Estadística en el Control de Calidad Annelisse Balsells de Martini.

EstadEstadística en el Control ística en el Control de Calidadde Calidad

Annelisse Balsells de MartiniAnnelisse Balsells de Martini

INTRODUCCIÓN:INTRODUCCIÓN:

La administración de la calidad total es un sistema de conceptos y técnicas administrativas estadísticas y tecnológicas. Vamos a concentrarnos en los conceptos estadísticos.

Definición de CALIDAD:Definición de CALIDAD:

La totalidad de características de un ente que cuenta con la habilidad de satisfacer necesidades dadas o implícitas (ANSI / ISO / ASQ 8402-1994).

A nivel producción, la calidad está enfocada en que cada característica de calidad esté apuntada hacia un valor especifico y tenga la menor variación posible.

PROCESOS UNIVERSALES PARA ADMINSTRACIÓN DE LA CALIDADPROCESOS UNIVERSALES PARA ADMINSTRACIÓN DE LA CALIDAD

PLANEAMIENTO DE PLANEAMIENTO DE CALIDADCALIDAD

CONTROL DE CONTROL DE CALIDADCALIDAD

MEJORAMIENTO DE MEJORAMIENTO DE LA CALIDADLA CALIDAD

Establecer el proyecto. Id. clientes. Descubrir las necesidades

de los clientes. Desarrollar el producto. Desarrollar el proceso. Desarrollar controles de

proceso y tranf. a operaciones.

Elegir objetos de control. Establecer medida. Establecer estándares de

performancia. Medir performancia

actual. Comparar con

estándares. Tomar acción sobe

diferencia.

Probar la necesidad. Id. proyectos. Organizar equipo de

trabajo. Diagnosticar las causas. Proveer medios y probar

que son efectivos. Manejar la resistencia al

cambio. Controles para mantener

las ganancias.

En los tres campos de la administración de la calidad se requiere de herramientas estadísticas entre las cuales podemos mencionar algunas:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS E INFORMACIÓNREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS E INFORMACIÓN

Diagramas de dispersión.

Histogramas de Frecuencia y Pareto.

Gráfico de Probabilidad Normal.

Gráfico de series de tiempo.

Diagramas de causa y efecto.

ESTIMACIÓN PUNTUAL E INFERENCIA ESTADÍSTICAESTIMACIÓN PUNTUAL E INFERENCIA ESTADÍSTICA

POR INTERVALOS O PRUEBAS DE HIPÓTESISPOR INTERVALOS O PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Estimación puntual o medidas de tendencia central.

Estimación puntual o medidas de dispersión.

Inferencia estadística para 1, 2 ó más poblaciones por intervalos de confianza, pruebas de hipótesis.

CARACTERISTICAS DE ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE CARACTERISTICAS DE ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADPROBABILIDAD

Normal.

Binomial.

Poisson.

APLICACIONES DE ESTAS HERRAMIENTAS ESTADISTICASAPLICACIONES DE ESTAS HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Problemas esporádicos de calidad: se atacan por medio del uso del control estadístico de procesos o “Control Charts”. Acá se aplican los conceptos de distribuciones de probabilidad normal, binomial y Poisson, gráficos de series de tiempo, medidas de tendencia central y dispersión, intervalos de confianza, diagramas de Pareto y diagramas de causa-efecto.

APLICACIONES DE ESTAS HERRAMIENTAS ESTADISTICASAPLICACIONES DE ESTAS HERRAMIENTAS ESTADISTICAS

Problemas crónicos de calidad: el abordaje más efectivo para el mejoramiento de la calidad, es el de proyecto por proyecto.

Se usan los diagramas de Pareto, diagramas de causa-efecto, diagramas de dispersión histogramas de frecuencia, gráficos de prob. normal, inferencia estadística por intervalo de confianza, pruebas de hipótesis, ANOVA, Modelo Lineal General, Análisis de Regresión Lineal Múltiple y en ésta área de experimentación se usan los experimentos diseñados.

OTRA HERRAMIENTA ESTADÍSTICAOTRA HERRAMIENTA ESTADÍSTICA

En el ingreso de materia prima y a veces antes de enviar el producto al cliente, se utilizan los planes de muestreo de aceptación.

En el ingreso de materia prima los planes de muestro de aceptación permiten estimar la calidad de la materia prima entrante y escoger y aceptar los lotes con la calidad necesaria y revisar los lotes con una calidad menor que la requerida. Esta técnica nos ayuda a prevenir defectos o una baja calidad en el proceso.

