ESTADISTICA 4 (1)

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO ESTADISTICA

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Ejercicio 3: Sean x1 y x2 las medidas de dos muestras independientes de tamaños

n1 y n2 respectivamente escogidas de una población X poison con parámetro λ

a) Proba que la estadística Θ=n1 x1+n2 x2n1+n2

es un estimador insesgado del parámetro

λ.

b) Hallar la varianza del estimador.

Solución

Var(x) =λ

Var(x)=λn

Hallando la varianza:

E(θ ¿= 1n1+n2

E(n1 x1+n2 x2 ¿ var(θ ¿=var ⌈n1 x1+n2 x2n1+n2

⌉

=1

n1+n2¿ ¿

1

(n1+n2 )2var (n1 x1)+var (n¿¿2 x2)¿

=1

n1+n2[n1 λ+n2 λ ] =

1

(n1+n2 )2{n12 var(x1)+n22 var (x2)}

=λ

n1+n2[n1+n2 ]=λ =

1

(n1+n2 )2 {n12 λn1+n22 λn2 } =

1

(n1+n2 )2¿ =

λn1+n2

λn1+n2

λn1+n2

[n1+n2 ]=λ


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Ejercicio 5: dos métodos diferentes e independientes dieron lugar a dos estimadores

insesgados θ1 y θ2 del parámetro θ. Las desviaciones estándares de estos estimadores

son 0.4 y 0.6 respectivamente .los estimadores son combinados de la siguiente

manera.

θ2=r θ1+ (1−r ) θ20<r<1.

Hallar el valor de r que haga mínima la varianza del estimador θ:

Solución

√var (θ )=0.4

√var (θ2)=0.6

θ=r θ1+ (1−r ) θ2 0<r<1γ fγ r

=2 r∗0.42−2 (1−r )∗(0.36 )=0

r=? r=0.6923

=var[ rθ1+(1−r) θ2 ]

=var[(r θ1 )+var ((1−r )2 θ2)]

= r2 var (θ1 )+(1−r )2 var (θ2)

F=var r2∗0.42+ (1−r )2∗¿)

Ejercicio 6: sea x1,x2,….,xn, una muestra aleatoria de tamaño de una población de

bernulli B (1,p) de las siguientes estadísticas:

θ2=∑i=1

n

x i−xk

n−1;θ2=

∑i=1

n

x i2

n

r = 0.6923


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a) ¿Cuáles son estimadores de máxima verosimilitud para p?

b) Estimar p, si x1,x2,….,x50,=100

Solución

Cuando es insesgado:

E muestra=E población E (θ2 ¿=E[∑i=1n

x i2

n ]E (θ1 ¿=E[ x1 , x2 ,…., xn−xk

n−1 ] =E[ x12 , x22,…. , xn2−xk2n ]E (θ1 ¿=E ¿¿¿ = E¿

1n−1

[ p+ p+ p+…+ p−p ]=(n−1)(n−1)

∗p γ X=E (x2 )−E(x )2

=1n

{n(γ x2+μ2)}= p q+p2=p(1-p)+p2

=p – p2+p2 = p

La varianza:

Var (θ1 ¿= var [∑i=1

n

x i−xk ]

Si es insesgado


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= var [ x1 , x2 ,…., xn−xkn−1 ]=

1

(n−1)2¿

=1

(n−1)2=(n+1 ) ( p∗q )= n+1

(n−1 )2( γ2 )= pq (n+1)

(n−1)2

Var (θ2 ¿=1

n2(var x1

2 , x22 ,…. , xn

2−xk2)

=1

n2¿

Var (x2¿=E (x4 )−E((x2))2

PARA:θ2=

∑i=1

n

x i2

n

LA ESPERANZA:

E(x¿¿2)=γ X2+μ2 ¿

Var(x2)= (E(x¿¿1¿¿ 4)+[γ X2+μ2 ]2¿¿

=[ γX2+μ2 ]2−[γ X2+μ2 ]

2=0

1

n2¿=0


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Ejercicio 7 pág. 388: sea x1,x2,….,x50 una muestra aleatoria de tamaño 50 escogida

de una población de distribución geométrica para metro p 0¿ x<1.

P[X=x ]=p (1−p)x , x=1,2,….

a) Determinar el estimador de máxima verosimilitud

b) Estimar p,x12 , x2

2 ,…. , x502=100

Solución

Parte a

l (f ( x ) )=pn(1−p)∑ x

γlγp

=np−∑ x

l−p

p∑ ( x+1 )= 1

∑ x

n+1

= 1x+1

Parte b

P=50

100+50= 50150

=13

1x+1

P=13


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Ejercicio 9 pág. 388: el número de ventas diarias de cierta mercadería es una

variable aleatoria x poison con un promedioγventa días:

a) si x1,x2,….,x50 son la ventas de 50 días estimar γ por el método de máxima

verosimilitud

b) si en los 50 días se han hecho 30ventas de tal mercadería estimar el promedio

γ de ventas diarias.

