Estadística y probabilidades en hidrologia

7/25/2019 Estadstica y probabilidades en hidrologia

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UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE

MAYOLODISTRIBUCION NORMAL Y EXPONENCIAL - TICAPAMPA, CAHUISH Y

SCHACAYPAMP

I.- INTRODUCCIN

El presente trabajo es de vital importancia puesto que nos permite tener idea del

comportamiento de los fenmenos naturales como las precipitaciones, su

comportamiento en las diversas estaciones del ao puesto que permite tomar las

debidas precauciones, ya que su omisin nos ocasionara prdidas econmicas.

Y es por eso que se aplic la estadstica a la hidrologa con sus diversos mtodos d

probabilidad tales como las distribuciones continuas discretas, etc. ada una de estas

con sus ventajas y desventajas para cada caso.

!ambin es muy importante para el diseo en la ingeniera como canales, presas,

hidroelctricas, puentes etc., puesto que solo por este detalle nuestros diseos no

cumpliran a cabalidad su rol para el cual fueron diseados y no garanti"aran la vida

#til a la que han sido diseados. $ara esto la naturale"a en base a estudios

estadsticos.

El an%lisis de la prueba de hi&cuadrado nos servir% para ver si los datos se ajustan a

las distribuciones E'ponencial y (ormal.

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SCHACAYPAMP

1.1. OBJETIVOS:

Objetivo general:

)eali"ar la distribucin de frecuencias y ver si los datos se ajustan a la distribucin

E'ponencial o (ormal* con los datos de precipitacin de las tres estaciones

meteorolgicas Tia!a"!a# Ca$%i&$y S$aa'!a"!a.

Objetivo& &e%n(ario&:

+prender los procedimientos de la tabulacin de datos hidrolgicos mediante

los conceptos de probabilidades y estadstica.

+prender a estimar los par%metros mediante los mtodos gr%ficos.

esarrollar la prueba de bondad de ajuste dentro de las cuales se completan al

ajuste gr%fico.

1.). *NTECEDENTES:

-e reali"ara los estudios de los datos de precipitacin de las tres estaciones

meteorolgicas Tia!a"!a# Ca$%i&$y S$aa'!a"!a.

-e cuenta con las tablas de registros de precipitacin de las tres estaciones

meteorolgicas Tia!a"!a# Ca$%i&$ y S$aa'!a"!a# previamente corregidos y

completados.

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SCHACAYPAMP

1.+. JUSTI,IC*CIN:

El trabajo es importante por la interpretacin de los conceptos de probabilidades y

estadstica aplicada a la hidrologa con el fin de poder estimar par%metros

hidrolgicos que nos servir%n para conocer la precipitacin de las tres estaciones

meteorolgicas Tia!a"!a# Ca$%i&$y S$aa'!a"!a* y de esta manera hacer un

buen estudio hidrolgico calculando las probabilidades de que precipitacin e'ceda

al establecido, precipitacin que se registrara para un periodo de retorno /, 0/, 1/ y

2//.

II.- REVICION BIBIOR*,IC*.

).1 /OB*CIN:

$ara el presente estudio se considerara como poblacin al total de las

precipitacin anuales de las estaciones meteorolgicas Tia!a"!a# Ca$%i&$y

S$aa'!a"!a.

).) 0UESTR*.

$ara el presente estudio se considera muestra el conjunto de datos recopilados

de las estaciones meteorolgicas Tia!a"!a# Ca$%i&$y S$aa'!a"!a. Estos

datos son considerados como muestreo aleatorio.

).+ ISTOR*0*.

Es la representacin gr%fica de las frecuencias, en forma de rect%ngulos, siendo

3a base de cada rect%ngulo el intervalo de clase y la altura la frecuencia

absoluta.

).2 /OIONO DE ,RECUENCI*.

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SCHACAYPAMP

Es la representacin gr%fica de las frecuencias, se obtiene uniendo con lneas

rectas, los puntos formados por las marcas de clase versus la frecuencia absoluta

o relativa. $ara q el polgono alcance al eje hori"ontal, a ambos lados de la

distribucin, se le agrega un intervalo de clase con frecuencia igual cero.

En forma pr%ctica, un polgono de frecuencia se obtiene, uniendo con lneas

rectas los puntos medios de todas las barras de un histograma.

).3 0EDI*:

3a media de un conjunto ( de datos numricos 42, 4,..., 4(est% representada

por y definida por5

X=1

Ni=1

N

xi 6666666666..415.

).6 0EDI*N*:

Es un valor #nico de un conjunto de datos que mide al elemento central en los

datos. Este #nico elemento de los datos ordenados, es el m%s cercano a la mitad,

o el m%s central en el conjunto de n#meros. 3a mitad de los elementos quedan

por encima de ese punto, y la otra mitad por debajo de l.

Me=Yi1+Ct(n

2Ni1

ni ) ..(2)).7 0OD*:

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Es aquel valor que se repite m%s frecuentemente en un conjunto de datos, se

denota por 7o.

).8 DESVI*CIN 0EDI*

Es la media aritmtica de los valores absolutos de las desviaciones de los datos

con respecto a una medida de tendencia central.

X=

i=1

N

xiestadigrafo .de. posicion

n 666.6 809

-i el estadgrafo es la media, se tiene5

$ara datos no clasificados

DM=

i=

1

N

Xi X

n 666666..8:9

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SCHACAYPAMP

$ara datos clasificados

i=1

N

Xi X

nDM=

666666..819

3a desviacin media es una medida de dispersin f%cil de calcular y se ve

afectada en menor medida por los valores e'tremos que la desviacin est%ndar y

se una a menudo cuando se dispone de muestras pequeas que incluye valores

e'tremos o cuando la distribucin es muy asimtrica

).9 DESVI*CIN ESTND*R ; V*RI*N


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3a frmula de la varian"a ser%5

V(X)=i1

N

(Xi X)2

n i

n 666666.8=9

).1= COV*RI*N9

).11 COE,ICIENTE DE CORRE*CIN.

