Estadística Descriptiva - UPMasignaturas.topografia.upm.es/asignaturas/...Estadística Descriptiva...

Estadística Descriptiva

Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

ÍNDICE

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

1. Población y Muestra 4

2. Variables estadísticas 4

3. Frecuencias 5

4. Distribuciones 7

5. Representación gráfica 11

5.1 De caracteres cuantitativos

5.1.1 De variables estadísticas discretas sin agrupar

11

5.1.1.1 Diagrama de barras 11

5.1.1.2 Polígono de frecuencias 12

5.1.1.3 Diagrama de frecuencias acumuladas 12

5.1.2 De variables estadísticas discretas con valores

agrupados en intervalos

14

5.1.2.1 Histograma 14

5.1.2.2 Polígono de frecuencias 14

5.1.2.3 Polígono de frecuencias acumuladas 15

5.2 De caracteres cualitativos 17

5.2.1 Diagramas de sectores 17

5.2.2 Pictogramas 18

5.2.3 Cartogramas 18

6. Medidas de posición o centralización 18

6.1 Media aritmética 19

6.2 Moda 21

6.3 Mediana 21

6.4 Cuantiles 25

7. Medidas de dispersión. 29

7.1 Rango o recorrido 29



7.2 Recorrido intercuartílico

29

7.3 Varianza 29

7.4 Varianza muestral o cuasivarianza 31

7.5 Desviación típica 31

7.6 Desviación típica muestral 31

7.7 Coeficiente de Variación de Pearson 32

7.8 Momentos 33

8. Características de forma: 34

8.1 Sesgo o Coeficiente de asimetría de Fisher 35

8.2 Curtosis o Coeficiente de apuntamiento 36

9. Diagrama de Caja 37



Es un hecho reconocido que la Estadística es necesaria en todos los campos donde se

avance en investigación.

Los principios estadísticos son independientes de la materia en la que se apliquen; los

principios son generales aunque las técnicas pueden ser distintas.

Se hace ciencia cuando el estudio se ocupa de la observación y clasificación de los

hechos. Estadística es la ciencia de los datos. Los datos o hechos numéricos son esenciales para

tomar decisiones en casi todas las áreas de nuestra vida.

Por ejemplo, llevar paraguas depende de la probabilidad de lluvia. Si observamos que

las medidas de una mujer son 90-60-90, esto significa que esa persona tiene unas proporciones

que se consideran perfectas.

En una empresa se manejan muchos datos sobre ventas, inventarios, personal, gastos,

clientes, equipos, etc. Todos estos datos han de ser interpretados de alguna forma, tarea que

requiere presentar los números de manera que su mensaje aparezca claramente.

Para poder usar los datos con fines concretos debemos resumirlos y describirlos; esta

tarea corresponde a la estadística descriptiva. El análisis de los datos combina resúmenes

numéricos con representaciones gráficas.

Imaginemos que asistimos a una partida de dados: primeramente observamos el

desarrollo de la partida y anotamos los resultados (estadística descriptiva), como sabemos que

con dos dados el resultado más probable es 7 (estadística matemática) y tomaremos la decisión

de jugar o no dependiendo de la comparación de los resultados (inferencia estadística).

En la estadística descriptiva se ven cosas pero no se pueden probar de una manera

formal. La estadística descriptiva y la estadística matemática son complementarias.

El análisis de datos requiere una colaboración dinámica entre el especialista en el asunto

(el que posee los datos) y estadístico (el que los analiza).



El primer paso en un análisis de datos es su inspección, familiarizarse con los datos y

encontrar características extraordinarias. El siguiente paso es la comparación: comparar datos

y comparar modelos. Por último, la interpretación. Muy a menudo el ciclo entero comienza de

nuevo.

1. POBLACIÓN y MUESTRA

Población es un conjunto de elementos de los cuales nos interesa estudiar alguna

característica común. El estudio que se haga servirá para conocer y describir a esa población.

Muestra es una parte de la población. Los resultados que se obtienen de su estudio se

tratan de extrapolar para toda la población.

La característica que queremos estudiar de la población presentará diversas modalidades

que son los posibles valores que puede tomar.

Los caracteres pueden ser:

cualitativos: las diversas modalidades no son valores numéricos.

Ejemplo: "el color del pelo de un grupo de personas".

cuantitativos: las diversas modalidades son números reales.

Ejemplo: "el número de miembros de las familias que viven en Madrid".

Estos números son los diferentes valores que toma una variable estadística.

2. VARIABLES ESTADÍSTICAS

Variable estadística cuantitativa es una aplicación que asigna a cada elemento de la

población un número real, que es el valor de la característica cuantitativa que estamos

estudiando.

E = población→R

Una variable estadística es discreta si sus valores posibles pertenecen a un conjunto

numerable. El caso más frecuente de variables discretas es aquel en que los valores posibles

son números enteros. Así:



- El número de hijos en una familia.

- El número (o la proporción) de piezas defectuosas de un lote de 1000 piezas.

Una variable estadística es continua si sus valores posibles pertenecen a un

conjunto no numerable, en general valores de R o de un intervalo de R.

- El diámetro de una pieza.

- La temperatura de un cuerpo.

En general, todas las magnitudes, relacionadas con el espacio, con el tiempo, con la

masa o bien las combinaciones de estos elementos son variables estadísticas continuas.

Rango o recorrido de la variable es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de

la variable.

3. FRECUENCIAS

Sea una población de N elementos, de la cual estudiamos el carácter X que presenta las

modalidades 1 2 kx , x ,......, x . Para cada modalidad ix se define:

• Frecuencia absoluta, ni , es el número de elementos que poseen la modalidad

ix . Se tiene que n Nii

k

=∑ =

1

.

• Frecuencia relativa, fi , es el cociente entre la frecuencia absoluta ni y el número

total de elementos N, es decir, fn

Nii= . Se tiene que fi

i

k

=∑ =

1

1.

• Frecuencia absoluta acumulada, Ni, es el número de elementos que poseen la

modalidad ix . o alguna de las anteriores (para lo cual tienen que estar ordenadas

previamente), es decir, N ni jj

i

==∑

1

. Se tiene que N Nk = .



• Frecuencia relativa acumulada, Fi , es el cociente entre la frecuencia absoluta

acumulada y el número total de elementos N, es decir, FN

Nii= . Se tiene que F 1k = .

El estudio de las distribuciones de frecuencia tiene como objeto construir tablas

verticales u horizontales que se utilizarán para una mejor presentación e interpretación de los

datos obtenidos en la muestra.

