Estadistica - Colegio 24hs

7/25/2019 Estadistica - Colegio 24hs

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Matemática

Estadística



4

ÍNDICE

1. Población y muestra.............................................. 6 2. Estadística Descriptiva ......................................... 9

Ejercicios 2-1 ........................................................ 12

Hoja de respuestas 2-1 ........................................ 16 3. Amplitud de una variable................................... 21 4. Intervalos de clase...............................................25 5. Gráficos. Histogramas, polígonos defrecuencia, tortas, barras.........................................30 6. Medidas de centralización ( de posición o detendencia central).....................................................39 7. Moda..................................................................... 44 8. estadística. Ejercicios ......................................... 47

Hoja de respuestas ............................................... 50 9. Medidas de dispersión (o de desviación) ......... 53 10. Desviación Media..............................................56 11. Desviación estándar (s) .................................... 61

12. Varianza..............................................................64 13. Distribución normal - curva de Gauss.......... 69

Ejercicios 13-1......................................................75 Hoja de respuestas 13-1 ...................................... 78

14. Correlación.........................................................80 14.1 ¿Cómo se calcula el coeficiente de

correlación lineal? ............................................... 92



5

14.2 Ejercicios ......................................................98 15. Media, Moda y Mediana................................. 103



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1. POBLACIÓN Y MUESTRA

Para hacer el estudio de los caracteres que sedesea conocer se hacen observaciones. Si las ob-servaciones se realizan sobre el total de un grupo,

a ese grupo se lo denomina población o universo ycada observación se llama individuo.

Por ejemplo:Si se efectúa un censo ganadero

población el conjunto deanimales

individuo cada animal

Si se efectúa un censo sobre viviendaspoblación el total de

viviendas

individuo cada vivienda

Si en una empresa se toman los salarios decada empleado



7

población el conjunto desalarios

individuo cada salario

Muchas veces es muy difícil estudiar elnúmero total (N) de los individuos de una pobla-ción debido al costo económico, el tiempo que

llevaría o por ser muy difícil de delimitar ese nú-mero total.Por ejemplo, si se desea saber la diferencia

de presión sanguínea entre hombres y mujeres,sería imposible determinar la presión se todos loshombres y de todas las mujeres. El problema seresuelve recurriendo a las muestras.

Se llama muestra al conjunto de n indivi-duos (n < N) elegidos al azar entre los N de unapoblación dada.

Si en el ejemplo anterior se toma la pre-sión a 200 personas elegidas al azar:

Población Total depersonas existentes

Muestra Los 200personas escogidas

Individuo Cada persona



8

Para que los estudios realizados sobre lapoblación sean válidos, la muestra debe ser repre-

sentativa de la población. Por ejemplo, si se quiereestudiar la incidencia del mal de Chagas en la Pro- vincia del Chaco, y se toma una muestra de pobla-ción perteneciente sólo a la ciudad de Resistencia,el estudio estadístico no es válido, ya que se estáestudiando sólo individuos de la zona metropoli-

tana, dejando de lado la zona rural. En este caso sedice que la muestra no es representativa de la po-blación.

E JERCICIOS

1. Se quiere realizar un estudio para determi-nar la cantidad promedio de huevos que ponen lospingüinos hembras en el período reproductivo enPuerto Madryn. Determiná población y muestradel estudio.

2. Se quiere determinar la audiencia de ciertoprograma televisivo de televisión de aire. Deter-miná muestra y población.



9

2. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Actualmente es difícil leer un informe de cual-quier actividad humana con repercusión públicaque no esté acompañada por tablas ó gráficos

estadísticos: el periodista los utiliza para enrique-cer su comentario escrito; el empresario, para ex-plicar su cuenta de resultados; el publicista, paratransmitir un mensaje visualmente concreto; ytodos, para facilitar la comprensión de una infor-mación generalmente densa y con datos de com-plicada presentación.

Ante tal cúmulo de información y de datos,muchas veces el lector termina leyendo solamenteel gráfico y la tabla adjunta. Por lo tanto, es im-prescindible aprender a leer e interpretar este mo-do de comunicación y también aprender a confec-

cionarlos para que los demás la entiendan conclaridad.

La definición matemática de la estadísticaes:



10

El lenguaje de la estadística Vamos precisar algunos términos propios del

lenguaje estadístico:

Población: se denomina población al con-junto de todos los elementos que cumplen unadeterminada característica, que deseamos medir óestudiar.

Muestra: Se denomina muestra a cualquiersubconjunto de la población. El número de ele-mentos de la muestra se llama tamaño de la mis-

ma. Cuando el tamaño de la muestra coincide conla población, se llama censo.

Individuo (objeto): Se considera individuo acada uno de los elementos de la población.

Ciencia que utiliza conjuntos de datosnuméricos para obtener a partir de ellosinferencias basadas en el cálculo de pro-babilidades.



11

Carácter estadístico: Cada una de las propie-dades (aspectos) que pueden estudiarse en los

individuos de una población recibe el nombre decarácter.

Un carácter puede ser cuantitativo si se puedemedir.

Un carácter es cualitativo si no se puede me-dir, o sea se puede comparar.

Variables estadísticas: Una variable estadís-tica se llama discreta cuando sólo se pueden tomardeterminados valores de ella. En cambio la varia-ble se llama continua cuando puede tomar todoslos valores de un intervalo

Intervalos de clase: Se llama intervalos declase a cada uno de los intervalos en que puedenagruparse los datos de una variable estadística



12

EJERCICIOS 2-1

E JERCICIO 1

Dados los siguientes datos de longitud de vari-

llas:52, 80, 65, 82, 77, 60, 72, 83, 63

78, 84, 75, 53, 73, 70, 86, 55, 88

85, 59, 76, 86, 73, 89, 91, 76, 92

66, 93, 84, 62, 79, 90, 73, 58, 71

a- Agrupá los datos en clases y establecé la

frecuencia y frecuencia relativa

b- Calculá la media, mediana y moda

c- Graficá los datos en grafico de barras.



13

E JERCICIO 2

Se ha realizado en EE.UU. una estadística so-bre la capacidad matemática de los alumnos de 14

años los resultados son los siguientes:

Resultados 30-32 33-35 36-38 39-41 42-44 45-47 48-50

F (EE.UU.) 5 5 10 15 40 15 10

a- Halla los puntos medios de cada intervalo de

clase.

b- Graficá los polígonos de frecuencias.

c- Calculá la desviación estándar y la varianza

E JERCICIO 3

La siguiente tabla muestra los pesos en Kg. de

luchadores de Sumo

KG. 140-144 145-149 150-154 155-159 160-164 165-169

Frecuencia 5 7 10 16 8 4

Frecuencia

relativa



14

a- Completá la tabla dada

b- Calculá la moda, media y mediana

c- Graficá

E JERCICIO 4

Del campeonato local de fútbol se han elegidopartidos, en la tabla se muestran el número de

goles:

Números de goles 1 2 3

Números de

partidos

8 8 x

a- Si la media de goles es de 2,04; hallá x

b- Si la moda de goles es 3, determiná el me-

nor valor que puede tener x.

c- Si la mediana es de 2 goles, hallá el mayor

valor positivo de x.



