Formulario para algebra
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Matemáticas para Arquitectura y Diseño
Capitulo 1 geometría analítica unidimensional�� ��������� entre cualesquiera dos puntos a y b con
coordenadas m y n es
� CAPITULO 2
�� ��Se llama ángulo a la abertura comprendida entre dos semirectas que tienen un punto en
común. Este punto en común es llamado vértice del ángulo.
Un ángulo se representa como,
�������������������� �� ������� ��
Matemáticas para Arquitectura y Diseño Lic. Mireya Isabel Sánchez Velázquez
geometría analítica unidimensional
entre cualesquiera dos puntos a y b con ���� �� �� � ��� �����Si las coordenadas de los puntos finales de
b, y m es la coordenada del
punto medio M, entonces:
Ángulos
Se llama ángulo a la abertura comprendida entre dos semirectas que tienen un punto en
común. Este punto en común es llamado vértice del ángulo.
Un ángulo se representa como, o con letras del alfabeto griego como ������������ ����� ��������� ������� ����������������������������� �� ��������� ������������������ �������� �������������� ����������������������
Lic. Mireya Isabel Sánchez Velázquez
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geometría analítica unidimensional
Si las coordenadas de los puntos finales de son a y
Se llama ángulo a la abertura comprendida entre dos semirectas que tienen un punto en
o con letras del alfabeto griego como
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������������� ���� ���� ��
pero
mide pero
pero menos de 360°
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�� � �����������: mide más de 0°
pero menos de 90°
�����: mide 90°
������: mide más de 90°
pero menos de 180°
�����: mide 180°
�������: Mide más 180°
pero menos de 360°
���������: mide 360°
Complementarios���� �������� ����������� ���� �� �Suplementarios���� �������� ����������� ���� �� � �
Conjugados���� �������� ����������� ���� �� ���
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CAPITULO 3 Rectas Perpendiculares y paralelas
Cuando dos rectas se cortan y forman 4 ángulos rectos,
a estas rectas se les conoce como rectas
perpendiculares. Para denotar que es una recta
perpendicular, se utiliza el símbolo
Dos rectas que no comparten ningún punto y siempre
están a una misma distancia se les conocen como rectas
paralelas. Para denotar que dos rectas son paralelas se
utiliza el símbolo ������� �� se trazan varias rectas oblicuas y una
perpendicular que va desde un punto exterior a una
recta como se muestra abajo:
Se verifica lo siguiente:
Es decir, si entonces y
• Si entonces
• Si entonces
������ �������� ��� �� �������
Son aquellos que tienen un vértice en común y los lado de un de los ángulos son prolongación de los lados del otro ángulo.
es opuesto a y es opuesto a . Además es opuesto a es opuesto a y ��� ������� ��������� son aquellos que tienen un
vértice y un lado en común.
es contiguo al ángulo , además
��� ������� ���������� son ángulos que tienen el
vértice y un lado en común, cuya característica es que la
suma de los ángulos es 180°
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Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante, se forman ángulos que según sus característireciben un nombre:
CAPITULO 4 Triángulos
�� ���� �� ��� ����� � ������� �� � ���������� � ���� �� ����� �� � ������ �� ����� � �� ������ � ������� � ������ �� � ���
�� ���� �� ��� ����� �� ������� �� � ��������
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Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una recta secante, se forman ángulos que según sus características
Ángulos internos:
y
Ángulos externos
y
Ángulos correspondientes:
, ,
Ángulos colaterales internos (suplementarios):
y
Ángulos colaterales externos (suplementarios): y
Triángulos
�� �� ����� ����� �� ��� ��� �� ����� �
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado del triángulo e igual a un medio de la longitud del tercer lado.
La suma de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado. Además la diferencia de menor a la longitud del lado restante.
Si dos de los lados y 2 ángulos del triángulo son distintos a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.
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y
Ángulos colaterales internos (suplementarios):
Ángulos colaterales externos (suplementarios):
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un lo es paralelo al tercer lado del triángulo e igual a un
medio de la longitud del tercer lado.
La suma de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del tercer lado. Además la diferencia de estos dos lados es menor a la longitud del lado restante.
Si dos de los lados y 2 ángulos del triángulo son distintos a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.
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������ ��� ����� �����Los triángulos congruentes son aquellos que tienen la misma forma y tamaño es decir, 2 triángulos son congruentes si:
a) Sus lados homólogos son iguales b) Sus ángulos homólogos son iguales
Teorema LLL Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados iguales.