En la primera columna (fila) se escriben los valores de la variable y en la segunda el

número de veces que se repite el valor de la variable.

La tabla (1) formada por la variable junto con sus respectivas

frecuencias absolutas se denomina distribución de

frecuencias absolutas.

k

1 2 k ii 1

n n ... n n N=

+ + + = =∑

La tabla (2), formada por los valores de la variable junto con

sus respectivas frecuencias relativas, se denomina distribución de

frecuencias relativas.

k ki

i 1 ki 1 i 1

nf f ... f 1

n= =

= = + + =∑ ∑

i

j ij 1

n N=

=∑ , y se verifica kN N=

La tabla (3) es la distribución de frecuencias absolutas

acumuladas.

ii

NF

N= , y se verifica kF 1= .

La tabla (4) es la distribución de frecuencias relativas acumuladas.

X in

1x 1n

2x 2n

.

.

.

.

kx kn

N

Tabla 1

X fi

x1 f1

x2 f2

.

.

.

.

xk fk

1

Tabla 2

X Fi

1x 1F

2x 2F

.

.

.

.

kx kF 1=

Tabla 4

X Ni

1x 1N

2x 2N

.

.

.

.

kx kN N=

Tabla 3



También es frecuente usar una tabla llamada sumario estadístico, en la que aparecen los

valores de la variable junto con los valores de los distintos tipos de frecuencia.

EJEMPLO 3:

El número de hectáreas radiadas por día, en un total de 90 días han sido:

0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 0,

0, 1, 1, 3, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 4, 1, 0, 4, 5, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0,

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1, 1.

Obtener la distribución de frecuencias absolutas y la de frecuencias absolutas

acumuladas.

Solución:

Distribución de frecuencias:

Absolutas Absolutas acumuladas

Nº de hectáreas Nº de días Nº de hectáreas Nº de días

xi ni xi Ni

0 26 0 26

1 40 1 66

2 14 2 80

3 6 3 86

4 3 4 89

5 1 5 90

Total 90 Total 90

4. DISTRIBUCIONES

Distribución de frecuencias: es el conjunto de modalidades con sus respectivas

frecuencias. Según sean éstas (absolutas, relativas,....) así lo será la distribución

correspondiente.



Las distribuciones de frecuencias se representan mediante tablas estadísticas.

Se clasifican en dos tipos:

- Sin agrupar: aparecen los datos individualizados con sus respectivas

frecuencias. Se utiliza cuando la variable toma pocos valores diferentes.

- Agrupados en intervalos se divide el campo de la variable en intervalos

llamados de clase, que tendrán como frecuencia el número de elementos que estén en el

intervalo. Se utiliza cuando la variable toma muchos valores distintos entre sí.

0 1 2 ke e e ... e< < < < , siendo k el número de clases

La agrupación en intervalos tiene la ventaja de la simplicidad de los cálculos, y

el inconveniente de la pérdida de información.

Los intervalos serán todos de la misma amplitud procurando que los datos se distribuyan

más o menos homogéneamente a lo largo de todo el recorrido, de forma que no haya ninguna

clase con muchos elementos (más del 30%) ni varias clases con pocos o ningún elemento

(menos del 5%).

Es importante que no existan intervalos con frecuencia cero.

El nº de intervalos que se toma dependerá del número de datos y de la dispersión de los

mismos.

Algunos criterios a seguir es tomar k como el entero más próximo a:

a) 1+3.3log10(N) ; b) 2 N

A los extremos del intervalo se les llama límites de clase (superior e inferior). Estos se

deben tomar de forma que se solapen los intervalos, es decir, que el extremo superior de uno

sea el inferior del siguiente.

Para evitar la ambigüedad que suponen los valores de la variable que coincidan con

algún extremo, se pueden seguir dos criterios:



- Incluir siempre el extremo superior, pero no el inferior de cada clase, salvo en la

primera que se incluyen los dos. Es decir, tomar intervalos de la forma (a,b].

- Tomar los extremos de los intervalos con un decimal más que los dados, de forma que

no pueda coincidir con ninguno de ellos.

Se llama marca de clase (xi) al punto medio del intervalo de clase ei-1- ei. En todos los

cálculos se opera como si la marca de clase tuviera la frecuencia absoluta de todo su intervalo.

La marca de clase se obtiene sumando los límites superior e inferior de clase y

dividiendo por 2, es decir, xi =+−( )e ei i1

2.

Tamaño de clase o amplitud de clase "a" es la diferencia entre los límites de clase.

ae e

kk=− 0 La distribución de frecuencias quedaría así:

Intervalo Marca de

clase x1

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Frecuencia

relativa

acumulada

Frecuencia

absoluta

acumulada

[ ]0 1e , e x1 n1 f1 F1 N1

( ]1 2 e , e x2 n2 f2 F2 N2

........... ... ... ... ... ...

( ]i 1 i e , e− xi ni fi Fi Ni

........... ... ... ... ... ...

( ]k 1 k e , e− xk nk fk 1 N

Designamos por (ni) al número de observaciones que quedan dentro del intervalo ( ]i 1 i e , e− .

EJEMPLO 4:

Los precios de 95 ordenadores en diciembre de 2014, dados en euros, son los

siguientes:



3000 1200 740 1750 3409 580 840 1700 2300 715

3910 545 1380 815 565 3000 890 1580 800 3650

2240 1975 1745 3030 2350 3700 735 990 800 930

915 1100 1280 1163 1410 2050 3600 1260 1600 735

4260 1500 1000 1000 1600 1900 2150 2495 3200 850

540 2900 4500 3600 1035 1520 2495 1357 750 715

2775 2540 1470 395 3900 995 2200 900 1500 1500

1995 2650 1335 885 360 2100 2400 1200 1335 3310

600 755 500 990 765 1020 630 1555 640 950

630 1500 2300 3500 1825

Obtener una distribución de frecuencias agrupadas.

Solución:

El más caro es 4500 y el más barato 360, luego el recorrido es 4500-360 = 4140.

Elegimos intervalos de la misma amplitud de modo que, los datos se distribuyan de

forma relativamente homogénea a lo largo del recorrido.

Con el criterio, k igual al entero próximo a: 101 3.3 log (95) 7.6+ ⋅ ≈ , elegimos 7

intervalos de amplitud 600 y semiabiertos (a,b].