15

E JERCICIO 5

En una encuesta, se pregunta a 50 personassobre el número se libros que se leen al año. Los

resultados se muestran en la tabla:

Nº de

libros

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Frecuencia 5 5 6 9 11 7 4 2 1

Frecuencia

relativa

a- Completá la tabla

b- Calculá la media de los libros leídos por per-

sonac- Calculá la varianza y desvío estándar.

d- Realizá el grafico de tortas o circular.



16

HOJA DE RESPUESTAS 2-1

E JERCICIO 1

a-

Longitud delas varillas

(en m)

Marca ointervalo

de clase

Frecuencia FrecuenciaRelativa

Marca declase x

frecuencia

50-59 54,5 4 0,111 218

60-69 64,5 6 0,166 387

70-79 74,5 12 0,333 894

80-89 84,5 10 0,277 845

90-99 94,5 4 0,111 378 Total 36 0,998 2722

b-

La media aritmética es 75,6 m

La mediana se encuentra en el intervalo 70-79;es exactamente 76 m

La moda es la longitud de varillas de 70-79



17

c-

0

5

10

15

50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

Gráfico de barras de longitud devarillas

E JERCICIO 2

a-

Resultados 30-32 33-35 36-38 39-41 42-44 45-47 48-50F (EE.UU.) 5 5 10 15 40 15 10

Punto medio 31 34 35 40 43 46 49

b-

Poligono de frecuencia (Capacidad de alumnos

de matemática)

0

5

10

15

20

25

30

35

4045

30-32 33-35 36-38 39-41 42-44 45-47 48-50



18

c- La varianza es 13,3 m y el desvío estándar

es 3,6 m

E JERCICIO 3

a-

KG. 140-144 145-149 150-154 155-159 160-164 165-169

Frecuencia 5 7 10 16 8 4

Frecuencia

relativa

0,1 0,14 0,2 0,32 0,16 0,08

b-

La moda es el intervalo 155-159

La media aritmética es 154,7 Kg.La mediana es 155,75 Kg.

c-

0

5

10

15

20

140-144 145-149 150-154 155-159 160-164 165-169

Gráfico de barras (Pesos de

luchadores de Sumo)



19

E JERCICIO 4

a- X=9b- El valor menor valor que puede tomar x es

9

c- El mayor valor positivo de x es 15

E JERCICIO 5

a-

Nº de

libros

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Frecuencia 5 5 6 9 11 7 4 2 1Frecuencia

relativa

0,1 0,1 0,12 0,18 0,22 0,14 0,08 0,04 0,02

b- La media es 3,38

c- La varianza es 1,26 y el desvío estándar es

1,12



20

d-

Gráfico de tortas (Nº de libros leídos) 1

2

3

4

5

6

78

9



21

3. AMPLITUD DE UNA VARIABLE

! Cuando la variable es continua

E JEMPLO 1

El cuadro muestra la cantidad de hijos que tie-

nen ciertas mujeres.

Amplitud:

Es la diferencia entre el valor máximo y

mínimo que puede tomar la variable

Amplitud = xmáx - xmin



22


= 5 – 0

A = 5

! Cuando la variable es continua

E JEMPLO 2

El siguiente cuadro muestra las temperaturas

registradas durante dos primaveras, en un obser-

vatorio.

Nº de hijos

xi

f i

0 2

1 5

2 7

3 4

4 1

5 1



23

Temperaturas f i

15º 12

16,5º 5

17,2º 8

17,5º 7

18,2º 1


Amplitud = 18,2º - 15º

Amplitud = 3,2º

! Cuando la variable viene dada en in-

tervalos

E JEMPLO 3:

En la tabla se muestran los salarios en pesos,de los empleados de la compañía “S&S”



24


Amplitud = $189,99 - $50 Amplitud = $139, 99.-

Salarios ($) Frecuencias

50 – 69,99 5

70 – 89,99 12

90 – 109,99 10

110 – 129,99 15

130 – 149,99 18

150 – 169,99 31

170 – 189,99 35



25

4. INTERVALOS DE CLASE

Si tenemos un gran número de datos de una

variable continua (cuando puede tomar cualquier

valor real), es conveniente agruparlos en intervalos

consecutivos, de manera que cada dato pertenezca

a un solo intervalo.

E JEMPLO 1

Los siguientes datos corresponden a las alturas

(en cm) de un grupo de 24 alumnos de cuarto

grado:

125 130 132 140 128 132128 132 139 133 142 130

138 133 142 136 145 124

126 147 138 134 128 132



26

Primer paso:

! Calculamos la amplitud

A = xmax - xmin

A= 147 –124

A= 23

Segundo paso:!

Determinamos el número de intervalos

Como la muestra tiene 24 individuos, se de-

terminarán 6 intervalos de amplitud 4 ya que

46

23!

Tercer paso:

! Determinamos los intervalos.

El primer intervalo se toma a partir del valor

mínimo. Para evitar que los extremos del intervalo

coincidan con un valor de la variable se los define

restando media unidad del último decimal.

El primer intervalo se toma a partir del



27

124 – 0,5=123, 5

El segundo intervalo se toma a partir de

123,5 + 4 = 127,5

Intervalo de clase Frecuencia

123,5-127,5 3

127,5-131,5 5

131,5-135,5 7

135,5-139,5 4

139,5-143,5 3

143,5-147,5 2

Valor mínimo Limite inferior de la clase

Amplitud del intervalo (Calculado en

el paso 2)

Cantidad de alumnos quetienen una altura pertene-

ciente al intervalo de cada

clase



28

E JEMPLO 2

El puntaje de la evaluación de matemática de32 estudiantes se registran en la siguiente tabla:

68 84 75 82 96 78 89 61

79 62 67 97 73 79 88 73

61 65 75 87 66 78 82 75

65 80 73 57 86 67 73 81

Primer paso:

! Calculamos la amplitud.

A = xmax - xmin

A = 97 – 57

A = 40

Segundo paso:

!

Determinamos el número de intervalos

85

40" . Formamos 5 intervalos de ampli-

tud 8.



29

Tercer paso:

! Determinamos los intervalos.