Es el estadstico que permite medir el grado de asociacin de dos variables

linealmente relacionadas.

$ara el caso de una poblacin se define como5

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SCHACAYPAMP

(x , y )= COV(X ,Y)V!xV!y= xyxy

=E

[ (X

x )(Y

y ) ]E (Xx )2E (Yy)2 6666.82/9

).1) COE,ICIENTE DE V*RI*CIN.

Es una medida de dispersin y se define como el cociente entre la desviacin

est%ndar y la media.

C"=

X 6666..8229

).1+ COE,ICIENTE DE 0O0ENTO DE *SI0ETR>*

3a asimetra de una muestra se mide mediante el coeficiente de asimetra, para

el c%lculo del coeficiente de asimetra se emplea el tercer momento con respecto

a la media y para que este coeficiente no tenga dimensiones el tercer momento

se divide entre la desviacin est%ndar elevado a la potencia 0.

Es el grado de desvo o alejamiento del eje de simetra de una distribucin. $ara

distribuciones asimtricas, la media tiende a situarse del lado de la cola m%s

larga de la distribucin. Este coeficiente puede ser definido usando el 0

momento centrado en la media y la desviacin est%ndar5

g=Cs= n2

#3(n1 ) (n2 ) $3 666666666.829

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#3=1

ni=1

n

(Xi X)3

6666666666666.8209

- g?/ es una distribucin simtrica

- g@/ es una distribucin sesgada a la derecha 8polgono de frecuencias

con cola m%s larga a la derecha9

- gA/ es una distribucin sesgada a la i"quierda 8polgono de frecuencias

con cola m%s larga hacia la i"quierda9.

El sesgo del polgono de frecuencias se aprecia tra"ando una vertical por la moda

donde se diferencia la cola del polgono de frecuencias.

Es importante indicar que los tres n#meros son suficientes para tener una idea de la

forma del histograma.

).12 COE,ICIENTE DE CURTOSIS.

El grado apuntamiento del polgono de frecuencias 8forma puntiaguda del polgono

de frecuencias9 se mide mediante el coeficiente de curtosis. $ara el c%lculo del

coeficiente de curtosis se emplea el cuarto momento con respecto a la media y para

que este coeficiente no tenga dimensiones el cuarto momento se divide entre la

desviacin est%ndar elevado a la potencia :

7ide el grado de achatamiento de una distribucin de datos y puede ser definido por

la divisin del momento de grado : centrado en la media entre la variancia elevada

al cuadrado. B sea5

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SCHACAYPAMP

Es una medida estadstica que describe el apuntamiento o achatamiento de una

cierta distribucin con respecto a una distribucin normal. 3a curtosis positiva

indica una distribucin relativamente apuntada, y la negativa indica una distribucin

relativamente achatada. En una distribucin normal la curtosis es igual a 0, a los

valores mayores a 0 se los llama curtosis e'cesiva. El caso de curtosis e'cesiva

indica que hay una mayor probabilidad de que los retornos observados estn m%s

alejados de la media que en una distribucin normal.

El valor del coeficiente de curtosis es costumbre comparar con C?0 que escoeficiente de apuntamiento de una curva continua de forma de una campana 8curva

normal9.

- C@0 es una distribucin leptoc#rtica, picuda o puntiaguda.

- C?0 es una distribucin mesoc#rtica o moderada 8curva normal9

- CA0 es una distribucin platic#rtica, achatada o plana.

).13 DESVI*CIN ESTND*R 0UESTR*.

3a varian"a maestral est% medida en el cuadrado de las unidades observadas al hacer las

mediciones contenidas en la muestra. $ara devolverse a una estadstica que use las

mismas unidades que las observaciones, es necesario calcular su ra" cuadrada.

3o anterior conduce a la definicin de la estadstica denominada Ddesviacin

est%ndar maestralD, que no es otra cosa que la ra" cuadrada de la varian"a

$ara una muestra de tamao n, '2, 'n, se tiene que5

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SCHACAYPAMP

=

1ni=1

n

(Xi X)2

66666666666666.82:9

El uso de esta estadstica es recomendado en aquellos conjuntos de datos que ofrecen

cierto grado de simetra respecto de su centro. En estos casos, habitualmente tiene

sentido medir discrepancias de un valor con el centro de los datos usando m#ltiplos de la

desviacin est%ndar.

+ modo de ejemplo, se puede decir que un valor est% bastante alejado del

centro de los datos si su distancia de l supera dos desviaciones est%ndar.

+poy%ndose en la idea anterior, la desviacin est%ndar puede ser usada para

determinar valores que se encuentran DcercaD del centro. Este uso va m%s all% de

la simple descripcin, en otros %mbitos de Estadstica es usada para tomar

decisiones respecto de la poblacin de la que fue e'trada la muestra.

).16 SESO

-eg#n el diccionario un sesgo es una inclinacin parcial de la mente. En nuestro

%mbito, la palabra sesgo sirve para definir la tendencia sistem%tica de ciertos diseos de

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ensayos clnicos para producir de forma consistente resultados mejores o peores que

otros diseos.

-CeFness o sesgo5 7edida estadstica que describe la simetra de la

distribucin alrededor de un promedio. -i el sesgo es igual a cero, la

distribucin es simtrica* si el sesgo es positivo la distribucin una tendr% una

cola asimtrica e'tendida hacia los valores positivos. Gn sesgo negativo indica

una distribucin con una cola asimtrica e'tendida hacia los valores negativos.

III.- DISTRIBUCIONES DE /ROB*BIID*D /*R* V*RI*BES CONTINU*S.