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

INTERVALO MARCA

DE CLASE

ABSOLUTA ABSOLUTA

ACUMULADA

RELATIVA RELATIVA

ACUMULADA

e ei i− −1 xi ni Ni fi Fi

300 - 900 600 27 27 0.2842 0.284

900 - 1500 1200 26 53 0.2737 0.558

1500 - 2100 1800 14 67 0.1474 0.705

2100 - 2700 2400 11 78 0.1158 0.821

2700 - 3300 3000 6 84 0.0632 0.884

3300 - 3900 3600 8 92 0.0842 0.968

3900 - 4500 4200 3 95 0.0316 1.000



5. REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Una buena representación gráfica, junto con las tablas de frecuencias anteriormente citadas,

permiten captar rápidamente las características de la muestra, así como resumir y analizar los

datos.

Según sean los datos, las gráficas se pueden clasificar en:

• De Caracteres Cuantitativos.

• Variable estadística discreta sin agrupar. Diagrama de barras. Polígonos de

frecuencias. Diagrama de frecuencias acumuladas.

• Variable estadística discreta con frecuencias agrupadas en intervalos.

• Histograma. Polígonos de frecuencias. Polígonos de frecuencias acumuladas.

• De Caracteres Cualitativos.

• Diagrama de barras. Diagrama de sectores. Pictogramas. Cartogramas

5.1 De caracteres cuantitativos

5.1.1 Para variables discretas (sin agrupar):

DIAGRAMA DE BARRAS

Esta representación es válida para las

frecuencias de una variable discreta, sin

agrupar. Se colocan sobre el eje de las

abscisas los distintos valores de la variable y

sobre cada uno de ellos se levanta una línea

o barra perpendicular, cuya altura es la

frecuencia (absoluta, relativa) de dicho

valor.



En caso de utilizarse para comparar muestras distintas de una misma variable, se debe tener

precaución, ya que, en este caso, debemos usar frecuencias relativas para eliminar la

influencia visual que ejerce el tamaño de cada una de las muestras.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Es una línea que se obtiene uniendo los extremos superiores de las barras en el diagrama

de barras.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

00,10,20,30,40,50,60,70,80,91

frecuencia (absoluta o relativa)

DIAGRAMA DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

Diagrama de frecuencias acumuladas o diagrama de barras acumulativo.

Representamos en el eje de abscisas los distintos valores de la variable estadística.

Levantamos sobre cada uno de ellos una perpendicular cuya longitud será la frecuencia

(absoluta o relativa) acumulada correspondiente a ese valor. De esta forma aparece un diagrama

de barras creciente. Trazando segmentos horizontales de cada extremo de barra a cortar la barra

situada a su derecha se obtiene el diagrama de frecuencias acumuladas.

0

5

10

15

20

25

30

35

40 N

xi

i

Se trata de poder observar la acumulación de frecuencias hasta un valor determinado de

la variable; por ello, es muy útil para calcular percentiles de una forma gráfica.



EJEMPLO 5.1:

El número de hectáreas radiadas por día, en un total de 90 días han sido:

0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 2, 3, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, 1, 1, 0, 3, 0, 0, 1, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 0,

0, 1, 1, 3, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 4, 1, 0, 4, 5, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0,

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1,1, 1, 1, 1, 1.

Se pide:

a) Diagrama de barras.

b) Polígono de frecuencias.

c) Construir el diagrama de frecuencias acumuladas.

Solución:

a) Diagrama de barras de frecuencias absolutas

b) Polígono de frecuencias absolutas:

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4 5

Polígono de frecuencias absolutas

c) Diagrama de frecuencias absolutas acumuladas



5.1.2 Representación gráfica de variables estadísticas discretas con valores agrupados

en intervalos

HISTOGRAMA

Es la representación gráfica más frecuente para datos agrupados.

En un histograma se representan las frecuencias mediante áreas. De tal forma que un

histograma es un conjunto de rectángulos que tienen como base los intervalos de clase y cuya

superficie son las frecuencias (absolutas o relativas).

Por tanto, los rectángulos tienen que solaparse (variable agrupada en intervalos) y el

área de cada rectángulo será proporcional a la frecuencia (ni o fi) del intervalo. En cuyo caso

las alturas son proporcionales a las frecuencias, y será el cociente entre la frecuencia y la

amplitud del intervalo.

Si algún intervalo es de distinta amplitud, el cálculo de su altura (hi) se efectuará hallando el

cociente ii

i

nh

a= o i

ii

fh

a= , donde ai representa la amplitud del intervalo.

ni

ei-1 ei

niai

f i

ei-1 ei

f iai

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

El polígono de frecuencias es una línea que se obtiene uniendo los puntos medios de las

bases superiores (los techos) de cada rectángulo en el histograma. De forma que empiece y



acabe sobre el eje de abscisas, en el punto medio del que sería el intervalo anterior al primero

y posterior al último respectivamente.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

En el eje de abscisas representamos los distintos intervalos de clase que han de estar

naturalmente solapados. Sobre el extremo superior de cada intervalo se levanta una línea

vertical de longitud equivalente a la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada del mismo. Se

obtiene así un diagrama de barras creciente, que uniendo sus extremos da lugar al polígono de

frecuencias acumuladas.

Alcanzará su máxima altura en el último intervalo, que tendrá de frecuencia N o 1 según

se trate de frecuencias acumuladas absolutas o relativas.

Es muy útil para calcular percentiles de una forma gráfica. El gráfico se obtiene al unir

mediante una poligonal los puntos (ei, Ni) o (ei, Fi).

Al ser un gráfico de datos agrupados en intervalos, el polígono siempre empieza en (e0,

0) y acaba en (ek, N) o (ek, 1).



EJEMPLO 5.2:


siguientes:

3000 1200 740 1750 3409 580 840 1700 2300 715

3910 545 1380 815 565 3000 890 1580 800 3650

2240 1975 1745 3030 2350 3700 735 990 800 930

915 1100 1280 1163 1410 2050 3600 1260 1600 735

4260 1500 1000 1000 1600 1900 2150 2495 3200 850

540 2900 4500 3600 1035 1520 2495 1357 750 715

2775 2540 1470 395 3900 995 2200 900 1500 1500

1995 2650 1335 885 360 2100 2400 1200 1335 3310

600 755 500 990 765 1020 630 1555 640 950

630 1500 2300 3500 1825

a) Dibujar el histograma

b) Polígono de frecuencias.

c) Polígono de frecuencias acumuladas.