En el caso que se utilicen los planes de muestreo de aceptación antes de enviar producto al cliente éstos previenen que el cliente reciba lotes con una calidad menor de la que requiere y se evita la perdida del cliente.

En ninguno de los casos se está mejorando la calidad del producto que se muestrea.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOSREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS

Diagrama de dispersión: se utiliza para observar el tipo de relación estadística que hay entre dos variables. A una variable se le llama Variable Independiente o de respuesta Y, y a la otra variable se le llama variable independiente o predictora X. El ploteo se hace Y versus X.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS:REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DATOS:

Histograma de Frecuencia: es la representación gráfica de la información de una tabla de frecuencias. Se puede observar la forma, simetría, dispersión y localización de los datos.Tabla de frecuencia: los datos se reparten en clases o intervalos que se escogen de forma razonable ( n =cantidad, entre 4 y 20, que incluyan todos los datos).


Histograma de Frecuencia

Tabla de Frecuencia:


Histograma de Frecuencia:


Diagrama de Pareto:Diagrama de Pareto: Es un histograma de frecuencias en el cual las clases están ordenadas por el número de ocurrencias. No muestra las propiedades que muestra el histograma de frecuencias, sino sirve para una visualización clara e inmediata de las clases con mayor (o menor) ocurrencias.


Gráficas de Probabilidad Normal: Es un método gráfico para observar si los datos aparentan estar distribuidos normalmente.

1. Se ordenan los datos de menor a mayor y se numeran de 1 en adelante.

2. Se calculan sus frecuencias acumuladas observadas (j-0.5)/n.

Donde j es la posición o número del dato en la muestra ordenada y n el tamaño de la muestra.

3. Se calcula Z= Φ-1[(j-0.5)/n]

4. Se gráfica Z versus X.

5. Se analiza el gráfico. Si los datos están distribuidos en forma normal deben quedar dispuestos alrededor de una línea recta.


Gráfico de Probabilidad Normal:


Gráfico de Series de Tiempo:

Es un representación de una serie de tiempo o secuencia cronológica, que es un conjunto de datos en el que las observaciones se registran en el orden en que ocurren. En el gráfico de series de tiempo, el eje vertical denota el valor observado de la variable y el eje horizontal denota el tiempo u orden.

Se puede observar características no aleatorias como:

Tendencias.

Ciclos.

Corrimientos.


Gráfico de Series de Tiempo:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE INFORMACIÓNREPRESENTACIÓN GRÁFICA DE INFORMACIÓN

Diagramas de causa y efecto: Una vez se ha identificado y aislado un defecto, error, o problema para más estudio, se debe analizar posibles causas del efecto indeseado. El diagrama de causa-efecto, es una herramienta formal frecuentemente utilizada para plantear las causas potenciales.


Diagramas de causa y efecto:

Los pasos para construir un diagrama de causa-efecto son:

1. Definir el problema o efecto a analizar.

2. Formar el equipo para realizar el análisis. El equipo va a descubrir las causas potenciales a través de una lluvia de ideas.

3. Dibujar el cajón del efecto y la línea central.

4. Especificar las categorías mayores de causas potenciales y júntelas como cajas conectadas a la línea central.

5. Identificar las posibles causas y clasificarlas en las categorías del paso 4. Pueden aparecer nuevas categorías.

6. Jerarquizar orden de causas para identificar las que aparentan tener más impacto en el problema.

7. Tomar acción correctiva.


Diagramas de causa y efecto:

CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADCARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Distribución Discreta Binomial:

Considere los siguientes experimentos aleatorios y variables aleatorias

1. El lanzamiento de una moneda 10 veces. Sea X = número de caras obtenidas.

2. Una máquina-herramienta desgastada produce 1% de piezas defectuosas. Sea X = número de piezas defectuosas en las siguientes 25 piezas producidas.

3. Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara particular. Sea X = número de muestras de aire que contiene la molécula rara en las siguientes 18 muestras analizadas.

4. De todos los bits transmitidos a través de un canal de transmisión digital, 10% se reciben con error. Sea X = número de bits con error en los siguientes 5 bits transmitidos..

5. Un examen de opción múltiple contiene 10 preguntas, cada una con cuatro opciones, y todas las preguntas se contestan adivinando. Sea X = número de preguntas contestadas correctamente.

6. En los siguientes 20 nacimientos en un hospital, sea X = número de nacimientos de niñas.

7. De todos los pacientes que padecen una enfermedad particular, 35% experimentan una mejoría por un medicamento particular. En los siguientes 30 pacientes a los que se administra el medicamento, sea X = número de pacientes que experimentan una mejoría.