Teorema ALA Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos y el lado adyacente a ellos son iguales.
Teorema LAL Dos triángulos son congruentes si 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos son iguales, respectivamente a su homólogo del otro.
�������� ������� ��� ����� �� ��������� ��� ����� �����Recuerda que si 2 triángulos son congruentes entonces se verifica que tanto sus lados como sus ángulos homólogos son iguales. Por ejemplo:
Sea y dos triángulos congruentes:
Entonces:
, Y
, y ������� �� ������������Una razón es una comparación de dos cantidades semejantes. La razón puede escribirse de varias formas:
, , y la razón de a Cuando dos razones se igualan una a otra se forma una proporción.
Teorema 1: En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
a:b=c:d b:c=a:d
Teorema 2: En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer miembro y se obtiene la misma proporción.
a:b=c:d a:c=b:d b:c=a:d
Teorema 3: En una proporción pueden invertirse las razones.
a:b=c:d b:a=d:c
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�������� �� ���������Los lados homólogos son aquellos cuyos ángulos adyacentes son iguales.
Dos triángulos son semejantes o tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño. Propiedades de triángulos semejantes. Si
��������� � ��
Estas propiedades se cumplen entre cualquier par de triángulos semejantes.
Teorema (AA). Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos homólogos.
�� � �������� ��
Teorema (LLL). Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales.
�� �������� �� Lic. Mireya Isabel Sánchez Velázquez
son aquellos cuyos ángulos
Dos triángulos son semejantes o tienen la misma forma,
Estas propiedades se cumplen entre cualquier par de
Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos
Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son
�
Teorema (LAL). Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
�� � ������������� �������El Teorema de Tales nos dice que si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, los triángulos resultantes son semejantes.entonces
������� �� ���������El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa.
De la misma forma, el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los cuadrados de la hipotenusa y del
otro cateto. o
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son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.
��� �� �nos dice que si por un triángulo se
cualquiera de sus lados, los triángulos resultantes son semejantes. Si
establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es
De la misma forma, el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los cuadrados de la hipotenusa y del
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Cuando se tiene un triángulo con lados , b donde es el lado mayor, este triángulo puede ser rectángulo. acutángulo u obtusángulo.
Si entonces el triángulo es rectángulo Si entonces el triángulo es acutángulo Si entonces el triángulo es obtusángulo
Teorema 1: La altura de un triángulo rectángulo que va de un vértice a la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí y al original.
La medida proporcional es cada uno de los términos medios de una proporción.
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, b y , lado mayor, este triángulo puede ser
rectángulo.
acutángulo.
obtusángulo.
que va de un tenusa forma dos triángulos rectángulos
La medida proporcional es cada uno de los términos
Teorema 2: En un triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes en que divide la hipotenusa.
Teorema 3: En un triángulo rectángulo cada cateto es mediaproporcional de la hipotenusa y su proyección sobre ésta.
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En un triángulo rectángulo la altura trazada sobre la hipotenusa es media proporcional entre las dos partes
En un triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional de la hipotenusa y su proyección sobre
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CAPITULO 5 Cuadriláteros
La diagonal es una recta que une 2 vértices no
consecutivos de un polígono.
y Son diagonales
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es
igual a 360º.igual a 360º.igual a 360º.igual a 360º.
Algunas propiedades de los paralelogramos son las
siguientes:
Los lados opuestos tienen la
misma medida.
y y y y
Ángulos opuestos tienen la misma
medida.
y y y y
Los ángulos adyacentes a un
mismo lado son suplementarios.
Las diagonales se bisecan
mutuamente.
La diagonal divide el cuadrilátero
en 2 triángulos iguales.
Para que un cuadrilátero sea un paralelogramo se debe cumplir una condición:
• 2 de sus lados son paralelos e iguales.
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Algunas propiedades de los paralelogramos son Algunas propiedades de los paralelogramos son Algunas propiedades de los paralelogramos son Algunas propiedades de los paralelogramos son las siguientes:las siguientes:las siguientes:las siguientes:
1°1°1°1° Los rectángulos tienen sus ángulos rectos.
2°2°2°2° Las diagonales de un rectángulo son iguales.
3°3°3°3° Las diagonales de un rectángulo forman 2 pares de
triángulos congruentes.
4°4°4°4° Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre
sí y se bisecan mutuamente, esto es, una diagonal es
mediatriz de la otra.