Solución

parte a:

F(x)=e−x∗γ x

x ¡ =l(γ , x i ¿=

e−nx∗γ∑ x

x !

L(γ ; xi ¿=e−nx . γ∑ x

∑ x !

l ≈L=−nλ∗l ≈ x+∑ xl ≈ x−l ≈∑ x !

γl ≈ lγλ

=−n+∑ x

λ=0

∑ x

λ=n λ=

∑ x

n

parte b:

λ=∑ x

n


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λ=∑ x

n=3050

=35

Ejercicio 10 pág. 389: de una población de variable aleatoria continua X se extrae

una muestra aleatoria x1 , x2 ,…. , xn y se define la variable aleatoria bernoulli.

Y[1 si x>00 si x≤0

a) Usando la máxima verosimilitud estimar la proporción p de todos los valores

usados positivos estimar p=P[ x>0 ] .

b) Estime el valor de p si una muestra aleatoria de tamaño de80 de x ha dado 64

valores positivos y 16 valores negativos

c) Si x∼N(u ,0.04¿, utilizando a y b, calcular aproximadamente el valor u.

Solución

Y[1 si x>00 si x≤0

f ( x )=(1−p)1−x∗px

k=l ( x , p )=p∑ x (1−p)∑ 1−p

l k=∑ x l p+∑ (1−p )l (1−p)

γl kγp

=∑ x l p+∑ (1−p )l (1−p )

p=∑ x

n

Parte c:

x N (μ :0.004 )

p=p ( x ≥0 )=0.80

λ=35

p=∑ x

n


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=1−p ( x≤0 )=0.80

=p(x< 0−u0.2 )=0.20 μ=0.169Ejercicio 11 pág. 389: el tiempo en meses, que dura una componente electrónica, es

una variable aleatoria T de distribuciones exponenciales con parámetro β se prueban

30 componentes y se encuentran que 18 faltan antes de los 6 meses.

a) Utilizando el método de máxima verosimilitud, estimar la proporción de todas

las componentes que fallan antes de los 6 meses.

b) Utilice el resultado de a)para estimar la máxima verosimilitud

Solución

f ( x )=βe−px

μ= 1p

γ2= 1

β2

p ( x≤ ℷ )=1−e− β

p¿)

Parte a) n =30

p=1830

Parte b:

p ( x≤ x )=1−e−βx=1830

p ( x≤6 )=1−e− βx= p

p ( x≤6 )=1−e−6 x= p 1−p=e−βx

l∼ (1−p )=−l∼6 β

μ=0.169


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l∼ (1−p )−6 β

β=l∼ 12306

EJERCICOS N°12

1:12. La longitud de cierto tipo de objeto producidos por una maquina, puede

estar por arriba o por abajo de la medida estandar de 2 pulgadas. Suponga que

tal longitud tiene distribucion normal /V(u, 0.0025).

a) Utilizando el metodo de maxima verosimilitud estime la proporcion p de

todos los objetos cuya longitud esta por arriba de 2 pulgadas.

b) Si en una muestra de 1,000 de tales objetos se encontrd que 992 tenian

longitud por arriba de 2 pulgadas, utilizando a) estime la media de la longitud de

todos los objetos producidos.

Solución

f (x , p)=px(1−p)1−x ya se demostro

a).- p=∑ x

n a).- p=

9921000

=0.992

p=p ( x>2 )=0.992

1−p( z≤ 2−u0.05 )=0.992 X N (u ,0.0025)

σx=0.05

∅ ( 2−u0.05 )=0.008 → 2−u0.05

= -2.41

2−u=−0.1205→u=2.1205


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ejercicioN°13

13)._ Una maquina produce objetos cuyo peso en gramos tiene distribucion

normal N(30, a2), con a desconocido. Los objetos son defectuosos si el peso es

menor que 26 o mayor que 34 gramos. Para estimar a se pesa un objeto cada

vez hasta que un defectuoso sea obtenido. Hallar el estimador de maxima

verosimilitud de a si en un control el primer defectuoso se hallo en la decima

prueba.

Solucion

X→N (30 , σ2) D: p(x<26) + p(x>34)

exito :P fracaso: (1-p)

(1−p )=p (26≤x ≤34 )

(1−p )=p¿) - p(Z≤ 26−30σ )el primer

El primer defectuoso se halla en la decima prueba

P= 110

=0.10

0.90=∅ ( 45 )−∅ (−45 )=¿0.90=2∅ ( 45 )−10.95= ∅ ( 45 )

u=2.1205


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1.645=45

σ=2.4316

Ejercicos 1

1. Una maquina llena un determinado producto en bolsas cuyo peso medio

es u gramos. Suponga que la poblacion de los pesos es normal con desviacion

estandar 20 gramos.

a) Estime u de manera que el 99.38% de las bolsas tengan pesos no

superiores a 550 gramos.

