fasciculo27-matemática y arquitectura

7/29/2019 fasciculo27-matemtica y arquitectura

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El cientfico se ocupa de demostrar hechos para compro-barlos, las mentes ms estrictas uti lizan ecuaciones mate-

mticas, luego vienen otros hombres que aplican estosconocimientos y los traducen en objetos concretos de usosde aplicabilidad prctica.El artista por su parte demuestra la otra realidad del universo,aquella que no es tangible, aquello que no se puede demostrara travs de esas fmulas matemticas: es la realidad sensible,son dos formas de explorar, descubrir y explicar el universo, lascuales normalmente marchan paralelas. 2 7(Cursivas nuestras)Jess Soto (Venezuela, 1923-2005), unode los principales artistas del arte cinticoa escala internacional.

A r t e y a r q u i t e c t u r a

Espiral, 1950.Pintura sobre madera, acrlico y metal.


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En estos tres ltimos fascculos de Matemtica maravillosa,nos referimos a dos aspectos que han estado presentes a lo

largo de toda la obra, incluyendo las dos colecciones anteriores:Matemt ica para t odos (2004) y El mundo de la matemtica(2005), cuales son: Construcciones geomtricas. Vinculacin entre matemtica, artes y arquitectura.En relacin con las figuras geomtricas hemos utilizadofrecuentemente algunas resultantes de diversas construcciones,pero en otras no se han indicado los procedimientos paradibujarlas. Esto es parte de lo que vamos a desarrollar en lasprximas pginas.En cuanto a la vinculacin con las artes y la arquitectura, ya

se ha presentado una amplia gama de ejemplos en diversassecciones de esta serie y en las dos colecciones anteriores.Ahora intentamos mostrar una visin unificadora, un conjuntode temas matemticos que inciden de alguna forma en lasartes y la arquitectura.

Fascculo 27 Arte y arquitectura

Estoy preocupado por darle a la pintura el nivel dellenguaje verazmente universal que poseen la msica y lasmatemticas. Si la msica tiene sus valores codificados,por qu la plstica no los tiene?La Msica plstica de Jess Soto en Pars, artculo de Ana MaraHernndez G., El Globo, p.23, 13/02/1997.

Obra: Espiral doble, Serie Sntesis, 1979. Jess RafaelSoto.

La matemtica ha estado vinculada a la arquitectura, la pintura, la escultura, el grabado y la msica, desdela antigedad.

Ya en la poca de Pitgoras (s.VIa.C.) se estableci una relacinaritmtica de las fraccionespositivas con la msica, creandoas la escala pitgorica.

Los egipcios (III milenio a.C.) sevalieron de tringulos rectngu-los, cuadrados, pirmides y deotros contenidos matemticos,con el fin de construir con pre-cisin sus famosas pirmides.

Asimismo, los griegos utilizaron,para sus decoraciones y cons-trucciones, los frisos o bandasy las proporciones como el n-mero de oro.


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Las artes, la arquitectura y la matemtica tienen intereses comunes, en cuanto a la forma y su estructura,en las representaciones, la geometra y la manera como los objetos encajan y se relacionan mutuamente, seproporcionan, se equilibran. Estas vinculaciones han conducido a que en las dos ltimas dcadas se hayaconvocado una variedad de seminarios y congresos internacionales, en diversos pases, relacionando lasartes, la arquitectura y la matemtica.

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Los arquitectos romanos usaron

ampliamente, en sus construc-ciones, las circunferencias, lassemicircunferencias, los arcos ylos hemisferios.

En nuestro continente podemos

mencionar los frisos mayas.

El arte islmico tiene gran rique-

za en contenidos geomtricos,como en el caso de frisos (cenefaso grecas) y teselaciones.

El acueducto de Segovia (Espaa) construido por los romanos(s.I-II d.C) para suministrar agua potable a la ciudad. Tiene unalongitud de 728 m con un doble nivel de arcos de medio puntode diferente luz, hasta 28,1 m de altura en la plaza de Azoguejo.

A partir de 1992, en Qubec, Canad, se iniciaron los Congresos Internacionales sobre Educacin Matemtica(ICME por sus siglas en ingls), en los que se ha conformado, de manera permanente, un grupo temticosobre Arte y Matemtica, lo cual puede considerarse un indicador de la importancia del tema relacionadocon la enseanza-aprendizaje de la matemtica. Posteriormente se han continuado en Sevilla (1996),Tokio/Makuhari (2000) y Oslo (2004).


