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Lic. Ren Suca YungaOPERADORES

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DEFINICIN DE VECTOREs un ente matemtico que sirve para representar a las magnitudes de carcter vectorial. Se trata de segmentos de recta con orientacin; si se dibujan a escala se representa la medida de la cantidad.Para representar la direccin de las cantidades vectoriales se han ideado a los VECTORES.Ejemplos: Desplazamiento, velocidad, fuerza, impulso, aceleracin, campo elctrico, etc.

ELEMENTOS DE UN VECTOR

Mdulo: Llamado tambin NORMA o TAMAO, es la medida de la longitud del vector, el mdulo se representar mediante la notacin:

: se lee Mdulo de ; si un vector no aparece con flecha encima se sobreentiende que se refiere al mdulo, es decir:

Direccin: Es el ngulo que forma el vector con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas (por lo general se toma la orientacin con respecto al semieje positivo de las abscisas). Sentido: Representado por la flecha del vector.

Lnea de Accin: Es aquella lnea donde se encuentra contenido el vector a travs de la cual puede deslizarse.

Representacin Analtica de un VectorDados dos puntos A y B que determinan un vector sobre el plano, la forma vectorial se define por:

o tambin

Ejemplo Ilustrativo 1:

Un vector en el plano pasa por los puntos y determinar su mdulo:

Solucin:

La expresin vectorial est dada por:

Clculo del mdulo del vector:

Rpta.Ejemplo Ilustrativo 2:

Un vector en el espacio pasa por los puntos y determinar su mdulo:

Solucin:

La expresin vectorial est dada por:

Clculo del mdulo:

Rpta.

CLASIFICACIN DE LOS VECTORES:

1. Vectores colineales: Son aquellos que se encuentran contenidos en una misma lnea de accin.

2. Vectores iguales: Dos vectores sern iguales cuando tienen la misma direccin, mdulo y sentido.

3. Vector unitario: Es aquel cuyo mdulo es la unidad y tiene por misin indicar la direccin y sentido de un determinado vector.

4. Vectores paralelos: Son aquellos que tienen sus lneas de accin paralelas entre s.

En la figura:

Dadas las rectas paralelas:

Los vectores: tambin son paralelosPor consiguiente se cumple tambin:

vectores unitarios iguales

5. Vectores coplanares: Son aquellos que se encuentran contenidos en un mismo plano.

6. Vectores opuestos: Dos vectores sern opuestos cuando tienen igual direccin, mdulo pero sentido contrario.

7. Vectores concurrentes: Son aquellos que sus lneas de accin se cortan entre s, en un mismo punto.

Se observa que las lneas de accin de los vectores , y concurren en el punto O

OPERACIONES CON VECTORES

ADICIN: Al vector suma tambin se le llama resultante.La resultante produce el mismo efecto que los sumandos.

1. MTODO DEL TRINGULO Este mtodo es vlido slo para dosvectores coplanares y concurrentes

Pasos a seguir: Se forma el tringulo, cuando son SLO 2 vectores Para hallar el valor de se aplica la Ley de Lamy o de senos:

2. MTODO DEL PARALELOGRAMO

Pasos a seguir:

La suma () o resultante () es la diagonal del paralelogramo formado. La suma o resultante se denota:

ANALTICAMENTE:

; Ley del paralelogramo

3. MTODO DEL POLGONO

3.1 Mtodo del Polgono Abierto: Se usa generalmente para sumar ms de dos vectores. Se colocan uno a continuacin del otro, manteniendo constante su VALOR, DIRECCIN y SENTIDO. La resultante es el vector que parte del origen del primero y llega al extremo del ltimo.Ejemplo:

Construyendo el polgono:

La resultante es:

3.2 Polgono Cerrado: En este caso todos tienen la misma secuencia (horario). El extremo del ltimo llega al origen del primero.

La Resultante es:

DIFERENCIA ()La diferencia de vectores es llamada tambin resultante diferencia.

Vectorialmente:

Por la Ley de cosenos:

Pero se sabe que:

CASOS PARTICULARES Y POSICIONES RELATIVAS DE LOS VECTORES:

1. Cuando y los vectores y son paralelos y del mismo sentido.

2. Cuando y los vectores y son paralelos y de sentidos opuestos.

3. Cuando , los vectores y son perpendiculares.

4. Cuando dos vectores tienen el mismo mdulo y forman 60. y

5. Cuando dos vectores tienen el mismo mdulo y forman 120. y

6. Cuando dos vectores tienen el mismo mdulo y forman 90. y

DESCOMPOSICIN RECTANGULAR DE UN VECTOR

Expresin vectorial de :

Como par ordenado:

Componentes rectangulares de un vector en el plano:Las componentes rectangulares estn dadas por:

Mdulo del vector :

Direccin del vector respecto al eje X:

Vectores en el Espacio Anlogamente a los puntos del plano cartesiano que estn representados por un par ordenado, los puntos del espacio se representan mediante ternas de nmeros o coordenadas espaciales.

