1

S1- Metrópoli 2012

( , , )O i j� �

es un sistema de coordenadas y f una función definida en el intervalo [-3 ; 2].

tal que (0) 1f = − .

Se conoce la gráfica de la derivada f ’ de la función f : Para cada una de las siguientes afirmaciones, di si es verdarera o falsa justificando tu respuesta.

1. Para todo real x perteneciente al intervalo [- 3 ; - 1], '( ) 0f x ≤

2. La función f es creciente en el intervalo [- 1 ; 2] 3. Para todo real x perteneciente al intervalo [- 3 ; 2], ( ) 1f x ≥ −

4. Se llama C a la gráfica de la función f. La recta tangente a C en el punto de abscisa 0 pasa por el punto de coordenadas (1 ; 0)

2

1. El signo de f’ en el intervalo [- 3 ; - 1] La gráfica C’ de f’ viene representada1 en un sistema de coordenadas definido por el origen O

y los vectores unitarios i�

y j�

(jota). En el intervalo [- 3 ; - 1] se puede apreciar2 que la gráfica

de efe prima se encuentra3 debajo del eje x o sea f’ es negativa en este intervalo, entonces verdadero4. 2. Crecimiento de f en el intervalo [- 1 ; 2] ¡Ojo!5 nos piden estudiar el crecimiento de f y no el de f’ cuya gráfica está dada…,dicho de otra manera6, no nos importa que f’ crezca o decrezca en tal intervalo lo único que nos interesa es su signo. En el intervalo [- 1 ; 2] la gráfica de f’ queda situada7 por encima del eje de abscisas8 es decir f’ es positiva en este intervalo, ahora bien9, el crecimiento o decrecimiento de una función derivable en un intervalo está relacionado con el signo de la derivada f’ en este intervalo10, en nuestro caso hemos visto que en dicho intervalo efe prima de x es positiva y por tanto f es creciente en [0 ; 1]. Verdadero. 3. Una acotación de f en el intervalo [- 3 ; 2] Podemos resumir los resultados de los apartados anteriores en una tabla, en la primera fila colocamos11 los extremos del intervalo12 [- 3 ; 2], también el valor -1 donde se anula f’ 13 y por último el valor cero cuya imagen por f está conocida y vale menos uno, en la segunda fila viene el signo de efe prima y en la tercera el crecimiento o decrecimiento de f.

-3 -1 0 2 f' - 0 + 0

f

Se observa que f pasa de ser estrictamente decreciente a estrictamente creciente es decir que f admite un mínimo alcanzado para x=-1, el valor de este mínimo es necesariamente menor estrictamente que menos uno con lo cual la afirmación es falsa. formalmente14, sea x un elemento del intervalo abierto ]-1 ; 0[ es decir que se tiene la doble desigualdad :

1 0x− < < («menos uno estrictamente menor15 que equis estrictamente menor que cero»)

la función f es estrictamente creciente en ]-1 ; 0[ por lo tanto f conserva ( o respeta) el orden estricto en este mismo intervalo , con lo cual se cumple:

( 1) (0) (1)f f f− < <

y en particular

( 1) (0)f f− <

o lo que es lo mismo

( 1) 1f − < −

entonces existe por lo menos un valor de x cuya imagen no sea mayor o igual que -1, resulta

que la afirmación propuesta "Para todo real x perteneciente al intervalo [- 3 ; 2], ( ) 1f x ≥ − (efe

de equis mayor o igual que menos uno ») es falsa.

