Indices para medir la bondad financiera de un proyecto de inversion

3

En las paginas anteriores hemos visto que un proyecto de inversi6n se puede describir como un conjunto de ingresos y egresos de dinero que aparecen en diferentes momentos. Esta descripci6n se puede hacer graficamente siguiendo las convenciones que tambien fueron indicadas previamente. De todos modos, aunque es posible describir un proyecto de inversi6n, tal descripci6n no indica en forma clara si el proyecto es conveniente 0 no desde el punto de vista financiero. Por ejemplo, el grafico 3.1 describe un proyecto de inversi6n en forma detallada mediante un grafico de flujos de dinero.$20000

$3000

$3000 3 5

2$5000 $10000

4$3000

Grafico

3.1

Indices de evaluacion

63

EI grafico 3.1 indica la magnitud y los momentos en que se deben hacer las erogaciones requeridas por el proyecto, e igualmente especifica los montos y momentos en que el proyecto genera ingresos. Sin embargo, de un simple vistazo, no podemos formarnos una idea sobre la bondad economica del proyecto en cuestion. La situacion se complica aun mas si enfrentamos la decision de escoger entre la anterior alternativa y la que nos presenta el grafico 3.2$15000

$4000

$5000

3$1000 $10000

Grafico 3.2

La cornparacion de 10s dos flujos de fondos, es decir, de la descripcion de las dos alternativas, definitivamente no es suficiente para adoptar la decision requerida. De ahi surge la necesidad de reducir tales descripciones a indices que sean facilmente comparables. Entre los indices que se utilizan para medir la bondad econornica de los proyectos de inversion el mas utilizado es la rentabilidad que produce la inversion, es decir, el rendimiento que origina e1 proyecto. No obstante, los procedimientos que se ernplean para el cornputo de la rentabilidad son diversos y no todos conducen a evaluaciones consecuentes con la logica. En realidad existe un procedimiento correcto para el calculo de la rentabilidad de un proyecto, el cual se denomina metoda de la tasa interna del retorno 0 rentabilidad, que sera examinado detalladamente un poco mas adelante. Cuando utilizamos Ia expresion "forma correcta" queremos decir que la evaluacion es consecuente con los principios que utilizamos en el desarrollo del concepto de equivalencia, los cuales vale la pena volver a precisar: 1. Se deben tener en cuenta, especificamente, aparecen en el proyecto de inversion. todos los ingresos y egresos que

2. Se debe tener en cuenta el valor relativo del dinero con el tiempo. 3. Se debe tener en cuenta la tasa de interes de equivalencia 0 de oportunidad, cuando se comparan cantidades que ~parecen en momentos diferentes.

64

Evaluacion de Proyectos

Posteriormente veremos la forma correcta de hacer el compute de la rentabilidad y algunos procedimientos equivocados para calcularla, haciendo enfasis en la forma como violan varios de los anteriores principios. Adernas de la rentabilidad se usan otros indices como el periodo de restitucion (payback period), que mide el numero de afios en que se reembolsa la inve~sion. Este procedimiento tambien tiene serias deficiencias, que luego exphcaremos, que limitan su utilizacion, Finalmente, existen otros indices tecnicamente correctos, que afortunadamente se estan utilizando con mayor frecuencia, y que constituyen la manera acertada de medir la bondad econornica de un proyecto de inversion. Estos son: el valor presente neto, el costa anual equivalente y la relacion beneficiocosto. Pero antes de examinar sisternaticamente todos los indices que hemos mencionado, correctos y no tan correctos, es muy importante introducir el concepto del valor de oportunidad 0 costa de oportunidad, como prefieren llamarlo los economistas, porque este es muy importante en la cornprension del significado de los aludidos indicadores.

3.1 EI concepto del valor de oportunidadUn impacto fuerte que ha tenido la concepcion contable en la mente de las personas ha sido la intensa difusion de creer que el valor de las cosas guarda una relacion directa con su precio; mas aun, que su precio refleja su valor. De esta manera, cuando nos preguntan cual es el valor de una maquina que poseemos; pensamos inrnediatamente en 10 que pagamos por ella, y haciendo algunos ajustes, llegamos a una cifra que en nuestro concepto es el valor de la maquina. Los ajustes que hacemos estan relacionados primordialmente con el desgaste de la maquina y con su obsolescencia; tambien incorporamos consideraciones de tipo inflacionario y ocasionalmente pensamos en su costa de reposicion. Sin embargo, casi nunca pensamos en el valor de la maquina ~r~veni.ente d~ la riqueza futura que puede generar para nosotros, que en ultima mstancia es el valor relevante que tiene un recurso. Veamos este concepto, con un ejemplo que discurre entre personajes selvaticos, que ha sido analizado por varias generaciones de estudiantes y Ie ha dado cierta notoriedad al autor, por 10 inusitado del contexto en el cual se desarrolla. La ilustracion contiene los elementos principales de la problematica planteada y por su sencillez nos permite centrar la atencion en 10 fundamental. EI cacique Morrao es un inteligente indigena que vive en las selvas del Inirida. Ha descubierto una in mensa plantacion salvaje de platano y ha

pensado en explotarla, dias de viaje de la planta que es muy dificil de co vende en $ 8 000 y Mo semana por viaje redon platanos. De esta mane $ 500 por semana. Cuando lleva varias pregunta: ~en cuanto nueva? Morrao se enfrenta e valioso y escaso, como responde sin dudar un cuidado tanto y esta co por ella". ~Esta Morrao en 10 cie real de la canoa? Esto pero si podemos resp mo la canoa le permite $ 500 por semana. Esto autornaticamente el ca decimos que el valor de semana. Y en esto no tie la embarcacion. Supongamos que Pa parajes muy bellos a intrepidos. Para tal fin decide proponerle la c del valor de oportuni venderla (aun no sabe podria alquilarsela en alquiler porque hace la $ 500 representan un 6. 6.25% semanalle pa clarisimo. Naturalmen que este es un feroz gu las ambiciones de Mo que Ie produciria $ 7 ~Que ocurre aqui? i. mente no! Lo que a concepto del valor de canoa y, en contraste

Indices de evaluacion

65

pensado en explotarla, vendiendo los frutos en un puerto que queda a varios dias de viaje de la plantacion. Para este fin necesita comprar una canoa grande, que es muy dificil de conseguir en la region. Afortunadamente un amigo se la vende en $ 8000 y Morrao inicia la explotacion de la plantacion gastando una semana por viaje redondo al puerto, donde recibe $500 por el cargamento de platanos. De esta manera Morrao tiene establecido un negocio que le produce $500 por semana. Cuando lleva varias semanas explotando esta oportunidad, su mujer Ie pregunta: l,en cuanto estimas tu canoa que cuidas tanto y que esta como nueva? Morrao se enfrenta en este momento ante el problema de valorar un recurso valioso y escaso, como es su preciada canoa. Imbuido por el enfoque contable responde sin dudar un momento y con tono un poco desafiante: "como la he cuidado tanto y esta como nueva, mi embarcacion vale los $ 8 000 que pague por ella". l,Esm Morrao en 10 cierto? l,Son $ 8000 una suma superior 0 inferior al valor real de la canoa? Esto nunca 10 podremos responder en terminos generales, pero si podemos responderlo en los terrninos particulares de Morrao: como la canoa le permite ganar a Morrao $ 500 por seman a, esta vale para el $ 500 por semana. Esto es cierto porque al prescindir de la embarcacion, autornaticamente el cacique prescinde de $500 semanales. Por esta razon decimos que el valor de oportunidad de la canoa, para Morrao, es $ 500 por semana. Yen esto no tienen nada que ver los $ 8 000 que pago inicialmente por la embarcacion. Supongamos que Panchax, otro cacique con iniciativa, ha descubierto un os parajes muy bellos a donde podria llevar de paseo a grupos de turistas intrepidos, Para tal fin necesita una gran barca como la que tiene Morrao y decide proponerle la compra de la canoa. Morrao ha comprendido la nocion del valor de oportunidad y responde a Panchax diciendole que no puede venderla (aun no sa be como calcular su precio de oportunidad) sino que pod ria alquilarsela en $ 500 por semana. A Panchax Ie parece muy caro el alquiler porque hace la cuenta que Morrao pago $ 8 000 por la ernbarcacion y $ 500 representan un 6.25% de su precio de compra. Pagar un arriendo del 6.25% semanal Ie parece que excede los limites de la usura y que es un robo clarisimo. Naturalmente no comparte con Morrao esta ultima apreciacion, ya que este es un feroz guerrero. A Panchax le duele mucho la desproporcion de las ambiciones de Morrao ya que 10 privan de emprender un brillante negocio que le produciria $ 750 por semana. l,Que ocurre aqui? l,Esta Morrao tratando de timar a Panchax? [Definitivamente no! Lo que acontece es simplemente que Morrao esta aplicando el concepto del valor de oportunidad a cualquier negociacion relacionada con su canoa y, en contraste, Panchax aplica una nocion estrictamente contable-