El primer intervalo se toma a partir del 57 – 0,5=

56,5

El segundo intervalo se toma a partir 56,5 + 8 =

64,5

Intervalos de clase Frecuencias

56,5 – 64,5 4

64,5 – 72,5 6

72,5 – 79,5 11

79,5 –87,5 7

87,5 – 95,5 2

95,5 - 103,5 2



30

5. GRÁFICOS. HISTOGRAMAS, PO-LÍGONOS DE FRECUENCIA, TOR-

TAS, BARRAS

HISTOGRAMAS

E JEMPLO:

La siguiente tabla muestra la altura de ciertos

árboles (en metros) y su frecuencia. Graficá en un

histograma.

Un histograma consiste en una serie

de rectángulos que tienen:

-Sus bases sobre un eje horizontal (eje

x) con centros en los puntos medios de los

intervalos de clase y la longitud a igual altamaño de los intervalos de clase.

-Superficies proporcionales a las fre-

cuencias de clase.



31

Altura Cantidad de árboles60-62 5

63-65 18

66-68 42

69-71 27

72-74 8

Total 100

Determinamos los puntos medios de los in-

tervalos de clase.

mediopuntoinferior limitesuperior Limite

"#2

Altura Cantidad de

árboles

Punto medio Tamaño de los

intervalos60-62 5 61 62- 60= 2

63-65 18 64 65-63= 2

66-68 42 67 68-66= 2

69-71 27 70 71-69= 2

72-74 8 73 74-72= 2

Total 100



32

POLÍGONOS DE FRECUENCIAS

Polígono de frecuencias:

Es un gráfico de línea trazado sobre los pun-

tos medios. Se obtiene uniendo los puntos me-

dios de los lados opuestos a las bases de los rec-

tángulos en el histograma; incluyendo el anterior

al primero y el posterior al segundo.



33

E JEMPLO:

La tabla muestra el tiempo (medido en horas)que tardan en fundirse 50 lámparas halógenas de

larga duración.

A continuación encontrarás el polígono de

frecuencia correspondiente.

Tiempo (en horas) Lámparas Puntos medios de los

intervalos500 -1750 2 1125

1750 - 3000 7 2375

3000 - 4250 9 3625

4250 - 5500 12 4875

5500 - 6750 7 61256750 - 8000 6 7375

8000 - 9250 5 8625

9250 - 10500 2 9875



34

GRAFICO DE TORTA

E JEMPLO:

En la siguiente tabla se muestra la superficie

de distintas zonas del mundo en millones de millas

cuadradas.

Gráfico de torta: Los ángulos deben ser

proporcionales a las respectivas frecuencias, por

lo tanto:total

absoluta f .

º

º"

360

$

A la cantidad total de la muestra le corres-ponden los 360º del círculo.



35

El total de la superficie es 51,5 millones, en-

tonces le corresponden los 360º del círculo.

Para calcular el ángulo que le corresponde acada sector haremos regla de tres simple:

51,5 millones 360º

11, 7 millones x = 81º 47´

(África)

51,7 millones 360º

10,4 millones x = 72º 25´

(Asia)

Zonas Superficies

África

11,7

Asia 10,4

Europa 1,9

Norteamérica 9,4

Oceanía 3,3

Sudamérica 6,9

Centroamérica 7,9



36

51,7 millones 360º


(Europa)

51, 7 millones 360º


(Norteamérica)

51,7 millones 360º


(Sudamérica)

51, 7 millones 360º


(Centroamérica)



37

GRAFICO DE BARRAS

E JEMPLO:

En la tabla se muestran las velocidades orbita-les de los planetas del sistema solar. A continua-ción encontrarás el gráfico de barras correspon-diente.

Planeta Velocidades (milla /seg)

Mercurio29,7

Venus 21,8

Tierra 18,5

Marte 15,0 Júpiter 8,1

Saturno 6,0

Urano 4,2

Neptuno 3,4

Plutón 3,0

Gráfico de barras: Las anchuras de las barrasson todas iguales, puede elegirse cualquier tamaño

adecuado con tal de que las barras no se super-

pongan.



38

Gráfico de barras



39

6. MEDIDAS DE CENTRALIZA-CIÓN ( DE POSICIÓN O DE TEN-

DENCIA CENTRAL)

Son una serie de valores que tratan de re-

presentar o resumir una distribución de fre-cuencias dada. Además, se utilizan para compa-

rar distintas distribuciones de frecuencias.

Estas medidas son:

! la media aritmética (o promedio)

!

la mediana

! la moda (o modo)

! La variable no viene dada en intervalos

Mediana: de una serie de datos ordenados (en

forma creciente o decreciente) es el valor que tie-

ne tantas observaciones anteriores como posterio-

res a él.



40

E JEMPLO 1

Se tira un dado 50 veces. Cada número y lafrecuencia con que han aparecido está indicado en

la tabla. Calculá la mediana.

La mediana corresponde a la observación cuya

frecuencia acumulada contenga a2

n.

Como 252

50

2""

nla frecuencia acumulada 25

contiene a 25.

Número del dado Frecuencia Frecuencia acumu-

lada

1 11 11

2 9 20

3 5 25

4 10 35

5 12 47

6 3 50

Total 50



41

Como la frecuencia acumulada es 25 le co-

rresponde el número de dado 3. Entonces la me-

diana es 3.

! Cuando la variable está dada en forma

de intervalos

E JEMPLO 2

La tabla muestra una distribución de frecuen-

cias de los salarios en pesos de 65 empleados de

la Compañía P & R.

Salarios (en pesos) Nºde empleados

Frecuencia acumulada

50 – 59,99 8 8

60 – 69,99 10 18

70 – 79,99 16 34

80 – 89,99 14 48

90 – 99,99 10 58

100 – 109,99 5 63

110 – 119, 99 2 65

Total 65



42

Como 5322

65

2,""

n.

Como 32,5 está contenido en la frecuencia

acumulada 34, la mediana está en el intervalo 70 –

79,99.

Para obtener exactamente el valor utilizaremos

la siguiente fórmula: c f

F n

L M mediana

.

%%%%

&

'

((((

)

* +

#"1

12

donde L1= límite inferior del intervalo que

contiene a la mediana

n = número total de datos.

F1= Frecuencia acumulada anterior al interva-

lo que contiene a la mediana.

C = tamaño del intervalo que contiene a la

mediana.