1 viene representada = está representada 2 = puede apreciarse : on peut voir, on peut distinguer 3 o « se halla » o « se ubica » o « se sitúa » 4 verdadero ≠ falso 5 ¡ojo!=¡atención! 6 dicho de otra manera = en otras palabras 7 la gráfica queda situada = está situada : la courbe se trouve située 8 no importa nada que f’ sea creciente o decreciente en este intervalo, lo único que nos interesa es que sea positiva 9 ahora bien : cela dit, or 10 se habla a veces de « criterio de la derivada para el crecimiento de una función » 11 colocamos = ponemos : nous plaçons 12 los extremos de un intervalo : les bornes d’un intervalle 13 el punto correspondiente se llama punto crítico 14 formalmente: formellement, d’une manière plus théorique 15 o « menor estricto que »

-1

3

4. La recta tangente a C en el punto de abscisa 0 Empezamos escribiendo16 la ecuación reducida de la recta tangente17 a la curva C en el punto de abscisa 0. Se supone que la función f es derivable en [-3 ; 2] entonces la pendiente18 de la recta tangente a la gráfica C en un punto, de abscisa a viene dada19 por f’(a) y la ecuación reducida20 de esta tangente puede escribirse como :

( ) '( )( )y f a f a x a= + −

en el caso de a=0

(0) '(0)y f f x= + ⋅

1 1y x= − + ⋅

1y x= − +

por lo tanto21 la recta tangente a C en el punto de abscisa 0 pasa por el punto de coordenadas (1 ; 0) ya que22 sus coordenadas verifican la ecuación de la recta tangente hallada.

16 =comenzamos escribiendo : nous commençons par écrire 17 recta tangente : tangente 18 pendiente : coefficient directeur 19 viene dada = está dada 20 ecuación reducida : équation réduite c'est-à-dire de la forme y=ax+b 21 por lo tanto = por tanto = en consecuencia = por consiguiente =a raíz de eso = de ahí que = entonces = luego… 22 ya que = dado que =puesto que : étant donné que

4

S2- Antillas y Guyana 2012 Se considera la función f definida en ℝ por

1( ) 1xf x xe −= + (« para todo equis perteneciente a R efe de equis igual a equis por e elevado a

equis menos uno más uno »)

Llamaremos C a su gráfica1 en un sistema de coordenadas ( , , )O i j� �

2

1. Halla el límite de f en - ∞ ¿Cómo se interpreta en la gráfica ? 2. ¿Cuál es el límite de f en + ∞ ?

3. Sea f’ la derivada de f, demuestra que, para todo x real,

1'( ) ( 1) xf x x e −= +

4. Estudia el crecimiento de f 5.Traza la curva C en el plano cartesiano

1 llamar C a la gráfica : appeler C la courbe représentative 2 « O, i, jota », el origen y los vectores unitarios

5

1. El límite de f en - ∞ Nos piden que hallemos3 el límite de f en menos infinito, empezamos recordando que el límite de e (suena como la « é » francesa ¡claro!) elevado a equis cuando equis tiende a menos infinito es igual a cero, o sea,

x

xlí m e 0→−∞

=

y por tanto también se cumple 1lim 0x

xe −

→−∞=

con lo cual en menos infinito la expresión 1xxe − da lugar a una indeterminación4 del tipo −∞ por 0 Ahora bien, usando una propiedad5 algebráica6 de la función exponencial , f(x) puede expresarse como

1( ) 1

xef x x

e= +

o lo que es lo mismo

1( ) 1= +xf x xe

e

pues bien, un resultado clásico nos dice que x

xlí m xe 0→−∞

=

con lo cual nos queda

xlí m f(x) 1→−∞

=

interpretación Resulta que la función f tiene un límite finito7 (o sea un valor concreto) igual a 1 en −∞ , gráficamente puede interpretarse de la siguiente manera: para la curva C la recta de ecuación y=1 es una asíntota8 horizontal o sea que cuanto más9 se aproxima la variable x a menos infinito, más se acerca la curva C a dicha asíntota sin tocarla nunca… 2. El límite de f en + ∞ En este caso, en cambio10, no surge11 ninguna indeterminación, basta recordar12 que

x

xlí m e→+∞

= +∞

para llegar a la conclusión de que13

xlí m f(x)→+∞

= +∞

3. La derivada f’ utilizaremos reglas14 clásicas del cálculo de derivadas que nos permiten hallar - la derivada de una suma que es la suma de las derivadas - la derivada de una función constante que es cero - la derivada de un producto uv (u por uve) sería (uv)’=u’v+uv’