66

Evaluacion de Proyectos

historica. Si este ultimo cacique aplicara el criterio del valor de oportunidad deduciria inmediatamente que la canoa tiene para el un valor de $750 por semana, ya que sin ella no podria llevar 10s turistas de paseo y por consiguiente no recibiria tal ingreso periodico. En lugar de entristecerse se alegraria al darse cuenta de que un recur so que para el vale $750 por semana se 10 ceden en solo $ 500 por semana; todo \0 demas es irrevelante. Naturalmente que esto no quiere decir que Panchax no deba tratar de obtener e\ mejor precio; \0 unko que senala es que \a canoa le produce $ 750 por semana y que no puede pagar mas de tal cantidad por ella. En resumen, el valor de oportunidad de la canoa es $ SOO/semana para Morrao y $ 7S0/semana para Panchax, y estos valores provienen de la oportunidad de utilizacion y generacion de riqueza que ella tiene en manos de cada cacique (mas adelante explicaremos como se puede precisar que la canoa tiene un valor de $SO 000 para Morrao y $75 000 para Panchax). Por consiguiente, el valor de oportunidad es un concepto relativo, como su nombre 10 indica, a las oportunidades de extraer riqueza que enfrenta el poseedor 0 controlador del recurso productivo. Entre mejores sean estas oportunidades, mayor es el valor de oportunidad del recurso. Un corolario de 10 anterior es que no existe un valor unico, general, para los recursos; solo existe una multiplicidad de valores de oportunidad, que son particulares. Ademas, para una misma persona el valor de un recurso cambia en la medida en que varian las oportunidades de utilizarlo productivamente. No en vano Herbert Simon considera la actividad de buscar nuevas oportunidades como la actividad central de un ejecutivo, ya que esta funcion de inteligencia empresarial es la que, a traves de la nocion del valor de oportunidad, incrementa la valia real de los recursos de una empresa, y por ende, el valor de esta. Habiendo explorado este importante concepto, prosigamos con el estudio de los principales indices existentes para evaluar proyectos de inversion.

valente en constituye Veamos neto del c calculo: Jorge des duranle' ende en anual, i.,q "Para describir en que se grafico de

o

$1000

3.2 EI valor presente netoAunque es intuitivamente inmediata la cornprension del significado de la rentabilidad, y no' es evidente el sentido que tiene el valor presente neto, presentamos inicialmente este ultimo indice por considerarlo uno de los mas adecuados y en cierta forma el mas segura de los existentes, como podremos apreciar a traves de ciertas consideraciones que iremos presentando de aqui en adelante. Empecemos con su definicion: El valor presente neto de un proyecto de inversion no es otra cosa que su valor medido en dinero de hoy, 0 expresando esta idea de otra manera, es el equi-

Indices de evaluacidn

67

valente en $ actuales de todos los ingresos y egresos, presentes y futuros, que constituyen el proyecto. Veamos un ejemplo sencillo para aclarar el significado del valor presente neto del cual podremos deducir, de manera inmediata, el procedimiento de calculo: Jorge compra un vehiculo en $1 000000, que produce $400000 de utilidades durante cada uno de los proximos dos alios; al final de este periodo 10 vende en $ 500000. Si la tasa de interes de oportunidad en este caso es del 20% anual, ~que tan buen negocio ha hecho Jorge? Para dar respuesta ala pregunta que se ha planteado debemos, ante todo, describir explicitamente los elementos que constituyen el proyecto 0 negocio en que se ha comprometido Jorge; la mejor manera de hacerlo es mediante un grafico de flujos, tal como se observa en el grafico 3.3.$500 000

t$400000 $400000

o2

$1000000

Grafico 3.3

Ahora debemos reduci r este grafico a un indice que nos permita establecer la conveniencia economica del proyecto en cuestion. Si acudimos al valor presente neto, debemos obtener en el momento cero el equivalente de todas y cada una de las sumas, egresos e ingresos, que constituyen el proyecto de inversion; luego debemos sumar algebraicamente tales equivalentes (los ingresos suman y los egresos restan) para establecer el valor presente neto. En el momenta inicial el equivalente de la partida (mica de $1000000 es simplemente $1 000 pOO, ya que este egreso ocurre al comienzo. El equivalente en cero de las dos sumas iguales de $ 400 000, que ingresan al terminar el primero y segundo alios, se halla mediante la formula C que relaciona a R con P, cuando R = $ 400000, n = 2 e i = 0.20. Par ultimo, el equivalente

68

Evaluacion de Proyectos

actual del ingreso de $ 500 000 obtenido diante la formula n ~ que relaciona A 0.20; en resumen:

al concluir el afio 2, se calcula meS = $500000,

a S con P, cuando

=

2 e i

=

Equivalente

en cero de $1 000 000 que se pagan en cero = - $1 000000

Equivalente en cero de dos ingresos de $400000 c/u al terminar el primero y segundo afios: $ 400000 X 1.5278 = + $ 611 120 Equivalente en cero de un ingreso de $ 500000 recibido al terminar el segundo ana: $ 500000 X 0.6944 Valor presente neto Destaquemos dos caracteristicas= +$

347200 41680

- $

de este indice que revisten importancia: nulo0

1. Puede asumir un valor positivo, tuvo un valor negativo.

negativo; en el ejemplo anterior

2. Depende de la tasa de interes que se utiliza para calcular los equivalentes en el momento cero; en el ejemplo se ernpleo el 20% anual que es la tasa de interes de oportunidad de Jorge. Por este motivo, cuando se presenta el valor presente de un proyecto se debe hacer explicita la tasa de interes que se emplea para calcularlo; esto se hace de la siguiente manera: VPN(0.20) = -$41680

El criterio de decision que acornpafia al indice del valor presente neto sefiala que la alternativa en cuestion es aconsejable econornicamente cuando su VPN es mayor que cero, es indiferente cuando el VPN = 0 y no es conveniente cuando el VPN es men or que cero; todo 10 anterior esta sujeto a la condicion de que el VPN se haya calculado utilizando la tasa de interes de oportunidad. Supongamos que el proyecto de inversion que se va analizar es el del grafico 3.4.

