35

FÍSICA

37

LOS VECTORES COMO MEDIDA

Y REPRESENTACIÓN DE LA REALIDAD

Nuestra vida se desarrolla generalmente en espacios abiertos o cerrados. En tal sentido identifique en su

habitación vectores en el espacio con sus tres dimensiones ( 𝑥 , 𝑦 𝑧 ).

Vector Etimológicamente, "vector’ 1 es un elemento

"que conduce".

Definición

Geométricamente un vector como un segmento

de recta dirigido que comienza en el origen,

esto es, un segmento de recta con magnitud y

dirección especifica dos con punto inicial en el

origen.

38

Elementos de un

vector

MAGNITUD

Es el valor absoluto o módulo

del vector representado por

[𝐴 ] = 5 𝑚

DIRECCIÓN Es la trayectoria por la cual se

desplaza el vector.

SENTIDO

Es la orientación que lleva el

vector y que está indicada por

una flecha.

PUNTO DE

APLICACIÓN

Es variable en su posición pero

es el punto sobre el cual actúa

el vector.

Igualdad de dos vectores:

Decimos que dos vectores son iguales si y sólo si

tienen la misma dirección y la misma magnitud.

Cantidades vectoriales Son aquellas cantidades que además de

tener "número y especie" (módulo), tienen

dirección, sentido y punto de aplicación.

Cantidades escalares Son las que están plenamente

determinadas por un número y una

unidad. La magnitud escalar también

se llama MODULO.

(20 pies (longitud), 60g (masa), 5

días (tiempo).

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Clasificación de vectores

VECTORES UNITARIOS:

Son aquellos cuyo módulo es igual a 1.

VECTORES CONCURRENTES O ANGULARES:

Son aquellos cuyas líneas de acción pasan por el

mismo punto, es decir, se intersecan.

VECTORES FIJOS:

Son aquellos que determinan la posición de un punto

en el espacio, con respecto a un sistema de ejes

coordenados. 𝑂𝑃 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

VECTORES LIBRES:

Son aquellos vectores que tienen magnitud, dirección y

sentido definido, es decir invariables, pero no tienen

una posición fija en el espacio.

VECTORES PARALELOS:

Están situados en rectas paralelas, pero poseen un

mismo sentido o contrario.

VECTORES COPLANARIOS:

Son aquellos que están en un mismo plano.

40

VECTORES OPUESTOS:

Se caracterizan por tener la misma dirección y

magnitud, pero su sentido es opuesto.

VECTORES COLINEALES:

Sus líneas de acción se encuentran sobre una misma

recta.

Adición y sustracción de vectores por métodos

En Física es común encontrarse una suma de cantidades vectoriales, y aunque podemos recurrir a diversos métodos

como el del triángulo, del polígono o el paralelogramo, es importante tener en cuenta que la forma analítica nos

conducirá a un resultado más exacto.

En el método analítico es posible aplicar el teorema de Pitágoras solamente si los dos vectores

forman un ángulo de 90°, de otra forma tendremos que aplicar la Ley de Cosenos, y si se desea

calcular el ángulo de la resultante es posible también recurrir a la Ley de Senos.

Para realizar la suma analítica, basta con trazar la resultante a partir de sus proyecciones como

vectores deslizantes, de tal manera que:

Estos métodos se basan en la aplicación de fórmulas algebraicas, trigonométricas, geométricas, etc.

Sobre la base de la solución gráfica previamente realizada.

41

Tu aprendizaje guía

Solución:

𝐹𝑥 = √ (∑𝐹𝑥))2

+ (∑𝐹𝑦)2

𝐹𝑥 = √ (−28 .64 )2 + (65 .71 )2

𝑭𝒙 = 𝟕𝟏 . 𝟔𝟖 𝑵

a) Diagrama de cuerpo libre

1. Mary, Melva y Andrew, pretenden

mover la siguiente roca:

c) Sumar las fuerzas en “x”, “y”

b) Crear los triángulos rectángulos. ∑𝐹𝑥 = 10 𝑁 + 40 cos 40° − 80 cos 30°

∑𝐅𝐱 = −𝟐𝟖 . 𝟔𝟒 𝐍

∑𝐹𝑦 = 40 𝑠𝑒𝑛 40° + 80 𝑠𝑒𝑛 30°

∑𝑭𝒚 = 𝟔𝟓 . 𝟕𝟏 𝑵

- Sumatoria de fuerzas en “x”