Solución:

a) Previamente realizamos un agrupamiento por clases o intervalos de amplitud 600:

e ei i− −1 xi ni Ni

300 - 900 600 27 27

900 - 1500 1200 26 53

1500 - 2100 1800 14 67

2100 - 2700 2400 11 78

2700 - 3300 3000 6 84

3300 - 3900 3600 8 92

3900 - 4500 4200 3 95

Sumas = 95

b)

0 1 2 3 4 5

Precio(X 1000)

0

5

10

15

20

25

30

frecu

encia

s abso

lutas

Histograma

0 1 2 3 4 5

Precio(X 1000)

0

5

10

15

20

25

30

Frecu

encia

absol

uta

Pol¡gono de frecuencias



c)

0 1 2 3 4 5

Precio(X 1000)

0

20

40

60

80

100

Frecu

encia

s acu

mulad

as

Pol¡gono de frecuencias acumuladas

5.2 Representaciones gráficas de variables estadísticas cualitativas.

Existe una gran multitud de gráficos para representar los datos de una muestra o

población de una variable estadística cualitativa. Nosotros solo mostramos algunos de ellos.

DIAGRAMAS DE BARRAS

Se representan en el eje de abscisas los distintos caracteres cualitativos y se levantan

sobre ellos rectángulos de bases iguales que no tienen que estar solapados y cuyas alturas serán

las correspondientes a la frecuencia absoluta de cada carácter.

DIAGRAMA DE SECTORES

En un círculo se asigna un sector circular a cada uno de los caracteres cualitativos,

siendo la amplitud del sector proporcional a la frecuencia relativas o absolutas del carácter.

21363870

1830

4328

2060

010002000300040005000

Mat

emát

icas

Filo

sofia

Dere

cho

Econ

ómic

as

Quí

mic

as

Matemát.15%

Filosofía27%

Derecho13%

Económicas30%

Químicas15%



PICTOGRAMAS

Cada modalidad se representa por un dibujo de tamaño proporcional a la frecuencia de

la misma. También es frecuente tomar un dibujo estándar y repetirlo un número de veces

proporcional a la frecuencia.

CARTOGRAMA

Es la representación sobre mapas del carácter estudiado. Usualmente las distintas

modalidades que adopta este carácter se representan con colores de distinta intensidad o

distintas tramas; como ejemplo podemos observar el cartograma elaborado por el Instituto de

Estadística de la Comunidad de Madrid. Consejería de Economía y Consumo sobre “la renta

per cápita del año 2004 en la Comunidad de Madrid”.

6.0 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS

Los parámetros estadísticos son ciertos valores representativos de un conjunto de datos, en el

sentido de condensar en ellos la información contenida en dicho conjunto. Estos parámetros

estadísticos nos proporcionarán información acerca de la situación, dispersión y forma de los

datos. En este curso estudiamos las siguientes medidas o parámetros:

6. MEDIDAS DE POSICIÓN Y CENTRALIZACIÓN

Tienen por objeto dar una idea del valor o valores de la variable, alrededor de los cuales

se agrupa una cantidad de datos.



6.1. Media aritmética.

La media, media aritmética o promedio de una variable estadística es la suma

ponderada de los valores posibles por sus respectivas frecuencias.

1 1 2 2 k kn x n x ... n xXN

k

i ii 1

1 n xN

k

i ii 1

f x

x i = valores que toma la variable o marca de clase.

fi = frecuencias relativas.

n i = frecuencias absolutas.

N = número total de la población o muestra.

PROPIEDADES:

1) La media de las diferencias a la media es nula, es decir, la suma de las desviaciones

de los valores de la variable estadística respecto de su media es cero.

k k k k

i i i i i ii 1 i 1 i 1 i 1

(x X) f x f X f X X f X X 0

2) La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto

de cualquier número es mínima para = X N

2i

i 1( ) (x )

N

ii 1

( ) 2 (x ) ( 1)

= 0 N N

ii 1 i 1

x 0

k

ii 1

x N

=X

Y en efecto, es mínimo: N

i 1( ) 2 2N 0

3) Si se suma una constante “a” a los N valores de la variable, la media queda aumentada

en dicho valor “a”.



( )k k

i i i ii 1 i 1

a X a x f a x f a X= =

+ = + = + = +∑ ∑

4) Si se multiplican todos los valores de la variable estadística X por una constante “b”,

la media queda multiplicada por la constante “b”.

k k

i i i ii 1 i 1

bX bx f b x f bX= =

= = =∑ ∑

Podemos concluir que para una nueva variable Y=a+bX se cumple que Y a bX= + .

5) La media aritmética está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del

conjunto de datos.

Solo es aplicable para variables estadísticas cuantitativas.

No depende del orden en el que estén colocados los datos.

Es más representativa cuanto mayor sea la concentración de los valores alrededor suyo y más

simétrica sea la distribución.

Es muy sensible a la presencia de datos extremos.

Nota:

Cuando no todos los datos tienen la misma importancia con respecto del resto, se le

asigna los llamados pesos o ponderaciones, se le llama media aritmética ponderada.

k

i i1 1 2 2 k k i 1

k1 2 k

ii 1

x wx w x w ... x w

Xw w ... w w

=

=

+ + += =

+ + +

∑

∑

= valores que toma la variable o datos.

wi = pesos.

xi



6.2 Moda, M0, es el valor de la variable que se presenta con más frecuencia dentro de

la distribución.

En las distribuciones sin agrupar se observa directamente el valor de mayor frecuencia.

En las agrupadas, definimos la clase o intervalo modal como la que tiene mayor

frecuencia.

NOTA: Algunas distribuciones pueden presentar varias modas. Cada moda corresponde a un

máximo absoluto del diagrama de barras o histograma.

La moda tiene la ventaja de ser fácil su cálculo, pero tiene el inconveniente de que dos muestras

con datos muy parecidos pueden tener modas muy distintas.

Es importante observar que al agrupar en intervalos perdemos información acerca del auténtico

valor modal.

6.3 Mediana, M, es el valor de la variable que ocupa el lugar central de los valores de

la variable una vez que éstos han sido ordenados en sentido creciente. Por tanto, la mediana M

es un valor de la variable tal que el 50% de los datos son inferiores y el otro 50% de los datos

son superiores.

La mediana es un valor M tal que F(M)=1/2, se define así como raíz de una ecuación.

Cálculo de la mediana.

En primer lugar ordenamos los datos de menor a mayor.

a) Si los datos no están agrupados en intervalos, en general, no tiene solución, puesto que la

función F(x) varía por saltos:

1) Si ningún valor posible xi corresponde a F(xi )=1/2 se conviene en considerar como

mediana el valor xi tal que:

F x F xi i( ) ( )− < <1

1

2

o lo que es igual:



f f f f f f fi i i1 2 1 1 2 1

1

2+ + + < < + + + +− −...... .....

y con frecuencias absolutas:

n n nN

n n n ni i i1 2 1 1 2 12+ + + < < + + + +− −..... .....