5°5°5°5° Las diagonales de un rombo son bisectrices de los
ángulos formados por el rombo.
6°6°6°6° Las diagonales de un rombo forman 4 triángulos
congruentes.
7°7°7°7° Las propiedades del 1 al 6 se cumplen para los
cuadrados ya que son rectángulos y rombos.
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Las Las Las Las propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:
1°1°1°1° En un trapecio su longitud de la línea media es igual a
la semisuma de las bases del trapecio.
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propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:propiedades de los trapecios son las siguientes:
En un trapecio su longitud de la línea media es igual a
2° 2° 2° 2° Las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado
lateral del trapecio son perpendiculares y el punto de
intersección se encuentra en su línea media.
y son bisectrices.
3°3°3°3° En un trapecio isósceles los ángulos de la base son
iguales, así como las diagonales.
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Las bisectrices de los ángulos adyacentes al lado
perpendiculares y el punto de
intersección se encuentra en su línea media.
En un trapecio isósceles los ángulos de la base son
iguales, así como las diagonales.
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CAPITULO 6 Polígonos
Un polígono es una figura plana y cerrada,
esta figura está delimitada por segmentos de
recta.
Los polígonos se clasifican de acuerdo a sus
lados o a la magnitud de sus ángulos.
Polígonos por sus ladosPolígonos por sus ladosPolígonos por sus ladosPolígonos por sus lados
Regulares:Regulares:Regulares:Regulares: polígonos con todos sus lados
iguales
Irregulares:Irregulares:Irregulares:Irregulares: La medida de sus lados es
diferente
Polígonos por sus ángulosPolígonos por sus ángulosPolígonos por sus ángulosPolígonos por sus ángulos
ConvexosConvexosConvexosConvexos: Polígono en el que todos sus
ángulos son menores a 180º.
CóncavosCóncavosCóncavosCóncavos: Polígono en el que al menos hay un
ángulo mayor a 180º.
Los polígonos reciben su nombre según el
número de lados que tengan.
Número de ladosNúmero de ladosNúmero de ladosNúmero de lados NombreNombreNombreNombre
3333 Triángulo
4444 Cuadrilátero
5555 Pentágono
6666 Hexágono
7777 Heptágono
8888 Octágono
9999 Nonágono o Eneágono
10101010 Decágono
11111111 Undecágono
12121212 Dodecágono
13131313 Tridecágono
14141414 Tetradecágono
15151515 Pentadecágono
16161616 Hexadecágono
17171717 Heptadecágono
18181818 Octadecágono
19191919 Nonadecágono
20202020 Icoságono
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Los elementos de un polígono son los
siguientes:
Vértice: Punto donde se unen 2
lados consecutivos.
Ángulo interior: Ángulo dentro
de una figura, que se forma
con dos lados adyacentes del
polígono.
Ángulo exterior: Ángulo que se
forma entre la prolongación de
uno de sus lados y su lado
adyacente.
Diagonal: Segmento de recta
que une 2 vértices no
adyacentes.
Un polígono tiene el mismo número de lados
que de ángulos interiores, así como de
exteriores.
DiagonDiagonDiagonDiagonalesalesalesales desde un sólo vértice.desde un sólo vértice.desde un sólo vértice.desde un sólo vértice.
donde es el número de lados del
polígono.
La fórmula para calcular el número total de número total de número total de número total de
diagonalesdiagonalesdiagonalesdiagonales en un polígono es:
donde es el número de lados del polígono.
La suma de los ángulos interioressuma de los ángulos interioressuma de los ángulos interioressuma de los ángulos interiores de
cualquier polígono de lados se determina
con la siguiente expresión:
La magnitud de uno de los ángulos interioresángulos interioresángulos interioresángulos interiores
de un polígono regular de lados se
determina con la siguiente expresión:
La suma de los ángulos exterioressuma de los ángulos exterioressuma de los ángulos exterioressuma de los ángulos exteriores de
cualquier polígono de lados es:
La magnitud de uno de los ángulos exterioresángulos exterioresángulos exterioresángulos exteriores
de un polígono regular de lados se
determina con la siguiente expresión:
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CAPITULO 8 Circunferencia y Círculo
La circunferencia
conjunto de todos los puntos
que equidistan un punto fijo
llamado centro.
Un círculo es la superficie
limitada por una
circunferencia.
La longitud de la circunferencia representa
el perímetro del círculo.