43

Reemplazando en la fórmula:

067999916

182

65

7021

1 ,$,.. ",

%%%%

&

'

((((

)

* +

#"

%%%%

&

'

((((

)

* +

#" M c f

F n

L M mediana

Gráficamente

En un histograma

0

5

10

15

20

empleados

1

sueldos

Sueldos de empleados

50 – 59,99

60 – 69,99

70 – 79,99

80 – 89,99

90 – 99,99

100 – 109,99

110 – 119, 99

La mediana es la abscisa correspondiente a larecta lm que divide al histograma en dos partes de

igual área.

l

m



44

7. MODA

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN (DE

POSICIÓN O DE TENDENCIA CENTRAL)

Son una serie de valores que tratan de repre-sentar o resumir una distribución de frecuencias

dada.

Además, se utilizan para comparar distintas

distribuciones de frecuencias.

Estas medidas son:

- la media aritmética (o promedio)

- la mediana

- la moda (o modo)



45

Moda

El dato que se repite más veces, es decir, el de

mayor frecuencia, es la moda. Tiene la ventaja de

que es una medida que también es válida para

datos no numéricos. Es muy común y se utiliza

cotidianamente para describir la tendencia en el

vestuario de cada año.

Ejemplo

En la siguiente tabla, x i = 2 tiene la mayor

frecuencia, f i = 7.

xi f i

0 2

1 5

2 7

3 4

La moda es el valor de la variable al

que le corresponde la mayor frecuencia.

La moda es 2



46

4 1

5 1

/ 20

Cuando en el conjunto de observaciones hay

una sola moda, se dice que la distribución es

unimodal.

Si hay dos variables con la misma frecuencia

máxima la distribución se llama bimodal.

Ejemplos

1. En la serie 5, 8, 5, 9, 6 la moda es 5 (f =2)

La distribución es unimodal

2. En la serie 3, 6, 9, 4, 4, 8, 9, 4, 9, las modas

son 4 y 9 (f = 3)

La distribución es bimodal.



47

8. ESTADÍSTICA. EJERCICIOS

E JERCICIO 1

En un curso de estadística de 15 alumnos

se registraron las siguientes notas:2, 4, 8, 7, 9, 6, 6, 6, 5, 7, 8, 9, 6, 4, 2.Ordená los datos y hallá:

a- La media aritmética.b- La mediana.c- La moda.d- El rango.

E JERCICIO 2

En la primera semana del mes de enero se

registraron, en la ciudad de Buenos Aires, lassiguientes temperaturas:

25, 28, 27, 33, 31, 28, 29.Ordená los datos y hallá:

a- La media aritmética.

b- La mediana.



48

c- La moda.d- El rango

E JERCICIO 3

En el curso de estadística del problema 1)se tomaron las alturas de los alumnos y los

datos fueron los siguientes:1,79; 1,69; 1,72; 1,63; 1,67; 1,59; 1,69; 1,68;1,78; 1,72; 1,65; 1,61; 1,70; 1,57; 1,72.

Ordená los datos y hallá:

a- La media aritmética.b- La mediana.c- La moda.d- El rango.

E JERCICIO 4

El dueño de un negocio, con el fin de im- plementar un nuevo plan de márketing, estu-dia la cantidad de clientes que ingresan allocal, en el término de una semana, y los da-tos fueron:

52, 20, 34, 83, 15, 21, 38, 42, 29, 18

Ordená los datos y hallá



49

a- La media aritmética.b- La mediana.

c- La moda.

E JERCICIO 5

En la guardia de un hospital se tomaron

las medias aritméticas mensuales de los in-gresos a la guardia, en el año 2000. Los regis-tros fueron los siguientes:

2400, 2056, 3245, 2890, 2113, 3560, 2456,3654, 2432, 2012, 1967, 1056.

Hallá:

a- La media aritmética.b- La mediana.c- El rango.



50

HOJA DE RESPUESTAS

E JERCICIO 1

Los elementos ordenados quedan: 2, 2, 4, 4, 5,

6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9a- = 5.933 b- Mediana = 6 c- Moda = 6 d- Rango = 7

E JERCICIO 2

Los elementos ordenados quedan: 25, 27, 28,28, 29, 31, 33

a- = 28, 71

b- Mediana = 28c- Moda = 28

d- Rango = 8



51

E JERCICIO 3

Los elementos ordenados quedan: 1,57; 1,59;1,61; 1,63; 1,65; 1,67, 1,68; 1,69; 1,69; 1,70; 1,72;1,72; 1,72; 1,78; 1,81

a- = 1,682

b- Mediana = 1,68

c- Moda = 1,72

d- Rango = 0,24

E JERCICIO 4

Los elementos ordenados quedan: 15, 18, 20,21, 29, 34, 38, 42, 52, 83

a- 35,2

b- 29

c- 83



52

E JERCICIO 5

Los elementos ordenados son: 1056, 1967,2012, 2056, 2113, 2400, 2432, 2456, 2890, 3245,

3560, 3654

a- = 2486,75

b- Mediana = 2416

c- Rango = 2598



53

9. MEDIDAS DE DISPERSIÓN (ODE DESVIACIÓN)

Las medidas de centralización (la moda, la

media y la mediana) tratan de representar o resu-

mir una distribución de frecuencias dada en un

solo valor.

Las medidas de dispersión tienen como

objetivo estudiar lo “concentrada” que está la

distribución en torno a la media.

Podría suceder que dos distribuciones de fre-

cuencias sean muy diferentes pero tener la misma

media.

Me



54

Las medidas de dispersión completan el análi-

sis numérico de un conjunto de datos. Determi-nan la mayor o menor variación de los datos, y

dan una idea de su dispersión respecto a las medi-

das de centralización.

Las más importantes son:

!

la desviación media

n

x xmedia Desviación

0 +"

! la desviación estándar o desvío típico

1 2n

f x x s

ii0 +"

2

Me



55

! la varianza

1 2n

f x x s ii

0 +"

2

2



56

10. DESVIACIÓN MEDIA

Hemos estudiado varias medidas de centrali-

zación, por lo que podemos hablar de desviación

con respecto a cualquiera de ellas, sin embargo, la

más utilizada es con respecto a la media. La media

es la medida de tendencia central más útil y exacta.

Recordá que:

Desviación

Es la diferencia que se observa entre el valor

de la variable y la media aritmética. La denotare-

mos por di .

La media aritmética o promedio es el cociente

que se obtiene dividiendo la suma de los valores de

la variable por el número de observaciones.



57

La desviación no es una medida, son muchas

medidas, pues cada valor de la variable lleva aso-

ciada su correspondiente desviación, por lo que

precisaremos una medida que resuma dicha in-

formación. Si sumamos las desviaciones con res-

pecto de la media podríamos obtener una estima-

ción de la cantidad característica de desviación conrespecto a la media. Entonces,dividiendo por n

(número de observaciones), tendríamos una me-

dida análoga a la medid aritmética, excepto que

representaría la dispersión promedio de las califi-

caciones con respecto a la media.