- Sumatoria de fuerzas “y”

e) Calcular la dirección. d) Calcular la fuerza resultante (Sentido)

𝜽 = 𝑻𝒂𝒏−𝟏 (∑𝑭𝒚∑𝑭𝒙

)

𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1 (65 . 71

−28 . 64)

𝜽 = −𝟔𝟔 . 𝟓𝟎°

El resultado es

(−) 𝑝𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠

𝑚𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 Izquierda a

derecha

42

2. Realice la suma de los siguientes

vectores y encuentre el ángulo de la

dicha suma.

Solución: Si dichos vectores se deslizan

podemos trazar la resultante, de tal forma

que:

𝜱 = 𝟏𝟖𝟎 ° − 𝟑𝟒° = 𝟏𝟒𝟔°

A simple vista podemos calcular el

ángulo Φ, puesto que es un ángulo

complementario con los 34° que forman

parte del vector F1 con la horizontal,

entonces podemos decir que:

Para poder encontrar la resultante,

tendremos que recurrir a la ley de

cosenos.

𝑅 = √352 + 402 − 2(35)(40)Cos 146°

𝑅 = √1225 + 1600 − (−2321 .30 )

𝑅 = √5146.30

𝑅 = 71.73 𝑁

Obtención la raíz cuadrada:

Obteniendo el ángulo de

la resultante:

Para obtener el ángulo de

la resultante “β”.

Aplicamos la Ley de

Senos.

𝐹1

𝑠𝑒𝑛 𝛽=

𝑅

𝑠𝑒𝑛 146°

𝐃𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐫 " 𝐒𝐞𝐧 𝛃 "

𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝐹1𝑠𝑒𝑛 146°

𝑅

𝑠𝑒𝑛 𝛽 = (35𝑁)𝑠𝑒𝑛 146°

71.73 𝑁

𝐃𝐞𝐬𝐩𝐞𝐣𝐚𝐫 " 𝛃 " 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛−1 (0.2728) 𝛽 = 15.83° ∴ 𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑

𝑑𝑒: 71.73 𝑁 𝑦 𝑢𝑛 𝑑𝑒 15.83°

𝑠𝑒𝑛 𝛽 =19.57 𝑁

71.73 𝑁= 0.2728

43

Solución:

Construye tu aprendizaje

Solución:

4. En la siguiente suma de vectores encontrar la

resultante y el ángulo que forma con el eje

horizontal.

3. De acuerdo al siguiente esquema calcular la resultante y la dirección.

44

Solución:

Método del triángulo rectángulo

6. Encuentra el valor de la suma resultante entre los vectores que se ve en la figura, de forma

analítica y gráfica.

El método del triángulo es un método que permite hallar la suma o resultante de

dos vectores. El método consiste en ubicar los vectores uno a continuación del

otro, unidos mediante cabeza y cola, conservando el módulo, dirección y

sentido.

El método del triángulo consiste en ubicar los vectores uno a continuación

del otro, unidos mediante cabeza y cola. El vector resultante se obtiene

uniendo la cola del primero con la cabeza del último.

45

Tu aprendizaje guía.

1. Los vectores �⃗⃗⃗� 𝒚 �⃗⃗⃗� , trazados uno a

continuación del otro, forman un ángulo

de 70°, calcular el módulo del vector

resultante, sabiendo que sus módulos son

de 8 y 10 unidades.

𝜽 = 𝟕𝟎°

|�⃗⃗�| =?

|𝐴| = 10 𝑢

|�⃗⃗�| = 8 𝑢

Solución analítica:

Datos:

𝜶 =?

Para determinar el módulo del vector resultante

aplicar LEY DE COSENOS.

|𝑹 ⃗⃗⃗⃗ | = √|𝑨 ⃗⃗⃗⃗ |𝟐+ |𝑩 ⃗⃗ ⃗⃗ |

𝟐− 𝟐|𝑨 ⃗⃗⃗⃗ |

𝟐|𝑩 ⃗⃗ ⃗⃗ |

𝟐𝐜𝐨𝐬 𝜽

Aplicar la LEY DE SENOS para

determinar la dirección del vector resultante.