1

F(x)

xM

1/21/21/21/2

EJEMPLO:

Sea la variable estadística X= {5, 1, 5, 2, 4, 2, 3, 6, 5}, entonces X= {1, 2, 2, 3, 4, 5, 5,

5, 6,}, resultando el término central M=4.

2) Si uno de los valores xi corresponde a F xi( ) =1

2 (lo que ocurre solamente si el total

N de la población es par) la mediana está indeterminada entre los valores xi y xi+1. El intervalo

(xi, xi+1) se denomina mediano, o bien llamamos mediana al punto medio de dicho intervalo.

M

1

xxi

xi+1

1/2

F(x)



EJEMPLO:

Sea la variable estadística X= {4, 1, 5, 2, 2, 3, 4, 5,}, entonces X={1, 2, 2, 3, 4, 4, 5,

5}, resultando el intervalo mediano [3, 4], o bien M=3.5.

En la tabla estadística, la mediana se determina a partir de la columna que da las

frecuencias relativas (o las frecuencias absolutas) acumuladas.

Otra forma de calcular la mediana es:

1 2 Nx x ... x≤ ≤ ≤

N 1

2

N N1

2 2

x si N es impar

M 1x x si N es par

2

+

+

= +

b) Si los datos están agrupados en intervalos:

INTERVALO xi ni Ni

e0 --- e1 x1 n1 N1

e1 --- e2 x2 n2 N2

............ ... ... ....

ei-1 --- ei xi ni Ni

............ ... ... ...

ek-1 --- ek xk nk N

1) N

2 coincide con uno de los recogidos en la columna de frecuencias acumuladas, por

ejemplo Ni, en este caso la mediana es ei.

2) N

2 está entre Ni-1 y Ni. La mediana se encontrará en el intervalo ( )i-1 ie ,e .

La mediana será i-1M e h= + y por interpolación lineal se obtiene h.



Se tiene:

i i i-1

i-1

n e - e a

N- N h

2

↔ =

↔⇒

i-1M e h= +

La interpolación lineal anterior puede

resumirse en la fórmula:

i 1

i 1i

NN a

2M e

n

−

−

− = +

EJEMPLO:

Consideremos los salarios de los empleados en una fábrica, el director gana 48000

€/mes, el subdirector 20000 €/mes, seis jefes 5000 €/mes cada uno, los cinco capataces 4000

y los diez operarios 2000 cada uno ¿Cuál es el salario medio? ¿Cuál el salario mediano? y

¿Cuál el salario modal?

Solución:

xi 2000 4000 5000 20000 48000 totales

ni 10 5 6 1 1

Ni 10 15 21 22 23 23

ki i

i 1

n x 138000X

N 23=

= = =∑ 6000 media aritmética.

1 2

N 2311.5 N 10 11.5 15 N

2 2= = ⇒ = < < = luego la mediana es x2=4000 y la moda corresponde

a n1=10 que es 2000.

¿Cuál de los tres valores anteriores describe mejor los sueldos percibidos por los empleados

de ésta fábrica?

La generalización del concepto de la mediana da lugar a nuevas medidas de posición que

llamaremos cuantiles.

Mediana ei-1 ei

N/2

Ni-1

h

Ni

ni

Gráfico 6.3



6.4. Cuantiles

Cuantil de orden α es un valor de la variable estadística que deja a su izquierda

una parte α de la población y a la derecha una parte 1- α de la población.

El Cuantil de orden α (0 ≤ α ≤ 1) es xα | F(xα )=α.

Los más utilizados son los cuartiles Q1, Q2 y Q3 que dejan a su izquierda 1/4, 1/2 y

3/4 de la población respectivamente.

Obsérvese que Q2 = M (Mediana).

Los deciles D1, D2, …, D9 dejan a su izquierda 1/10, 2/10, ..., 9/10 de la población

respectivamente.

Los percentiles P1, P2, ........, P99 dejan a su izquierda 1/100, 2/100, .... 99/100 de la

población respectivamente.

El cálculo de los mismos es similar al cálculo de la mediana.

Cálculo de cuantil de orden α

1 2 Nx x ... x≤ ≤ ≤

( )

[ N] 1

N N 1

x si N no es un número natural

x 1x x si N es un número natural

2

α +

αα α +

α=

+ α

Donde [ ], los corchetes significan la parte entera del producto, es decir, el menor entero mayor

o igual que αN.

Obsérvese que en todos los casos depende de que Nα sea entero o no lo sea.

En el caso de que los datos estén agrupados en intervalos, el cálculo se realiza de forma

semejante a como se realiza para la mediana, pero todo referido al intervalo que contenga el

valor de la frecuencia Nα , según sea el cuantil a calcular.



Si Nα está en el intervalo [ei-1, ei);

i i i 1

i 1

n e e a

N N h −

−

→ − =α − →

⇒ i 1P e hα −= + por

tanto, la interpolación lineal anterior se

puede resumir en la fórmula:

( )i 1i 1

i

N N aP e

n−

α −

α −= + .

EJEMPLO 6.4:


siguientes:

3000 1200 740 1750 3409 580 840 1700 2300 715

3910 545 1380 815 565 3000 890 1580 800 3650

2240 1975 1745 3030 2350 3700 735 990 800 930

915 1100 1280 1163 1410 2050 3600 1260 1600 735

4260 1500 1000 1000 1600 1900 2150 2495 3200 850

540 2900 4500 3600 1035 1520 2495 1357 750 715

2775 2540 1470 395 3900 995 2200 900 1500 1500

1995 2650 1335 885 360 2100 2400 1200 1335 3310

600 755 500 990 765 1020 630 1555 640 950

630 1500 2300 3500 1825

Se pide:

a) Cuartiles.

b) Segundo decil.

c) Percentil ochenta y seis.

d) ¿Para un precio de 3000€ que posición ocupa en la distribución?

Solución:

Pα ei-1 ei

Ni-1

h

Ni

ni

Gráfico 6.4

αN



e ei i− −1 xi ni Ni

300 - 900 600 27 27

900 - 1500 1200 26 53

1500 - 2100 1800 14 67

2100 - 2700 2400 11 78

2700 - 3300 3000 6 84

3300 - 3900 3600 8 92

3900 - 4500 4200 3 95

Sumas = 95

Mediana: La mediana es el valor de la variable cuya frecuencia acumulada es N/2.