- la derivada de una función compuesta del tipo ue (« e elevado a u »o « e a la u ») que es ue u'× , siendo u una función derivable en ℝ

con lo cual x 1 x 1f '(x) 1 e xe 1− −= ⋅ + ⋅

y en definitiva, al sacar facor común x 1e − nos queda x 1f '(x) (x 1)e −= +

3 nos piden que hallemos = nos piden hallar 4 indeterminación =forma indeterminada 5 propiedad : propriété (con una « r » en francés)

6 a b a be e e+ = y a partir de esta propiedad fundamental se demuestra que a

a b

b

ee

e

− =

7 límite finito ≠ límite infinito 8 existen también asíntotas verticales y asíntotas oblicuas 9 cuanto más…más : plus…plus 10 en cambio : en revanche 11 surgir : surgir 12 basta recordar : il suffit de rappeler 13 llegar a la conclusión de que : arriver à la conclusion que 14 mejor dicho « dos teoremas »

6

4. El crecimiento de f En este apartado se trata de investigar sobre15 el crecimiento de f en ℝ , ya tenemos la derivada calculada16 :

1'( ) ( 1) xf x x e −= +

Ahora lo primero que hay que hacer es determinar si existen puntos críticos o sea resolver la ecuación f ‘(x)=0 : se sabe que la función exponencial no se anula con lo cual f’ (x)=0 equivale a x+1=0 esto quiere decir x=-1 por lo tanto f tiene un punto crítico. El siguiente paso consiste en estudiar el signo de f’(x). Cabe recordar que la función exponencial es una función estrictamente positiva en ℝ , quiere decir que para todo x perteneciente a ℝ

0xe > (« e elevado a equis o e a la menos equis es mayor estrictamente que cero ») y por lo tanto

1 0xe − > (« e elevado a equis menos uno también da positivo17 ») Total18, el signo de f’ (x) coincide con el de (x+1) que es una función afín de pendiente 1 y entonces creciente o sea pasa de negativa a positiva … Se suelen resumir estas informaciones en una tabla donde vienen - en la primera fila el dominio19 y la abscisa del punto crítico - en la segunda fila el signo de f’ - y en la tercera y última fila el crecimiento de f relacionado, como bien se sabe, con el signo de la derivada f’.

−∞ -1 +∞ f' - 0 +

f

1

f(-1)

+∞

Resulta que la función f es decreciente en el intervalo ( −∞ ,-1] y creciente en [-1, +∞ ) Por último, cabe destacar20 que la derivada f ’ pasa de negativa a positiva con lo cual21 el punto crítico o sea el punto de abscisa -1 es un máximo. El valor exacto de este máximo viene dado por:

1 1 2

2

1( 1) 1 1 1f e e

e

− − −− = − + = − + = − (cambiamos equis por menos uno en f(x))

La calculdora nos proporciona22 un valor redondeado de f(-1) a la centésima que sería 0,86 (cero coma ochenta y seis o cero con ochenta y seis »)

15 investigar sobre algo = estudiar algo 16 tenemos la derivada calculada = hemos calculado la derivada 17 dar positivo = ser positivo 18 total = al final = a fin de cuentas : en fin de compte 19 dominio : domaine de définition 20 cabe destacar : il convient de mettre en évidence, on peut remarquer, on peut souligner 21 con lo cual = entonces 22 proporcionar : fournir

7

5. La curva C Empezamos trazando23 la asíntota horizontal cuya ecuación se escribe y = 1, luego colocamos el

punto A de coordenadas (-1 ; 2

11

e− ) que es un mínimo, siendo A un punto crítico, la recta

tangente T a la curva C en el punto A es de pendiente 0 o sea es una recta horizontal

23 =comenzamos trazando : nous commençons par tracer

8

S3 – América del Sur 2012 El objetivo de este ejercicio es probar que:

x

x

elim

x→∞= +∞

se suponen conocidos los siguentes resultados :

• xx , e x∀ ∈ >ℝ

• Sean u y v dos funciones definidas en un intervalo[a; )+∞ , siendo a un real,

si se tiene x [a; ),∀ ∈ +∞ u(x) v(x)≤ y xlí mu(x)