𝒔𝒆𝒏 𝜶

|𝑨 ⃗⃗⃗⃗ |=

𝒔𝒆𝒏 𝜷

|𝑩 ⃗⃗ ⃗⃗ |=𝒔𝒆𝒏 𝜽

|𝑹 ⃗⃗⃗⃗ |

=

b) Calcular el módulo del vector.

|𝑅 ⃗⃗⃗⃗ | = √|𝐴 ⃗⃗⃗⃗ |2+ |𝐵 ⃗⃗⃗⃗ |

2− 2|𝐴 ⃗⃗⃗⃗ |

2|𝐵 ⃗⃗⃗⃗ |

2cos𝜃

|𝑅 ⃗⃗⃗⃗ | = √|10|2 + |8|2 − 2 ∗ 10 ∗ 8 ∗ cos 70°

|𝑹 ⃗⃗⃗⃗ | = 𝟏𝟎 . 𝟒𝟓 [𝒖]

Módulo de la resultante.

46

Construya tu aprendizaje

a) Unir el origen del primer vector

con el final del segundo vector.

c) Cálculo de la dirección del vector

resultante con respecto al vector 𝐴

𝒔𝒆𝒏 𝜶

|�⃗⃗⃗�|=

𝒔𝒆𝒏 𝜽

|�⃗⃗⃗�|

𝑠𝑒𝑛 𝛼

8=

𝑠𝑒𝑛 70°

10.45

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 8 ∗ 𝑠𝑒𝑛 70°

10.45

𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 (8 ∗ 𝑠𝑒𝑛 70°

10.45)

𝜶 = 𝟒𝟔°

Despejar " 𝜶 “

2. Los vectores �⃗⃗⃗� 𝒚 �⃗⃗⃗� , trazados uno a continuación del otro, forman un ángulo de 80°,

calcular el módulo del vector resultante, sabiendo que sus módulos son de 10 y 15

unidades.

47

Pon en práctica tu aprendizaje

Método de los senos y cosenos

Ley de Cosenos

1. Dalila desea sacar el clavo de una mesa mediante la acción de dos fuerzas de 50 [𝑁] y 90 [𝑁],

trazando los vectores uno a continuación de otro se forma un ángulo de 170°. Calcular el vector

resultante, la dirección con respecto al vector más chico.

2. Se realizó las medidas de la vivienda que se observa en el imagen son:|𝐴| = 8[𝑚] , |�⃗⃗�| = 3 [𝑚] .

Determinar la dirección y la resultante.

La ley de cosenos y la ley de senos se emplean para determinar la

magnitud y dirección del vector resultante de dos vectores concurrentes,

cuando el ángulo entre ellos es diferente de 90°.

Pero también se puede aplicar este método cuando el ángulo es de 90°.

La magnitud del vector

resultante �⃗⃗� se puede

determinar por la ley de

cosenos, al cual establece:

“El cuadrado de un lado es igual a la suma de los

cuadrados de los otros dos, menos el doble del

producto de dichos lados por el coseno del ángulo

opuesto al de el primer lado.”

�⃗⃗⃗�𝟐 = �⃗⃗⃗�𝟐 + �⃗⃗�𝟐 − 𝟐�⃗⃗⃗��⃗⃗� ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜷

�⃗⃗⃗�𝟐 = �⃗⃗⃗�𝟐 + �⃗⃗�𝟐 − 𝟐�⃗⃗⃗��⃗⃗� ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜶

�⃗⃗�𝟐 = �⃗⃗⃗�𝟐 + �⃗⃗⃗�𝟐 − 𝟐�⃗⃗⃗��⃗⃗⃗� ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽

48

Ley de Senos

“En todo triángulo los lados son

directamente proporcionales a los senos

de los ángulos opuestos.” La dirección del vector

resultante se puede

determinar mediante la ley

de senos, la cual establece:

�⃗⃗⃗�

𝒔𝒆𝒏 𝜷=

�⃗⃗⃗�

𝒔𝒆𝒏 𝜶=

�⃗⃗�

𝒔𝒆𝒏 𝜽

1. Aplicando la Ley de senos, calcular

el valor de cada variable.