( )N 9547.5 900,1500

2 2= = ∈

Observando la tabla de frecuencias acumuladas, vemos que la mediana está en el

intervalo 900 - 1500

El valor exacto lo calculamos por interpolación, suponiendo que los elementos de un

intervalo se distribuyen uniformemente a lo largo del mismo.

La frecuencia acumulada al final del intervalo anterior (300, 900) es 27. Por tanto, faltan

20.5 de los 26 elementos que constituyen el intervalo (900, 1500) de amplitud 600.

900 M 1500

Gráficamente

27

53

47.5

47.5 27 20.5 h

53 27 26 600

− = ↔− = ←→

(47.5 27) 600

h 473.07726

− ⋅= =

M 900 h 900 473.077 1373.077= + = + =

Por tanto, el precio mediano es 1373.077 €.

Los cuartiles los obtenemos de forma similar a la mediana.

Al primer cuartil le corresponde frecuencia acumulada N 95

23.754 4= =

Al tercer cuartil le corresponde frecuencia acumulada 3N 3 95

71.254 4

⋅= =



900 M 1500

Gráficamente

0

23.75

27

300 Q1

900

Gráficamente

2100 Q3

2700

67

71.25

78

23.75 0 23.75 h

27 0 27 600

− = ↔− = ↔

71.25 67 4.25 h

78 67 11 600

− = ↔− = ↔

23.75

h 600 527.77727

= = 4.25

h 600 231.81811

= =

1Q 300 h 300 527.777 827.777⇒ = + = + = 3Q 2100 h 2100 231.818 2331.818= + = + =

El segundo cuartil es la mediana = 1373.077€.

b) Al segundo decil le corresponde la

frecuencia acumulada

2N 9519

10 5= =

19 0 19 h

27 0 27 600

− = ←→

− = ←→

2

19 600D 300 h 300 722.22

27

⋅= + = + =

c) Al percentil ochenta y seis le corresponde la

frecuencia acumulada 86N 86 95

81.7100 100

⋅= =

86

(81.7 78) 600P 2700 h 2700 3070

6

− ⋅= + = + =

d) Se plantea el problema reciproco del anterior

i

(3000 2700) 6N 78 k 78 81

600

− ⋅= + = + = Sobre el

total representa aproximadamente el percentil 85.

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Percentil.wmv http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Percentil.mp4

D2 300 900

0

h

27

27 19

P86 2700 3300

78

h

84

6 81.7

3000 2700 3300

78 k

84

6 Ni

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Percentil.wmv

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/Percentil.mp4



7. MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión nos dan una idea de la mayor o menor concentración de los

valores de la variable alrededor de algún valor.

EJEMPLO:

Si consideramos 8 alumnos con calificación de 10 y 8 alumnos con un cero; la media

aritmética será 5. Si los 16 alumnos tienen un 5, la media también será cinco, sin embargo, las

dos situaciones son claramente distintas y la media es más representativa en el segundo caso,

al estar los valores concentrados en un único valor. La diferencia entre uno y otro caso se pone

de manifiesto con las medidas de dispersión.

7.1. Rango o recorrido

Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

EJEMPLO:

Si las observaciones son: 8, 3, 5, 7, 1, 1, 8, el recorrido es 8-1=7.

Es una medida muy sencilla de calcular, pero, poco robusta, pues solo tiene en cuenta

los valores extremos. Para evitar la influencia en el rango de los datos con valores extremos,

suele ser frecuente utilizar el rango o recorrido intercuartílico.

7.2. Rango o recorrido intercuartílico

El rango o recorrido intercuartílico o desviación cuartílica es la diferencia entre los

cuartiles Q1 y Q3 y se representa por IQR.

3 1IQR Q Q= −

Su cálculo es muy sencillo, y es una medida muy robusta en el sentido de no estar

influenciada por la presencia de valores extremos.

Del ejemplo 6.4, sabemos que 3Q 2331.818= y 1Q 827.777= , por tanto, IQR=1514.041.

Es fácil observar que el recorrido intercuartílico contiene el 50% de las observaciones centrales.

7.3. Varianza



Es la media de los cuadrados de las desviaciones a la media.

( ) ( )k k2 2

2i i i i

i 1 i 1

1x X n x X f

N = =

σ = − = −∑ ∑

xi = valores que toma la variable o marca de clase.

fi = frecuencias relativas.

ni = frecuencias absolutas.

N = número total de elementos de la población o muestra.

Propiedades de la varianza

1) La varianza es siempre positiva o nula.

2) Si se multiplican todos los valores de la variable por una constante “a”, la varianza queda

multiplicada por la constante “a2”.

Si y ax= entonces:

3) Si sumamos una constante “b” a los valores de la variable, la varianza no cambia.

Si y b x= + entonces:

( ) ( ) ( )k k k2 2 2

2 2y i i i i i i x

i 1 i 1 i 1

y Y f (b x ) (b X) f x X f= = =

σ = − = + − + = − = σ∑ ∑ ∑

Podemos concluir que para una nueva variable Y=aX+b se cumple que 2 2 2y xaσ = σ .

4) La varianza es la media de los cuadrados de la variable, menos el cuadrado de la media

de la variable.

( ) ( )k k2 22 2x i i i i i i i

i 1 i 1

x X f x f 2x Xf X f= =

σ = − = − + =∑ ∑k 22

i ii 1

x f X=

−∑

k2i i k2 22 2i 1

x i ii 1

x nX x f X

N=

=

σ = − = −∑

∑

( ) ( )k k2 2

2 2 2 2y i i i i x

i 1 i 1

y Y f a x X f a= =

σ = − = − = σ∑ ∑



5) Cuanto mayor sea la varianza, menos representativa es la media.

7.4. Varianza muestral o cuasivarianza.

Si los datos que estamos analizando son todos los elementos de la población la varianza

nos es útil para analizar la dispersión de dichos datos respecto de la media. Por el contrario, si

los datos son una muestra de la población, la varianza nos sirve para analizar la dispersión de

dicha muestra, pero… ¿nos sirve para analizar la dispersión de la población?

Si tomamos ahora otra muestra de la misma población, obtendremos una varianza de esta

segunda muestra, etc. Para cada muestra tendremos el valor de su varianza correspondiente.

Sería deseable que la media de todo este conjunto de varianza muéstrales fuese la varianza de

la población. Pero esto no es así (como se demuestra en Inferencia Estadística). Sin embargo,

sí hay una medida de dispersión, la varianza muestral que cumple esta condición, es decir tal

que la media de las cuasivarianzas muestrales es la varianza de la población. Es por esto por lo

que a veces se calcula la cuasivarianza (varianza muestral) en lugar de la varianza.