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Igualmente, en 1992 se realiz en la Universidad de Albany-SUNY un congreso sobre esas reas y sus relaciones, promovidopor el matemtico y escultor Nathaniel A. Friedman, en elque participaron matemticos, docentes, artistas, arquitectos,

ingenieros y cientficos. Dicho congreso deriv en las hoyconocidas conferencias ISAMA (International Society of theArts, Mathematics, and Architecture. http://www.isama.org/),la primera de las cuales se celebr en 1999 en la ciudad deSan Sebastin-Espaa. Posteriormente, a partir de 1998, eltambin profesor de matemtica, Reza Sarhangi, cre la seriede conferencias BRIDGES: Mathematical Connections BetweenArt, Music and Science, habiendo realizado conjuntamentecon ISAMA un encuentro en Granada-Espaa (2003).Trasladndonos a Europa es necesario nombrar a MicheleEmmer de la Universidad de Roma La Sapienza, quien hapromovido muchos encuentros sobre esta temtica, ademsde que es considerado un pionero en la produccin de videosy pelculas a tal respecto (26 a partir de 1979). De igualimportancia son los Coloquios sobre Matemtica y Artesiniciados en Francia en 1991 (Cerisy-la-Salle) y cuya ltimaedicin corresponde al ao 2000. Estos ejemplos constituyenuna pequea muestra de la importancia que se le ha concedidoa la relacin entre las disciplinas consideradas, a lo cual seaade la creacin de una serie de revistas especializadas entrelas que destacan: Nexus Network Journal: Architecture andMa the mat ics ; Visua l Ma the mat ics ; Geo me tr y in Ar t an dArchitecture .

En Amrica Latina es importante destacar que en el ao 1995nace la Internacional Mathematics & Design Association,siendo su presidenta actual la argentina Vera W. de Spinadel,profesora de la Universidad de Buenos Aires, Argentina, sitiodonde tambin se edita el Journal of Mathematics & Designdesde el ao 2001. En el ao de su creacin se realiza unaprimera conferencia en dicha ciudad, habindose celebradola cuarta en el mes de junio de 2004 en la ciudad de Mar delPlata, Argentina.En el caso de nuestro pas podemos afirmar que no existe ungrupo de estudio permanente sobre la materia, ya que slo sehan efectuado algunos eventos en forma aislada entre los que

destacan los Seminarios: Nmeros y Figuras. Reflexionesmatemticas sobre las artes plsticas, y Nmeros y Notas. Reflexionesmatemticas sobre la msica, realizados en el ao 2000 en laUniversidad Central de Venezuela, con motivo de haberlodeclarado la UNESCO como Ao internacional de las Mate-mticas.


Visita al Vitra Design Museum dentro de la conferenciaISAMA 2002 (Freiburg, Alemania).


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All aparecen siete ttulos con sus respectivos subttulos. Losde menor data en orden histrico se refieren a los fractales,mientras que los de mayor antigedad corresponden a lapoca de los egipcios y griegos: polgonos, poliedros, el nmerode oro, los frisos o bandas, las cnicas y los cuerpos redondos(esferas, conos y cilindros); asimismo, la msica (escalapitagrica) que estaba incluida en la matemtica formandoparte del quadrivium pitagrico. En la parte intermedia sesita la perspectiva (s. XV, el quattrocento, como es conocido).En los fascculos anteriores de esta serie de Matemticamaravillosa se han mostrado ejemplos sobre los siguientesaspectos:a) Simetras en un plano: polgonos y mosaicos, teselaciones,

mosaicos de Escher;b) Simetras en el espacio: poliedros, teselaciones, el hipercubo;c) Armnicos (aproximaciones de Fourier);d) Fractales en 2D y 3D;e) Curvas y superficies: Cnicas, espirales, catenaria, cicloide,

cudricas;

f) Una resea breve sobre perspectiva.No obstante, tambin existen otros componentes matemticosrelacionados con el tema que nos ocupa que no han sidotratados en ninguna de nuestras publicaciones ya que requierende conocimientos ms especializados, entre los cuales destacan: Los nudos. Las superficies mnimas, las superficies algebraicas y las

superficies de Bzier. La belleza dentro del caos. Las geometras no euclidianas y la topologa.