$10

1$10000

~-----------------------$-1-2fOO

Graflco 3.4

Indices de evaluacion

69

En este nuevo proyecto, se entregan $lO 000 ahora y se reciben $12 000 dentro de un afio, cifra que corresponde a la devoluci6n de los $lO 000 que se entregaron originalmente mas $ 2 000 por intereses. Es muy claro, entonces, que el nuevo proyecto consiste en colocar $ 10 000 al 20% anual de interes, que en el caso de Jorge, el hombre del ejemplo anterior, es la alternativa que siempre tiene a su disposici6n, porque hemos estipulado que su tasa de interes de oportunidad es precisamente 20% anual. Si calculamos el VPN de esta nueva alternativa utilizando i = 0.20, obtenemos 10 siguiente: Equivalente Equivalente en en

a de

- $ lO 000 entregados

en

a

$lO 000 + $lO 000

a de

+ $12 000 recibidos en 1 VPN(0.20)

a

En consecuencia, podemos aseverar que cuando el valor presente neto es igual a cera, 10s dineros invertidos ganan un interes exactamente igual al empleado para ca1cular el VPN. Es decir, como VPN (0.20) = 0, la suma entregada gana un interes del 20% anual y como esta es la tasa de interes de oportunidad, aquella que Jorge puede ganar en otras partes, el proyecto en cuesti6n es indiferente para nuestro amigo. Examinemos un tercer proyecto que consiste en ]0 que nos muestra el grafico 3.5.$13000

sefiala VPN niente ion de idad, grafi-

$10000

Grafico 3.5

Debe ser claro para ellector que este tercer proyecto produce un rendimiento del 30% anual. Si calculamos su VPN utilizando la tasa de interes de oportunidad que percibe Jorge (20% anual), obtenemos: Equivalente Equivalente en en

a de a de

- $ lO 000 entregados en +$13 QOOrecibidos en 1 VPN(0.20)

a

- $lO 000 + $lO 833 + $ 833

70

Evaluacion de Proyectos

Vemos asi que el VPN es positivo y esto indica que el rendimiento sobre la inversion es superior al 20% que se.utilizo para computar el VPN, hecho que por construccion ya conociamos de antemano. Podemos afirmar entonces que un VPN positivo significa que el rendimiento del proyecto es superior a la tasa de interes que se utiliza para calcularlo. Si esta es la de equivalencia u oportunidad, un VPN positivo indica que el proyecto es atractivo ya que rinde un interes superior al de oportunidad. Finalmente, examinemos un cuarto proyecto de inversion (ver grafico 3.6) que intuitivamente rinde un 15%, tasa que es inferior a la de oportunidad en el caso de Jorge:$11500

1----:--------:-1$10000

Graffeo 3.6

Al calcular el VPN con un interes del 20% anual, obtenemos: Equivalente Equivalente en 0 de - $ 10 000 entregados en 0 e,n 0 de + $ 11 500 recibidos en 1 VPN(0.20)

+

$10 000 $ 9583 $

417

La negatividad de este valor presente indica que el rendimiento del proyecto en cuestion es inferior al 20% que se utilize para calcular el VPN. Como tal interes es el de oportunidad, el signo menos del indice de evaluacion sefiala que el proyecto no es aconsejable. En resumen, podemos afirmar 10 siguiente respecto al valor presente neto, como indice para evaluar la bondad econornica de los proyectos de inversion: 1. Su valor depende de la tasa de interes que se emplea para computarlo. 2. Si i es la tasa de interes que se utiliza en el calculo del valor presente. entonces: VPN (i*)

>

0 indica que los dineros invertidos en el proyecto rinden mas del i*.

Indices de evaluacidn

71

VPN (i*) = 0 sefiala que los dineros exactamente el i*. VPN (i*)

invertidos

en el proyecto en el proyecto

rinden rind en

0 sefiala 0 la rentabilidad tonces con i = 0.015: VPN(0.15) =-$50000 = -$4050

es mayor que 10%; ensayemos en+ $25000(0.4972)

+ $10000(3.352)

blezcamos c ' mill ones ). Es cabo de dos

Como VPN (0.15) < 0 podemos afirmar que la rentabilidad 15%. Ensayemos de nuevo con i = 0.12: VPN(0.12) =-$50000 = +$235 + $10000(3.605)

es menor que Como busc 10 hallamos d

+ $25000(0.5674)

Este ultimo resultado muestra que la TIR es mayor que 12% y que esta proxima a tal cifra. AI hacer un calculo mas precise, llegariamos a establecer que la rentabilidad es del 12.3% anual. Para saber si la compra del taxi es un buen negocio para el viejo chofer, este debe comparar la TIR encontrada con la rentabilidad que puede extraer de su dinero en otras inversiones, es decir, con su tasa de interes de oportunidad. EI rendimiento real que produce una inversi6n La cornpafiia INVERSIONES S.A. publico un folleto que an uncia la construccion de un centro comercial, con el proposito de atraer nuevos inversionistas para este proyecto que ya esta en marcha. La siguiente es la informacion que aparece alli: Inversion hecha hasta la fecha Inversion adicional solici tada a los nuevos accionistas $ 80000000 $100000000

o sea, (1

+

i

EI primer res 32% anual y no Si nos encon conocer el ren . los nuevos acci cabo de dos ail inicialmente en nuevos inversio Nos queda po Ellos entregaron mitad del prod entonces la tasa en tres afios, la

La idea es emitir 100000 acciones con un valor nominal de $2000 por unidad para entregar 50 000 de ellas a los accionistas antiguos y 50 000 a los nuevos accionistas. EI centro comercial estara terminado en dos afios y se estima que para ese entonces sera vendido en su totalidad por un valor de $350'000000. Sobre un capital de $ 200000000 (resultante de multiplicar 100000 acciones X $ 2000 que vale cad a una de ellas) el rendimiento es de un 75% en dos afios, 0 sea de 37.5% anual (aparentemente). [Apresurese a invertiren este maravilloso negocio! Veamos a continuacion por que varias de las informaciones que contiene el folleto de promocion de INVERSIONES S.A. son incorrectas y por que, aparentemente en forma deliberada, no se mencionan otras. Ante todo esta-

Vemos asi que 29.5%, que es inf a la que segura una ganancia de a su vez equivale

La rentabilidad

97

blezcamos cual es la verdadera rentabilidad respecto al capital nominal ($200 mill ones ). Esta no es otra que la TIR de una inversion de $ 200 millones que al cabo de dos afios se convierte en $ 350 millones. VPN (i) = - 200

+

350

X

(1

~ i )

Como buscamos el valor de i que hace el valor presente nulo, simplemente 10 hallamos despejandolo de la ecuacion - 200 o sea, (1

+

350 (1

+

i)2

0 que i = 0.32.

+

i)2 = 1.75, de donde se desprende

El primer resultado sefiala que el rendimiento sobre el capital nominal es 32% anual y no 37.5% como se insinua en el folleto. Si nos encontramos en la posicion de un nuevo inversionista y deseamos conocer el rendimiento que tendra su inversion, debemos tener en cuenta que los nuevos accionistas suscriben $ 100 millones y obtienen $175 millones al cabo de dos afios, la cual es una operacion identica a la que examinamos inicialmente en relacion con todo el capital nominal. Por consiguiente, los nuevos inversionistas derivaran un rendimiento del 32% anual. Nos queda por explorar la rentabilidad que obtienen los viejos accionistas. Ellos entregaron $ 80 millones hace un afio y recibiran a cambio de su aporte la mitad del producido del negocio, es decir, $175 millones. Debemos buscar entonces la tasa de interes que hace equivalentes $ 80 millones a $175 millones en tres afios, la cual se desprende de la siguiente relacion: 80 = 175 (1 (1 1 i)3

+

+

i)3 = 2.1875

i = 0.295

Vemos as! que los accionistas mas antiguos obtendran una rentabilidad del 29.5%, que es inferior a la de los nuevos accionistas (32%). Tambien es inferior a la que seguramente ca1cularon al establecer que $175 millones representan una ganancia del 118.75% en 3 afios sobre una inversion de $ 80 millones, que a su vez equivale a una ganancia anual promedia de un 39.58%.

