M A T E M T I C A

FACTORIZACION 1

FACTOR ALGEBRAICOUn polinomio F no constante ser factor algebraico de P si y slo si P es divisible por F.

Ejemplos:1. P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2

Son factores algebraicos de P(x):

FACTOR PRIMOUn polinomio F ser primo de otro polinomio P si F es factor algebraico de P y primo a la vez.

Ejemplos:

1. P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2 (x + 5)6Son factores primos de P(x):

1. P(x) = (x) (x + 2)6 (x 1)2Son factores primos de P(x):

FACTORIZACINEs el proceso de transformacin de un polinomio en una multiplicacin indicada de sus factores primos o sus potencias.Multiplicacin

P(x) = x2 + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)

Factorizacin

CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS

Factor ComnConsiste en buscar factores comunes a todos los trminos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente.

Ejemplos:1. Factorizar:P(x,y) = 2x2y + 3xy2 + xy

1. Factorizar:A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)

AGRUPACINConsiste en agrupar trminos convenientemente tratando que aparezca algn factor comn.

Ejemplos:

1. Factorizar:x2 + x + xy + y xz z

1. Factorizar:x2 + ax + x + xy + ay + y

ASPA SIMPLEForma general de polinomio a factorizar: m, n N

P(x,y) = Ax2n + Bxnym + Cy2m

P(x) = Ax2n + Bxn + C

Ejemplos:

1. Factorizar:2x2 + 7xy + 6y2

1. Factorizar:(x + y)2 2 (x + y) + 1

TEOREMASean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre s, tal que:

P(x) =

1. Nmeros factores primos = 21. Nmeros factores algebraicos = (n + 1) (p + 1) 1

Ejemplo: Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4)

1. Nmeros factores primos =

1. Nmeros factores algebraicos =

Mtodo: Agrupacin de Trminos

Factorizar:

1. a + a2b + ab2 + b

1. ab bx + ay xy

1. xw + y x yw z + zw

Luego de factorizar indicar el nmero de factores primos:

1. 1 + mn + x(m + n) (mn + 1) x m n

1. abx3 + b2x2 a2x2 a2bx abx + a3

Mtodo: Identidades algebraicas

Factorizar:

1. a6 b6

Indicar el nmero de factores primos lineales1. x5 4x3 + x2 4

El nmero de factores primos:1. a7 + m3a4 a3m4 m7

Factorizar y dar como respuesta la suma de los factores primos:

1. (1 + ax)2 (a + x)2

Indicar el nmero de factores binomios:1. a2x2 b2x2 a2y2 + b2y2

Hallar la mayor suma de coeficientes de uno de los factores primos.

1. (a + b) (a b) + (c + d) (c d) + 2(ac bd)

Mtodo: Aspa simpleFactorizar e indicar la suma de los factores primos:1. a4 25a2 + 144

1. 18x4 + 19x2y2 12y4

1. abx2 + (a 2b)x 2

1. a(a 1)x2 + (3a 5)x 10

1. Factorizar: x2y + x2z

1. x(y + z) D) x2(y2 + z)1. x2(y + z) E) z(y2 z3)1. x2(y z)

1. Factorizar: P(x) = x2 y x2 + y 1

A) (y + 1) (x2 + 1)D) (y 1) (x + 1)B) (y 1) (x2 + 1)E) (y 1) (x2 1)C) (y + 1) (x + 1)

1. Factorizar: m n + x(m + n)

1. (m + n)(x + 1)D) (m + n)(2 x)1. (m + n)(x 1)E) (m + n)(x 2)1. (m + n)(x + 2)

1. Factorizar: a2 10a + 25

1. (a + 5)(a 5)D) (a + 5)(a 5)1. (a + 5)2E) N.A.1. (a 5)2

1. Factorizar: 25m2; e indicar uno de los factores

1.

(+ 5m2)D) ( + 5m)1. ( + 5m2)E) Ms de una1. ( 5m2)

1. Hallar el nmero de factores primos y el nmero de factores algebraicos de:R = 2a3(a b)3(b + 1)2

A) 4, 95C) 5, 24E) N.A.B) 3, 47D) 4, 26

1. Hallar el nmero de factores algebraicos de:M = (a4 b4)2

A) 26B) 54C) 81D) 243E) N.A.

1. Cuntos factores primos tiene x7 2x?

A) 2B) 3C) 4D) 5E) N.A.