+.1 DISTRIBUCION NOR0*

3a distribucin normal es una distribucin simtrica en forma de campana,

tambin conocida como ampana de Hauss. +unque muchas veces no se ajusta

a los datos hidrolgicos tiene amplia aplicacin por ejemplo a los datostransformados que siguen la distribucin normal.

+.1.1 ,UNCIN DE DENSID*D:

3a funcin de densidad est% dada por5

f(x )= 1

2%e

12(

X )

2

&


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3os dos par%metros de la distribucin son la media y desviacin est%ndar

para los cualesX 8media9 y - 8desviacin est%ndar9 son derivados de los

datos.

+.1.) ESTI0*CIN DE /*R0ETROS:

X=1

ni=1

n

Xi 666666666.82;9

s= 1n1i=1n

(Xi X)2

666666666.82I9

+.1.+ ,*CTOR DE ,RECUENCI*:

-i se trabaja con los 4 sin transformar el J se calcula como

'(=X(

66666666666..82=9

Este factor es el mismo de la variable normal est%ndar

'(=)1(11%) 666666666..82>9

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SCHACAYPAMP

+.1.2 I0ITES DE CON,I*N


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+.).1 ,UNCIN DE DENSID*D:

f(x )= 1x2 %

e1 (yy)

2y2

X>0 (21)

y=,nx 66666666666689

onde,

y5 media de los logaritmos de la poblacin 8par%metro escalar9, estimado

y5 esviacin est%ndar de los logaritmos de la poblacin, estimadosy.

+.).) ESTI0*CIN DE /*R0ETROS:

y=1

ni=1

n

ln (Xi ) 6666666666..809

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SCHACAYPAMP

sy

x

ln( i)y2

1

n1i=1

n

6666666668:9

+.).+ ,*CTOR DE ,RECUENCI*5

$uede trabajarse en el campo original y en el campo transformado.

2 Ca"!o tran&?or"a(o:-i se trabaja en el campo transformado se trabaja

con la media y la desviacin est%ndar de los logaritmos, as5

ln (X(r)=X(r+'$y 666666666..819

de donde, X(r=eln(X(r)

6666666666668;9

on J con variable normal estandari"ada para el !r dado, 'y media de los

logaritmos y -yes la desviacin est%ndar de los logaritmos.

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SCHACAYPAMP

Ca"!o original5 -i se trabaja con los 4 sin transformar el J se calcula con la siguiente

e'presin.

't=

e {'(ln (1+C"2)(ln (1+C"2 )

2 )}1C"

6666666.8I9

J es la variable normal estandari"ada para el !r dado,

C"=sX

v es el coeficiente de variacin, ' media de los datos originales y s desviacin est%ndar de

los datos originales.

+.).2 I0ITES DE CON,I*N9

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=

1+'(

2

2 6666666666666..80/9

en donde, n n#mero de datos, -e error est%ndar, J!variable normal estandari"ada.

+.+ DISTRIBUCION E@/ONENCI*.

Este modelo suele utili"arse para variables que describen el tiempo hasta que se

produce un determinado suceso* la funcin densidad del modelo probabilstico

e'ponencial est% dado por5

+.+.1 ,UNCIN DE DENSID*D:

f(x )= e+[x/+ e (x// )] 66666.80.=9

En donde y son los par%metros de la distribucin.

+.+.) ESTI0*CIN DE /*R0ETROS

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SCHACAYPAMP

+=6%

s A /= X0.5772+ ..80.>9

onde son la media y la desviacin est%ndar estimadas con la

muestra.

+.+.+ ,*CTOR DE ,RECUENCI*5

't=6%{0.5772+ ln [ ln( (r(r1 )]} 6666.8:./9

onde !r es el periodo de retorno. $ara la distribucin Humbel se tiene que elcaudal para un perodo de retorno de .00 aos es igual a la media de los caudales

m%'imos.

+.+.2 I0ITES DE CON,I*N


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SCHACAYPAMP

J!es el factor de frecuencia y t 82&9es la variable normal estandari"ada para una

probabilidad de no e'cedencia de 2&.

IV.-*JUSTE DE DISTRIBUCIONES.

$ara la modelacin de caudales m%'imos se utili"an, entre otras, las distribuciones

3og & (ormal, Humbel y 3og&Humbel principalmente. $ara seleccionar la

distribucin de probabilidades de la serie histrica se deben tener en cuenta algunas

consideraciones.

uando en la serie histrica se observan LoutliersM2NO es necesario verificar la

sensibilidad del ajuste debido a la presencia de estos, (Ashkar, et al. 1994)

$ara el ajuste a las distribuciones 3og&(ormal, 3og&Humbel y 3og&$earson se

requiere transformar la variable al campo logartmico para modelarla, con lo que se

disminuye la varian"a muestral, pero tambin se filtran las variaciones reales de los

datos.

3as distribuciones de dos par%metros fijan el valor del coeficiente de asimetra, lo

que en algunos casos puede no ser recomendable. 3a distribucin 3og & (ormal de

dos par%metros slo es recomendable s el coeficiente de asimetra es cercano a

cero. 3as distribuciones Humbel y 3og & Humbel son recomendables si el

coeficiente de asimetra de los eventos registrados es cercano a 2.20

$ara ajustar distribuciones de tres par%metros 83og (ormal PPP, 3og $earson9 se

requiere estimar el coeficiente de asimetra de la distribucin* para ello es necesario

disponer de una serie con longitud de registros larga, mayor de 1/ aos, 8Jite,

2>==9. 3as distribuciones de dos par%metros son usualmente preferidas cuando se

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dispone de pocos datos, porque reducen la varian"a de la muestra, 8+shCar, et al.

2>>:9.

