:los vectores:

Utilizando el p.e. usual Utilizando el p.e. usual hallar una base ortogonal hallar una base ortogonal del s.v. engendrado por los del s.v. engendrado por los vectores:vectores:


APROXIMACIÓN LINEAL EN ESPACIOS APROXIMACIÓN LINEAL EN ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOSVECTORIALES EUCLÍDEOS

En este apartado vamos resolver el siguiente problema:En este apartado vamos resolver el siguiente problema:

espacio vectorial euclídeoespacio vectorial euclídeo S subespacio subespacio de de V con base de con base de S

Se trata de encontrar tal que:Se trata de encontrar tal que:

sea mínimasea mínima

Este problema admite solución y es única.Este problema admite solución y es única.

se denomina se denomina mejor aproximación de en Smejor aproximación de en S..

-OBSERVACIÓN.- Si , entonces Si , entonces


Mejor aproximación de en Mejor aproximación de en S.-.-

Si es una Si es una base ortogonalbase ortogonal de de S, la , la mejor aproximación de en mejor aproximación de en S es es::

Coeficientes de Fourier. Suma de Fourier.-Coeficientes de Fourier. Suma de Fourier.-

Si es una Si es una base ortogonalbase ortogonal de de S::

se denominan se denominan coeficientes de Fouriercoeficientes de Fourier..

se llama se llama suma de Fouriersuma de Fourier..


¿Cómo encontrar la mejor aproximación de un vector ¿Cómo encontrar la mejor aproximación de un vector de un espacio vectorial de un espacio vectorial VV en un subespacio en un subespacio SS dede VV??

¿Cómo encontrar la mejor aproximación de un vector ¿Cómo encontrar la mejor aproximación de un vector de un espacio vectorial de un espacio vectorial VV en un subespacio en un subespacio SS dede VV??

2.-2.- Hallar una base Hallar una base B de de S::

3.-3.- Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a B:B:

5.-5.- Comprobar el resultado:Comprobar el resultado:

1.-1.- Comprobar queComprobar que

BBOO base ortogonal de base ortogonal de SSBBOO base ortogonal de base ortogonal de SS

4.-4.- Suma de Fourier Suma de Fourier ( )( ) de respecto de la base ortogonal de respecto de la base ortogonal BO encontrada en el paso encontrada en el paso 3.-3.-::

HAY QUE TRABAJAR CON EL HAY QUE TRABAJAR CON EL PRODUCTO ESCALAR DEL PRODUCTO ESCALAR DEL

PROBLEMAPROBLEMA

HAY QUE TRABAJAR CON EL HAY QUE TRABAJAR CON EL PRODUCTO ESCALAR DEL PRODUCTO ESCALAR DEL

PROBLEMAPROBLEMA


-EJERCICIO.- Consideremos el producto escalar usual en Consideremos el producto escalar usual en a.- Encontrar la mejor aproximación de en Encontrar la mejor aproximación de en el subespacio vectorial el subespacio vectorial SS y hallar la norma del error y hallar la norma del error cometido.cometido.

SoluciónSolución

1.-1.- Comprobamos queComprobamos que

2.-2.- Hallamos una base Hallamos una base BBSS de de SS

3.-3.- Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt a la base Aplicamos el proceso de Gram-Schmidt a la base BBSS de de S S para conseguir una base ortogonal para conseguir una base ortogonal BBOO de de SS: :


4.-4.- Suma de las proyecciones ortogonales de sobre los Suma de las proyecciones ortogonales de sobre los vectores de la base ortogonal vectores de la base ortogonal BBOO de de SS: :

5.-5.- Comprobar el resultadoComprobar el resultado::

b.- Utilizando el producto escalar usual encontrar la Utilizando el producto escalar usual encontrar la mejor aproximación de en el subespacio mejor aproximación de en el subespacio vectorial:vectorial:

y hallar la norma del error cometido.y hallar la norma del error cometido.

Norma del error cometidoNorma del error cometido

SoluciónSolución


SOLUCIÓN APROXIMADA DE UNA SISTEMA DE SOLUCIÓN APROXIMADA DE UNA SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES INCOMPATIBLE.ECUACIONES LINEALES INCOMPATIBLE.

((MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOSMÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS))El ejemplo introductorio del capítulo describe un gigantesco problemaEl ejemplo introductorio del capítulo describe un gigantesco problema AA · · xx == bb que no tenía solución. Los sistemas inconsistentes surgen con que no tenía solución. Los sistemas inconsistentes surgen con frecuencia en las aplicaciones, aunque generalmente no con una matriz frecuencia en las aplicaciones, aunque generalmente no con una matriz de coeficientes tan enorme. Cuando se necesita una solución y no existe de coeficientes tan enorme. Cuando se necesita una solución y no existe alguna, lo mejor que se puede hacer es encontrar una alguna, lo mejor que se puede hacer es encontrar una x x que haga que haga AA · · xx tan cercana a tan cercana a bb como sea posible. como sea posible.