98

Evaluacion de Proyectos

4.2.4 Algunas consideraciones sobre la tasa de interes efectiva y la tasa de lnteres nominalEn ocasiones se escucha la afirmaci6n de que una tasa de interes anual (0 una rentabilidad anual) es equivalente a una tasa mensual, resultante de dividir la primera por doce. Por ejemplo, se asevera que un rendimiento anual del 36% equivale a uno mensual del 3% y que una tasa de interes anual del 24% es identica al 2% mensual. Tal afirmaci6n es incorrecta y veamos por que: Si colocamos una suma P a una tasa de interes anual del i%, al final de un afio habremos acumulado P( 1 + i). Si colocamos la misma suma P a una tasa de interes mensual del i% , al final de un afio habremos 12 acumulado:

dadero interes a

Aislando el va

P Si las cantidades acumuladas

(

1

+

112

. )12don de is recibe e Apoyandonos e equivale a (1 + O. vale a (l + 0.01 Con base en 10 nominal resulta si

al final del afio P

P(l

+

i)

Y

(

1

+

112

. )12

fueran iguales, la afirmaci6n que pretendemos negar seria correcta. Pero no 10 son, ya que basta examinar un caso particular para demostrarlo. Cuando i = 0.24, tenemos que P(l + i) = 1.24 P y P Cuando i

(I +

1~}2

=

1.2682 P

=

0.18, se encuentraP

que P(l

+

i)

=

1.18 P Y

. )12 ( 1 + _1_ 12

= 1.196 P

En los dos ejemplos anteriores se puede apreciar que al terminar el afio se ha acumulado una cantidad mayor con e1in teres mensual que con e1anual. Esto evidentemente indica que e1interes mensual equivale a un interes anual mayor que el inicialmente supuesto. l,Cmil es ese mayor interes anual? Como el interes mensual acumula P

(

1

+

112

. )12

4.2.5 La renta coningCuando examinam tamos con la nece -

al final del afio, el ver-

La rentabilidad

99

dadero interes anual equivalente P ( 1

es el que llamaremos . )12 112 = P(1 que:

ie, tal que:

anual (0 edividir deI36% 24% es

+

+

iE)

Aislando el valor de i s obtenemos

que:Ide un una tasa

iE= ( 1 +12

i

)12

1

donde ie recibe el nombre de interes efectivo. Apoyandonos en esta relaci6n, podemos establecer que un 2% mensual equivale a (1 + 0.02)12 - 1 26.82% anual y que un 1.5% mensual equi- . vale a (1 + 0.015)12 - 1 = 19.56% anual. Con base en 10 anterior se puede construir la tabla 4.1, donde el interes nominal resulta simplemente de multiplicar el interes mensual por 12.

=

Pero nolo . Cuando

Tabla 4.1 El interes efectivo nominallnteres mensual % lnteres anual equivalente Nominal (%) Efectivo (%)

1 11/4 11/213/4

2 21/2 3 31/2

12 15 18 21 24 30 36 42

12.68 16.08 19.56 23.14 26.82 34.49 42.58 51.11

4.2.5 La rentabilidad de un proyecto con ingresos indefinidosCuando examinamos la situaci6n de Morrao y Panchax (ver 3.1) nos enfrentamos con la necesidad de calcular el VPN de una serie infinita de ingresos

100

Evaluacion de Proyectos

MOll.IO

t'lOlZttOllJIDI CHQPOt1l0

semanales. Observemos el grafico 4.7 para ver 10 que ocurre cuando calculamos la TIR de un proyecto constituido por un pago unico inicial y una serie uniforme infinita de ingresos futuros.R R R R R R

0

P

lEIVPN(i)

t

t2

YJ,Grafico 4.7

t

j

+

L.1

~oo

= _p

+

R(

(1 + ir i(1 + ir

1),dondeademasntiendeainfinito.

En el caso de los caciques establecimos . . tesis es igua lid -:- cuan 0 n --- 00 aI

que el ultimo terrnino entre paren-

Como resultado

tenemos que: VPN (i) = - p

+-

R i resulta ser:

y en consecuencia

la tasa interna de rentabilidad

Mencionamo la tasa intema si6n que hay un proyecto Ademas, entre inversi6n pue diferencia de 1 que se estipule mente este req implicito, con taciones. Cuando se e de interes de 0 dad de reflexio cia. Cuando se e referirse al inte un estudio sin ' como la siguie "La rentabili y debe realiza Debe ser clar es atractivo es En la forma como base para plantea la decla decide. Como verem debemos tener I, (TIR) Ia tasa ca pro pia de proyecto. 2. (iop) Ia tasa de cponuni independie proyecto.

RP

Este resultado es de gran utilidad cuando nos ocupamos del problema de establecer el valor real de una acci6n, ya que en este caso R frecuentemente representa el valor de los dividendos repartidos peri6dicamente.

La rentabilidad

101

Ial3DdO

calcula~~una serie

4.2.6 La tasa interna de rentabilidad como indice para evaluar inversionesMencionamos antes que uno de 10s grandes atractivos que ofrece el metodo de. la tasa intern a de retorno estriba en la muy difundida aceptacion y comprension que hay sobre el, entre quienes adoptan decisiones. Cuando hablamos de un proyecto que rinde el 19%, todo el mundo sabe 10 que queremos decir. Ademas, entre 10s iniciados en los temas de la evaluacion de proyectos de inversion puede presentarse cierta simpatia hacia este metoda porque, a diferencia de 10 que ocurre con el valor presente neto, aparentemente no exige que se estipule la tan elusiva tasa de interes de oportunidad. Desafortunadamente este requisito no se elude con este metodo sino que simple mente se hace implicito, convirtiendose asi en una posible fuente de errores y malas interpretaciones. Cuando se evalua una alternativa con el VPN es necesario utilizar una tasa de interes de oportunidad desde el comienzo y tal exigencia impone la necesidad de reflexionar sobre el i escogido y de comentar el por que de su escogencia. Cuando se evahia con la TIR 10 ultimo que aparece es la necesidad de referirse al interes de oportunidad y por tal motivo es frecuente que se termine un estudio sin incluir este ultimo paso y que se finalice con una declaracion como la siguiente: "La rentabilidad de este proyecto es del 56% y por consiguiente es atractivo y debe realizarse". Debe ser claro para ellector que la unica manera de establecer si el proyecto es atractivo es refiriendose a la tasa de interes de oportunidad de quien decide. En la forma como se hace la declaracion, implicitamente se esta utilizando como base para la decision el interes de oportunidad que tiene la persona que plantea la declaracion, que no siempre coincide con la tasa de interes de quien decide. Como veremos a continuacion, existen tres nociones de rentabilidad que debemos tener muy claras para evitar incurrir en graves equivocaciones: 1. (TIR) la tasa interna de rentabilidad de un proyecto, que es una caracteristica pro pia del mismo, independiente de las condiciones de quien evalua el proyecto. 2. (iop) la tasa de interes de oportunidad del evaluador, es decir, la rentabilidad de oportunidad del mismo, que es una caracteristica pro pia del evaluador, independiente hasta el momento de la evaluacion, de las caracteristicas del proyecto.

eainfinito.

entre paren-

102

Evaluacion de Proyectos

3. La rentabilidad del proyecto para un evaluador en particular, que es la nocion de rentabilidad que efectivamente buscan quienes toman la decision. Esta rentabilidad resulta de la interaccion entre la TIR y la tasa de interes de oportunidad (iop) de quien decide. Aunque con mucha frecuencia coincide la verdadera rentabilidad con la TIR, es fuente de graves equivocaciones no examinar la veracidad de tal coincidencia. Esto es especialmente peligroso cuando se evaluan altemativas multiples de inversion.