→∞= +∞

entonces xlí mv(x)

→∞= +∞

1. Sea ϕ la función definida en [0; )+∞ por 2

x x(x) e

2ϕ = −

Demuestra que para todo x en [0; )+∞ , (x) 1ϕ ≥

2. Deduce del apartado anterior que x

x

elim

x→∞= +∞

9

1. Una acotación1 de ϕ

Vamos a empezar estudiando el crecimiento de ϕ , para ello2 estudiaremos el

signo de la derivada 'ϕ (cabe recordar3 que ϕ es derivable como suma de

funciones derivables…)

Sea ϕ la función definida en [0; )+∞ por 2

x x(x) e

2ϕ = −

(« e elevado4 a equis menos equis al cuadrado partido por dos » o « e a la equis… » se tiene entonces:

x x1'(x) e 2x e x

2ϕ = − ⋅ = −

ahora se supone conocida la desigualdad xx , e x∀ ∈ >ℝ

al pasar la equis al otro lado5 nos queda: xx , e x 0∀ ∈ − >ℝ

y por lo tanto:

x [0; ), '(x) 0∀ ∈ +∞ ϕ >

A raíz de6 este último resultado se tiene que la función ϕ es estrictamente

creciente en el intervalo [0; )+∞

Ahora, usando la definición de crecimiento de una función en un intervalo se obtiene que:

x 0 (x) (0)≥ ⇒ ϕ ≥ ϕ (« equis mayor o igual que cero implica que fi de equis

mayor o igual que fi de cero ») en otras palabras7 una función creciente respeta8 ( o conserva) el orden… o sea

x 0≥ ⇒2

0 0(x) e

2ϕ ≥ −

es decir

x [0; ),∀ ∈ +∞ (x) 1ϕ ≥

en definitiva hemos logrado demostrar9 que la función fi es acotada inferiormente10 por 1

Una tabla donde vienen signo de 'ϕ , crecimiento de ϕ y el valor de (0)ϕ

pone de relieve11 la demostración formal que acabamos de dar.

0 +∞ 'ϕ +

ϕ

(0) 1ϕ =

1 acotación : majoration ou minoration, ici minoration 2 para ello : pour cela 3 cabe recordar que = il convient de rappeler que, on peut rappeler que 4 por supesto la e suena como la « é » francesa 5 pasar al otro lado : passer de l’autre côté 6 a raíz de eso = por eso 7 en otras palabras = dicho de otra manera 8 respetar : respecter (con una « c » en francés…), respeto: respect, respecto a o respecto de (con una « c »): par rapport à 9 hemos logrado demostrar = hemos conseguido demostrar : nous avons réussi à démontrer (con una « n » en francés) 10 fi es acotada inferiormente or 1 : phi est minorée par 1 11 poner de relieve : mettre en relief

10

2. Un límite clásico La desigualdad o acotación obtenida en el apartado anterior también puede expresarse: para cualquier x positivo se tiene

2x x

e 12

− ≥

despejando12 xe nos queda

2x x

e 12

≥ +

dividiendo en ambos lados13 por x se obtiene

xe 1 x

x x 2≥ +

ahora bien, obviamente14, se tiene

x

1 xlim

x 2→∞+ = +∞

(« el límite de uno partido equis más equis partido dos cuando equis tiende a15 más infinito es igual a

más infinito » o « el límite de uno sobre equis más etc. en América » total, por un resultado clásico que viene en el enunciado y que dice que si u y v («uve») cumplen16

x [a; ),∀ ∈ +∞ u(x) v(x)≤ y xlí mu(x)

→∞= +∞ entonces

xlí mv(x)

→∞= +∞

x

x

elim

x→∞= +∞

12 despejando = al despejar : en isolant(math) 13 en ambos lados : des deux côtés 14 obviamente = desde luego = por supuesto = claro 15 tender a : tendre vers 16 cumplen = verifican (mates) = tales que

11

S4- Funciones hiperbólicas

Se llaman seno y coseno hiperbólicos a las funciones sh y ch definidas enℝ por :

x∀ ∈ℝ , x xe e

ch(x)2

−+=

x∀ ∈ℝ , x xe e

sh(x)2

−−=

1. Demuestra que se cumple :

2 2x , ch (x) sh (x) 1∀ ∈ − =ℝ

2. Estudia la paridad de sh, su comportamiento cuando x tiende a infinito, su crecimiento y grafícala. 3. ¿Cuál es el origen de las funciones hiperbólicas?