Donde:nx

n!

x!(n-x)!


Cada muestra de aire tiene 10% de posibilidades de contener una molécula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contenga la molécula rara.

Sea X = número de muestras de aire que contienen la molécula rara en las siguientes 18 muestras analizadas. Entonces X es una variable aleatoria binomial con p = 0.1 y n = 18. Por lo tanto,

P(X=2)= (0.1)2 (0.9)16182

Ahora bien, = (18!/[2! 16!]) = 18(17)/2=153. Por lo tanto,182

P(X=2)= 153(0.1)2 (0.9)16 = 0.284

Determine la probabilidad de que al menos cuatro muestras contengan la molécula rara. La probabilidad pedida es

P(X ≥ 4)= (0.1)x (0.9)18-x

18

ΣX=4

18x

Sin embargo, es más sencillo usar el evento complementario,P(X ≥ 4)=1 -P(X < 4)

= 1 - (0.1)x (0.9)18-x 3

ΣX=0

18x

= 1 – [0.150 + 0.300 + 0.284 + 0.168

= 0.098



Distribución Discreta de Poisson:

Una aplicación típica de la distribución de Poisson en el control de calidad es un modelo del número de ocurrencias (defectos o no conformidades) en una unidad de producto. De hecho, cualquier fenómeno aleatorio que ocurre en una unidad (unidad de longitud, área volumen, tiempo, etc.) es frecuentemente aproximada por una distribución de Poisson.

CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:CARACTERÍSTICAS DE UNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD:


Definición: La distribución de Poisson es

P(x)= e- x , x=0,1,…x!

Donde el parámetro >0. La media y varianza de la distribución de Poisson son

E(X)= =

V(X) = 2 =



Para el caso del alambre delgado de cobre, suponga que el número de imperfecciones sigue una distribución de Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro. Determine la probabilidad de exactamente 2 imperfecciones en 1 milímetro de alambre.

Sea que X denote el número de imperfecciones en 1 milímetro de alambre. Entonces, E(X)= 2.3 imperfecciones y

P(X=2)= e-23 2.32 = 0.2652!

Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre. Sea que X denote el número de imperfecciones en 5 milímetros de alambre. Entonces, X tiene una distribución de Poisson con

E(X) = 5 mm x 2.3 imperfecciones/mm = 11.5 imperfecciones

Por lo tanto,

P(X=10) = e-115

11.510

/10! = 0.113

Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2 milímetros de alambre. Sea X denote el número de imperfecciones en 2 milímetros de alambre. Entonces, X tiene una distribución de Poisson con

E(X) = 2 mm x 2.3 imperfecciones/mm = 4.6 imperfecciones

Por lo tanto,

P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0)

= 1 –e-4.6

= 0.9899


Distribución Continua Normal:La distribución normal es probablemente la distribución más importante tanto en la teoría, como en la aplicación de la estadística.

Si X es una variable aleatoria normal, entonces la distribución de probabilidad de X se define como sigue:

(x) = 1 e-1/2 ( x – )2 , - < x < 2 2

donde E (X) = y vV(X) = 2

(-<<2


Distribución Continua Normal:


Distribución Continua Normal Estándar:

Definición: A una variable aleatoria normal con = 0 y 2 = 1 se le llama variable aleatoria normal estándar. Una variable aleatoria normal estándar se denota como Z. La función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal estándar se denota como (Z) = P (Z Z)

Nota: (Mostrar tabla (Z) )


Distribución Continua Normal:1. P(Z>1.26)=1 – P(Z 1.26) = 1 -0.89616 = 0.10384

2. P(Z < - 0.86) = 0.19490

3. P (Z > - 1.37) = P (Z < 1.37) = 0.91465

4. P (-1.25 < Z < 0.37). Esta probabilidad puede encontrarse como la diferencia de dos áreas, P(Z<0.37)- P(Z<-1.25). Ahora bien,

P (Z <-0.37)= 0.64431 y P (Z < -1.25) = 0.10565

Por lo tanto,

P (-1.25 < Z < 0.37) = 0.64431 - 0.10565 = 0.53866

5. P(Z - 4.6) no puede encontrarse de manera exacta en la tabla II. Sin embargo, puede usarse la

última entrada de la tabla para encontrar que P(Z -3.99) = 0.00003.

Puesto que P(Z - 4.6) < P(Z 3.99), P(Z -4.6) es prácticamente cero.