1. El nmero de factores primos de:(x3) (x2) (x1) + (x2) (x1) (x1)

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

1. Uno de los factores de: zy + xy x z es:

A) x + 1C) xy + xz + zyE) N.A.B) x + z + zyD) x + z

1. Al factorizar el polinomio:x2 y2 + 2yz z2 8x + 16la suma algebraica de los trminos independientes de los factores primos es:

A) 8B) 8C) 4D) 4E) 0

1. Al factorizar: a2 + 2ab m2 + b2, uno de sus factores es:

A) a + bC) a b mE) N.A.B) a + b mD) b m

1. En cuntos factores primos se puede descomponer:

x12 1

A) 3B) 2C) 5D) 4E) 6

1. Cuntos factores primos presenta el polinomio P(x)?

P(x) = 1 + x + x2 + x3

A) 1B) 3C) 4D) 2E) 5

1. Factorizar: 4am3 12amn m2 + 3n

1. (4am 1)(m2 + 3n)1. (4am + 1)(m2 + 3n)1. (4am + 1)(m2 3n)1. (4am 1)(m2 3n)1. N.A.

1. Factorizar: 27a3 b3, e indicar un factor primo.

1. 3a b1. 9a2+3ab+b21. 3a + b1. 9a23ab+b21. Ms de una

1. Factorizar: 8x6 + 7x3 1; e indicar el nmero de factores primos que son trinomios.

A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

1. Cuntos factores en total posee al factorizar:m2 (m2 + 3n2)2 n2 (n2 + 3m2)2

A) 3B) 8C) 7D) 9E) 15

1. Factorizar: 1 + 14x2y + 49x4y2; e indicar el nmero de factores primos.

A) 2B) 4C) 1D) 3E) N.A.

1. El nmero de factores de: (b2 + 4m2)2 16b2m2 ;es

A) 2B) 4C) 6D) 8E) N.A.

1. Factorizar: E = a5 + a2b3 a3b2 b5 e indicar el nmero de factores primos.

A) 2B) 3C) 4D) 5E) N.A.

1. Factorizar:mn x2 + mx + nx + 1, e indicar un factor:

A) x + mC) n + nE) N.A.B) x + nD) mx + 1

1. Factorizar:(mx + n)2 (nx + m)2, e indicar el nmero de factores algebraicos en total:

A) 12B) 13C) 14D) 15E) 16

1. Luego defactorizar: a3 x2 (a 1) + a2 (b 1) bx2, indicar un factor primo.

A) b + xC) x + 1E) x + aB) a + bD) b + 1

1. Indicar el factor primo de segundo grado de:

P = x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1

A) x2C) 2x2E) x2 + 2B) x2 + 1D) x2 1

1. Luego defactorizar: (x + 1)4 5(x + 1)2 + 4, indicar la suma de sus factores primos.

A) 4(x + 1)C) 2(x + 1)E) N.A.B) 3(x + 1)D) 4x

1. Factorizar: a2b + a2 + a + 2ab + b + b2 + ab2, e indicar un factor primo

A) a + bC) a + b2E) Ms de unaB) b + 1D) a + b + 1

1. Al factorizar: (mx ny)2 (my nx)2 se obtienen cuatro factores primos lineales, indicar uno de ellos.

A) m + 1C) y + 1 E) Ms de unaB) m + yD) x + y

1. Seale un factor primo de: 3nx2 4(n3)x + n 4

A) x + nC) nx + 1E) 3x nB) 3x + nD) 3x 1

1. Factorizar:A(x,y) = (x + y) (x y) + 2x + 1, e indicar la suma de factores primos.A) 2x + 1C) 2x + 3E) 2x + 4B) 2x 1D) 2x + 2

1. Indicar un factor primo de:E = ap2x apx2 + ap bx + bp ax + bp2x bpx2

A) p + xC) px + 1E) Ms de unaB) a + bD) px 1

1. Luego defactorizar: (x2 + 7x + 5)2 + 3x2 + 21x + 17, indicar un factor primo.

A) x + 7C) x + 1E) x2 + 7x + 5B) x2 + x + 1D) 2x + 1

1. Luego de factorizar:ab(m + 1) (m 1) (a b) (a + b) muno de los factores es:

A) am bC) bm aE) am bB) ab mD) ab + m

1. Indicar un factor primo de:a(a2 + bc) + c(a2 + b2) b3

A) a + b + cC) a + b cE) N.A.B) a b cD) a b + c

1. Factorizar: a(1 x3) x(a2 + a x) + 1 e indicar el factor binmico:

A) 1 + xC) ax + 1E) N.A.B) x aD) 1 ax

1. Factorizar: abx2 (2a 3b)x 6e indicar el trmino independiente de uno de los factores.

A) 1B) 3C) 2D) 6E) N.A.

MTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOSSe utiliza para factorizar polinomios de cualquier grado que aceptan factores de primer grado.