En el cuadro sinptico que presentamos a continuacin, se intenta, a travs dela agrupacin de algunos temas matemticos que intervienen en las artes y laarquitectura, sintetizar parte de las relaciones entre estas disciplinas.

Componentes matemticas en las artes y la arquitectura

Simetra en un plano Polgonos y mosaicos Teselaciones Mosaicos de Escher Grupos de Leonardo Frisos o bandas

Simetra en el espacio Poliedros Teselaciones Mas all de la tercera

dimensin (el hipercubo)

Proporcin Nmero de oro Sucesin de Fibonacci Otras proporciones

Perspectiva El Renacimiento

y la perspectiva

Curvas y superficies Circunferencias y semicircunferencias, arcos,

cnicas, espirales, catenaria, hlices Esferas y hemisferios Cudricas

Fractales En dos dimensiones (2D)

En tres dimensiones (3D)

Aritmtica, armnicos(Fourier) y msica

El reto de un pintor es romper con la bidimen-sionalidad. Eso que lograron en su momentolos renacentistas italianos con la perspectiva, ya lo que los abstractos llegaron por otras vas.No se trata de hacer arte por el arte. El color, laforma, la perspectiva, no son ms que la estruc-tura. Lo ms importante es el mensaje, el conte-nido que tenga la obra de arte. Para m no hay

un abstracto absoluto. Eso no existe. El mspurista al respecto podra haber sido Mondrian.Sin embargo, en l eso contempla una intencinmstica.Mercedes Pardo entr en el infinito azul. Artculo de Ed-gar Alfonso Sierra en El Nacional, p. A/8, 26/03/2005.

Mercedes Pardo (Venezuela, 1921-2005), notable auto-ra del arte moderno venezolano. La cita, segn el au-tor, es de una entrevista en El Nacional del 18/08/2001.

Escultura en hierro forjado para la fachada de laCapilla de Montreuil. Villa de Laon, Francia (1999).

Les tours de Laon.Robert Delaunay

(Francia, 1885-1941).


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Dibuja la perpendicular a una rec-ta r por un punto C no pertene-ciente a la recta.

1Trazar la perpendicular ala recta r en el punto C r,o bien la perpendicular alsegmento AB en el puntoC, siendo A, B y C puntosde r.

1Trazar la mediatrizal segmento AB.


ConstruccionesgeomtricasMuchas de las construcciones geomtricas se pueden realizarcon regla y comps. Entre ellas estn:Mediatriz de un segmento(la perpendicular al segmento en supunto medio)

Perpendicular a una recta o un segmento de recta por un punto dado

A B A B

2

A B

3Se traza otro arcohaciendo centro en By con el mismo radioAB. Se obtienen P y Q.

P

Q

A B

4Se unen los puntos P y Q yse obtiene el punto M quees el punto medio del seg-mento AB. La recta PQ es lamediatriz del segmento AB.

P

Q

M

A B

C

2Se traza por C unacircunferencia quecorta al segmentoAB en E y F.

A B

C

3Se realizan los pasos 2y 3 del ejemplo ante-rior utilizando lospuntos E y F paraobtener P y Q.

A B

4Se traza la lnea rectaque pasa por los puntosP y Q, la cual es perpendi-cular a AB en el punto Cpor un razonamiento an-logo al ejemplo anterior.

E F CE F A BC

P

Q

P

Q

Se traza un arco (en loque sigue al trazar unarco se entiende que esarco de circunferencia)haciendo centro en Ay de radio AB.

La recta PQ es la mediatriz del segmentoAB ya que el cuadriltreo PBQA es un

rombo y sus diagonales AB y PQ se cortanperpendicularmente en su punto medio M.

r

C

r


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Bisectriz de un ngulo(semirrecta que pasa por el vrtice delngulo y lo divide en dos ngulos iguales)

Tangente a una circunferencia en un punto de la misma

1Trazar la bisectriz delngulo de vrtice O

y lados a yb.2Se traza un arco decentro en O y se ob-

tienen los puntos Ay B.