$ara seleccionar la distribucin de probabilidades adecuada se debe tratar de utili"ar

informacin adicional del proceso hidrolgico que permita identificar la forma en

que se distribuye la variable. Gsualmente es muy difcil determinar las propiedades

fsicas de los procesos hidrolgicos para identificar el tipo de distribucin de

probabilidad que es aplicable.

Jite 82>==9 y 7amdouh 82>>09 afirman que no e'iste consistencia sobre cual es la

distribucin que mejor se ajusta a los caudales m%'imos y recomiendan seleccionar el

mejor ajuste a criterio del modelador con la prueba de ajuste gr%fico o basado en el

comportamiento de las pruebas estadsticas de bondad del ajuste 8por ejemplo hi

uadrado, -mirnov&Jolmogorov, ramer&


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uando se presenten cambios o tendencias en la serie histrica se deben utili"ar

tcnicas estadsticas que permitan removerlos para poder reali"ar el an%lisis de

frecuencias 8Jite, 2>==* 7amdouh, 2>>0* +shCar, et al. 2>>:9.

3a seleccin inadecuada de la distribucin de probabilidades de la serie histrica

arrojar% resultados de confiabilidad dudosa, 8+shCar, et al. 2>>:9.

El tamao de la muestra influye directamente en la confiabilidad de los resultados,

as a mayor perodo de retorno del estimativo mayor longitud de registros necesaria

para mejor confiabilidad en los resultados.

2.1. /RUEB*S DE *JUSTE

$ara la evaluacin de probabilidades se han propuesto una serie de pruebas

estadsticas que determinan si es adecuado el ajuste. Estos son an%lisis estadsticos

y como tal se deben entender, es decir, no se puede ignorar el significado fsico de

los ajustes.

!ipos de pruebas de ajuste de bondad

+juste gr%fico

+juste Estadstico

-irnov&Jolmogorov.

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V.- 0*TERI*ES

$ara el desarrollo del presente trabajo empleamos los siguientes materiales5

)egistro de caudales medios anuales de las cuenca de colcas5

Gso de computadora

-oftFareQs omo5 E'cel, Rord.

alculadora S$

VI.- 0ETODOO>*

/ROCEDI0IENTO * SEUIR

$ara la distribucin de frecuencias5

Bbtencin de los limites como son el m%'imo y el mnimo y acomodarlos en

forma descendente.

Bbtuvimos un rango de variacin5 )?3s&3i

alculo del numero de intervalos de clase, seg#n la siguiente frmula 5

J? 2T0.03og8n9, y apro'im%ndolo a un numero entero.

alculo del intervalo de clase5

+?JUm&2

alculo de la distribucin de incremento5?)Q&)

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SCHACAYPAMP

$rocedemos a llenar el cuadro de distribucin de frecuencias que detallamos

en la parte de c%lculos.

alculamos las medidas descriptivas, utili"ando las siguientes formulas.

Ten(enia entral

7edia aritmtica5

7ediana5

7oda

0e(i(a& (e (i&!er&in

esviacin


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SCHACAYPAMP

VII.- C*CUOS ; RESUT*DOS

2.1 EST*CIN TIC*/*0/*:

1. Or(enar lo& (ato& en ?or"a (e&en(ente

*O ////

4Or(ena(o&5

2>1: 6+9.2= >I0.2/

2>11 7+9.3= =1:.I/

2>1; 632.)= =0>.I/

2>1I 7=8.+= =:.2/

2>1= 389.8= =/0.//

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SCHACAYPAMP

2>1> 8=+.== I;=.:/

2>;/ 832.7= I0>.1/

2>;2 768.2= I0=.:/

2>; 7+8.2= I>.>/

2>;0 97+.1= I2:.=/

2>;: 7)9.9= I/=.0/

2>;1 712.8= ;I=.1/

2>;; 678.3= ;1:./

2>;I 8+9.7= ;0>.:/

2>;= 317.6= 1=>.=/

2>;> 8)2.1= 12I.1/

T*B* NF 1atos hidrolgicos mensuales de estacin de !icapampa

). Cal%lar (i&trib%in (e ?re%enia&:

OBTENCIN DE OS I0ITES

3mite inferior ? 12I.;

3mite superior ? >I0.2/

C*CUO DE R*NO DE V*RI*CIN

) ? 3s W 3i

) ? >I0.2/ W 12I.;

) ? :11.1

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SCHACAYPAMP

C*CUO DE NU0ERO DE INTERV*OS DE C*SE

Regla (e St%rge&:

m ? 2 T 2.00 ln8n9

nde5 n ? 2;

m ? :.;=I1

OBTENCIN DE T*0*O DE OS INTERV*OS DE C*SE

G 220.=I1/

+. alla"o& lo& intervalo& (e la&e "ara (e la&e ' ?re%enia ab&ol%ta:

NU0ERO

DEINTERV*O

DE C*SE H

INTERV*O DE C*SE 0*RC*

DE C*SE

,RECUENCI

* *BSOUT*

2 2 MC 4

460,55 0

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SCHACAYPAMP

1 517,50 - 631,40 574,45 2) 631,40 - 745,30 688,35 8+ 745,30 - 859,20 802,25 52 859,20 - 973,10 916,15 1

1030,05 0

TOT* 16

T*B* NF )Pntervalos de clases, marca de clase y frecuencia absoluta

2.-Con lo& (ato& obteni(o& $alla"o& la tabla e&ta(&tia: ' la& gra?ia&:

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UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLODISTRIBUCION NORMAL Y EXPONENCIAL -