6. Encuentre el valor de z tal que P(Z z) = 0.05. Esta expresión de probabilidad puede escribirse como P(Z z)= 0.95. Ahora se usa la tabla II en sentido inverso. Se busca en las probabilidades hasta encontrar el valor que corresponda a 0.95. La solución se ilustra en la figura 5-14. No se encuentra 0.95 exactamente; el valor más próximo es 0.95053, que corresponde a z = 1.65.

7. Encuentre el valor de z tal que P(-z<Z<z) = 0.99. Debido a la simetría de la distribución normal, si el área de la región sombreada en la figura 5-14 (7) es igual a 0.99, entonces el área en cada cola de la distribución debe ser igual a 0.005. Por lo tanto, el valor de z corresponde a una probabilidad de 0.995 en la tabla II. La probabilidad más próxima en la tabal II es 0.99506, cuando z = 2.58.



Suponga que las mediciones de la corriente en una tira de alambre siguen una distribución normal con una media de 10 miliamperes y una varianza de 4 (miliamperes)2. ¿Cuál es la probabilidad de que una medición exceda 13 miliamperes?

Sea que X denote la corriente en miliamperes. La probabilidad pedida puede representarse como P(X >13). Sea Z (X -10)/2. La relación entre los diferentes valores de X y los valores transformados de Z se muestran en la figura 5-15. Se observa que X> 13 corresponde a Z>1.5.

Por lo tanto, por la tabla II,

P (X > 13)= P (Z < 1.5) = 1 - P (Z 1.5)= 1 - 0.93319 = 0.06681

En lugar de utilizar la figura 5-15, la probabilidad también pudo haberse calculado a partir de la desigualdad X>13. Es decir,

P (X > 13)= P ((X -10)/2 > (13 - 10) /2) = P (Z>1.5) = 0.06681

Inferencia Estadística para 1 poblaciónInferencia Estadística para 1 población

Estimación Puntual de la localización o Medidas de tendencia central. Hay 3 principales que son media, mediana y moda.

A. Media: (Es un buen estimador puntual de

cuando x N

B. Mediana: Se ordena la muestra de menor a mayor y

C. Moda: Es la observación más frecuente. (A veces puede haber varias modas o ninguna si no se repiten los datos).

x[n+1]; si n impar

X =

x(n/2) + x(n/2+1); si n par

~ 2

2


Medidas de dispersión: También hay 3 principales que son

varianza, rango semiintercuartil, rango intercuartil y rango.

A. Varianza:

B. Rango intercuartil o semiintercuartil: Se ordena la muestra de menor a mayor y Q1 = c-ésima observación más pequeña y Q2 = c-ésima observación más grande. Donde c:

C. Rango: Rango = Xmax - Xmin

S2 = (Xi – X)2 (Es un buen estimador de 2

cuando X N (,2)n-1

[n+3]; n impar Rango Intercurtil = Q3 – Q1

c =

[n+2]; n par Rango Semi-intercuartil = Q3 – Q1

4

4 2


Intervalo de confianza:

L Uparámetro

Área =

P[L q U) = 1 - donde

(1- ) Coeficiente de confianza, 100 (1- ) nivel de confianza y es la significancia.


Intervalo de confianza sobre parámetros de 1 población:

Si x N (,2) entonces X N (,2)

i. X – Z /√n X + Z /√n

Es un intervalo bilateral de 100 (1- α) de confianza sobre la media de la población m (varianza conocida).

ii. X + Z /√n

Es un intervalo unilateral de 100 (1- ) de confianza sobre la

media de la población (varianza conocida).

n

n

X

2

2

X



Si X N (,2) entonces X N (,2), pero si no conocemos 2 y

la estimamos con la varianza muestral s2, entonces X tn-1.

Intervalo bilateral de 100 (1- ) de confianza sobre la media

X – t , n-1 s ≤ ≤ X + t , n-1 s

Intervalo unilateral de 100 (1- ) de confianza sobre la media :

≥ X - tn-1 s

n

X

√n2 √n 2

√n



Dado = (n-1) S2 2 n-1

Intervalo de 100 (1- ) de confianza sobre la varianza de la población

(n-1) S2 ≤ 2 ≤ (n-1) S2

2 , n-1 2 (1- , n-12 2

2

2


Intervalo de 100 (1- ) de confianza sobre la proporción de 1 población:

Dado Zo = X-npo N (0,1) donde X binomial

√ np

o (1-p

o)

- Z √ (1-) ≤ ≤ + Z √ (1-) 2 n 2 n



Si el parámetro que se está estimando por intervalo sigue una distribución normal o aproximadamente, entonces:

- 3 s ≤ ≤ + 3 s

1- 99%

6 s

-3s

^^

^^

^^ 3s

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