𝜽 + 𝟔𝟎° + 𝟒𝟎° = 𝟏𝟖𝟎°

𝜽 + 𝟏𝟖𝟎° − 𝟔𝟎° − 𝟒𝟎° = 𝟖𝟎°

𝟏𝟎 𝒎

𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟎°=

𝒃

𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎°=

𝒄

𝒔𝒆𝒏 𝟖𝟎°

Solución:

a) Analizando los ángulos

internos tenemos:

b) Aplicando el teorema de los

senos tenemos:

𝒃

𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎°=

𝟏𝟎 𝒎

𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟎°

𝒃 = 𝟏𝟎 𝒎 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎°

𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟎 → 𝒃 = 𝟏𝟑. 𝟒𝟕 [𝒎]

𝒄

𝒔𝒆𝒏 𝟖𝟎°=

𝟏𝟎 𝒎

𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟎°

𝒄 = 𝟏𝟎 𝒎 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝟎°

𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟎 → 𝒄 = 𝟏𝟓. 𝟑𝟐 [𝒎]

c) Considerando solo dos miembros:

d) Para determinar “c”

49

Construye tu aprendizaje

2. Aplicando la Ley de Cosenos,

calcular el valor de cada variable.

𝑥2 = (6 𝑚)2 + (8 𝑚)2 − 2 ∗ 6𝑚 ∗ 8𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠27°

𝒙 = 𝟑. 𝟖𝟎 [𝒎]

(8𝑚)2 = (6 𝑚)2 + (3.80 𝑚)2 − 2 ∗ 6𝑚 ∗ 3.80𝑚 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃

Solución:

a) Aplicando la ley de cosenos tenemos:

𝑥2 = 36 𝑚2 + 64 𝑚2 − 96 𝑚2 ∗ 𝑐𝑜𝑠27° 𝑥 = √100 𝑚2 − 96 𝑚2 ∗ 𝑐𝑜𝑠27°

b) Teniendo el valor de “x”, nuevamente aplicar el teorema:

64 𝑚2 = 36 𝑚2 + 14.44 𝑚2 − 45.6 𝑚2 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃

45.6 𝑚2 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 50.44 𝑚2 − 64 𝑚2

𝑐𝑜𝑠𝜃 = −9.56 𝑚2

45.6 𝑚2

𝑐𝑜𝑠𝜃 = −0.21

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (−0.21) → 𝜽 = 𝟏𝟎𝟐 °

𝛼 + 27° + 102° = 180° → 𝛼 = 180° − 27° − 102° = 51°

1. Aplicando la Ley de Senos, calcular el valor de cada variable.

Solución:

a) Analizando los ángulos internos tenemos:

50

Método por descomposición en sus componentes en un eje de

Tú guía de aprendizaje.

1. Sumar los siguientes vectores por el método de componente rectangular.

2. Aplicando la Ley de cosenos,

calcular el valor de cada variable.

Solución:

a) Aplicando la ley de cosenos tenemos:

Un vector puede descomponerse en una suma de dos vectores que forman

entre si un ángulo de 90°. Esta operación se denomina descomposición

rectangular del vector, para determinar las componentes del vector se

utilizan el método gráfico y el analítico.

51

a) Calcular cada componente, aplicando la trigonometría.

𝐴𝑥 = 7 𝑁 𝐶𝑜𝑠 37° = 5.59 𝑁

𝐴𝑦 = 7𝑁 𝑆𝑒𝑛 37° = 4.21 𝑁

𝐵𝑥 = −9 𝑁 𝐶𝑜𝑠 60° = − 4.5 𝑁 𝐵𝑦 = 9 𝑁 𝑆𝑒𝑛 60° = 7. 79 𝑁

𝐶𝑥 = 10 𝑁 𝐶𝑜𝑠 25° = 9. 06 𝑁

𝐶𝑦 = −10 𝑁 𝑆𝑒𝑛 25° = −4. 23 𝑁

b) Sumar las fuerzas

𝐹𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥

𝐹𝑥 = 5. 59 𝑁 + ( − 4.5 𝑁 ) + 9. 06 𝑁

𝑭𝒙 = 𝟏𝟎. 𝟎𝟗 [𝑵]

c) Calcular la resultante por TEOREMA DE PITÁGORAS.