La varianza muestral viene dada por:

, es decir: 2 2k k

2 2 i i i i

i 1 i 1

(x X) n (x X) nN NS

N 1 N 1 N N 1= =

− −= σ = =

− − −∑ ∑

Nótese que para N suficientemente grande la diferencia entre σ2 y S2 es muy pequeña.

7.5 Desviación típica

La desviación típica o desviación cuadrática media es la raíz cuadrada positiva de la

varianza.

o bien,

Tiene la ventaja sobre la varianza de que está medida en las mismas unidades que la

variable.

7.6 Desviación típica muestral.

La desviación típica muestral es la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral.

2ki i

i 1

(x X) n NS

N 1 N 1=

−= = σ

− −∑

SN

N2 2

1=

−σ

σ σ= + = + −=∑( ) ( )2 2

1

x X fi ii

k

σ = + −=∑ x f Xi ii

k2 2

1



7.7 Coeficiente de variación de Pearson

Es el cociente de la desviación típica y la media. CVX

σ=

Es frecuente expresarlo en tanto por ciento.

Es independiente de la unidad que se utilice, pues no tiene unidades y por tanto nos

permite comparar la dispersión de dos distribuciones que tengan unidades diferentes, o que

tengan medias muy distintas.

Tiene el inconveniente de no estar definido para distribuciones con media cero. Además,

cuando la media se aproxima a cero el coeficiente de variación tiende a infinito.

EJEMPLO 7:

Con los datos del ejemplo 5.2, calcular:

a) Varianza y desviación típica.

b) Varianza y desviación típica muestral.

c) Coeficiente de variación de Pearson.

Solución:

0 26 0 26 0 0

1 40 40 66 1 40

2 14 28 80 4 56

3 6 18 86 9 54

4 3 12 89 16 48

5 1 5 90 25 25

Sumas 90 103 223

a) Media: xN

x ni ii

= = ==∑1 1

90103 114

0

5

.

Varianza: σ2 2

0

52

21 1

90223

103

9011680= − = −

=

=∑

Nx n Xi i

i

.

xi ni x ni i Ni xi2 xi

2 ni



Desviación típica;

b) Varianza muestral;

Desviación típica muestral;

c) Coeficiente de variación; 1.0807

CV 0.94431.1444X

σ= = =

7.8. Momentos

Se llama momento de orden r respecto al valor "c", a la cantidad:

( ) ( )x c f x cn

Nir

ii

k

ir i

i

k

− = −= =∑ ∑

1 1

, donde r es un entero positivo.

Según los valores de "c", se definen varias clases de momentos:

Momentos no centrales o respecto al origen,

c mr

xir f

ii

kx

ir n

iN

i

k= ⇒ =

==

=∑ ∑0

1 1

Los primeros momentos no centrales son iguales a:

m0 1= ; m X1 =

Momentos centrales o respecto a la media

c X x X f x Xn

Nr ir

ii

k

ir

i

ki= ⇒ = − = −

= =∑ ∑µ ( ) ( )

1 1

Los primeros momentos centrales son iguales a:

µ0 1= ; µ1 0= ; µ σ22

2 12= = −m m

Relación entre los momentos centrales y no centrales.

σ σ= = =( ) . .2 1 1680 1 0807

SN

N2 2

1

90

891 1680 1 1811=

−= =σ . .

SN

N=

−= =

1

90

891 0807 1 0867σ . .



Desarrollando por la fórmula del binomio de Newton las relaciones de definición:

µ r ir

ii

k

ir

ii

k

x X f x m f= − = − == =∑ ∑( ) ( )

11

1

r r 1 r 2 2 r ri i i i 1 i i 1 1 i

i i i i

r r r rx f x f m x f m .......... ( 1) m f

0 1 2 r− −

= − + + + − = ∑ ∑ ∑ ∑

r2 r r j j

r r 1 1 r 2 1 1 r j 1j 0

r r r r rm m m m m .......... ( 1) m ( 1) m m

0 1 2 r j− − −=

= − + + + − = −

∑

rj j

r r j 1j 0

r( 1) m m

j −=

µ = −

∑

En particular: 2 22 2 1 1 1 2 1

2 2 2m m m m m m

0 1 2

µ = − + = −

,resultado ya conocido.

µ3 3 2 1 133 2= − +m m m m

µ4 4 3 1 12

2 144 6 3= − + −m m m m m m

8. CARACTERÍSTICAS DE FORMA

Además de la tendencia central y de la dispersión, se puede tratar de caracterizar la

forma de una distribución mediante índices que determinen la asimetría y el apuntamiento de

la distribución.

Asimetría. Una distribución de frecuencias es simétrica si su correspondiente gráfico es

simétrico respecto a un eje vertical.

• Si la distribución es simétrica, la mediana y la media coinciden.



eM X=

• Si la distribución es simétrica y unimodal, la mediana, media y moda coinciden.

e oM X M= =

Una distribución con asimetría por la derecha o positiva,

quiere decir que la gráfica de frecuencias desciende más

lentamente por la derecha que por la izquierda. En este caso

se verifica que:

o eM M X≤ ≤ .

Una distribución asimétrica por la izquierda o

negativa, quiere decir que la gráfica de

frecuencias desciende más lentamente por la

izquierda que por la derecha. En este caso se

verifica que:

e oX M M≤ ≤ .

8.1 Coeficiente de Asimetría de Fisher o sesgo.

El coeficiente de asimetría de Fisher, se define como el cociente

( )k 3

i i3 i 1

1 3 3

x X fg =

−µ

= =σ σ

∑

Si la muestra es simétrica respecto de la media, entonces ( )x Xii

k

− ==∑ 3

1

0; mientras que esta

suma será mayor en valor absoluto cuanto más asimétricos son los datos.

• Es un coeficiente adimensional y mide la asimetría respecto de la media.

• Si g1=0 la distribución es simétrica o no sesgada.



• Si g1<0 la distribución es asimétrica o sesgada a la izquierda y e oX M M≤ ≤ .

• Si g1>0 la distribución es asimétrica o sesgada a la derecha y o eM M X≤ ≤ .

8.2 Coeficiente de apuntamiento o curtosis

El coeficiente de apuntamiento de Fisher se define e interpreta como sigue:

( )k 4

i i4 i 1

2 4 4

x X fg 3 3=

−µ

= − = −σ σ

∑.

Se mide en relación a la distribución Normal, de la misma media y desviación típica.