12

1. Una propiedad algebráica Nos piden demostrar1 que

2 2x , ch (x) sh (x) 1∀ ∈ − =ℝ

(se lee « para todo x perteneciente a ℝ coseno hiperbólico de equis al cuadrado menos seno hiperbólico de equis al cuadrado igual a uno ») Utilizando la identidad notable2

2 2a b (a b)(a b)− = + −

(« a al cuadrado menos b al cuadrado igual a a más b por a menos b ») se obtiene

2 2ch (x) sh (x) ( ch(x) sh(x) ) ( ch(x) sh(x) )− = + −

al sumar ch(x) y sh(x) desaparecen los e elevados a menos x mientras que3 al restarlos4 son los e elevados a equis5 los que se anulan de forma que

2 2 x xch (x) sh (x) e e−− =

en el miembro de la derecha se suman los exponentes6 de e (propiedad algebráica de la función exponencial) por lo tanto queda demostrado que para todo equis perteneciente a ℝ ,

2 2 0ch (x) sh (x) e 1− = = 2. Análisis de la función sh Paridad La idea es comparar las imágenes de equis y de menos equis por la función sh, o sea, cambiamos equis por menos equis y ¿a ver qué pasa? para todo equis perteneciente a ℝ , se tiene

x xe esh( x) sh(x)

2

− −− = = −

total, la función sh es impar eso quiere decir que su gráfica es simétrica respecto del origen O del sistema de coordenadas. Los límites Cuando equis tiende a más infinito e elevado a equis también tiende a más infinito7 (es un límite clásico de la función exponencial) o sea

x

xlim e→+∞

= +∞

por otro lado cuando equis tiende a más infinito, menos equis tiende a menos infinito y como se sabe que el límite de la función exponencial cuando equis tiende a menos infinito es igual a cero se tiene

x

xlim e 0−

→+∞=

con lo cual

xlim sh(x)→+∞

= +∞

Hemos probado que sh es una función impar, por consiguiente, (sin que sea necesario volver a calcular un límite « a mano »8) se cumple

xlim sh(x)→−∞

= −∞

1 o « nos piden que demostremos » 2 se dice también « producto notable » 3 mientras que : alors que 4 al restarlos = restándolos 5 también se puede leer « e a la menos equis » (sobreentendido « a la potencia menos equis ») 6 exponente : exposant 7 también puede leerse « infinito positivo » 8 volver a calcular un límite « a mano » : recommencer à calculer une limite « la main »

13

Monotonía Vamos a empezar calculando la función derivada de sh sh(x) puede expresarse como

( )x x1sh(x) e e

2

−= − (« un medio por… »)

o sea que no vamos a pensar en sh como si fuera9 un cociente del tipo u partido por uve sino como un producto por una constante, concretamente utilizaremos la siguiente propiedad10 :

( u)' u'λ = λ (la derivada de lambda u prima igual a lambda por la derivada de u prima,

siendo lambda una constante real y u una función derivable) nos sale :

( ) ( )x x x x1 1sh'(x) e ( 1)e e e ch(x)

2 2

− −= − − = + =

recordemos que e elevado a u se deriva en e elevado a u por u prima, teorema relativo a la derivada de una función compuesta11. ahora bien, se sabe que la función exponencial es una función estrictamente positiva enℝ , con lo cual se puede afirmar que para todo equis perteneciente a ℝ :

sh'(x) 0> (« sh prima de equis mayor estrictamente que cero »)

y por un teorema que relaciona el signo de la derivada de una función con sus variaciones queda demostrado que sh es estrictamente creciente en ℝ lo resumimos todo en una tabla12