Pero, teniendo en cuenta las características

de la media, encontramos una seria dificultad: la

suma de las desviaciones de todos los valores ob-

tenidos con respecto a la media, debe valer cero.

Así, si definimos la desviación media como esta

suma dividida por n, la desviación media tendría

que ser cero.



58

Recordá que:

Este inconveniente se soluciona sumando to-

das las desviaciones sin considerar el signo y dividien-do por n, es decir tomamos los valores absolutos

de las desviaciones.

Desviación media

Es la media de los valores absolutos de las

desviaciones, y la denotaremos por dm.

La fórmula que utilizaremos en una serie sim-

ple es:

n

xxd

m

+"

La media es el punto en una distribución

de medidas respecto del cual la suma de las

desviaciones es igual a cero: 0xx "+



59

Referencias:

/: sumatoria

x : media aritmética

n: número de observaciones

Si k x ,... x , x 21 se presentan con frecuencias, la

fórmula que utilizaremos para datos agrupados en

forma de distribución de frecuencias es:

f

n

xxd

m

+"

Ejemplo!

Hallá la desviación media de los nú-

meros 2, 3, 6, 8, 11.



60

Media aritmética = x =5

118632 ####= 6

Desviación media =

dm =5

61168666362 +#+#+#+#+

dm =5

52034 ###+#+

dm =5

52034 ####

dm = 2,8



61

11. DESVIACIÓN ESTÁNDAR (S)

La fórmula que nos permite hallarla es:

1 2n

x xi

2

+/"

s

Para datos presentados en forma de distribu-

ción de frecuencia, la fórmula de la desviación

estándar es:

1 2

n

f . x xi

2

+/"

s

Recordá que:

Llamamos varianza a la media de los

cuadrados de los desvíos (s2 )

La desviación estándar es la raízcuadrada de la varianza.



62

Observación:

Dos distribuciones de datos pueden tener la mis-

ma media y ser muy diferentes.

Ejemplo

!

Tené en cuenta la siguiente tabla yhallá la desviación estándar

x x x + 1 22 x x +

9 4 16

8 3 97 2 47 2 47 2 45 0 05 0 05 0 05 0 0

4 -1 14 -1 13 -2 43 -2 42 -3 91 -4 16



63

! Con estos datos recopilamos la siguiente

información:

1 2 5 15n 72

0 75

2

"""+/

"+/"/

x x x

x x x

! Como sabemos, la desviación estándar se

calcula con la siguiente fórmula:

1 2n

x xi

2

+/"

s

!

Entonces sólo resta reemplazar los datosobtenidos en la fórmula y hallar la desvia-

ción:

192

804

15

72

,

,

""

"s

! De esta manera podemos concluir que la

desviación estándar es igual a 2,19.



64

12. VARIANZA

Para evitar los valores negativos de los desvíos

suelen tomarse los cuadrados de los desvíos.

Cálculo de la Varianza en una serie simple

En símbolos, la varianza queda expresada co-

mo la suma de los cuadrados de los desvíos divi-

dida por el número de observaciones.

1 2n

x xi

2

2 +/"

s

Llamamos varianza a la media de los cua-

drados de los desvíos, y la denotaremos

por s2



65

Cálculo de la Varianza en una serie de fre-

cuencias

Para calcular la varianza se suman los produc-

tos de los cuadrados de los desvíos por la frecuen-

cia, y se divide la suma por el número de observa-

ciones.

1 2n

f . x xi s

2

2 +/"

Cálculo de la Varianza en una distribución

en intervalos de clase

Se suman los productos de los desvíos de cada

intervalo por la frecuencia del intervalo y se divide

la suma por el número de observaciones.

1 2n

f . x x im s

2

2 +/"



66

Este dato estadístico tiene el inconveniente de

ser poco significativo, pues se mide en el cuadrado

de la unidad de la variable, por ejemplo, si la va-

riable viene dada en cm la varianza vendrá dada en

cm

2

.

Pero al elevar al cuadrado las diferencias de los

datos respecto de la media, hace que los valores

más alejados de la media tengan mayor contribu-

ción. Como consecuencia, distingue mejor que la

amplitud la variabilidad de dos conjuntos de datos.

En todos los casos: xi: es el i-ésimo dato

: es la media aritmética para datos no agru-

pados

n: es el número de datos

: sumatoria



67

E JEMPLO 1

!

Calculá la varianza para el siguienteconjunto de datos

5 9 12 7 15 3

SOLUCIÓN

! Aplicamos la definición (primera fórmula).

!

Primero hay que calcular la media

= (5+9+12+7+15+3)/6 = 51/6 = 8.5

! Ahora procedemos al cálculo de la varian-

za:S 2 = [(5-8.5)2+(9-8.5)2+(12-8.5)2+(7-8.5)2+(15-

8.5)2+(3-8.5)2 ]/6 = 99.5/6 = 16.58



68

! Llegando entonces a que la varianza para

este conjunto de datos es 16.58.



69

13. DISTRIBUCIÓN NORMAL -CURVA DE GAUSS

El matemático Karl Friedrich Gauss, (1777-

1855) estudiando los errores que se producen al

medir reiteradas veces una misma magnitud, pro-

bó que éstos se distribuyen según una ecuación

exponencial cuya grafica es:

La distribución normal es simétrica y el valor máximo de la

función corres onde a la media.

Media



70

Este gráfico se denomina campana de Gauss

(debido a su forma acampanada) o distribución

normal. La distribución de muchas variables pa-

rece seguir la curva normal. Por ejemplo, caracte-

res de individuos (personas, animales, plantas) de

una misma especie (altura, peso). También hay

variables discretas que tienen una distribuciónparecida, como el número de caras al lanzar un

cierto número de monedas.

Hay una gran cantidad de variables aleatorias

continuas que se presentan en las situaciones más

variadas y que, a pesar de ello, son de un mismo

tipo. Todas ellas tienen en común la forma de su

función de densidad. Para estas variables aleato-

rias, si la media es 3 y la desviación típica es 4 la

función densidad es:

2

2

1

2

1 % &

'()

* ++

" 4

3

5 4

x

e x f )(



71

La gráfica de estas funciones tiene forma de

campana con un eje de simetría. Las funciones de

este tipo están completamente determinadas por

su media 3, y su desviación típica, 4.

! La media 3 indica la posición de la cam-

pana (parámetro de centralización)

! La desviación típica 4 será el parámetro de

dispersión. Cuanto menor sea, mayor can-

tidad de masa de probabilidad habrá con-

centrada alrededor de la media y cuanto

mayor sea ``más aplastado" será.