Factorizar: P(x) = x3 + 4x2 + x 6

1 0

P(x) =

Factorizar: P(x) = x3 + 5x2 2x 24

2 0

P(x) =

MTODO DEL QUITA Y PON1. Factorizar:x4 + x2 + 1

T.C.P

Dif. De cuadrados (x2 + 1 + x) (x2 1 x)x4 + x2 + 1 = (x2 + x + 1) (x2 x + 1)

1. Factorizar:1 + 4n4

T.C.P. (1 + 2n2)2 (2n2) Dif. De cuadrados (1 + 2n2 + 2n) (1 + 2n2 2n) 1 + 4n4 = (2n2 + 2n + 1) (2n2 2n + 1)

Factorizar e indicar el nmero de factores primos:

1. x3 + 6x2 + 11x + 6

1. x3 + 3x2 6x 8

1. x3 + 2x2 5x 6

1. 12x5 8x4 13x3 + 9x2 + x 1

Factorizar:

1. x4 + x2y2 + y4

1. m4 + 4n4

Factorizar:

1. x(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1

1. (x 1) (x2 4) (x + 3) + 3

1. (x + 1) (x + 3)2 (x + 5) 5

MISCELNEA

1. ab2 + ac2 + a2b + bc2 + b2c + a2c + 2abc

1. (a + b) (a + c) (b + d) (c + d)

1. 3x3 13x2 + 13x 3

1. x6 + x5 + x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1

1. (a + b + c)3 a3 b3 c3

1. a2 (b c) + b2 (c a) + c2 (a b)

1. Factorizar e indicar el nmero de factores primosx3 + 2x2 x 2

A) 2B) 3C) 4D) 5E) N.A.

1. x4 + x3 3x2 5x 2

A) 2B) 3C) 4D) 5E) N.A.

1. Indicar la mayor suma de coeficientes de uno de los factores primos: 6x4 + 5x3 14x2 + x + 2

A) 4B) 5C) 6D) 2E) N.A.

1. Indicar el nmero de factores luego de factorizar: x7 + x6 x5 x4 x3 x2 + x + 1

A) 12B) 23C) 18D) 15E) N.A.

1. Factorizar e indicar uno de los factores primos 4a16 + b8

A) (2a8 2a4b2 + b4)D) (2a8 2a4b2 + 3)B) (2a8 2a4b2)E) (2a8 2a4b2 + 3b2)C) (2a8 + b4)

1. Factorizar e indicar el nmero de factores primos

n4 + 2n2 + 9

A) (n2 2n + 6)D) (n2 n + 3)B) (n2 2n + 3)E) (n2 2n3 + 3)C) (n2 2n + 9)

1. Hallar la mayor suma de coeficientes de uno de los factores primos: 4m4 29m2 + 25

A) 4B) 5C) 6D) 2E) N.A.

1. Descomponer e indicar uno de los factores:x(y2 + z2) + y(x2 + z2) z (x2 + y2) 2xyz

A) x + yC) x + zE) N.A.B) y + zD) x + y + z

1. Factorizar: E = a5 3a4 a + 3e indicar el nmero de factores lineales.

A) 2B) 3C) 4D) 5E) N.A.

1. Factorizar: x4 13x2 + 36e indicar el factor que tiene el mayor valor numrico para cualquier valor de x.

A) x + 1C) x + 3E) N.A.B) x + 2D) x + 4

1. Factorizar: a6 + a5 + a3 + a 1e indicar el V.N. de un factor primo si a = 2

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

1. Factorizar: (ax by)2 (ay bx)2indicar un factor primo

A) a + xC) b + xE) y bB) a xD) x y

1. Factorizar: (x+y+z+w)2 4(x+y) (z+w) 1e indicar uno de sus factores.

A) x + y + z + w 1B) x + y + z + w + 1C) x y + z w 1D) x y z + w + 1E) N.A.

1. Factorizar: 16x8 17x4 + 1e indicar el nmero de factores primos lineales.

A) 2B) 3C) 4D) 5E) N.A.

1. Factorizar: x3 + (a + b 1)x2 + (abab)x ab e indicar el nmero de factores primos lineales.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) N.A.

1. Factorizar: ab(x + y)2 + xy(a b)2

e indicar un factor de la suma de sus factores primos.