−∞ + ∞

sh' +

sh - ∞

+ ∞

La gráfica puntos de corte con los ejes : Comenzamos observando que sh se anula en 0 es decir

(0) 0sh =

o sea que la gráfica corta a los ejes13 de coordenadas en el origen simetría : Siendo sh impar su gráfica es simétrica respecto del origen O del sistema de coordenadas. Se puede notar que la pendiente de la recta tangente a la curva en O, recta trazada en punteado, viene dada por14

sh'(0) 1=

y se podría demostrar que esta tangente es una tangente de inflexión, quiere decir que atraviesa15 a la gráfica en O (esta propiedad se obtiene mediante16 la derivada segunda...es otra historia)

9 como si fuera = como si fuese : comme si c’était 10 propiedad : propriété (con una « r » en francés) 11 para derivar una función compuesta se habla a veces de « la regla de la cadena » 12 la flecha hacia arriba simboliza el crecimiento 13 corta a los ejes : coupe les axes (sin la « a » en francés) 14 viene dada por = está dada por 15 atraviesa a la curva : traverse la courbe 16 mediante la derivada segunda = por medio de la derivada segunda

14

3. El origen de las funciones hiperbólicas Hacia17 1757 (mil setecientos cincuenta y siete ») el matemático italiano Vincenzo Riccati, al calcular áreas de dominios limitados por una hipérbola se dio cuenta18 de que había muchas similitudes entre la circunferencia y la hipérbola en cuanto a19 sus ecuaciones : ecuación de una circunferencia de radio 1 con centro en O

2 2x y 1+ =

ecuación de una hipérbola (equilátera20...) 2 2x y 1− =

A la hora de calcular21 áreas bajo un arco de circunferencia se utilizan las funciones seno y coseno clásicas que Riccati llamaba funciones trigonométricas circulares ya que :

2 2cos sen 1+ = así que Riccati andaba buscando22 funciones análogas en el caso de áreas bajo una hipérbola y las encontró, son las denominadas coseno hiperbólico y seno hiperbólico que cumplen, como lo hemos visto en el apartado 1,

2 2chs sh 1− = y de ahí la palabra hipérbólico aludiendo23 a la hipérbola. Luego, en torno a 1770, se hizo un estudio completo de las funciones hiperbólicas por el matemático alemán Johann Heinrich Lambert24.

17 hacia 1757 = a eso de 1757 : aux environs de 18 darse cuenta de que : se rendre compte du fait que 19 en cuanto a : en ce qui concerne 20 se pronuncia « ekilátera » 21 a la hora de calcular = cuando calculamos 22 andaba buscando = estaba buscando 23 aludir a : faire allusion à 24 también conocido por la demostración en 1761 de la irracionalidad de π (pi no se puede expresar como una fracción de números enteros)

Vincenzo Riccati

15

S5- La función coseno hiperbólico

1. La función coseno hiperbólico. Se llama coseno hiperbólico a la función ch definida en ℝ por

x∀ ∈ℝ , x xe e

ch(x)2

−+=

Estudia la paridad de ch, su comportamiento cuando x tiende a infinito, su crecimiento y grafícala. 2. Se denomina catenaria a la gráfica de la función ch. Pon ejemplos de presencia de la catenaria :

• en el mundo que nos rodea

• en la arquitectura de Gaudí

16

1. Análisis de la función coseno hiperbólico Paridad La idea es comparar las imágenes de equis y de menos equis por la función ch, o sea, cambiamos equis por menos equis en ch(x) y ¿a ver qué pasa? para todo equis perteneciente a ℝ , se tiene

x xe ech( x) ch(x)