Su gran importancia se debe al hecho de que el

área debajo de cualquier campana de Gauss entrelos valores 4 4 2211 k xk x #"#" y es la

misma que el área bajo la N (0;1) entre

2211 k z k z "6"



72

E JEMPLO

Un estudiante consigue un 72 % de aproba-

ción en Historia y lo mismo en Inglés. La media

para todos los alumnos es 65 %. La desviación

estándar es del 3% para Inglés y 15% para Histo-

ria.



73

En inglés

En Historia

Los mejores resultados

72 puntos3=65

Los mejores resultados

72 puntos3=65



74

En Inglés, muy pocos superaron el 72 %, por

lo tanto, se trata de un resultado muy bueno.

En Historia, el 72 % lo superaron muchos. La

media no es muy válida puesto que la dispersión

de los resultados fue muy grande, como nos indica

la desviación típica.

Luego, ese 72 % no es muy bueno.



75

EJERCICIOS 13-1

E JERCICIO 1

Dada la variable aleatoria Z de distribu-

ción normal N(0,1)

! Calculá las siguientes probabilidadesa- P(Z 7 -1,3)b- P(Z 8 1)c- P(-0,5 7 Z 7 1,47)

E JERCICIO 2

! En una variable aleatoria X con distribu-ción normal N(8,4) calculá P(3 7 X 7 10)

E JERCICIO 3

Las notas de Historia de una clase se distribu-

yen según una distribución normal N(6,4;1,5) y el



76

profesor quiere poner sobresaliente a un 15% de

la clase

! ¿A partir de qué nota debe poner sobresa-liente?

E JERCICIO 4

Las alturas de los empleados de una empresa

de transportes se toman redondeando al centíme-

tro más próximo. Se sabe que están distribuidos

normalmente con la función N(172,5). Se toma

una muestra de 1000 empleados al azar.

! Calculá cuántos miden :

a- No más de 180 cm.b- 175 cm o más.c- Entre 160 y 184 cm



77

E JERCICIO 5

El coeficiente intelectual (C.I.)de los alumnosde la universidad de Berdaguer sigue una distribu-

ción normal N(115,12).

! Calculá la probabilidad de que un alumno

tenga un C.I. superior a 138.



78

HOJA DE RESPUESTAS 13-1

E JERCICIO 1

a- 0,0968b- 0,1587c- 0,6207

E JERCICIO 2

0,5859

E JERCICIO 3

P(Z 7 z )=0,85 ,

5,1

4,6' +

" z

z , z = 7,96,

por lo tanto la nota debe ser 8.

E JERCICIO 4

a- 955

b- 308



79

c- 988

E JERCICIO 5

0,0281



80

14. CORRELACIÓN

DOS TIPOS DE RELACIONES

A menudo, un investigador o nosotros mis-

mos, nos vemos en la necesidad de saber si existe

alguna relación entre dos variables que necesita-

mos medir. Por ejemplo:

#

Cantidad de kilowatts consumidos y su costo.

#

Posición de un cuerpo lanzado hacia arriba y su ve-

locidad.

# Cantidad de cierta población de bacterias en un de-

terminado momento.

# Altura de las personas y su peso.

# Altura de los padres y la de sus hijos

#

Calificación de un curso en física y en matemática.

Entre estas situaciones hay algunas entre las

que podemos establecer una relación que llama-

remos funcional.



81

Para que exista este tipo de relación debe

haber una función que, conocida una de las varia-

bles, me permite calcular aproximadamente la

otra, esto se cumple en los tres primeros ejemplos,

cuando exista dicha relación diremos que las va-

riables están correlacionadas o que hay correla-

ción entre ellas.

En cambio no existe una función que nos

permita conocer la nota de física de un alumno

conociendo la de matemática; o la altura de los

hijos conociendo la de sus padres.

Llamaremos a la relación existente entre estas

variables relación estadística

DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN

Para estudiar la relación entre dos variables, se

comienza por obtener un conjunto de datos.



82

Formamos con ellos pares ordenados ( x , y ), la

primera coordenada corresponde a una variable y

la segunda a la otra, por ejemplo, las x correspon-

derán a las alturas de los padres y las y a las de sus

hijos; o las x a la nota de matemática y la y a la de

física; etc.

Tendremos entonces un conjunto de datos

( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ),..., ( x n , y n ). que podemos re-

presentar en un par de ejes, formando lo que se

conoce como diagrama de dispersión, en este

caso se dice que los datos forman una nube de

puntos.



83

E JEMPLOS

1.

Relación entre población y vivienda por

provincia (censo 1991)

0

200.000400.000

600.000

800.000

1.000.000

1.200.000

En este ejemplo, cada punto representa una provincia, los

valores de X indican la población y los de Y la cantidad

de viviendas. Vemos que los puntos se alinean por lo que

decimos que existe una correlación lineal. Además a

mayores valores de una variable corresponden mayores

de la otra, por lo que decimos que la correlación es dire-

cta. Por otra parte, como esta alineación es muy marcada

decimos que se trata de una correlación fuerte.



84

2.

Puntos obtenidos y partidos perdidos.

Torneo de fútbol local

0

5

10

0 10 20 30 40Puntos

Para este ejemplo, cada punto representa un equipo de

fútbol de primera división. Acá también notamos unacorrelación lineal, aunque más débil que en el ejemplo

anterior. Como a mayores valores de x (puntos) corres-

ponden menores de y (perdidos) decimos que la correla-

ción es inversa.



85

3.

Relación entre población y superficie de

una provincia(censo 1991)

0

50.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

En este caso también cada punto representa una pro-

vincia argentina, pero acá no es clara la relación que

existe entre las variables. Decimos que no hay corre-

lación.



86

COVARIANZA Y COEFICIENTE DE CORRELA-

CIÓN

Para estudiar con más detalle la correlación

definiremos los siguientes parámetros estadísticos:

Desvío típico

2

n

1i

2

i

x xn

x

+"0"

4

2

n

1i

2

i

y yn

y

+"0"

4

Donde xi e yi son cada uno de los datos de ca-

da variable y x e y son las medias de dichos da-

tos. Al punto ( x , y ) se lo conoce como centro

medio o centro de gravedad de la muestra.



87

Covarianza

n

)yy)(xx(n

1i

ii

xy

0"

++"4

Notemos, a partir de la fórmula, que si la ma-

yoría de los valores de x e y son, para cada par de

datos, superiores los dos o inferiores los dos a las

respectivas medias, esto implica que:

1. El signo de la covarianza será positivo.

2. La mayoría de los valores pequeños de x

se corresponden con valores pequeños dey, cosa que también ocurre con los mayo-

res.

