Aplicações da distribuição normal

Professor Fernando Porto

Estatística Aplicada à Produção

Aplicações da distribuição normal• Capítulo 6 do livro texto

6.1 Distribuições de funções de variáveis normais

Soma das médias

Soma das variâncias

1 Somatório de n distribuições normais com diferentes média e desvio padrão

A numeração atende à numeração dos capítulos do livro texto

AtençãoSeja A : N(A; 2

A), B : N(B; 2B) e C : N(C; 2

C)

Então para A = B + C

E para A = B - C

휇 = 퐸 퐴 = 퐸(퐵 + 퐶) = 휇 + 휇

푉퐴푅 퐴 = 푉퐴푅 퐵 + 푉퐴푅(퐶)

휇 = 퐸 퐴 = 퐸(퐵 − 퐶) = 휇 - 휇

푉퐴푅 퐴 = 푉퐴푅 퐵 + 푉퐴푅(퐶)

Veja o item 4 à frente

2 Somatório de n distribuições normais com média e desvio padrão iguais

São n distribuições com mesma média e mesmo desvio padrão .

A média do somatório das distribuições é obtido multiplicando por n o valor de .Da mesma forma, a variância do somatório é obtido multiplicando por n o valor de 2.

3

4 Somando e multiplicando distribuições normais com constantes

Ver slide seguinte

Seja A : N(A; 2A), B : N(B; 2

B) e C : N(C; 2C)

Para A = B – C

No slide anterior foi visto que:

No caso de A = B – C, ficaria VAR(A) = (+1)2. 2B + (-1)2. 2

CO que explica porque as variâncias são somadas mesmo no caso da subtração entre distribuições.

휇 = 퐸 퐴 = 퐸(퐵 − 퐶) = 휇 - 휇

푉퐴푅 퐴 = 푉퐴푅 퐵 + 푉퐴푅(퐶)

Atenção: lembra do item 1?

Exemplo

휇 = 퐸(푋 − 푌) = 휇 - 휇 = 1,20 − 0,04 = 1,16푔

푉퐴푅 퐴 = 푉퐴푅 퐵 + 푉퐴푅 퐶 = 0,06 + 0,02 = 0,0040

tabela

푍 =퐹 − 휇휎

=1,13 − 1,16

0,0063≈ −0,47

푃 퐹 < 1,13 = 푃 푍 ≤ −0,47 = 1 − 0,5 − 0,180822 = 0,319178

6.2 Aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal

n: número de tentativasp: probabilidade de sucessoq: probabilidade de fracasso

Bernoulli: dados, moedas, etc.

AtençãoSem a correção de continuidade, fica muito grande o erro da aproximação da binomial pela normal.

Exemplo

푃 1 ≤ 푋 ≤ 5 = 푃 푋 = 1 + 푃 푋 = 2 + 푃 푋 = 3 + 푃 푋 = 4 + 푃 푋 = 5 =

푃 1 ≤ 푋 ≤ 5 = 201 (0,5) (0,5) + 20

2 (0,5) (0,5) + 203 (0,5) (0,5) +

+ 204 (0,5) (0,5) + 20

15 (0,5) (0,5)

푁푘 =

푁!푘! 푁 − 푘 !

Lembra?

= 0,0000191 + 0,0001812 + 0,0010872 + 0,0046206 + 0,0147858 = 0,0206938

푍 =퐹 − 휇휎

=0,5 − 10

5≈ −4,24853

푍 =퐹 − 휇휎

=5,5 − 10

5≈ −2,01246

푃 1 ≤ 푋 ≤ 5 ≅ 푃 0,5 ≤ 푋 ≤ 5,5 = 푃(−4,25 ≤ 푍 ≤ −2,01)c.c.

0,001381

= 0,499989234− 0,477914 = 0,022075

Importância do Uso da Correção de Continuidade

• Sem usar a correção de continuidade, o erro ou diferença é muito maior:

• A diferença ficaria em 0,007850, bem mais que os 0,001381 encontrados quando empregada a correção de continuidade!