El arco es una parte de la
circunferencia y se denota
por el símbolo
Una semicircunferencia es un
arco igual a la mitad de la
circunferencia.
Las rectas notables de una
circunferencia son las
siguientes:
Radio: Segmento que va
desde el centro a un
punto de la
circunferencia.
Cuerda: Segmento de
recta que une dos puntos
de la circunferencia.
Diámetro: Cuerda más
grande que pasa por el
centro del círculo.
Secante: Recta que pasa por
dos puntos de la
circunferencia.
Tangente: Recta que toca a la
circunferencia en un sólo
punto, a este punto se le
llama punto de tangencia.
Flecha o sagita: Recta
perpendicular trazada desde
un punto de la circunferencia
al punto medio de una cuerda.
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Circunferencia y Círculo
circunferencia es el
conjunto de todos los puntos
que equidistan un punto fijo
es la superficie
limitada por una
Las rectas notables de una
circunferencia son las
Segmento que va
desde el centro a un
circunferencia.
Segmento de
recta que une dos puntos
de la circunferencia.
Cuerda más
grande que pasa por el
centro del círculo.
Recta que pasa por
dos puntos de la
Recta que toca a la
circunferencia en un sólo
punto, a este punto se le
llama punto de tangencia.
Recta
perpendicular trazada desde
un punto de la circunferencia
al punto medio de una cuerda.
Las porciones de un círculo son las superficies limitadas
por un arco y ciertas rectas.
Sector circular:
Porción del círculo limitada por dos
radios.
Segmento circular:
Porción del círculo limitada por una
cuerda
y el arco correspondiente.
Semicírculo:
Porción del círculo limitada por el
diámetro
y la semicircunferencia.
La circunferencia inscrita es aquella que es tangente a los
lados de un polígono
Al polígono donde sus lados son tangentes a la
circunferencia se le llama
polígono circunscrito.
La circunferencia circunscrita es aquella que pasa por
vértices de un polígono.
El polígono inscrito es aquel donde sus lados son
cuerdas de la circunferencia.
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son las superficies limitadas
Porción del círculo limitada por dos
Porción del círculo limitada por una
Porción del círculo limitada por el
es aquella que es tangente a los
Al polígono donde sus lados son tangentes a la
circunferencia se le llama
es aquella que pasa por los
es aquel donde sus lados son
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Los ángulos notablesángulos notablesángulos notablesángulos notables son los ángulos que se
forman con las rectas notables. La clasificación
de los ángulos notables es:
Ángulo central: Ángulo comprendido entre dos radios o
bien por un radio y el diámetro. Este ángulo tiene su
vértice en el centro. La medida de un ángulo central es igual al arco comprendido
entre los radios.
Ángulo inscrito: Ángulo que tiene su vértice sobre la
circunferencia y está comprendido entre dos cuerdas .
La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco
comprendido entre las cuerdas.
Ángulo semiinscrito: Ángulo comprendido entre una
cuerda y una tangente. Su vértice se encuentra en un
punto de la circunferencia.
La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad del arco
entre la cuerda y la tangente.
Ángulo interior: Ángulo comprendido entre dos
cuerdas que se cortan y su vértice se encuentra en un
punto interior de la circunferencia. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los
arcos comprendidos entre los lados y su prolongación.
Ángulo exterior: Ángulo formado por dos secantes
y su vértice está en un punto exterior a la
circunferencia. La medida de un ángulo exterior es igual a la
semidiferencia de los arcos comprendidos.
Ángulo circunscrito: Ángulo que se forma entre 2
tangentes trazadas desde un punto exterior a la
circunferencia. La medida de un ángulo circunscrito es igual a la semidiferencia
de los arcos comprendidos entre sus lados.
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Teorema 1:Teorema 1:Teorema 1:Teorema 1:Si 2 ángulos centrales del mismo círculo o de
círculos congruentes, son congruentes entonces los
arcos intersecados por estos dos ángulos son
congruentes.
Teorema 2:Teorema 2:Teorema 2:Teorema 2:Si tenemos 2 cuerdas iguales dentro de una
circunferencia, entonces los arcos delimitados por estas
cuerdas son iguales y viceversa.
Si
Si
Teorema 3:Teorema 3:Teorema 3:Teorema 3:Cualquier ángulo inscrito en una
semicircunferencia es un ángulo recto.