De forma que es nulo para la distribución normal. Si el coeficiente es positivo la

distribución está más apuntada que la distribución Normal (de la misma media y desviación

típica), y se dice leptocúrtica. Si es menos apuntada el coeficiente es negativo y se dice

platicúrtica. Mesocúrtica es cuando el coeficiente es nulo.

Si la distribución estudiada tiene por media X y desviación típica σ, entonces:

• Si g2>0, la distribución es más apuntada que la normal ( )N X,σ .

• Si g2<0, la distribución es menos apuntada que la normal ( )N X,σ .

• El apuntamiento como medida de forma es relativa. Su definición se hace por

comparación con la distribución normal de la misma media y varianza.

• Es mayor cuanto mayor sea la concentración de los valores alrededor de la media.

EJEMPLO: 8

Con los datos del ejemplo 5.2, calcular:

a) Coeficiente de asimetría.



b) Coeficiente de curtosis.

Solución:

a) Las operaciones para el cálculo de μ3 y μ4 las disponemos en la siguiente tabla:

ei−1 ei xi ni n xi i n xi i3 n xi i

4

300 900 600 27 16200 5832.106 34992.108

900 1500 1200 26 31200 44928.106 539136.108

1500 2100 1800 14 25200 81648.106 1469664.108

2100 2700 2400 11 26400 152064.106 3649536.108

2700 3300 3000 6 18000 162000.106 4860000.108

3300 3900 3600 8 28800 373248.106 13436928.108

3900 4500 4200 3 12600 222264.106 9335088.108

=∑ 95 158400 1041984.106 33325344.108

Según vimos en el ejemplo 5.2:

72

i ii 1

1 2

n xm X 1667.368, m 3857684.21,

N== = = =∑

y ahora,

7 73 4

i i i i4i 1 i 1

3 4

n x n xm 10968252630 y m 3507930947.10

N N= == = = =∑ ∑

Utilizando las fórmulas del 7.8, tenemos:

3 83 3 2 1 1m 3m m 2m 942669.10µ = − + =

y como σ = 1038.06 el coeficiente de asimetría es: 31 3

gµ

= =σ

0.842755>0 (sesgada a la dch)

b) 2 4 83 4 3 1 2 1 1m 4m m 6m m 3m 942669.10µ = − + − = =755952.108 resulta

42 4

g 3µ

= − =σ

62.1042>0 (más apuntada que la normal)



9. DIAGRAMA DE CAJA

Uno de los objetivos principales de la Estadística es el de obtener informaciones útiles

a partir de los datos disponibles. Por ello, es muy importante que los datos que utilicemos sean

fiables (no contengan errores) y, por tanto, en todo tratamiento estadístico es conveniente

efectuar un proceso de depuración y estudio de los datos.

Los valores atípicos o erróneos, por ser inusualmente grandes o pequeños, en general

son atribuibles a una de las siguientes causas:

• El valor se observa y se registra o introduce en el ordenador incorrectamente.

• El valor proviene de una población distinta.

• El valor es correcto, pero representa un suceso poco común.

El problema que se nos presenta es decidir si un determinado dato, con un valor poco

común, puede ser utilizado, o por el contrario lo hemos de rechazar. La respuesta no es fácil,

ya que, si rechazamos datos de forma inadecuada, podemos perder información valiosa y, por

el contrario, si los aceptamos, pueden variar los resultados de forma que nuestras conclusiones

sean erróneas. En la actualidad existe gran multitud de procedimientos que nos facilitan el tomar

una decisión sobre la depuración de datos.

Los histogramas y los polígonos de frecuencia proporcionan impresiones visuales

acerca de un conjunto de datos. Las cantidades numéricas, tales como la media o varianza,

proporcionan información acerca de alguna característica particular de los datos.

Los diagramas de caja son unas representaciones gráficas que describen

simultáneamente varias características importantes de un conjunto de datos, como son la

mediana, la dispersión y la asimetría, pero también permiten identificar observaciones que caen

inusualmente lejos del grueso de los datos, los puntos atípicos, (Outliers). Es un gráfico

representativo de las distribuciones de un conjunto de datos en cuya construcción se usan cinco

medidas descriptivas de los mismos, a saber: mediana, primer cuartil, tercer cuartil, valor

máximo y valor mínimo.



Una vez calculados los valores anteriores, procedemos de la siguiente forma. Dibujamos

una caja cuyos lados verticales corresponden a los valores de Q1 y Q3, trazamos una línea

vertical en el valor de la mediana, y dos pequeñas líneas verticales (barreras) para los valores

de LI y LS. A continuación, trazamos un segmento a cada lado de la caja hasta las barreras y

por último colocamos el valor de la media y de los posibles puntos atípicos.

LI=máx(xmín, Q1-1.5(Q3 – Q1)) LS=mín (xmáx, Q3+1.5(Q3 - Q1)).

Donde xmín y xmáx son los valores mínimo y máximo del conjunto de datos.

Opcionalmente se puede representar la media con una cruz.

Todo dato que esté fuera del intervalo [LI, LS] será considerado como posible dato atípico,

anómalo o Outlier y corresponde a un dato que debería ser estudiado.

EJEMPLO 9:

En el conjunto de datos, 23.39, 23.45, 23.47, 23.47, 23.50, 23.50, 23.58, el valor de la mediana

es M=23.47, la media 23.48, el primer cuartil Q1=23.45, el tercer cuartil Q3=23.50 y los valores

de los datos máximo y mínimo son respectivamente 23.39 y 23.58.

Los valores de las barreras son:

Q1-1.5(Q3-Q1)=23.375,

por tanto LI=xmin=23.39.

Q3+1.5(Q3-Q1)=23.575,

por tanto LS=23.575.



En consecuencia, el dato 23.58 es un valor atípico y se representa como el gráfico.

En este gráfico hemos de observar que LS es menor que algunas observaciones; estas

observaciones corresponden a puntos atípicos. La media es mayor que la mediana y, por tanto,

es asimétrica hacia la derecha.

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/variable_estadistica.wmv

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/variable_estadistica.mp4

0

0,5

1

1,5

2

23,35 23,4 23,45 23,5 23,55 23,6

http://asignaturas.topografia.upm.es/matematicas/videos/variable_estadistica.mp4

Estadística Descriptiva - UPMasignaturas.topografia.upm.es/asignaturas/...Estadística Descriptiva...

Documents

Transcript of Estadística Descriptiva - UPMasignaturas.topografia.upm.es/asignaturas/...Estadística Descriptiva...