4.3 La tasa verdadera de rentabilidad (TVR) de un proyectoLos comentarios que acabamos de hacer respecto alas diferentes nociones de rentabilidad, deben aclararse mediante un ejemplo numerico como el que enfrenta Alirio Guzman cuando decide constituir una empresa para llevar visitantes a la selva amazonica. Debido al regimen de lluvias de estas vastas regiones, nuestro indornito amigo ha advertido que los visitantes solo pueden llevarse alIi, en condiciones aceptables de confort, en los meses de diciembre, enero y febrero de cada afio; y para realizar sus expediciones en las condiciones anunciadas, Alirio ha comprado un avion de tipo STOL y una bella casa flotante, que ha instalado en las riberas del rio Apaporis. La inversion hecha en estos valiosos activos, que incluye la movilizacion de la casa flotante a aquel sitio, asciende a US$ 500 000 y 10s ingresos provenientes de su novedosa empresa 10s calcula de la siguiente manera: IS personas X 90 dias./afio X US$150/dia = US$202 500 por temporada. Los gastos de operaci6n los calcula en US$ 83 240/temporada, de modo que los ingresos netos esperados ascienden a US$119 260/temporada, 0 sea por afio. Alirio ha pensado en operar este negocio durante 10 afios, al cabo de 10 cuales piensa regalar a los colonos de la region tanto el avion como la casa flotante, con todos sus implementos. (Esta es una manera mediante la cual e espera conseguir la ayuda eficaz de los pocos moradores del Apaporis.) El gobierno nacional, presionado por las compafiias existentes, le ha perrnitido importar el avion con la condicion de que no le de ningun uso comercial diferente del de su negocio turistico. Tomando en consideraci6n todo 10 anterior, nuestro amigo aventurer quiere saber cual es la rentabilidad de su proyecto, ya que el puede colocar dinero al 10% anual compuesto en otros proyectos en los Estados Unidos.

fA rentabilidad

103

es la decitasa de uencia ivocalmente

Como toda la inversion se pierde al final, ya que los activos seran regalados a los colonos, y como solo se producen ingresos al concluir cada temporada, el flujo de fondos del proyecto es el del grafico 4.8.

o_t_t I1US$500000

US$119260

A,----

~~------10

t

1

Graffeo 4.8

AI calcular la TIR del anterior flujo, Alirio encuentra que es exactamente igual al 20% anual compuesto. lIndica este resultado que nuestro amigo esta . ganando un 20% de interes anual durante los diez afios que dura el proyecto? La respuesta es si y no. Efectivamente Alirio obtiene un rendimiento del 20% anual en el negocio turistico durante 10 afios, pero esta rentabilidad es aplicable solo a los dineros que mantiene invertidos en el proyecto durante cada uno de los afios que este dura. Es incorrecto entonces afirmar que el proyecto representa la oportunidad de invertir US$ 500000 durante 10 afios al 20% anual compuesto, porque el proyecto, de hecho, devuelve anualmente parte de la inversion inicial. Mediante el desglose del proceso de acumulacion de la tabla 4.2, esperamos aclarar las anteriores afirmaciones. Ellector debe advertir que la tasa intema de rentabilidad se aplica efectivamente solo al saldo acumulado al principio de cada periodo. De esta manera vemos que US$ 500 000 ganan 20% de interes durante el primer afio, pero que tal rentabilidad anual se obtiene en los afios posteriores solo para las siguientes sumas decrecientes: US$480 740; US$457 628; US$429 893.60, etc. En resumen, Alirio enfrenta un proyecto cuya TIR es del 20% anual pero que, por devolver dinero a 10 largo de su duracion, no produce efectivamente el 20% anual compuesto de interes sobre la inversion inicial de US$ 500000 durante 10 afios, sino que tal interes opera sobre las sumas anuales decrecientes que se mantienen atadas al proyecto. Aunque los resultados anteriores son de gran utilidad para nuestro amigo, el desea saber cual es la tasa verdadera de rentabilidad (TVR) de este proyecto en el sentido de establecer el interes efectivo que ganan durante 10 afios los US$ 500000 que debe invertir.

104

Evaluacion de Proyectos

Tabla 4.2Inversi6n al principio del periodo Periodo (1) (US$) 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10 500000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Saldo acumulado al principio del periodo (2) (US$) 500000 480740 457628 429 89~.60 396612.32 356674.78 308749.73 251239.67 182227.60 99413.12 0 Intereses ganados durante el periodo 0.20 x (2) (3) (US$) 100000 96148 91525.60 85978.72 79322.46 71334.96 61749.95 50247.93 36445.52 19882.62 Saldo al final del periodo (2) + (3) Retires al final del periodo

119260 X (0

(4) (US$) 600000 576888 549153.60 515872.32 475934.78 428009.73 370499.67 301487.60 218673.12 119295.74

(5) (US$) 119260 119260 119260 119260 119260 119260 119260 119260 119260 119260

Por consiguien Ias posibilidades un proyecto de in 14.4% anua! apr

US$

En este moment Concretamente pregunta: "quiero saber cual es el rendimiento que obtengo de los US$ 500000 durante los diez afios que dura el proyecto del Apaporis; no me den una respuesta complicada, por favor, quiero una sola cifra". Para responderle a Alirio debemos calcular la cantidad total de dinero que el acumula al cabo de diez afios al invertir US$ 500 000 en el proyecto de la selva y reinvertir Ios dineros que va liberando el proyecto, a la tasa de interes de oportunidad del 10% anual compuesto. Al finalizar el primer periodo, Alirio recibe US$119 260, Ios cuales puede reinvertir a Ia tasa del 10% anual compuesto durante 9 afios, Al hacer esto acumula: 119260 X (1.10)9 = US$281 215.08 Al final del segundo afio nuestro amigo recibe US$119 260, que puede reinvertir al 10% anual compuesto durante 8 afios, para acumular dentro de 10 afios: 119260 X (1.10)8 = US$255693.44 Haciendo 10 mismo con todas las demas partidas, Alirio acumuia al final de diez afios, Ia siguiente cantidad: . I. La tasa verdade Alirio, aquella jadas en su tasa Alirio (que se e 14.4% anual co 2. La rentabilidad indice que NO 3. La tasa de inte caracteristica deI

Es muy frecuente que, como puede fa diferentes. La co coincide con su TIR. largo de su horizon oportunidades de rei el proyecto. Debe adecuado es el que proyecto (TVR).

La rentabilidad

105

119260 X (0.10)9

+

119260 X (1.10)8

+ ... +

119260(1.l0)1

+

119260

= 119.260 X 15.937 = US$1 900646.60 Por consiguiente, al combinar el producido del proyecto del Apaporis con las posibilidades de reinversion que tiene nuestro amigo, nos encontramos con un proyecto de inversion global como el del grafico 4.9, que tiene una TIR de 14.4% anual aproximadamente.US$1 900 646.60

o10US$500 000

di

o --"u

.s

o

Grafico 4.9

En este momento

si podemos responder

a Alirio, asi:

ow

1. La tasa verdadera de rentabilidad del proyecto (TVR), del Apaporis para Z Alirio, aquella que combina las caracteristicas propias del proyecto (refle- U jadas en su tasa interna de rentabilidad) con las caracteristicas propias de Alirio (que se expresan mediante su tasa de interes de oportunidad), es Z 14.4% anual compuesto sobre la inversion inicial. es puede cer esto 2. La rentabilidad propia del proyecto es 20% anual compuesto. indice que NO depende de quien este analizando el proyecto. Es la TIR, ~lI) 01:

octl

3. La tasa de interes de oportunidad es 10% anual compuesto y constituye una> caracteristica de Alirio y NO del proyecto. Z Es muy frecuente que se confundan estas tres mediciones de rentabilidad que, como puede facilmente advertir ellector, tienen un significado y utilidad diferentes. La confusion surge porque, con frecuencia, la TVR del proyecto coincide con su TIR. Esto acontece cuando el proyecto no devuelve dinero a 10 largo de su horizonte de vida, y asi no da cabida a que entren en juego las oportunidades de reinversion (tasa de interes de oportunidad) de quien analiza el proyecto. Debe ser claro que para tomar decisiones, el indice de rentabilidad adecuado es el que hem os llamado la tasa verdadera de rentabilidad del proyecto (TVR).