P(1≤X≤5) P(-4,02≤Z ≤-2,23) = 0,499970 - 0,487126 = 0,012844

푍 =퐹 − 휇휎

=1 − 10

2,24= −4,02

푍 =퐹 − 휇휎

=5 − 10

2,24= −2,23

Resumindo: n: número de tentativasp: probabilidade de sucessoq: probabilidade de fracassoµ = n.p

= n.p.q

a b

a - 1/2 b + 1/2 Não esquecer: correção de continuidade

Exercícios

1

푋 = 4.푋 − 3. 푋 퐸 푋 = 4 × 180 + (−3) × 160 = 240

푉퐴푅 푋 = (4) × 40 + (−3) × 50 = 1090

Assim tem-se X: N(240, 1090), ou seja, = 240 e 2 = 1090

Consequentemente ≈ 33,015148

a) P(X – 3. ≥ -100) = P(X - 99,045 ≥ 140) = P(X ≥ 239,045) P(Z ≥ -0,029)

푍 = 푋 − 240

1090

240

239,045

Da tabela, para Z = 0,03 tem-se α = 0,011967Assim, P(X ≥ 239,045) = 0,5 + 0,011967

Resposta: 0,511967

b) P(|X – 200| ≥ 42)

Para resolver este exercício, é necessário lembrar que, se |a| ≥ b, então, ou

a ≥ bou-a ≥ b a ≤ -b

Lembrando também que P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) tem-se então que

P(|X – 200| ≥ 42) = P(X – 200 ≥ 42) + P(X – 200 ≤ 42) + 0 = P(X ≥ 242) + P(X ≤ 158)

= P(Z ≥ 0,06) + P(X ≤ -2,48) = (0,5 – 0,023922) + (0,5 – 0,493431) = 0,482647

Resposta: 0,482647 X ≤ 158

240X ≥ 242

Obs.: o item c deste exercício não foi resolvido aqui por ser muito similar ao item b deste mesmo exercício.

2

X ≥ X

800Se procurado na tabela um valor de probabilidade próximo a 0,84, este não será encontrado, pois os valores vão até 0,5. Isto significa que deve ser procurado 0,34.

Percebe-se que X deve ser menor que 800, ou seja, Z é negativo...

0,34 0,50

푍 = 푋 − 800

80

Trata-se do somatório de n distribuições normais com média 40 e variância 4. Assim, a distribuição resultante terá

E(X) = n × = 20 × 40 E(X) = 800 X: N(800, 80)VAR(X) = n × 2 = 20 × 4 VAR(X) = 80

a) Encontrar um valor X para o qual P(X ≥ X) = 0,84

Na tabela, 0,34 corresponde aproximadamente a Z = 0,99

Sabendo-se que

Então

X = 791,145

Resposta: 791,15

Obs.: os itens b e c deste exercício não foram resolvidos aqui por serem muito similares aos itens a e b do exercício anterior.

푍 = 푋 − 800

80

−0,99 = 푋∝ − 800

80

Exercícios

3 Um dado é lançado 120 vezes. Admitindo-se que o dado não seja viciado, determinar a probabilidade de aparecer face 4

a) 18 vezes ou menos

n = 120 = n.p = 120 x 1/6 = 20 = 20 p = 1/6 2 = n.p.q = 120 x 1/6 x 5/6 = 50/3 = 4,0825

Observando a correção da continuidade:P(1 ≤ X ≤ 18) P(0,5 ≤ X ≤ 18,5)

Tabela: Z0,5 0,5; Z18,5 0,144304

P(1 ≤ X ≤ 18) 0,5 – 0,144304 = 0,35569 Resposta: 0,35569

푍 , = 0,5 − 20

503

= −4,78 푍 , = 18,5 − 20

503

= −0,37

Exercícios

4 Numa binomial em que n = 100 e p =0,6, calcular a probabilidade de se obter de 70 a 80 sucessos, inclusive os extremos.

n = 100 = n.p = 100 x 0,6 = 60 = 60 p = 0,6 2 = n.p.q = 100 x 0,6 x 0,4 = 24 = 4,89898

Observando a correção da continuidade:P(70 ≤ X ≤ 80) P(69,5 ≤ X ≤ 80,5)

Tabela: Z69,5 0,473810; Z80,5 0,5

P(70 ≤ X ≤ 80) 0,5 – 0,473810 = 0,02619 Resposta: 0,02619

푍 , = 69,5 − 60

24= 1,94 푍 , =

80,5 − 6024

= 4,18

• Estatística Básica• Luiz Gonzaga Morettin• Pearson Prentice Hall, 2010.