b) Estime u mediante un intervalo de confianza del 95%, si una muestra

aleatoria de 16 bolsas ha dado una media de 495 gramos

solucion

X→N (u ,202) X : peso medio

p¿ – Zσ

√n≤u≤ x + Z

σ

√n¿0.95

N=16 Z0.975=1.96(5) = 9.8

(495±9.8¿

p ( x≤550 )=0.9938

σ=2.4316


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p(Z≤ 550−u20

)= 0.9938

∅=(550−u20 )=0.9938

550−u20

=2.5

ejercico N°02

2. Se decide estimar la media \x del nivel de ansiedad de todos los

estudiantes

preuniversitarios. Se supone que la poblacion de los puntajes de la prueba para,

medir la ansiedad se distribuye normalmente con desviacion estandar igual a 10

puntos.

a) Determinar el intervalo para Li con confianza del 95%, si una muestra

aleatoria de tamano 100 ha dado una media de 70 puntos.

b) Si u. se estima en 70 puntos con el nivel de confianza del 98%, i,es el

error de la estimacion puntual superior a 5 puntos?

c) Si Ud. considera que el intervalo encontrado en a) no es muy preciso,

^que action deberia tomar para que el intervalo de estimacion al 95% sea mas

preciso?.

Solucion

X= nivel de insideil X N ¿) Z0.975=1.96

X : puntajes

a).- α=0.05 n=100 x=70

u=500


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p¿ – Zσ

√n≤u≤ x + Z

σ

√n¿=1−α

1.96(10)10

=1.96 ¿>¿ ( 70 ±1.96¿

b¿ .¿ α=0.02 Z0.99=2.33 e=2.33( 1010 )=2.33 NO

c)._ si R→0=¿ n→α

ejercico N°03

3. El tiempo en minutos que utilizan los clientes en sus distintas operaciones

en un banco local es una variable aleatoria cuya distribucion se supone normal

con

una desviacion estandar de 3 minutos. Se han registrado los tiempos de las

operaciones de 9 clientes delbanco resultando una media igual a 9 minutos:

a) Hallar el nivel de confianza si la estimacion de Ji es el intervalo de 7 a 11

minutos.

b) Si u se estima por x, calcular la probabilidad de que la media de los

tiempos.

de todas las muestras de tamano 9 este entre 6.5 y 11.5 minutos.

x: tiempo en minutos X→N (u ,32) n=9 x=9

a) (7≤u≤11)

b) X−¿ Z 1-α2

σ

√n¿=¿ 7

9−¿ Z 1-α2

33¿=7 → Z 1-

α2

= 2


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1−α2

= 0.9772 →α=0.0456 → 1−α=0.9544

( 6.5≪u≪11.5) →p¿ – Zσ

√n≤u≤ x + Z

σ

√n¿=1−α

9−¿ Z 1-α2

3

√9¿=6.5 Z 1-

α2

= 2.5

1−α2

= 0.9938 α=0.0124

ejercico N°04

4. Un fabricante afirma que el peso promedio de las latas de fruta en conserva que

saca al mercado es 19 onzas. Para verificar esta afirmacion se escogen al azar 20

latas de la fruta y se encuentra que el peso promedio es 18.5 onzas Suponga que

la poblacion de los pesos es normal con una desviacion estandar de 2 onzas. l.

a) Utilizando un intervalo de confianza del 98% para u, i,se puede aceptar la

afirmacion del fabricante?

b) ^Que tamano de muestra se debe escoger para estimar u si se quiere un error

no superior a 0.98 onzas con confianza del 95%?.

u=19n=20 x=18.5 X→N (u ,22)

α=0.02 Z1−α2 = Z0.99 =2.33

1−α=0.9876


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18.5 - 2.332

√20≤u≤18.5 + 2.33

2

√20 e=1.042

17.458≤u≤19.542

e = Z1−α2 σ

√n ¿>0.98=1.96 (2n)

n=(1.962)(22)0.982

=16

Ejercicio n°5

5. Se quiere hacer una encuesta para estimar e! tiempo promedio por

semana que los niños ven television. Por estudios anteriores se sabe que la

desviacion

estandar de dicho tiempo es de 3 horas. Con el nivel de confianza de! 99%.

a) Que tamano de muestra se deberfa elegir si el error de la estimacion

puntual no es superior a media hora?

b) Qu6 costo se debe presupuestar para hacer la encuesta si esta tiene un costo

fijo de $5000 mas un costo variable de $2 por cada entrevista,?

solucion

X; tiempo promedio por semana que niños ven tv

σ=19α=0.01 (0.5 )=Z1−α2 σ

√n 1−0.012

=0.995

N= 16


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Z0.995 = 2.575

a).-

n=(2.5752)(32)

0.52=238.7≈239 ($ 2 por c/ entrevista)

b)._

C = 5000 + 2x

uc=5000+2 (239 )=5478

u=500

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