TICAPAMPA, CAHUISH Y SCHACAYPAMP

2. Con lo& (ato& obteni(o& $alla"o& la tabla e&ta(&tia: ' la& gra?ia&:

NU0ERODE

INTERV*

O DE

C*SE H

INTERV*O DEC*SE

0*RC*DE

C*SE

,RECUENCI**BSOUT*

,RECUENCI*RE*TIV*

,RECUENCI* *BSOUT*

*CU0U*D

*

,RECUENCI*RE*TIV*

*CU0U*D*

,UNCIONDENSID*D

E0/>RIC*

,UNCIONDENSID*D

TEORIC*

NOR0*

1 ) 0C 2 ?r 6 7 ?e ?-nor"al

26=#33 = = = /,///

1 12I,1/ & ;02,:/ 1I:,:1 /,21 /,21 /,//22 /,//2

) ;02,:/ & I:1,0/ ;==,01 = /,1// 2/ /,;1 /,//:: /,//0

+ I:1,0/ & =1>,/ =/,1 1 /,020 21 /,>0= /,//0 /,//0

2 =1>,/ & >I0,2/ >2;,21 2 /,/;0 2; 2,/// /,//2 /,//2

2/0/,/1 / /,/// 2,/// /,/// /,///2/;

TOT* 2; 2,/

T*B* NF + !abla estadstica

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UNIVERSIDAD NAI!NA" #SAN$IA%! AN$UNE& DE'A!"!DIS$RI*UI!N N!R'A" E+P!NENIA" - $IAPA'PA, AUIS SAAPA'P

4000 6000 8000 10000 12000

0

01

02

03

04

05

06

UNCION DENSIDAD ESTACION TICAPAMPA ! "#, "$, "%-N'()*

./

.

.-n/a

D(+& $ M(#.( $ C)($

/

.

1

&

$

r?io 1: 0ara (e la&e v& 4?re%enia relativa# ,%nin (en&i(a( e"!ria# ?%nin

(en&i(a( teria nor"al5

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4000 6000 8000 10000 12000

0

0

00

0

0

0

0

0

0

001

UNCION DENSIDAD ESTACION DE TICAPAMPA! "$, "%-N'()*

.

.-n/a

D(+& $ M(#.( $ C)($

/

.

1

&

$

r?io ): 0ara (e la&e v& 4,%nin (en&i(a( e"!ria# ?%nin (en&i(a( teria

nor"al5

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460-55000000000007 802-25

0

0-1

0-2

0-3

0-4

0-5

0-6

0000

0325

0500

0434

0064

0000

HISTOGRAMA - ESTACION TICAPAMPA

MARCA DE CLASE

RECUENCIA RELATIVA

r?io +: 0ara (e la&e v& ?re%enia relativa

Pgina 33


34/71


460.55000000000007574.44999999999948688.34999999999877802.25916.149999999999861030.05

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

2

8

5

1

0

POLIGONO DE FRECUENCIA - ESTACION TICAPAMPA

Marca de Clase

Frecuencia Relativa

r?io 2: 0ara (e la&e v& ?re%enia relativa

DISTRIBUCIN E@/ONENCI*:

)(x )=0 e0x

Dn(e:

@: 0ara (e la&e

0=1x

Tene"o& entone& la tabla $alla(a ' "ara (e la&e:

Pgina 34


35/71


NU0ERO

DE

INTERV*O

DE C*SE H

INTERV*O

DE C*SE

0*RC*

DE

C*SE

,RECUENCI

* *BSOUT*

1 2 Y1 1 460,55 0

1 517,5

0

- 631,4

0

574,45 2

) 631,4

0

- 745,3

0

688,35 8

+ 745,3

0

- 859,2

0

802,25 5

2 859,2

0

- 973,1

0

916,15 1

- 1030,0

5

TOT* 16

T*B* NF 2!abla hallada y marca de clase

allan(o lan(a entone& tene"o&:

$romedi I01.=02

esviacin Est%ndar 22/.II=

0= 1

735 .831=0 .0014

a e%ain K%e(a entone&:

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36/71


)(x )=0 e0x

)(x )=0 .0014e0 .0014x

Entone& genera"o& (ato& on "ara (e la&e:

0*R

C*DEC*S

E

,RECUE

NCI**BSOUT*

,RECUE

NCI*RE*TIV*

,RECUE

NCI**BSOUT*

*CU0U*D*

,RECUE

NCI*RE*TIV*

*CU0U*D*

,UNCI

ONDENSID*D

E0/>RIC*

,UNCION

DENSID*DTEORIC*E@/ONEN

CI*

;i ni $i Ni i ?e ?-E!onenial

26=.33 = = = = /.///I0372.23 /.21 /.21 /.//2 /.///;688.+3 = /.1// 2/ /.;1 /.//: /.///108=).)3 1 /.020 21 /.>0= /.//0 /.///:;916.13 2 /./;0 2; 2./// /.//2 /.///0>1=+=.=

3 /./// 2./// /./// /.///0:

2; 2./T*B* NF 3 !abla de marca de clase total

Pgina 36


37/71


4000 6000 8000 10000 12000

0

01

02

03

04

05

06

UNCION DENSIDAD ESTACION TICAPAMPA ! "#, "$, "%-E%5&0$.1()*

i

.

.-Ennia

D(+& $ M(#.( $ C)($

/0.1&0

$

r?io 3: 0ara (e la&e v& 4?re%enia relativa# ,%nin (en&i(a( e"!ria# ?%nin

(en&i(a( teria E!onenial5

Pgina 37


38/71


4000 6000 8000 10000 12000

0

00

0

0

0

0

0

0

0

001

UNCION DENSIDAD ESTACION DE TICAPAMPA! "#, "$, "%-E%5&0$0.1()*

.