::J

e puede trode 10

106

Evaluacion de Proyectos

4.4 Discrepancias entre la tasa interna de rentabilidad y el valor presente netoEs muy importante advertir que pueden existir discrepancias serias entre el ordenamiento preferencial que produce el metodo de la TIR y el proveniente del VPN. Para explorar este punto, veamos la siguiente situaci6n enfrentada por un habil inversionista que tiene que escoger entre dos alternativas de inversi6n que se han puesto a su consideraci6n y cuyos diagramas de flujo se presentan en el grafico 4.10.$13924 $6545.50 $6545.50

Hecho esto.

o2

l~-t--!$10000Alternativa

$10000Alternativa A

B

y que, por 10 t VPN produce rentabilidad. "Cual de 10 menester acudi en evidencia 10 La alternati alternativa B pr final del segun Por consigui entre las dos alt que la alternati primer afio y po en A, equivale a recibir $ 7 378. $ 13 924 que se r por el camino de 4.11 de flujo de

Grafico 4.10 o El inversionista conoce las tecnicas para analizar proyectos de inversi6n y en consecuencia adelanta los siguientes calculos: VPNA (0.18) = 0 10 cual significa que TIRA VPNB

18% 20% Lo que implica mostrado en el devolver al afio durante un afio Si tenemos e~ anterior -no es c guir dinero en p Otra manera escoger la alterna

(0.20) = 0 10 que sefiala que

TIRB

Concluye que el proyecto B es mejor que el proyecto A. Cuando se dispone a invertir en el proyecto B, un amigo le aconseja que verifique los calculos utilizando el metodo del valor presente neto, para evitar as! cualquier posibilidad de error. El inversionista encuentra razonable el consejo y hace las siguientes operaciones utilizando su tasa de interes de oportunidad, que es del 10%. VPNB(O.IO) =-$10000 VPNA (0.10) = - $10 000

+ $6545.50(1.736)

= $1363.00

+

$13 924.24 (0.8264) = $1 506.80

La rentabilidad

107

Hecho esto, con gran consternaci6n VPNA(O.1O)

observa que el

>

VPNB(O.1O)

2

y que, por 10 tanto, el proyecto A es mejor que el B; es decir, que el metodo del VPN produce un ordenamiento exactamente opuesto al de la tasa intema de rentabilidad. "Cual de los dos resultados es el correcto? Para esclarecer esta situaci6n es menester acudir a un analisis comparativo de las dos alternativas, que ponga en evidencia 10 que implica adelantar una de ellas en detrimento de la otra. La alternativa A produce $13924 al final de dos afios, en tanto que la alternativa B produce $6 545.50 al final del primer afio y la misma cantidad al final del segundo afio. Por consiguiente, podemos argumentar que una diferencia fundamental entre las dos altemativas consiste en que la altema tiva B produce dinero antes que la altemativa A; en particular, la altemativa B genera $6545.50 al final del primer afio y por esto, podemos aseverar que invertir en B en lugar de hacerlo en A, equivale a preferir recibir $6545.50 dentro de un afio a cambio de no recibir $ 7 378.50 dentro de dos afios, Esta ultima cifra es la diferencia entre $13924 que se recibirian al final del afio 2 mediante la alternativa A y $6545.50 por el camino de la altemativa B. Lo anterior se puede resumir en el grafico 4.11 de flujo de dinero.$6545.50

~ion y enL--._

t --1---lGnifico 4.11

2

Alternativa 8-A

$7378.50

Lo que implica entonces escoger la alternativa B en lugar de laA, que es 10 mostrado en el grafico, no es otra cosa que tomar en prestamo $6 545.50 para devolver al afio siguiente $ 7378.50; es decir, cance1ar $ 833 por intereses durante un afio, 0 sea pagar $833 -;- $6545.50 12.75% de interes anual. Si tenemos en cuenta que 1a tasa de interes de oportunidad es del 10%, 10 anterior no es conveniente para nuestro inversionista ya que el puede conseguir dinero en prestamo a tal interes, que es inferior a1 12.75%. Otra manera de examinar esta situaci6n es considerando 10 que implica escoger la altemativa A en vez de la alternativa B. Si se escoge A en 1ugar de B

=

108

Evaluacidn de Proyectos

se esta prefiriendo, de hecho, recibir $13 924 al cabo de dos afios, en lugar de $6545.50 dentro de un afio mas $6 545.50 dentro de dos afios. Esto a su vez equivale, haciendo las restas del caso, a preferir recibir $ 7 378.50 dentro de dos afios en lugar de $6545.50 dentro de un afio. Por este motivo, la escogencia se puede equiparar.con la de invertir $6545.50 para obtener al cabo de un afio $7378.50. Esta operacion, como 10 puede comprobar facilmente el lector, produce un interes del 12.75%, que es superior al lO% que tiene disponible el inversionista en otras partes, por 10 cualla escogencia de A en vez de B es aconsejable. Las consideraciones anteriores destacan la infalibilidad del metodo del valor presente neto y aparentemente indican que la tasa interna de rentabilidad es un metodo que produce ordenamientos equivocados. Veamos cual es la realidad. Cuando decimos que la TIR del proyecto B es del 20%, estamos diciendo que los dineros invertidos en tal alternativa, durante el tiempo en que permanecen invertidos, ganan un interes del 20%. En consecuencia, si examinamos el flujo de fondos de esta alternativa observamos que durante el primer afio permanecen invertidos $10000 y por consiguiente durante tal afio esa suma devenga $ 2000 de interes. Pero, al final de este afio el proyecto devuelve $6545.50, suma compuesta por $2 000 de intereses devengados y $4545.50 de devolucion de inversion. Entonces, en el segundo afio la inversion no es $ lO 000, sino solo $ 5454.50, de modo que durante este segundo afio los intereses devengados suman $1 091.00. La adicion de estos intereses y 10 que estaba realmente invertido es $6545.50, cantidad que devuelve el proyecto B al final del segundo afio. De todo 10 anterior podemos afirmar, de manera mas explicita, que el proyecto B consiste en la oportunidad de invertir $ 10 000 al 20% anual durante un ana y $ 5 454.50 al 20% anual durante el ana siguiente. En contraste, cuando examinamos el proyecto A vemos que por no haber devolucion alguna de dinero antes de 10s dos afios, podemos aseverar categoricamente que esta alternativa es la oportunidad de invertir $10 000 al 18% anual durante dos afios. Como la tasa de interes de oportunidad es del 10%, las dos alternativas constituyen oportunidades extraordinarias de colocar dinero a una tasa de interes mayor a la normalmente disponible para el inversionista. l,Cual es mejor entre estas dos alternativas deseables? l,Colocar $10 000 a1 18% anual durante dos afios a colocar $ 10 000 al 20% anual durante un ana y $ 5454.50 al 20% anual durante el afio siguiente? La respuesta no es obvia. Para poder responder, debemos incorporar en el analisis 10 que ocurre con la diferencia de inversion durante el segundo ana. En la alternativa A, se mantienen $10 000 invertidos al 18% anual durante el segundo afio. En la alternativa B se mantienen $5454.50 invertidos al 20% anual durante el

segundo afio definicion, a De esta iniciales se alternativa $7200.05 (q el primer terminar el es $13745. va A. Ellector acurnulados Alt. A) V . al 10% de Si de esta el VPN (loq Podemos autornatica de interes de cuenta 10 que base en este . se reinvierte que hemos Cuando afi tasas intemas suponiendo q ten en otros hemos preci interes que se