2

− +− = =

total, la función ch es par esto quiere decir que su gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas. Los límites Cuando equis tiende a más infinito e elevado a equis también tiende a más infinito1 (es un límite conocido de la función exponencial) o sea

x

xlim e→+∞

= +∞

por otro lado cuando equis tiende a más infinito, menos equis tiende a menos infinito y como se sabe que el límite de la función exponencial cuando equis tiende a menos infinito es igual a cero se tiene

x

xlim e 0−

→+∞=

con lo cual

xlim ch(x)→+∞

= +∞

Hemos probado que ch es una función par, por lo tanto, (sin que sea necesario volver a calcular un límite « a mano ») se cumple

xlim ch(x)→−∞

= +∞

Monotonía Vamos a empezar calculando la función derivada de ch ch(x) puede expresarse como

( )x x1ch(x) e e

2

−= +

o sea que no vamos a pensar en ch como si fuera2 un cociente del tipo u partido por uve sino como un producto por una constante, en concreto utilizaremos la regla, o mejor dicho, el teorema que puede enunciarse

( u)' u'λ = λ

(la derivada de lambda u prima igual a lambda por la derivada de u prima, siendo lambda

una constante real y u una función derivable, el nuestro caso 1

2λ = )

también usaremos el hecho de que3 una función compuesta4 de la forma u(x )e se deriva

en u(x )e u'(x)× (« e elevado a u de equis por u prima de equis »)

al final nos sale :

( ) ( )x x x x x

x

1 1 1 1ch'(x) e ( 1)e e e e

2 2 2 e

− − = + − = − = −

y a esta derivada se le llama seno hiperbólico, ahora bien5, vamos a buscar puntos críticos, o sea valores de la variable x que anule a ch’, para ello comenzaremos expresando ch’ de otra manera, o sea, reduciendo la expresión entre paréntesis al mismo denominador:

( )2x

x x x

x x

1 1 1 1 e 1ch'(x) e e e

2 2 2e e

− − = − = − =

con lo cual ch'(x) 0= equivale a 2xe 1 0− = o sea 2xe 1=

ahora nos queda despejar6 2x, sería

2x ln(1) 0= = (« ln(1) : logaritmo neperiano7 de uno »)

1 también puede leerse « infinito positivo » 2 como si fuera = como si fuese 3 el hecho de que : le fait que 4 para derivar una función compuesta se habla a veces de « la regla de la cadena » 5 ahora bien = dicho esto 6 nos queda despejar 2x : il nous reste à isoler 2x

17

y al final se tiene x 0= hemos logrado demostrar8 que el valor x=0 es un punto crítico. Aharo nos toca investigar9 sobre el signo de la derivada ch’ que desde luego10 es el de la expresión

2xe 1− para ello podemos resolver la inecuación

2xe 1 0− ≥ pasando el uno al otro lado se tiene

2xe 1≥ despejamos 2x usando el hecho de que ln es una función estrictamente creciente en el

intervalo abierto (0 , )+∞

2x ln(1)≥

o sea

x 0≥ Resulta que la derivada ch’ es positiva si y sólo si x 0≥ ó sea ch’ es positiva en el intervalo

[0 , )+∞ y negativa en ( , 0]−∞

A continuación utilizamos un teorema clave que relaciona el signo de la derivada f’ con las

variaciones de f y queda demostrado que ch es decreciente en ( , 0]−∞

y creciente en [0 , )+∞ lo resumimos todo en una tabla :

en esta tabla ya se puede apreciar11 la simetría de la gráfica respecto al eje de ordenadas. Por último, como ch pasa de decreciente a creciente , ch admite un mínimo alcanzado12 para x=0 y cuyo valor viene dado por ch(0)=1, dicho de otra manera :

x∀ ∈ℝ , ch(x) 1≥ (« para todo equis perteneciente a ℝ c hache de equis mayor o igual

que uno ») de ahí que13 la curva C no corta al eje de abscisas.