90°90°90°90°
Teorema 4:Teorema 4:Teorema 4:Teorema 4:Si una recta que pasa por el centro de un
círculo es perpendicular a una cuerda, entonces la recta
biseca a la cuerda y al arco delimitado por la misma
cuerda.
entonces y
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Si 2 ángulos centrales del mismo círculo o de
círculos congruentes, son congruentes entonces los
arcos intersecados por estos dos ángulos son
Si tenemos 2 cuerdas iguales dentro de una
circunferencia, entonces los arcos delimitados por estas
inscrito en una
i una recta que pasa por el centro de un
círculo es perpendicular a una cuerda, entonces la recta
biseca a la cuerda y al arco delimitado por la misma
Teorema 5:Teorema 5:Teorema 5:Teorema 5:Una recta tangente a un círculo es
perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.
Si es tangente a la circunferencia
punto , entonces el radio es
Teorema 6:Teorema 6:Teorema 6:Teorema 6:Dos cuerdas que se encuentran a la misma
distancia del centro son iguales.
Teorema 7:Teorema 7:Teorema 7:Teorema 7:Si es un punto fuera de la
circunferencia y se trazan dos segmentos tangentes
desde el punto a la circunferencia
dos segmentos son congruentes.
Además, la recta que cruza por el centro y el punto
forma ángulos congruentes.
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Una recta tangente a un círculo es
perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.
es tangente a la circunferencia con centro en en el
es a .
Dos cuerdas que se encuentran a la misma
distancia del centro son iguales.
es un punto fuera de la
y se trazan dos segmentos tangentes
a la circunferencia ; entonces estos
segmentos son congruentes.
Además, la recta que cruza por el centro y el punto
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Teorema 8:Teorema 8:Teorema 8:Teorema 8:Si 2 cuerdas se intersecan dentro de un
círculo en un punto , entonces el producto de los
segmentos de una cuerda es igual al producto de los
segmentos de la otra cuerda.
Teorema 9: Teorema 9: Teorema 9: Teorema 9: Si de un punto exterior a un círculo, se
traza una tangente y una secante, la medida de la
tangente es media proporcional entre la medida de la
secante y su segmento externo.
Teorema 10:Teorema 10:Teorema 10:Teorema 10:Si desde un punto exterior a un círculo se
trazan 2 rectas secantes, el producto de la medida de
una secante y su segmento exterior es igual al producto
de la medida de la otra secante por su segmento
exterior.
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Si 2 cuerdas se intersecan dentro de un
, entonces el producto de los
segmentos de una cuerda es igual al producto de los
exterior a un círculo, se
traza una tangente y una secante, la medida de la
medida de la
exterior a un círculo se
trazan 2 rectas secantes, el producto de la medida de
una secante y su segmento exterior es igual al producto
secante por su segmento
La longitud de la tangente es el segmento trazado desde
un punto exterior al punto de tangencia.
longitud de la tangente
Las propiedades de las rectas tangentes son las
siguientes:
1-. Toda tangente es perpendicular al radio que pasa por
el punto de tangencia.
2-. La recta que es perpendicular a una recta tangente
trazada por el punto de tangencia, pasa por el centro de
la circunferencia.
3-. Las tangentes trazadas desde un punto exte
circunferencia son iguales.
4-. La recta que une un punto exterior y el centro de una
circunferencia es bisectriz del ángulo formado por las
tangentes trazadas del punto a la circunferencia.
es bisectriz del
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es el segmento trazado desde
un punto exterior al punto de tangencia.
longitud de la tangente
Las propiedades de las rectas tangentes son las
Toda tangente es perpendicular al radio que pasa por
. La recta que es perpendicular a una recta tangente
trazada por el punto de tangencia, pasa por el centro de
. Las tangentes trazadas desde un punto exterior a la
. La recta que une un punto exterior y el centro de una
circunferencia es bisectriz del ángulo formado por las
tangentes trazadas del punto a la circunferencia.
es bisectriz del
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Las circunferencias concéntricas son aquellas que tienen
el mismo centro y diferente radio.
Las circunferencias exteriores son aquellas que se
encuentran en una región exterior una de la otra, no
tienen puntos en común y la distancia entre los
es mayor a la suma de sus radios.
La circunferencia interior es aquella en la que todos sus
puntos son interiores a otra circunferencia y la distancia
entre los centros es menor que la diferencia de sus
radios.
Se les llama circunferencias tangentes exteriores
que tienen un sólo punto en común y la distancia entre
los centros es igual a la suma de sus radios.