Pensemos en Pensemos en AA · · xx como una como una aproximaciónaproximación de de bb. Cuanto más . Cuanto más corta sea la distancia entre corta sea la distancia entre bb y y AA · · xx, , dada por dada por bb – A – A · · xx mejor será la aproximación. El mejor será la aproximación. El problema general de problema general de mínimos cuadradosmínimos cuadrados es encontrar un es encontrar un xx que haga que haga bb – A – A · · xx tan pequeña como sea posible. El término de mínimos tan pequeña como sea posible. El término de mínimos cuadrados surge del hecho de que cuadrados surge del hecho de que bb – A – A · · xx es la raíz es la raíz cuadrada de una suma de cuadrados, pues estamos utilizando cuadrada de una suma de cuadrados, pues estamos utilizando el producto escalar usual en .el producto escalar usual en .


¿Cómo resolver de forma aproximada un sistema ¿Cómo resolver de forma aproximada un sistema de ecuaciones lineales incompatible?de ecuaciones lineales incompatible?

¿Cómo resolver de forma aproximada un sistema ¿Cómo resolver de forma aproximada un sistema de ecuaciones lineales incompatible?de ecuaciones lineales incompatible?

2.-2.- Hallar mejor aproximación de en Hallar mejor aproximación de en S..

3.-3.- Resolver el sistemaResolver el sistema::

1.-1.- Expresar vectorialmente el sistema:Expresar vectorialmente el sistema:

HAY QUE TRABAJAR HAY QUE TRABAJAR CON EL PRODUCTO CON EL PRODUCTO

ESCALAR USUALESCALAR USUAL

HAY QUE TRABAJAR HAY QUE TRABAJAR CON EL PRODUCTO CON EL PRODUCTO

ESCALAR USUALESCALAR USUALUtilizar el esquema del apartado anteriorUtilizar el esquema del apartado anterior

La solución del sistema La solución del sistema (()) es la solución aproximada del es la solución aproximada del sistema incompatible sistema incompatible (1).(1).


-EJERCICIO.- Resolver de forma aproximada el sistema Resolver de forma aproximada el sistema de ecuaciones lineales dado por:de ecuaciones lineales dado por:

SoluciónSolución

1.-1.- Comprobamos que el sistema es Comprobamos que el sistema es incompatible:incompatible:

2.-2.- Escribimos el sistema en forma vectorial:Escribimos el sistema en forma vectorial:


3.-3.- Hallamos la mejor aproximación de en Hallamos la mejor aproximación de en SS: :

3.1.- 3.1.- Encontrar una base Encontrar una base BBSS de de SS

3.2.- 3.2.- Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a la Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a la base base BBSS de de S S para conseguir una base ortogonal para conseguir una base ortogonal BBOO de de SS: :

3.3.- 3.3.- Hallar la suma de las proyecciones Hallar la suma de las proyecciones ortogonales de sobre los vectores de la base ortogonales de sobre los vectores de la base ortogonal ortogonal BBOO de de SS: :


4.-4.- Resolver el sistemaResolver el sistema: :


Cálculo alternativo de una solución por Cálculo alternativo de una solución por mínimos cuadrados.mínimos cuadrados.

El siguiente teorema proporciona un criterio útil para cuando El siguiente teorema proporciona un criterio útil para cuando existe una solución por mínimos cuadrados de existe una solución por mínimos cuadrados de AA · · xx = b= b..

La matriz La matriz AATT · A · A es invertible si y sólo si las es invertible si y sólo si las columnas de columnas de AA son linealmente independientes. son linealmente independientes. En este caso, la ecuación En este caso, la ecuación AA · · xx = b= b tiene tiene solamente una solución por mínimos cuadrados solamente una solución por mínimos cuadrados y viene dada por:y viene dada por:

La matriz La matriz AATT · A · A es invertible si y sólo si las es invertible si y sólo si las columnas de columnas de AA son linealmente independientes. son linealmente independientes. En este caso, la ecuación En este caso, la ecuación AA · · xx = b= b tiene tiene solamente una solución por mínimos cuadrados solamente una solución por mínimos cuadrados y viene dada por:y viene dada por:


Producto escalar

Espacio vectorial euclídeo

Propiedades

NormaDistanciaÁngulo entre dos vectores

Ortogonalidad

Ortonormalidad

CONCEPTOSPROPIEDADESEjemplos

Teoría de aproximación lineal

Expresión matricial

Características

VectoresSubconjuntosProyección ortogonal

Método de Gram-Schmidt

ObjetivoPlanteamiento

Coeficientes de Fourier

Suma de Fourier

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