. La TVR devuelve t

La rentabilidad

109

gar de su vez dedos gencia unano lector, nible el de B es

segundo afio y 10s restantes $4545.50 se invierten necesariamente y por definici6n, al 10% que es la tasa de interes de oportunidad. De esta manera vemos que por el camino de la alternativa A, los $10 000 iniciales se convierten en $ 13 924 dentro de dos afios, Por la ruta de la alternativa B, los $10000 ,iniciales se convierten en $6545.50 X 1.10 = $7200.05 (que provienen de la reinversi6n de los fondos liberados al finalizar el primer afio), mas $6545.50 que devuelve directamente el proyecto al terminar el segundo afio. Asi, el total acumulado al final, por la alternativa B, es $13745.55 que resulta inferior al total acumulado a traves de la alternativa A. Ellector debe observar que si calculamos el valor presente neto de los totales acumulados al 10% anual, obtenemos: Alt. A) VPN all0% de $ 13924 dentro de 2 afios =$ 11506.80; Alt. B) VPN al 10% de $13745.55 dentro de 2 afios = $11 363.00. Si de esta suma restamos los $ 10000 invertidos originalmente, obtendremos el VPN (10%) que calculamos inicialmente para cada alternativa. Podemos entonces concluir que el metodo del valor presente neto incorpora autornaticamente el hecho de que los fondos liberados se reinvierten a la tasa de interes de oportunidad. Tambien podemos afirmar que la TIR no tiene en cuenta 10 que pasa con los fondos que se liberan y que, cuando se escoge con base en este indice, se esta suponiendo implicitarnente que los fondos liberados se reinvierten a la tasa interna de retorno. Esto, como acontece en el ejemplo que hem os venido examinando, puede ser incorrecto. Cuando afirmamos que el proyecto B es mejor que el proyecto A porque las tasas internas de rentabilidad son del 20% y 18% respectivamente, estamos suponiendo que los fondos liberados por B, al final del primer afio, se reinvierten en otros proyectos al 20%. Pero esto no corresponde a la realidad que hemos precisado, al sefialar que la tasa de interes de oportunidad 0 sea el interes que se puede obtener en otros proyectos es s610 del 10%.

rnativas tasa de rCual es c anual 5454.50

4.5 La compatibilidad entre el VPN y la tasa verdadera de rentabilidad (TVR) de 105 proyectosVeamos ahora cual es la TVR de los proyectos en consideraci6n, procedimiento y definici6n que ilustramos en el subtitulo 4.3: siguiendo el

1. La TVR del proyecto A = 18% resulta igual a la TIR, porque el proyecto devuelve todo el dinero al final de 2 afios.

110

Evaluacidn de Proyectos

2. La TVR del proyecto B es igual a la TIR del proyecto equivalente, que incorpora la reinversi6n de los fondos liberados:$13745.55

Construya estamos exa curva, que al

1.o2

$10000

el cual tiene una tasa interna de rentabilidad igual al 17.24% anual. Al comparar las TVR de los dos proyectos tenemos que TVRA

=

18%

>

TVRB

=

17.24%

que indica la misma preferencia VPNA(0.10)

producida

por el VPN.

=

$1506.80

>

VPNB(0.10)

=

$1363.00

En consecuencia podemos afirmar: EI ordenamiento prejerencial entre dos altemativas no siempre es igual cuando se hace por medio del VPN 0 de la TIR. Coincide, sin embargo, cuando se hace por medio del VPN y de la TVR.

Aunque se ' poder dibujar darnos cuenta recen en el gra

4.6 La representaclon grafica del valor presente neto y de la tasa interna de rentabilidadLa comprensi6n de 10 que realmente representa el VPN y la TIR se aclara al examinar un grafico en el cual aparece el VPN como una funci6n de la tasa de interes que se usa para computarlo. Como hemos venido afirmando, el VPN es una funci6n de la tasa de interes que se utiliza en los calculos; si esta varia, aquel tarnbien 10 hace. En consecuencia, podemos dibujar la relaci6n entre el VPN y la tasa de interes utilizando un sistema de coordenadas cartesianas, representando en el eje horizontal los valores de la tasa de interes y en el verticallos valores del VPN. En el plano determinado por estos ejes dibujamos el grafico que relaciona cada valor de i con su correspondiente VPN. Tal grafico, que es una curva, es la Hamada curva del VPN.

$1

Gnifico 4.12 G

La rentabilidad

111

e in-

Construyarnos como ilustraci6n la curva del VPN para la alternativa A, que estamos examinando. Para tal fin debemos identificar varios puntos de la curva, que al unirlos nos permiten identificarla. 1. Cuando la tasa de interes i = 0, el VPN es simplemente los ingresos y los egresos; entonces:VPNA(O)

la diferencia entre

= $13924

-

$10000

$3924.00

2. Ya calculamos

el VPN para i = 0.10VPNA(0.10)

= $1506.80 del proyecto

3. Ya establecimos tarnbien que la tasa interna de rentabilidad A es 18%, 10 que quiere decir que:VPNA (0.18) = 0

Aunque seria deseable y necesario obtener un mayor mimero de puntos para poder dibujar la curva del VPN de A, con los 3 puntos anteriores podemos darnos cuenta la forma que tiene. La curva y los 3 puntos identificados aparecen en el grafico 4.12.VPN

$5000

$4000

$3000

$2000

interes conseilizan. ontal plano orde i curva Gnifico 4.12

$1 QOO

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30tasa de interes %

Curva del VPN para el proyecto A

112

Evaluacion de Proyectos

Observamos que la curva del VPN corta al eje horizontal en el valor de la TIR y aunque da la impresi6n de ser una linea recta, debemos advertir que se trata efectivamente de una curva. En forma analoga a como 10 hicimos para la alternativa A, podemos ahora construir la curva del VPN para el proyecto B. En este caso los puntos son: 1. VPNB(O) = $6545.50 2. VPNB(O.lO)3. VPNB(0.20)

+

$6545.50

-

$10000

= $3091

= $1363 = 0

La curva respectiva aparece en e1 grafico 4.13.$2000 - $1000 $5000 $0 $4000

VPN

Grafico 4.14

Cu

$1000

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30tasa de interes %

Gnifico 4.13 Curva del VPN para el proyecto B

Es posible hacer algunas observaciones sobre la curva del VPN, en general. Por ejemplo, podemos anotar que cada punta de la curva muestra el VPN para una tasa de interes de oportunidad, y especifica que la tasa intema de rentabilidad esta en el punto de corte con el eje horizontal. Cuando comparamos alternativas, es como si dibujaramos en un mismo grafico sus respectivas curvas del VPN. Veamos 10 que ocurre al dibujar las

El primer hecbo cuando i = 12. 5 alternativas es ig Para las tasas curvas, es decir 12. de la alternativa B: mayor que el VP Como la tasa de donde A es prefen evaluaci6n del VP x Vemos por otra de corte con el eje Esto muestra que yor a 12:75%, hab evaluaci6n. Dicho de otra rentabilidad, para

La rentabilidad

113

or de la r que se

curvas del VPN de A y B en el mismo sistema de coordenadas, ilustra en el grafico 4.14.VPN

tal como se

$5000

2

4

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30TIRA TIRB tasa de interes %

Grafico 4.14

Curvas del VPN para las alternativas A y B

-, en general. el VPN pama de renun mismo dibujar las

El primer hecho que salta a la vista es que las curvas se cortan, y que 10 hacen cuando i = 12.75%. Es decir, que para tal tasa de interes el VPN de las dos alternativas es igual. Para las tasas de interes inferiores a la del punto de corte entre las dos curvas, es decir 12.75%, la curva de la alternativa A esta porencima de la curva de la alternativa B; esto quiere decir que para i entre 0 y 12.75%, el VPNA es mayor que el VPN B. Lo opuesto ocurre a partir de i = 12.75%. Como la tasa de interes de oportunidad es 10%, esto nos ubica en la region donde A es preferible aB. Y esto es 10 que sefiala precisamente el metodo de evaluacion del VPN. Vemos por otra parte que la TIR de B es mayor que la de A, y que los puntos de corte con el eje horizontal ocurren en la region donde B es preferible a A. Esto muestra que si la tasa de in teres de oportunidad hubiera sido igual 0 mayor a 12:75%, habriamos encontrado consistencia entre los dos metodos de evaluacion. Dicho de otra manera, cuando usamos el metoda de la tasa interna de rentabilidad, para ordenar preferentemente estas dos alternativas, supo-

114

Evaluacion de Proyectos

nemos implicitamente que la tasa de interes de oportunidad es igual 0 superior al 12.75%. Desafortunadamente, estipulamos desde un principio que tal interes de oportunidad es solo del 10%, por 10 cualla suposicion implicita es incorrecta.