.-Enn7ia

D(+& $ M(#.( $ C)($

/0.1&0

$

r?io 6: 0ara (e la&e v& 4,%nin (en&i(a( e"!ria# ?%nin (en&i(a( teria

E!onenial5

Pgina 38


39/71


350.00 550.00 750.00 950.00

0.00000

0.00100

DISTRIBUCION EPONENCIAL ESTACION TICAPAMPA

Marca de Clase

F(X)-Expoec!al

r?io7: 0ara (e la&e v& 4?%nin (en&i(a( teria E!onenial5

Pgina 39


40/71


2.) EST*CIN C*UIS:


*O ////

4Or(ena(o&5

2>1: 9+).1= 22/1.//

2>11 763.== 22//.//

2>1; 3)+.1= 2/=0.//

2>1I 7+3.9= >>>.//

2>1= 693.)= >=I./

2>1> 1=8+.== >0:.2/

2>;/ 8+2.== >0.2/

2>;2 11=3.== >2>.0/

2>; 81).7= =0:.//

2>;0 11==.== =2.>/

2>;: 9+2.1= =2.I/

2>;1 987.)= I;1.//

2>;; 81).9= I1=.I/

2>;I 999.== I01.>/

2>;= 738.7= ;>1./

2>;> 919.+= 10.2/

T*B* NF 6 atos hidrolgicos mensuales de estacin de ahuish

Pgina 40


41/71


6. Cal%lar (i&trib%in (e ?re%enia&:


3mite inferior ? 10.2/

3mite superior ? 22/1.//


) ? 3s W 3i

) ? 22/1.// W 10.2/

) ? 1=2.>/


Regla (e St%rge&:

m ? 2 T 2.00 ln8n9

nde5 n ? 2;

m ? :.;=I1


Pgina 41


42/71


G 2>0.>;;I

7. alla"o& lo& intervalo& (e la&e "ara (e la&e ' ?re%enia ab&ol%ta:

NU0ERO

DE

INTERV*O

DE C*SE H


DE

C*SE

,RECUENCI

* *BSOUT*

1 2 MC 44506 0

1 52310 - 66858 59584 1) 66858 - 81405 74131 6+ 81405 - 95953 88679 42 95953 - 11050

0

10322

6

5

11777

4

0

TOT* 16T*B* NF 7.-!abla de Pntervalos de clases, marca de clase y frecuencia absoluta


Pgina 42


43/71


Pgina 43


44/71

Object113

UNIVERSIDAD NAI!NA" #SAN$IA%! AN$UNE& DE 'A!"!DIS$RI*UI!N N!R'A" E+P!NENIA" -$IAPA'PA, AUIS SAAPA'P

8. Con lo& (ato& obteni(o& $alla"o& la tabla e&ta(&tia: ' la& gra?ia&:

NU0ERO

DE

INTERV*ODE C*SE H

INTERV*O DE

C*SE

0*RC

* DE

C*SE

,RECUENCI

* *BSOUT*

,RECUENCI

* RE*TIV*

,RECUENCI

* *BSOUT*

*CU0U*D*

,RECUENCI

* RE*TIV*

*CU0U*D*

,UNCION

DENSID*

DE0/>RIC

*

,UNCION

DENSID*D

TEORIC*NOR0*

1 ) 0C 2 ?r 6 7 ?e ?-nor"al

23=.+6 = = = /.///2

1 10.2

/

&

;;=.1= 1>1.=: 2 /./;0 2 /./;0 /.///: /.//2

) ;;=.1

=

&

=2:./1 I:2.02 ; /.0I1 I /.:0= /.//; /.//

+ =2:./

1

&

>1>.10 ==;.I> : /.1/ 22 /.;== /.// /.//

2 >1>.1

0

&

22/1./

/

2/0.; 1 /.020 2; 2./// /.// /.//

22II.I: / /./// 2./// /./// /.///

TOT* 2; 2./

Pgina 44


45/71


4000 6000 8000 10000 12000 14000

0

005

01

015

02

025

03

035

04

UNCION DENSIDAD ESTACION CAHUISH ! "#, "$, "%-N'()*

./

.

.-n/a

D(+& $ M(#.( $ C)($

/0.1

&0$

r?io 8: 0ara (e la&e v& 4?re%enia relativa# ,%nin (en&i(a( e"!ria# ?%nin(en&i(a( teria nor"al5

Pgina 45


46/71


4000 6000 8000 10000 12000 14000

0

0

0

0

0

0

0

UNCION DENSIDAD ESTACION DE CAHUISH ! "$, "%-N'()*

.

.-n/a

D(+& $ M(#.( $ C)($

/0.1&0$

r?io 9: 0ara (e la&e v& 4,%nin (en&i(a( e"!ria# ?%nin teria nor"al5

Pgina 46


47/71


0

0-05

0-1

0-15

0-2

0-25

0-3

0-35

0-4

0000

0064

045

0250

0434

0000

HISTOGRAMA - ESTACION CAHUISH

MARCA DE CLASE

RECUENCIA RELATIVA

r?io 1=: 0ara (e la&e v& ?re%enia relativa

Pgina 47


48/71


450.36250000000007595.83749999999873741.31249999999886886.787500000000141032.26251177.7375000000011

0

1

2

3

4

5

6

7

0

1

6

4

5

0

POLIGONO DE FRECUENCIA - ESTACION CA!UIS!

Marca de Clase

Frecuencia Relativa



)(x )=0 e0x

Dn(e:

@: 0ara (e la&e

0=

1

x


Pgina 48


49/71


NU0ERO DE

INTERV*O

DE C*SE H

INTERV*O

DE C*SE

0*RC*

DE

C*SE

,RECUENCI*

*BSOUT*

1 ) ;i ni 23=.+6 =1 10.2/ & ;;=.1= 1>1.=: 1

) ;;=.1= & =2:./1 I:2.02 + =2:./1 & >1>.10 ==;.I> :2 >1>.10 & 22/1.// 2/0.; 1 & 22II.I: /TOT* 2;T*B* NF 9.& !abla hallada y 7arca de clase de cahuish