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son aquellas que tienen
son aquellas que se
encuentran en una región exterior una de la otra, no
tienen puntos en común y la distancia entre los centros
es aquella en la que todos sus
puntos son interiores a otra circunferencia y la distancia
entre los centros es menor que la diferencia de sus
circunferencias tangentes exteriores a las
que tienen un sólo punto en común y la distancia entre
los centros es igual a la suma de sus radios.
Las circunferencias tangentes interiores
tienen un punto en común y la distancia entre sus
centros es igual a la diferencia de sus radios.
Las circunferencias secantes son aquellas que se
intersecan en 2 dos puntos y la distancia entre sus
centros es menor que la suma de sus radios.
Dos circunferencias secantes son
ortogonales, si en los puntos de intersección los radios
forman ángulos de 90º, es decir, son perpendiculares en
los puntos de intersección.
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17 circunferencias tangentes interiores son aquellas que
y la distancia entre sus
centros es igual a la diferencia de sus radios.
son aquellas que se
intersecan en 2 dos puntos y la distancia entre sus
centros es menor que la suma de sus radios.
Dos circunferencias secantes son circunferencias
, si en los puntos de intersección los radios
forman ángulos de 90º, es decir, son perpendiculares en
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CAPITULO 9 Perímetros y superficies
Triangulo equilátero
��������������Triangulo isósceles
��������������Triangulo escaleno
�������������� Lic. Mireya Isabel Sánchez Velázquez
Perímetros y superficies
Rectángulo
��������������
Paralelogramo
��������������
Rombo
���� ������� ������������� ����� ���� ��� �������������������
��� �������Pentagono o Hexagono
���
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18
Trapecio
�� �� ����� ����� ����� ���� ���������� ����� �� �� �� �������������Pentagono o Hexagono
�������� �� ����� ��� � ����������� ��� � ��������� � ����� � ����� ����������������
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19
Circulo
�������������������� ���������������� ����� �
������������ ������ ��������������������� �� ������������������������������ ������ ������������� ������������� ��� ���������� ������������������
CAPITULO 10 Cuerpos geométricos, áreas y volúmenes ������������ �������������� � �������� � �� ���� ��������������
!���������� ������������� � �
"������������ �������������� #��������
��� ��������������
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������ ����������� ��� ����������� ������������� ������ ������ ������������ ��� ��� ����������� ������������� ������
��
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� �������� ����� ������ ������������� ����� �� ��� �� �� � ����������� ���������� ������ ������������� ����� �� ��� �� �� � �����
��������������������
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20
��������� ������ ������ ��� �� �� ����� �� �� �� �������� � �������� ������ ������ ��� �� �� ����� �� �� �� ����
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21
��� ��� ��� �� ��������� ��������� ����� ��������
��� ����������� ������ ������� ������ ���� �� �� ��� �� �� �� �������� �� �� ��� �� �� ����
����������� ����������� ������ �������� ������
������� ����������� ������ �������� ������
���� �� ��� ��� ��������� ��� ��� �� � ����� �������������� ����� �� � ��� �������� �� � ��� ����������� �� � ��� ������ �������� �
����� ����� �� � ��� ������ �� ��� ���� �������� � �� � � ���� �� ����� ��� ������������ �� ��� �� ����� ��������� � ������ �� � ������� �������� ��� ������ � ��������
��� �� �� �������� �������� �������� �� �� �������� ��������� ����� ����� �� � ��� ��� � � ���� �� �������� ��� ���������� �� � ���� �� �������� ��� �����
��� ��� ���� �������� �������� � ����� ����� �� � ��� ��� �� � � ���� ����� �� ! ���� �� �� "����
������� �� �� ������ �������� � ����� ����� �� � ��� ���� ���� �� �������� ��� �����
Matemáticas para Arquitectura y Diseño
CAPITULO 11 Funciones Trigonométricas
Seno de un ángulo
Coseno de un ángulo
Tangente de un ángulo Cotangente de un ángulo
� ���������������������� ���� �
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Funciones Trigonométricas
Seno de un ángulo Cosecante de un ángulo
Coseno de un ángulo Secante de un ángulo
Tangente de un ángulo Cotangente de un ángulo
�����������
��� ���������
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Funciones Trigonométricas
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������ �� � ����������������������
I cuadrante
II cuadrante
III cuadrante
IV Cuadrante
Seno � � � �Coseno � � � �Tangente � � � �Cotangente � � � �Secante � � � �Cosecante � � � ���������� ��������������� ���� �������������� �� �
Una función trigonométrica con ángulo obtuso se puede transformar a una función equivalente de ángulo agudo, expresando el ángulo obtuso de
las siguientes formas: �Donde es un número positivo y un ángulo agudo.