E1 gerente

cada al temalti'lllltasa de inte Hace los

4.7 EI problema que surge cuando aparentemente existen multiples tasas internas de rentabilidad para un proyectoCuando examinamos las matematicas que sustentan e1calculo de la TIR de un proyecto advertimos que por tratarse en esencia del problema matematico de encontrar las rakes positivas de un polinomio de grado n, cuando hay mas de un cambio de signo, tales rakes pueden ser multiples. Esto nos enfrenta con el aparente dilema de tener varias tasas intemas de rentabilidad para un mismo proyecto. Veamos a continuacion un ejemplo de tal situacion y la manera como se puede esclarecer este embrollo. La compafiia AIVCO INC. enfrenta la siguiente decision de inversion: importar un lote de jeringuillas hipoderrnicas que conlleva el flujo de dinero en dolares que se ve en el grafico 4.15.$170909

de tal modo ademas: P. o cual indi Como iop = iop 0.12 < concluye que Cuando se

=

o

r-----------------~----------------_,Gnifico 4.15

2

Proyecto J

US$72727 US$100000

o colocar dinero en un fondo mutuo de inversiones

que ofrece el plan del

grafico 4.16.1 US$32490

0r, US$25 000

~I~

t

2

Proyecto F

Grafico 4.16

La rentabilidad

115

El gerente de la AlVCe procede a calcular la tasa interna de rentabilidad de cada alternativa con el prop6sito de hacer las comparaciones del caso, con la tasa de interes de oportunidad de la empresa, que es del 12% anual. Hace los siguientes calculos:VPN(0.10)J

= - US$72 727 -

US$82644.80

+

US$155 371.80

0

deun atico de r mas de -ta con el mismo manera ersi6n: eroen

de tal modo que: TIRJ 0.10 ademas: VPN (0.14)F 0 10 cual indica que TIRF = 0.14. Como iop 0.12 > TIRJ 0.10 e iop 0.12 < TIRF 0.14 concluye que e1 proyecto J no es conveniente y que el proyecto F silo es. Cuando se apronta a invertir en el fondo, un amigo le indica que:

=

=

=

=

=

=

VPN(0.25)J

=-

US$72 727 -

US$64000

+

US$136 727

=

0

y por consiguiente

TIRJ = 0.25. Tabla 4.3 VPN para diferentes tasas de interesi% 9 10 11 ;2 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26Proyecto J Proyecto F

oj

plan del

of

US$-89.68 0 74.62 134.76 181.62 216.16 239.27 251.77 254.46 248.04 233.21 210.60 180.79 144.35 101.78 53.56 0 -58.Q1

US$804.31 393.31 0 -376.43 -736.76

116

Evaluacion de Proyectos

Al obtener dos valores de i que hacen el VPN de la irnportacion de jeringuilIas igual acero, el gerente se encuentra con el paradojico resultado de tener dos TIR para el proyecto J: 10 y 25%. La primera tasa no hace atractiva la importacion de las jeringuillas por ser inferior a112% de oportunidad, pero la segunda, por ser superior, si la hace atractiva. Para acabar de complicar las cosas, la alternativa F es atractiva, ya que rinde e114% anual.gQue debe hacer nuestro amigo? l,Optar por la alternativa F y olvidarse del enredo ocasionado por la doble tasa interna de rentabilidad que surge en la alternativa J? A pesar de su perplejidad y por ser un analista muy serio, el gerente de la AIVeO decide dibujar la grafica del VPN para los dos proyectos, la cual construye con base en los datos que aparecen en la tabla 4.3. Tanto en la tabla 4.3 como en el grafico 4.17, que resulta de ella, se puede advertir que para la tasa de interes de oportunidad del 12%:VPN(O.12)J

En este esfu final del prime anual, para US$191418.0 . de modo que del grafico 4. 1 indica que las la importacion

o

=

134.76 Y VPN(0.12)F

=

804.31

que por ser ambas cifras positivas, los dos proyectos resultan atractivos, pero que al compararlas entre si, destacan la superioridad de F sobre J. Aunque el anterior analisis revela la decision correcta, el gerente no queda tranquilo ni satisfecho sin analizar con mayor profundidad la naturaleza del proyecto J.

8004.1 Calcule la guiente:

400300 200 100

o~~~~--~~----------------------~~--------~9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26tasa de interes %

o

-100 -200 -300

-400~-.-.~~.-.-~-.-'--.-.-.--r-'-''-.-'--r-'-'--'-~$10000

Grafico 4.17 Curvas del VPN de los proyectos J y F

(R: 24.1%)

La rentabilidad

11 7

En este esfuerzo de analisis advierte que el proyecto J libera US$170 909 al final del primer afio, suma que tiene la oportunidad de ser reinvertida a112% anual, para convertirse un afio mas tarde en: US$170 909 X 1.12 = US$191 418.08. Pero el proyecto J requiere al cabo de dos afios US$100 000, de modo que al tener en cuenta la reinversion de fondos, el resultado es el del grafico 4. 18, que arroja una rentabilidad interna del 12.15%. Lo anterior indica que las cifras de 10 y 25% no tienen ningun significado y que la TVR de la im portacion de las jeringuillas es 12.15% anual.US$91418.08

o2

US$72727

os, pero J. no queda eza del

Grafico 4.18 El lector debe advertir que en este caso no esta definida 1a tasa intern a de rentabilidad, pero silo esta la tasa verdadera de rentabilidad del proyecto.

PROBLEMAS4.1 Calcule la TIR del proyecto de inversion cuyo diagrama de flujo es el siguiente:$5000 $4000 $3000

=

$2000

0.25

o24

$10000

(R: 24.1%)

118

Evaluacidn de Proyectos

4.2 Una rnaquina tiene un costo inicial de $1 100 000 Y una vida util de 6 anos, al cabo de los cuales su valor de salvamento es $100 000. Los costos de operaclon y mantenimiento son $30 OOO/ano y se espera que los ingresos por el aprovechamiento de la rnaquina asciendan a $300 OOO/ano. l,Cual es la TIR de este proyecto de inversion? 4.3 Halle la TIR del siguiente proyecto de inversion:

c)

/3200 2800 3000 2600

o1600

20 1 2

3

4I

5I

oro6

O 2r7

2400

8

9

10

11

12

Si el inter' las tres alte rentabilida TVR. (R: La alt

$1000

4.4 Considere a)

los siguientes

proyectos

de inversion:

$1100 840

o

2 3 180

1000

b)

1000 660 3

oSOD

2

1800

La rentabilidad

119

e 6 afios, costos de ingresos ano. iCual

c)

10000

o1600 3200 3000

2

3

10000

/

11

12

Si el interes de oportunidad es del 30%, haga un analisis comparativo de las tres alternativas empleando el rnetodo del VPN y el de la tasa interna de rentabilidad, para determinar cual de ellas es mejor. Calcule tarnbien la TVR. (R: La alternativa b es la mas conveniente)

3

3

800