A) x + yC) ay + bxE) N.A.B) ax + byD) a + x + b + y

1. Factorizar: a(b+c)2 + b(a+c)2 + c(a+b)2 4abc e indicar la suma de sus factores.

A) 2(a+b+c)C) a+b+cE) N.A.B) 2(ab+bc+ac)D) ab+bc+ac

1. Factorizar: x(xy + z2 x2) + y(xy + z2 y2)e indicar uno de los factores.

A) x + yC) y + zE) N.A.B) z + xD) x + y + z

1. Factorizar: (a2 + b2)2 a2b2 (a b) (a3 b3)e indicar el nmero de factores primos.

A) 2B) 3C) 4D) 5E) N.A.

1. Indicar la mayor suma de coeficientes de uno de sus factores primos:(x+1) (x+2) (x+3) + (x+2) (x+3) (x+4) (x+5)

A) 30B) 3C) 4D) 31E) N.A.

1. Factorizar e indicar uno de sus factores primos de:2 [4x (x 1) + 1] (x 2) + 2 (3x 2)

A) x + 1C) x 1E) N.A.B) x + 2D) x 2

1. Factorizar:z4 z3 6z2 + 4z + 8

e indicar un factor primo.

A) z + 1C) z 1E) Ms de unaB) z + 2D) z 2

1. Al factorizar indicar el factor primo trinomio de:

2n4 + 5n3 + 2n2 n 2

A) 2n3 + n2 1D) n3 + n 1B) 2n3 n2 + 1E) 2n3 + 2n 1C) n3 n + 1

1. Al factorizar el nmero de factores binomios:

x3 + 2x2 5x 6

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 1

1. Factorizar:x5 + x4 + 2x2 + 1

24. (x2 x + 1) (x3 + 2x2 + x + 1)24. (x2 + x 1) (x3 2x2 + x 1)24. (x2 x 1) (x3 x2 + 2x + 1)24. (x2 x 1) (x3 x2 + x 2)24. (x2 x + 1) (x3 + 2x2 x + 1)

1. Factorizar e indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos:

M(x, y) = (x y) (x 3y) (x + 4y) (x + 6y) + 40y4

A) 10B) 12C) 5D) 6E) N.A.

1. Factorizar: x3(1+y) + y3(1+x) + xy(x+y) e indicar el nmero de factores de segundo grado.

A) 0B) 1C) 2D) 3E) N.A.

1. Factorizar:

x3 + y3 + z3 + x (y2 + z2) + y (x2 + z2) + z(x2 + y2)luego indicar un factor:

A) x + y + zC) xy+xz+yzE) x+y+z+1B) xyzD) xyz + 1

1. Factorizar: x(x2 + xy 1) y(y2 + xy 1)e indicar el V.N. de uno de los factores para: x = 3 e y = 2

A) 3B) 4C) 5D) 6E) N.A.

1. Factorizar: x3 + 6x2 + 3x 10

29. (x + 10) (x + 1) (x 2)29. (x 1) (x + 2) (x + 5)29. (x 1) (x 2) (x + 5)29. (x + 1) (x + 5) (x + 1)29. N.A.

1. Factorizar: x3 + 6x2 + 15x + 14

30. (x + 1) (x + 2) (x + 3)30. (x + 2) (x + 3) (x + 4)30. (x 2) (x2 4x + 7)30. (x + 2) (x2 + 4x + 7)30. N.A.

1. Indicar uno de los factores primos: (a + b + c) (ab + bc + ac) abc

A) a + bC) a + c E) Ms de unaB) b + cD) a c

1. Indicar un factor primo: abcx2 (a2b2 + c2)x + abc

A) cx abC) cx + abE) N.A.B) bx abD) ax bc

1. Indicar uno de los factores: 1 + 2xy x4 y4 x2 y2

A) xy + 1 + x2 + y2D) xy 1 x2 + y2B) xy 1 + x2 + y2E) xy + 1 + x2 y2C) xy + 1 x2 + y2

1. Factorizar: (x2 + 3x + 1)2 3x2 9x 13e indicar la suma de los factores lineales.

A) 2x + 3C) 2x + 5E) N.A.B) 2x 3D) 2x 5

1. Factorizar: (x4 x3 + x2 x + 1)2 x4e indicar el nmero de factores primos lineales.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) N.A.

1. Factorizar: (x + y)4 x4 y4 2xy3 e indicar el nmero de factores primos de primer grado.

A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

1. Factorizar: 22m+5 3.2m+2 35 e indicar un factor primo.

A) 2m+2 + 7C) 2m+2 5E) N.A.B) 2m+2 + 5D) 2m+2 7

1. Factorizar x5 + x4 + 1 e indicar un factor.

A) x2 + x + 1C) x2 x + 1E) N.A.B) x2 x 1D) x2 + x 1

1. Factorizar x5 + x 1 e indicar un factor.

A) x2 + x + 1C) x2 x + 1E) N.A.B) x2 x 1D) x2 + x 1