����� ������ ������ ����� ��!������ �� �� �� �� �� �� ��������� �� ����� ��������� �� ������ �� �� � � ��������� es un número par� �� ��� ��� ���� �� ��� ��� �������� �
a la misma función con ángulo � � ���� �� �� � ��� ������� ������ � ���� �� ���� �� �� ������ es un número impar� �� ��� ��� ���� �� ��� ��� �������� �
a la cofunción con ángulo � � ���� �� �� � ��� ������� ������ � ���� �� ���� �� �� ���� ������
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CAPITULO 15 Triángulos Rectángulos
Para los triángulos rectángulos basta con conocer el valor de uno de los lados y algún otro dato, el cual puede ser un
ángulo u otro lado, debido a que el tercer dato siempre está dado ya que, al ser triangulo rectángulo, uno de los ángulos
siempre es 90°
Se usara teorema de Pitágoras CAPITULO 4 y funciones trigonométricas CAPITULO 11
CAPITULO 16 Triángulos Oblicuángulos
Ley de senosLey de senosLey de senosLey de senos
o
Se utiliza cuando
• 2 lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.
• 2 ángulos y cualquier lado.
Ley de cosenosLey de cosenosLey de cosenosLey de cosenos
)
Se utiliza cuando
• 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos
• 3 lados.
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CAPITULO 19 Geometría analítica bidimensional
��������� ����� ��� � ����
� ��� �����
Las coordenadas para calcular el punto medio son:
���� �� ������� � �� ���� ��� �����
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CAPITULO 20 Pendiente de una recta
Pendiente de una rectaPendiente de una rectaPendiente de una rectaPendiente de una recta
Donde
,si
,si
La pendiente de una recta que pasa por dos puntosLa pendiente de una recta que pasa por dos puntosLa pendiente de una recta que pasa por dos puntosLa pendiente de una recta que pasa por dos puntos
Rectas son paralelasRectas son paralelasRectas son paralelasRectas son paralelas
Si entonces,
Rectas son perpendicularesRectas son perpendicularesRectas son perpendicularesRectas son perpendiculares
Para calcular el Para calcular el Para calcular el Para calcular el ánguloánguloánguloángulo que formanque formanque formanque forman yyyy , se , se , se , se
utiliza la siguiente fórmula:utiliza la siguiente fórmula:utiliza la siguiente fórmula:utiliza la siguiente fórmula:
Donde :
: ángulo agudo entre las rectas
pendiente inicial
: pendiente final
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CAPITULO 22 Línea Recta
Ecuación generalEcuación generalEcuación generalEcuación general de una recta:de una recta:de una recta:de una recta:
Donde , y son constantes.
Ecuación puntoEcuación puntoEcuación puntoEcuación punto----pendientependientependientependiente
La ecuación de una recta que es perpendicular La ecuación de una recta que es perpendicular La ecuación de una recta que es perpendicular La ecuación de una recta que es perpendicular
al ejeal ejeal ejeal eje se define como:
Ecuación de la recta Ecuación de la recta Ecuación de la recta Ecuación de la recta en su forma pendienteen su forma pendienteen su forma pendienteen su forma pendiente----
ordenada al origen o forma ordinaria o ordenada al origen o forma ordinaria o ordenada al origen o forma ordinaria o ordenada al origen o forma ordinaria o
reducida.reducida.reducida.reducida.
Donde es la pendiente y la ordenada del
punto de intersección con el eje .
Transformando la ecuación general a una
ecuación de la forma ordinaria
Comparando con la ecuación donde
Ecuación de la recta en su forma simétrica
Donde y . Donde es la abscisa del
punto de intersección con el eje y la
ordenada del punto de intersección con el eje
.
Familia de rectasFamilia de rectasFamilia de rectasFamilia de rectas
Si se considera fijo
Si se toma fijo
Las familias de recta se clasifican en:
Rectas paralelasRectas paralelasRectas paralelasRectas paralelas
Tienen la misma pendiente y es un
parámetro.
Rectas concurrentesRectas concurrentesRectas concurrentesRectas concurrentes
Tienen la misma intersección en el
eje y es un parámetro.