$romedi =I:.=1

esviacin Est%ndar 2;./I1

0= 1874 .825

=0 .0011


)(x )=0 e0x

Pgina 49


50/71


)(x )=0 .0011e0 .0011x


0*RC*

DEC*SE

,RECUENCI*

*BSOUT*

,RECUENCI*

RE*TIV*

,RECUENCI*

*BSOUT**CU0U

*D*

,RECUENCI*

RE*TIV**CU0U

*D*

,UNCION

DENSID*DE0/>RI

C*

,UNCIONDENSID*D

TEORIC*E@/ONENCI*

;i ni hi (i Si fe f'&E'ponencial

23=.+6 / / / / /.///;=

393.82 1 /.020 1 /.020 /.// /.///1=

721.+1 /.21 I /.:0= /.//2 /.///:>

886.79 : /.1/ 22 /.;== /.// /.///:2

1=+).)6

1 /.020 2; 2./// /.// /.///01

1177.72

/ /./// 2./// /./// /.///0/

2; 2./

T*B* NF 1=.& !abla de marca de clase total de ahuish

Pgina 50


51/71


4000 6000 8000 10000 12000 14000

0

005

01

015

02

025

03

035

UNCION DENSIDAD ESTACION CAHUISH ! "#, "$, "%-E%5&0$.1()*

i

.

.-Enn7ia

D(+& $ M(#.( $ C)($

/0.1

&0$

r?io 1): 0ara (e la&e v& 4?re%enia relativa# ,%nin (en&i(a( e"!ria#

?%nin (en&i(a( teria E!onenial5

Pgina 51


52/71


4000 6000 8000 10000 12000 14000

0

0

0

0

0

0

UNCION DENSIDAD ESTACION DE CAHUISH! "#, "$, "%-E%5&0$0.1()*

.

.-Ennia

D(+& $ M(#.( $ C)($

/0.1

&0$

r?io 1+: 0ara (e la&e v& 4,%nin (en&i(a( e"!ria# ?%nin (en&i(a( teria

E!onenial5

Pgina 52


53/71


350.00 550.00 750.00 950.00 1150.00

0.00000

0.00100

DISTRIBUCION EPONENCIAL ESTACION CA!UIS!

M"#C" $E C%"&E

F(X)- EX'EC*"%

r?io12 : 0ara (e la&e v& 4?%nin (en&i(a( teria E!onenial5

Pgina 53


54/71


2.+ EST*CIN S*C*;/*0/*:


*O ////

4Or(ena(o&5

2>1: 667.3= =I=.:/

2>11 63+.3= =I/.=/

2>1; 2+3.== I;1.//

2>1I 6)8.6= I:;.2/

2>1= 633.7= ;>1.:/

2>1> 763.== ;;I.1/

2>;/ 627.+= ;11.I/

2>;2 878.2= ;10.1/

2>; 726.1= ;:I.0/

2>;0 87=.8= ;=.;/

2>;: 363.7= ;.;/

2>;1 2=).1= 1=:.:/

2>;; 382.2= 1;1.I/

2>;I 693.2= :01.//

Pgina 54


55/71


2>;= 216.8= :2;.=/

2>;> 6)).6= :/.2/

$)B7E ? ;0>.;=2

.- ? 2:2.20

g ? &/.22I

T*B* NF 11.-atos hidrolgicos de la Estacin de -hacaypampa

1=. Cal%lar (i&trib%in (e ?re%enia&:


3mite inferior ? :/.2/

3mite superior ? =I=.:/


) ? 3s W 3i

) ? =I=.:/W :/.2/

) ? :I;.0/


Regla (e St%rge&:

m ? 2 T 2.00 ln8n9

Pgina 55


56/71


nde5 n ? 2;

m ? :.;=I1


G 21=.I;;I

11. alla"o& lo& intervalo& (e la&e "ara (e la&e ' ?re%enia ab&ol%ta:

NU0ERO

DE

INTERV*O

DE C*SE H


DE

C*SE

,RECUENCI*

*BSOUT*

1 2 MC 4 4256 01 40210 - 52118 46164 3

) 52118 - 64025 58071 4+ 64025 - 75933 69979 62 75933 - 87840 81886 3 93794 0TOT* 16

T*B* NF 1).& !abla de Pntervalos de clases, marca de clase y frecuencia absoluta

Pgina 56


57/71



Pgina 57


58/71


1). Con lo& (ato& obteni(o& $alla"o& la tabla e&ta(&tia: ' la& gra?ia&:

NU0ERO

DE

INTERV*O

DE C*SE H

INTERV*O DE

C*SE

0*RC

* DE

C*SE

,RECUENCI

* *BSOUT*

,RECUENCI

* RE*TIV*

,RECUENCI*

*BSOUT*

*CU0U*D

*

,RECUENCI*

RE*TIV*

*CU0U*D

*

,UNCION

DENSID*

D

E0/>RIC*

,UNCION

DENSID*D

TEORIC*

NOR0*1 2 MC 4 "# 6 "$ "%-

'()

425

6

0 0 0 00003

1 402

10

-

521

18

46164 3 0188 3 0188 00016 0001

) 521

18

-

640

25

58071 4 0250 7 0438 00021 0003

+ 640

25

-

759

33

69979 6 0375 13 0813 0003 0003

2 759

33

-

878

40

81886 3 0188 16 1000 0002 0001

93794 0 0000 1000 0000 0000

TOT* 16 10

T*B* NF 1+.-!abla estadstica de la Estacin de -hacaypampa

Pgina 58


59/71


Pgina 59


60/71

CA -Pgina

UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO

DIS$RI*UI!N N!R'A" E+P!NENIA" - $IAPA'PA, AUIS SAAPA'PA

3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0

00501

015

02

025

03

035

04

UNCION DENSIDAD ESTACION SHACAYPAMPA ! "#, "$, "%-N'()*

./

.