Puntos en el espacio: X: eje de abscisasY: eje de ordenadasZ: eje de cotas

Expresin vectorial de un vector en

Un vector , se puede escribir como combinacin lineal de sus vectores unitarios cannicos, as:

Dados dos puntos en el espacio, se puede hallar el vector que dichos puntos determinan, aplicando:

Mdulo de un vector en

El mdulo de un vector ; est dado por:

Del grfico:Vector Unitario

Dado un vector: , se define como vector unitario en la direccin de , a la expresin:

Direccin de un vector en :

La direccin de un vector en , est dada por sus ngulos de orientacin con respecto a los 3 ejes coordenados. Y a los cosenos de dichos ngulos se denominan cosenos directores.

Cosenos directores:Las direcciones del vector con respecto a los ejes coordenados estn dados por:

: ngulo de inclinacin con respecto al eje X

:ngulo de inclinacin con respecto al eje Y

:ngulo de inclinacin con respecto al eje Z

Direccin con el eje X:

Direccin con el eje Y:

Direccin con el eje Z:

Propiedad:

OPERACIONES CON VECTORES EN

a) SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES:

Dados dos vectores: y

Se define como vectores suma y diferencia, respectivamente:

b) MULTIPLICACIN DE UN VECTOR POR ESCALAR EN

Dado el vector: y un escalar r se define como producto por escalar a la operacin:

Donde el vector , es mltiplo y necesariamente paralelo al vector .Propiedades de la Multiplicacin por escalar:

Dado los vectores y los escalares , se cumple:

1.

2.

3.

4.

c) PRODUCTO INTERNO O PRODUCTO PUNTO EN :

Dados dos vectores: y

Se define como producto interno de vectores a la expresin dada por:

Observe que:

En , para un vector ; se cumple que:

En , para un vector ; se cumple que:

Otra definicin:Es posible tambin definir el producto interno mediante la relacin:

Donde:

: mdulo del vector

: mdulo del vector

: ngulo formado por los vectores y

Propiedades del Producto Interno:

Dado los vectores y los escalares , se cumple:

1.

2.

3.

4.

5.

6. Si

Importante:Del vector suma, de acuerdo a las propiedades:

Por definicin de producto interno:

Anlogamente, para el vector diferencia:

Observe: Esta es la ley del cosenos!

d) PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ EN

Dados dos vectores: y ; se define como producto vectorial , a la expresin definida por el determinante:

Propiedades del Producto Vectorial

Dado los vectores y los escalares , se cumple:

1.

2.

3.

4.

5.

6. Si:

7. Si

Producto de vectores cannicos:

Puesto que un vector siempre es paralelo a s mismo: Adems:

Regla de la mano derecha:

Sirve para determinar la direccin del vector Observe!

Interpretacin Geomtrica del vector

El vector , est representado por un vector perpendicular, tanto al vector como al vector . Su mdulo es igual al rea del paralelogramo formado.

Observe: ; Adems

Luego:

Para el tringulo:

DOBLE PRODUCTO VECTORIAL

F) PRODUCTO TRIPLE EN

Dado los vectores , se define como producto triple a la expresin definida por un determinante de la forma:

Interpretacin geomtrica de :

El producto triple de los vectores es igual al volumen del paraleleppedo formado por dichos vectores.

Ejemplo Ilustrativo 01

Dados los vectores y . Calcular:

a) El producto escalar

b) El coseno del ngulo que forman los vectores y

c) El producto vectorial

Solucin:

a)

b)

c)Rpta.Ejemplo Ilustrativo 02

Determinar el rea limitada por los puntos ; y .

Solucin:Graficando:

Se sabe que:

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 03Hallar el volumen del tetraedro que forman los vectores:

; ; Solucin:El volumen del tetraedro es la tercera parte del volumen del paraleleppedo. Entonces por el producto triple:

Aplicando la solucin del determinante:

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 04

En la figura OPQR es un cuadrado, T es punto de tangencia a la semicircunferencia, expresar el vector en funcin de los vectores y .

Solucin:

En el por el Teorema de Pitgoras:

En el tringulo vectorial RQS:

Adems:

Luego en el tringulo vectorial RTQ

Rpta.

Ejemplo Ilustrativo 04

De acuerdo al grfico, un vector tiene una direccin perpendicular al tringulo ABC, y posee un mdulo de . Encontrar una expresin vectorial cartesiana para .

Solucin:Coordenadas y vectores direccionales en el grfico:

Vector unitario perpendicular al plano ABC.

Luego:

Rpta.

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