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DDDDistancia de un punto a una rectaistancia de un punto a una rectaistancia de un punto a una rectaistancia de un punto a una recta
a
Distancia dirigidaDistancia dirigidaDistancia dirigidaDistancia dirigida permite localizar un punto con
respecto a una recta y el origen.
El signo que tomará la distancia depende de la recta y ubicación del punto.
CAPITULO 23 Circunferencia
La circunferencia se define como el lugar geométrico que
describe un punto que se mueve en el plano, de tal
manera que la distancia del punto a un punto fijo
llamado centro siempre es la misma.
Observa que,
Donde es el centro, el radio de la circunferencia
y un punto cualesquiera de la circunferencia.
La La La La ecuación de una circunferenciaecuación de una circunferenciaecuación de una circunferenciaecuación de una circunferencia En forma
ordinaria :
Donde es el centro y el radio de la
circunferencia.
La ecuación de una circunferenciaLa ecuación de una circunferenciaLa ecuación de una circunferenciaLa ecuación de una circunferencia ecuación
general:
Donde .
La La La La ecuación de una circunferenciaecuación de una circunferenciaecuación de una circunferenciaecuación de una circunferencia en su forma
canónica: Si el centro de la circunferencia se
encuentra en el origen, entonces la ecuación de la
circunferencia se define como:
TRANSFORMACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL A LA FORMA ORDINARIA
Comparando con la ecuación
, los valores de las coordenadas del centro y el radio se
definen como:
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CAPITULO 25 Parábola
Ecuación de la parábola con vértice en el origen
Tiene su vértice en el origen y su foco está
sobre el ejeel ejeel ejeel eje se define con la siguiente ecuación
canónica:
Vértice:
Foco:
Directriz:
Lado recto:
Parámetro:
Eje de la parábola:
Son llamadas parábolas horizontales.
Éstas pueden ser cóncavas a la izquierda o derecha
dependiendo del valor de
Si
Si
Ecuación de la parábola con vértice en el origen
Tiene su vértice en el origen y su foco está
sobre el ejeel ejeel ejeel eje se define con la siguiente ecuación
canónica:
Vértice:
Foco:
Directriz:
Lado recto:
Parámetro:
Eje de la parábola:
Son llamadas parábolas verticales.
Éstas pueden ser cóncavas hacia arriba o abajo
dependiendo del valor de
Si
Si
Ecuación de la parábola con vértice en el punto (h,k)
Tiene su vértice en y su foco está
sobre el ejeel ejeel ejeel eje se define con la siguiente
ecuación canónica:
Vértice:
Foco:
Directriz:
Lado recto:
Parámetro:
Eje de la parábola:
Su ecuación Su ecuación Su ecuación Su ecuación general es:general es:general es:general es:
Ecuación de la parábola con vértice en el punto (h,k)
Tiene su vértice en y su foco está
sobre el ejeel ejeel ejeel eje se define con la siguiente
ecuación canónica:
Vértice:
Foco:
Directriz:
Lado recto:
Parámetro:
Eje de la parábola:
Su ecuación general es:Su ecuación general es:Su ecuación general es:Su ecuación general es:
Matemáticas para Arquitectura y Diseño
CAPITULO Elipse
Horizontal
Ecuación canónica:
Vértice:
Foco:
Extremos del eje
menor:
Lado recto:
excentricidad:
Eje mayor
Eje focal
Eje menor
CAPITULO 29 Coordenadas Polares
Entonces la relación entre coordenadas polares y
rectangulares se puede ver de la siguiente manera:
Coordenada
polar
Coordenada
rectangular
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CAPITULO Elipse con centro en el origen
Extremos del eje
Vertical
Ecuación canónica:
Vértice:
Foco:
Extremos del eje
menor
Lado recto:
excentricidad
Eje mayor
Eje focal
Eje menor
Coordenadas Polares
Entonces la relación entre coordenadas polares y
rectangulares se puede ver de la siguiente manera:
Coordenada
rectangular
Distancia entre dos puntos para
y para obtenerla se puede aplicar la ley de los
donde:
El áreaáreaáreaárea del triángulo
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con centro en el origen
Vertical
Vértice:
Foco:
Extremos del eje
menor:
Lado recto:
excentricidad:
Eje mayor
Eje focal
Eje menor
para coordenadas polares
y para obtenerla se puede aplicar la ley de los cosenos, en
del triángulo es::::