.-n/a

D(+& $ M(#.( $ C)($

/0.1&

0$

r?io 13: 0ara (e la&e v& 4?re%enia relativa# ,%nin (en&i(a( e"!ria#

?%nin (en&i(a( teria nor"al5


61/71

CA -Pgina



3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

0

00

0

0

0

0

0

UNCION DENSIDAD ESTACION DE SHACAYPAMPA ! "$, "%-N'()*

.

.-n/a

D(+& $ M(#.( $ C)($

/0.1&

0$


nor"al5


62/71

CA -Pgina



0

0-05

0-1

0-15

0-2

0-25

0-3

0-35

0-4

0000

0377

0250

045

0377

0000

HISTOGRAMA - ESTACION SHACAYPAMPA

MARCA DE CLASE

RECUENCIA RELATIVA



63/71

CA -Pgina



342.5625461.63749999999999580.71249999999998699.78750000000002818.86249999999882937.93749999999909

0

1

2

3

4

5

6

7

0

3

4

6

3

0

POLIGONO DE FRECUENCIA - ESTACION S!ACA"PAMPA

Marca de Clase

Frecuencia Relativa



)(x )=0 e0x

Dn(e:

@: 0ara (e la&e

0=1x



64/71

CA -Pgina



NU0ERO DE

INTERV*O

DE C*SE H

INTERV*O

DE C*SE

0*RC*

DE

C*SE

,RECUENCI*

*BSOUT*

1 2 Y1 1 4256 0

1 4021

0

- 5211

8

46164 3

) 5211

8

- 6402

5

58071 4

+ 6402

5

- 7593

3

69979 6

2 7593

3

- 8784

0

81886 3

- 93794 0TOT* 16

T*B* NF 12.& !abla hallada y 7arca de clase de -hacaypam


$romedi ;0>.;=2

esviacin Est%ndar 2:2.20

0= 1639 .681=0 .0016


)(x )=0 e0x


65/71

CA -Pgina



)(x )=0 .0016e0 .0016x


0*RC*DE

C*SE

,RECUENCI*

*BSOUT*

,RECUENCI*

RE*TIV*

,RECUENCI*

*BSOUT*

*CU0U

*D*

,RECUENCI*

RE*TIV*

*CU0U

*D*

,UNCION

DENSID*D

E0/>RI

C*

,UNCIONDENSID*DTEORIC*E@/ONEN

CI*

;i ni hi (i Si fe f'&E'ponencial

+2).36 / / / / /.///>

261.62 0 /.2== 0 /.2== /.// /.///I;

38=.71 : /.1/ I /.:0= /.// /.///;0

699.79 ; /.0I1 20 /.=20 /.//0 /.///1

818.86 0 /.2== 2; 2./// /.// /.///:0

9+7.92 / /./// 2./// /./// /.///0;

16 10

T*B* NF 13.& !abla de marca de clase total Estacin de -hacaypampa


66/71

CA -Pgina



2000 4000 6000 8000 10000

0

0

0

0

0

0

0

0

UNCION DENSIDAD ESTACION DE SHACAYPAMPA ! "#, "$, "%-E%5&0$0.1()*

.

.-Enn7ia

D(+& $ M(#.( $ C)($

/0.1

&0$


E!onenial5


67/71

CA -Pgina



200.00 400.00 600.00 800.00 1000.00

0.00000

0.00100

DISTRIBUCION EPONENCIAL ESTACION S!ACA"PAMPA

M"#C" $E C%"&E

F(X- EX'EC*"%)

r?io)= : 0ara (e la&e v& 4?%nin (en&i(a( teria E!onenial5


68/71

CA -Pgina



VIII.- CONCUSIONES:

En el !ratamiento Estadstico de datos Sidrolgicos, los par%metros

$oblacionales son los mismos que los muestrales.

$odemos decir que los datos son confiables ya que al calcularlos por

mtodos diferentes llegamos a resultados apro'imadamente iguales.

Enn :; :iin n/a ? %:= a/a

a:a/ @a/ : n Bn n /ang ; a ;i/i=:i>n

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P:;i =/@a/ :, a ;i/i=:i>n n/a a/a : anii


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a+alores > a// a ;ia ? a ;@iai>n n;a/

;B ;a :a n ;an :na i;a ;B a :/a

[email protected] RECO0END*CIONES:

3os datos deben ser actuales y precisos para iniciar con el tratamiento

estadstico.

El uso estadstico es recomendable para este tipo de tratamiento ya que

permite darnos valores precisos.

Kue la G(+-+7 y en especial la Vacultad de Pngeniera +grcola brinde

apacitacin y harlas sobre -otFares modernos de la arrera, para cada

urso de especialidad que llevamos durante el $regrado, como por ejemplo

el +uto+ 3and y sobre temas ligados con la Pngeniera +grcola

3a adquisicin por parte de la facultad de la arta (acionales ya que en este

momento la facultad no cuenta con estos. 3a adquisicin de estas cartas

beneficiaria a los alumnos de agrcola, as como para toda la Gniversidad.


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eben firmen convenios con Pnstituciones p#blicas y privadas que tengan

relacin en los cursos que se llevan, por ejemplo en la rama de Sidrologa

con instituciones que hagan estudios de las cuencas de nuestro pas. para

aportar en la formacin pr%ctica y profesional de los alumnos.

@.- BIBIOR*,I*:

L1M =1.

L3M7EXP+, +bel. 7todos estadsticos en hidrologa. Gniversidad (acional de +graria 3a

7olina. 3ima.2>>2.

L6M+3++, Xos. Estadstica general. Xurdica. 3ima.2>>2.

L7M)EYE-, !oribio. )egionali"acin de los audales 7%'imos Pnstant%neos +nuales de la

uenca del )o -anta. Gniversidad (acional -antiago +nt#ne" de 7ayolo.

Suara"./2:.


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Estadística y probabilidades en hidrologia

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