Esto nos dice que si la correlación es directa la

covarianza será positiva. De forma análoga sepuede ver que a una correlación inversa se corres-

ponde una covarianza negativa.

Sin embargo, la covarianza es un indicador

que se ve afectado por la escala considerada para



88

cada variable, o por algún dato demasiado alejado

del centro de gravedad. Para corregir estas defi-

ciencias se define el coeficiente de correlación

lineal.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL

yx

xy

4 4

4 9 "

Observaciones:

# está siempre entre –1 y 1, es decir:

- 1 7 7 1

# Si es próximo a –1 se trata de una corre-

lación inversa, más fuerte cuanto más

próximo a –1 sea su valor.

# Si es próximo a 1 se trata de una corre-

lación directa, más fuerte cuanto más

próximo a 1 sea su valor.



89

# Si es muy próximo a cero no hay corre-

lación lineal entre los datos.

CORRELACIÓN NO LINEAL

El coeficiente nos indica si hay o no corre-

lación lineal entre las variables y que tan fuerte es.

Sin embargo, las variables pueden estar

fuertemente correlacionadas pero dicha

correlación no ser lineal; un próximo a cero

indica que no hay (o es muy débil) la correlación

lineal, pero nada nos dice de otro tipo de

correlación.



90

R ECTA DE REGRESIÓN

Si la nube de puntos del diagrama de disper-

sión adopta una forma muy definida (como es elcaso del ejemplo 1 o del gráfico anterior) los pun-

tos se pueden aproximar mediante alguna curva

conocida que ajuste lo mejor posible los puntos de

la nube. Dicha curva se conoce como línea de

regresión y poder determinarla nos ofrece la po-sibilidad de estimar los valores de una variable

conocidos los de la otra.

Si entre las variables existe una fuerte correla-

ción lineal, una recta se ajusta satisfactoriamente a

El siguiente gráfico muestra la relación entre la in- versión en publicidad de una empresa y sus ventas.

Se observa que la publicidad hace aumentar las ven-

tas, pero no indefinidamente ni de forma lineal.

Las variables están fuertemente relacionadas pero la

nube no se ajusta a una recta: se trata de un caso de

correlación no lineal.



91

los puntos de la muestra. Esta recta se conoce

como recta de regresión y su ecuación es :

)xx(yyx

xy +"+4

4



92

14.1 ¿CÓMO SE CALCULA EL CO-EFICIENTE DE CORRELACIÓN

LINEAL?

Recordá que:

- Es un valor que está siempre entre 1 y

–1.

- El coeficiente de correlación, r no varía

con los cambios de escala y mide efi-

cazmente el grado de correlación entre

dos variables.

y x

y x

.r

44

4"

- Si r es 1 (o próximo a 1), la depen-dencia es funcional (o casi funcional):los puntos están alineados (o casi ali-neados).



93

Cálculo de r

Ejemplo

En un experimento sobre la distancia de fre-

nado de un auto dependiendo de su velocidad, se

obtuvieron los siguientes datos:

Velocidad

(km/h)

70 50 45 120 85 65

Distancia

(m)

32 18 19 43 35 34

$ Representá los valores en un diagrama o

nube de puntos y calculá el coeficiente de

regresión entre la velocidad y la distancia.

Solución 1º Paso: Antes, debemos calcular previamente

xyyx !,!,!,y,x

1 21 2 00""

+"++"n

i

ii

n

i

ii y x y. x y xn

y y x xn

!

11

11



94

0 +" 221 x x

n! i x

0 +" 221 y y

n! i y

Si llamamos x a la velocidad e y a la distan-

cia . Entonces, obtenemos que:

1630

572

, y

, x

""

2º Paso: Reemplazando en las fórmulas los

datos y los promedios, calculamos

$ Desviación típica de x:

0 +" 221 x x

n! i x

9524 ," x4

$ Desviación típica de y:

0 +" 221 y yn

! i y

938," y4

$ La covarianza es:



95

1 21 2 00""

+"++"n

i

ii

n

i

ii y x y. x y xn

y y x xn

!

11

11

91201," xy4

3º Paso: El coeficiente de correlación en este

cada caso es:

910

8222

91201

9389524

91201

,

,

,

,,

,

.

""

:"

"

r

r

r

r y x

y x

4 4

4

Representamos los datos en un diagrama de

nubes. Este gráfico obtiene este nombre pues

cuando existe una gran cantidad de datos, los

mismos se agrupan formando una “nube” de pun-

tos.

Esta nube toma una forma que, a veces, la

puede caracterizar relacionándola con una función



96

determinada, generando así el criterio intuitivo de

correlación con una recta, parábola, exponencial,

etc.

Estas correlaciones son confirmadas o no por

el cálculo de los coeficientes en cada caso.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 20 40 60 80 100 120 140

Rectas de regresión

Cuando existe correlación entre dos variables

–cuanto más fuerte mejores útil trazar la rectaque “mejor se ajuste” a los puntos de la nube.

Esta recta llamada recta de regresión de y sobre x,

tiene la siguiente ecuación:



97

1 2 x x y y x

y x +

4

4"+

2

Para el ejemplo anterior, la recta de regresión

lineal viene dada por la siguiente ecuación:

1 21 2

1 2

966320

1630223320

5723201630

5729524

912021630

2

,,

,,,

,,,

,,

,,

#"

#+"

+"+

+"+

x y

x y

x y

x y

Gráfico de la recta de regresión lineal.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 20 40 60 80 100 120 140



98

14.2 EJERCICIOS

E JERCICIO 1

Las notas de los alumnos de 5º año en Mate-

mática y Física se muestran en la tabla:

Matemática

X

2 2 4 4 4 5 6 6 7 8 9 9

Física

Y

2 4 3 4 6 7 5 6 8 7 7 10

a- Calculá el coeficiente de correlación

b- Graficá la nube de datos.

c- Determiná y graficá la ecuación de la recta

de regresión lineal



99

E JERCICIO 2

En el Parque Nacional Nahuel Huapi se tala-ron ejemplares de robles para determinar su edad

(contando el número de anillos del tronco), y se ha

medido su diámetro. Los datos que se obtuvieron

son:

Diámetro

(cm)

10 15 16 21 30 25 30 35

Edad

(años)

4 8 12 18 22 26 30 32

a- Hallá el coeficiente de correlación.

b- Graficá la nube de datos.

c- Hallá la recta de regresión.

d- Determiná la edad correspondiente a 18 y

40 cm de diámetro.



100

E JERCICIO 3

En la tabla se muestran los datos de la longi-

tud corporal y el peso de un bebé durante las pri-

meras 24 semanas de vida.

a- Representá la nube de puntos.

b- Calculá el coeficiente de correlación lineal.

c- Explicá el significado obtenido en el coefi-

ciente.

d- Hallá la recta de regresión lineal.