−∞ 0 +∞ ch' - 0 +

ch

+∞

1

+∞

7 la función logaritmo neperiano es la función recíproca de la función exponencial 8 hemos logrado demostrar = hemos conseguido demostrar : nous avons réussi à démontrer 9 ahora nos toca investigar sobre el signo de ch’ : maintenant il nous revient d’étudier le signe de ch’ 10 ¡desde luego ! = ¡por supuesto ! = ¡claro ! = ¡cómo no! 11 apreciar = observar 12 alcanzar : atteindre 13 de ahí que = por lo que

18

La gráfica simetría : Siendo ch una función par, su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. punto de corte con el eje y : (« eje i o eje ye ») La ordenada del punto de corte A de la gráfica con el eje y se obtiene calculando la imagen de 0 por ch : ch(0)=1 por lo que el punto A es el punto de coordenadas (0 ;1) Por otro lado la derivada ch’ se anula para x=0 ch’(0)=0 o sea que la pendiente de la recta tangente a la curva C en el punto A es igual a cero y por consiguiente se trata de una tangente horizontal. se parece una parábola pero ¡ojo no lo es ! A esta curva se le llama14 catenaria15.

14 o « se llama catenaria a esta curva » le « a » est « obligatoire…, pasa lo mismo con les verbos tipo denominarse etc. 15 Los primeros matemáticos que abordaron el problema, como Galileo en 1638, supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró la ecuación La ecuación fue obtenida por Leibniz, Huygens y Johann Bernoulli en 1691.

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2. La catenaria 16 en el mundo que nos rodea17 : Se denomina catenaria18 a la gráfica de la función coseno hiperbólico. La catenaria se corresponde con la forma de una cadena que cuelga libremente de19 sus extremos. Es una curva parecida a una parábola pero no lo es. Este tipo de curva es la que presentan por ejemplo los cables20 de la luz o la cuerda de colgar la ropa… en arquitectura: «La catenaria da elegancia y espiritualidad al arco, evita contrafuertes21, el edificio pesa menos, gana una gracia vaporosa y se aguanta22 sin raros accesorios» Antoni Gaudí23 Resulta que la obra de Gaudí tiene mucha relación con las matemáticas. Quizás sea el arco catenario el mejor representante de este hecho

el arco catenario: Gaudí se dio cuenta de que24 si le daba la vuelta a esta curva25 obtendría un arco con buenas propiedades arquitectónicas. Gaudí fue uno de los primeros en descubrir que la simetrización de la catenaria daba lugar a uno de los arcos más perfectos: el que se aguanta a sí mismo. La utilización de arcos catenarios en obras como la Casa Milà permite a Gaudí dotar a sus estructuras de un elemento de gran resistencia, ya que26 la catenaria distribuye regularmente el peso que soporta. Gaudí siempre tendió a hacer sus arcos próximos a la forma catenaria con objeto de evitar elementos externos para sustentar27 el arco.

Uno de los ejemplos más espectaculares del uso del arco catenario en la arquitectura es el gran Gateway Arch « arco de entrada » en la ciudad de Saint Louis, Missouri. Mide unos doscientos metros de altura y otros doscientos metros de ancho en su base. Tiene inscripta la fórmula de la catenaria en su interior.

16 la palabra catenaria deriva del latín « catena » cadena en español que es « chaîne » en francés 17 el mundo que nos rodea : le monde qui nous entoure 18 catenaria : caténaire ou chainette 19 colgar de : être accroché à 20 cables de la luz = tendidos de la luz = tendidos eléctricos : cables électriques 21 contrafuertes : contreforts 22 el edificio se aguanta sin artificios raros le bâtiment se (sup)porte lui-même sans artifices bizarres 23 Antoni Gaudí (1852-1926) arquitecto catalán, quizás el arquitecto más famoso de la historia. La obra de Gaudí es una búsqueda de la perfección del arte, de la perfección personal y de la perfección de la sociedad humana. Él lo expresaba así: «Para hacer las cosas bien es necesario: primero, el amor; segundo, la técnica». 24 darse cuenta de que : se rendre compte que 25 si le daba la vuelta a esa curva : s’il renversait cette courbe (faisait faire un demi-tour à cette courbe) 26 ya que = puesto que = dado que 27 sustentar: soutenir

catenaria

parábola

Gateway Arch, San Luis, Estados Unidos arcos catenarios en la Casa Milà « la Pedrera », Barcelona