3Con radio AB se dibujandos arcos con centros en

A y B. La interseccin destos arcos es el punto M.

4La recta que pasa por O y Mes la bisectriz del ngulo for-

mado por las semirrectas ayb.

O

a

b O

a

b

A

B O

a

b

A

B

M

O

a

b

A

B

M

Paralela a una recta pasando por un punto dado

1Trazar la paralelaa la recta a que pasepor el punto B. 2

Se traza una rectaque pase por B y cor-te a la recta a en A.Con radio BA y cen-tros B y A se trazandos arcos c y d.C es el punto dondec corta a a .

3Con centro en A se dibu-ja una circunferencia uti-lizando como radio BC.Donde sta corta al arco dse obtiene el punto D delmismo lado que B respec-to de A.

4Por los puntos B y D pasala rectab paralela a la rec-ta a . Justifcalo!.

B

a

B

a AC

B

a AC

DB

a AC

D

ddc

1Trazar una recta quepase por B y sea tan-gente a la circunferen-

cia de centro O.

2Con centro en B traza-mos una circunferenciaque corta la recta BO en

M y N.

3Con una misma aberturadel comps se dibujan doscircunferencias, con cen-

tros en M y N, que se cor-tan en P y Q.

4Por los puntos P y Q pasala recta tangente en B de lacircunferencia de centro O.

B

O

B

O

P

Q N

MB

O

P

Q N

MB

O

N

M

Justifcalo matemticamente.

b

Otro mtodo para obteneresta paralela es el siguien-te:

Por el punto B se traza la per-pendicular b a la recta m.La rectasb y a son paralelasya que son perpendicularesa una misma recta m.

B

a

m

Utilizando los mtodosantes descritos, por Bse traza la perpendi-cular m a la recta a.

B

a

m

b

Otro mtodo se basa en que la tangente a una circun-ferencia en un punto de la misma, es perpendicularal radio que pasa por dicho punto.


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Con Los Elementos de Euclides qued establecida la utilizacin de la regla y el compsen la geometra y, por ende, en el dibujo y la arquitectura. El gran arquitecto eingeniero militar romano, Vitruvio (s. I a.C.), escribi al respecto en sus Diez librosde Arquitectura:

Es la Arquitectura una ciencia que debe ir acompaada de otros muchosconocimientos y estudios, merced a los cuales juzga de las obras de todaslas artes que con ella se relacionan. Esta ciencia se adquiere por la prcticay la teora (...). Debe, pues, ste (un arquitecto) estudiar Gramtica; teneraptitudes para el Dibujo; conocer la Geometra; no estar ayuno de ptica;ser instruido en Aritmtica y versado en Historia; (...). Le ser de granayuda la Geometra, que le adiestrar especialmente en el uso de la reglay el comps, con cuyo auxilio trazar mucho ms fcilmente las plantasde los edificios, y sabr levantar a escuadra y a nivel los planos de ellos.

Dos milenios despus, otro gran arquitecto Le Corbusier (Charles-Edouard Jeanneret,Suiza, 1887 - 1965 ), en su tratado sobre El Modulor (1948) tambin se refiri al comps

en lo siguientes trminos:... y escrib en mi cuaderno de notas: El azote de la arquitectura es el comps

(no el de Coprnico), el comps de las Bellas Artes, indiferente a las medidas...


Construccin de pol gonos regularesCaso n=3(tringulo equiltero)

1Dado un segmento AB,dibujar un tringulo

equiltero.2Con radio ABy centro A se traza

un arco.

A B A B

3Con radio AB y centro Bse traza otro arco que corta

en C al arco dibujadoen el paso 2.

A B

4El tringulo ABC es equil-tero por tener sus tres lados

iguales.C

A B

C

O A

A partir de una circunferen-cia de radio OA se puedeconstruir un hexgono conlado de medida OA. Utili-zando el valor del radio OA ycentro en A cortamos la cir-cunferencia en B. Si efectua-mos lo mismo en B obtene-mos C y as sucesivamentehasta volver a A.

O A

B

O A

BC

D

E F

Caso n=6 (hexgono regular)

Con lo que has visto en estefascculo y con una regla y un

comps, puedes dibujar uncuadrado (n=4) de lado AB?

AB=BC=CD=DE=EF=FA=OA

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