E JERCICIO 4

En el colegio de Mariana los alumnos han me-

dido sus alturas y se han pesado para realizar un

Longitud

(cm)

50 52 55 58 61 62 65

Peso (Kg.) 3,3 3,9 4,5 5,2 5,6 6,2 6,7



101

trabajo de Ciencias Naturales. En la tabla, se en-

cuentran los datos:

Peso

(Kg.)

42 43 47 50 55 60 65 70

Altura

(cm)

140 155 158 145 150 155 162 160

a- Representá la nube de puntos.

b- Determiná el coeficiente de correlación

c- Hallá y graficá la recta de regresión lineal.

E JERCICIO 5

El astrónomo Kepler investigó los movimien-

tos de los planetas y descubrió tres leyes que lle-

van su nombre. En el siglo XVII, obtuvo datos

para los planetas conocidos en la época que se

volcaron a este cuadro:



102

Planeta Distancia (106

Km.)

Período (años)

Mercurio 58 0,24

Venus 108 0,62

Tierra 150 1

Marte 228 1,88

Júpiter 778 11,86

Saturno 1429 29,42

a- Elaborá una tabla de con dos columnas:

En la primera (x) escribí los cuadrados de

los períodos; y en la segunda, (y) los cubos

de las distancias.

b- Calculá el coeficiente de correlación entre

los valores obtenidos en el punto a.



103

15. MEDIA, MODA Y MEDIANA

La Estadística se ocupa de tomar datos reales,

analizarlos y presentarlos organizadamente para

poder explicar ciertas cuestiones de la realidad.

Entre los resultados que se obtienen de un estudio

estadístico existen tres valores que dan informa-

ción específica y que suelen ser muy utilizados:

Media, Moda y Mediana

M M e e d d i i a a a a r r i i t t m m é é t t i i c c a a o o p p r r o o m m e e d d i i o o

Cuando queremos saber la nota que figurará

en el boletín luego de un trimestre calculamos el

promedio de las notas que hemos calificado du-

rante ese período

La media aritmética, o promedio de una se-

rie de datos, se obtiene dividiendo la suma de los

valores por la cantidad que de ellos hay.



104

E JEMPLO

Un comerciante obtuvo las siguientes ventas: lunes, $

750; martes, $ 600; miércoles, $ 720; jueves, $ 680;

viernes, $ 840, y sábado $ 910. ¿Cuál fue la media de las

ventas en la semana?

Media =

750 + 600 + 720 + 680 + 840 + 910 = 4500 = 750

6 6

Media = $ 750 diarios

La media puede no coincidir con ninguno

de los valores registrados.

M M o o d d a a

Al dato que más veces se repite en una serie de

mediciones, es decir, el de mayor frecuencia se lo

denomina moda. Tiene la ventaja de ser una me-

dida que vale también para datos no numéricos.



105

Por ejemplo, si evaluamos estadísticamente los

colores de los autos que salen de una concesiona-

ria podremos ver cual de ellos tiene mas frecuen-

cia de venta, lo que establecerá lo que denomina-

mos moda.

E JEMPLO

El profesor de Matemática tomó en 7º B lamisma evaluación que en 7º A.

Las notas de 7º A fueron éstas:

2;2;2;3;3;3;3;5;7;7;8;8;8;8;8;8;9;9;10;10;10 y 10.

Las notas de 7º B fueron éstas:

5;5;5;5;5;6;6;6;6;6;6;7;7;7;7;7;7;7;8;8;8 y 9.

¿Cuál es la moda en cada uno de los cursos?

Realicemos las tablas correspondientes a cadacurso:



106

Moda A = 6

Moda B = 7

Notas Frecuencia2 33 45 17 28 69 210 4Total 22

B

Notas Frecuencia

5 56 67 78 39 1

total 22

A



107

- La moda siempre es uno de los valores

registrados.- Cuando en el conjunto de observaciones

hay una sola moda, se dice que la distribu-

ción es unimodal.

- Si hay dos valores con la misma frecuencia

máxima la distribución se llama bimodal

- La moda no necesariamente coincide con

la media aritmética.

MEDIANA

En un estudio estadístico siempre se obtiene

una lista de datos o resultados.

En una lista con un número impar de datos, la

mediana es el valor central, cuando el número de

casos resulta par, la mediana se determina divi-

diendo a la mitad la suma de los dos datos centra-

les.



108

Dicho de otra manera, es el valor donde por

encima de él se encuentra el 50% del total y por

debajo el otro 50%.

Ejemplo

De acuerdo con los sueldos que ganan mensualmente

los 26 trabajadores de un taller, calcular la mediana. Ya que se trata de 26 trabajadores, se divide

entre 2. La mediana se localiza contando entonces

13 frecuencias.

.

Sueldos Frecuencias $ 7.000 1

$ 6.750 2

$ 6.250 6

$ 5.000 8

$ 4.000 4

$ 3.500 3

$ 2.000 2

Total 26

Mediana = $ 5 000



109

HOJA DE RESPUESTAS

E JERCICIO 1

a- El coeficiente de correlación es r = 0, 84

b- La ecuación de la recta es y = 0, 78 x +1,

46

Su representación gráfica es:

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



110

E JERCICIO 2

a- El coeficiente de correlación es r = 0, 957b- La ecuación de la recta de regresión lineal

es y = 1, 13 x – 6,77

c- La edad correspondiente al roble de 18 cm

de diámetro es 13 años aprox. La edad del

roble de 40 cm de diámetro es 38 años

aprox.

E JERCICIO 3

a- La representación de la nube de puntos es:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 10 20 30 40 50 60 70

longitud

p e s o



111

b- r = 0, 995

c- Como r > 0 la nube es ascendente y la co-

rrelación positiva. Por lo tanto es los pun-

tos están alineados o casi alineados.

d- La ecuación de la recta es y = 0, 22 x – 7,

772

e- Grafica de la ecuación lineal:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 10 20 30 40 50 60 70

longitud

p e s o

E JERCICIO 4

a- El coeficiente de correlación es r = 0, 639



112

b- La recta de regresión lineal es y = 0, 47 x

– 127, 7. Su grafica es:

135

140

145

150

155

160

165

0 10 20 30 40 50 60 70 80

peso

a l t

u r

a

E JERCICIO 5

a- La tabla es la siguiente:

Cuadrados de los Periodo Cubos de las distancias

0,3844 195112

0,3844 1259712

1 3375000

3,5344 11852352



140,6596 470910952

865,5364 2918076589

b- El coeficiente de correlación es r = 0, 99

Estadistica - Colegio 24hs

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