Construye tu aprendizaje

𝐹𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦

𝐹𝑦 = 4. 21 𝑁 + 7. 79 𝑁

+ ( − 4. 23 𝑁 )

𝑭 = 𝟕. 𝟕𝟕 [𝑵]

𝑅 = (𝑅𝑥)2 + (𝑅𝑦)

2

𝑅 = (10. 09 𝑁) 2 + (7.77 𝑁)2

𝑹 = 𝟏𝟐. 𝟕𝟒 [𝑵]

𝑡𝑎𝑛 𝛽 = 7. 7710. 0

𝛽 = 𝑡𝑎𝑛−1 7. 7710. 0

d) Calcular la dirección:

𝜷 = 𝟑𝟕. 𝟔𝟎 °

52

Analiza para resolver los siguientes problemas: 1. Tres vectores ejercen una fuerza determinada (como se observa en el esquema), calcular la

fuerza resultante y la dirección.

2. Cuatro vectores ejercen una fuerza determinada

(como se observa en el esquema), calcular la fuerza

resultante y la dirección.

53

Vectores unitarios

2. Sumar los siguientes vectores. Calcular la fuerza resultante y la dirección.

Son vectores que tienen de módulo la unidad. Para un sistema de

coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio, definimos un vector unitario

en cada eje, cuyas direcciones y sentidos coinciden con las direcciones y

sentidos del lado positivo de cada eje.

A los vectores unitarios se los denota por: 𝑖 . 𝑗,𝑘

Un vector unitario se

denota por 𝒖.

El modo de obtener un

vector unitario es

dividiendo el vector entre

su módulo.

𝐮𝐚 = �⃗⃗�

�⃗⃗�

54

a) Un vector en el espacio:

El giro a la derecha indica sentido

positivo.

𝒆𝒋𝒆 𝒙 → 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐𝒓 𝒊 𝒆𝒋𝒆 𝒚 → 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐𝒓 𝒋 𝒆𝒋𝒆 𝒛 → 𝒗𝒆𝒓𝒔𝒐𝒓 𝒌

Versar = Vector unitario

Expresión de vectores en función de

versores:

a) Un VECTOR en el plano.

�⃗⃗⃗� = 𝑨𝒙 + 𝑨𝒚 (Expresión vectorial)

�⃗⃗⃗� = 𝑨𝒙𝒊 + 𝑨𝒚𝒋 (Expresión en versores)

𝑬𝒍 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆𝒍 �⃗⃗⃗� 𝒆𝒔:

|𝐴 | = √(𝐴𝑥)2 + (𝐴𝑦)2

𝑫𝒊𝒓𝒆𝒔𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐:

𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝐴𝑦

𝐴𝑥)

�⃗⃗⃗� = 𝑪𝒙 + 𝑪𝒚 + 𝑪𝒛 (Vectorialmente)

�⃗⃗⃗� = 𝑪𝒙𝒊 + 𝑪𝒚𝒋 + 𝑪𝒛𝒌 (Versores en el espacio.)

𝑺𝒖 𝒎ó𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒔:

|𝐶 | = √(𝐶𝑥)2 + (𝐶𝑦)

2 + (𝐶𝑧)2

55

Tú guía aprendizaje.

Construye tu aprendizaje

1. De la siguiente figura determinar la magnitud del ( 𝑨 ⃗⃗⃗⃗ )

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = 3𝑖 + 4 𝑗

|𝐴 ⃗⃗⃗⃗ | = √32 + 42

|𝐴 ⃗⃗⃗⃗ | = √9 + 16

|𝐴 ⃗⃗⃗⃗ | = √25

|𝑨 ⃗⃗⃗⃗ | = 𝟓[𝒖]

Solución:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = 3 𝑖 + 4 𝑗

𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑖 + 16 𝑗

2. A partir de dos vectores unitarios, determinar el vector

resultante, la magnitud y la dirección.

𝑅 ⃗⃗⃗⃗ = ( 3 𝑖 + 4 𝑗 ) + ( 2 𝑖 − 16 𝑗 )

𝑹 ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝟓 𝒊 + 𝟏𝟐 𝒋

|𝑅 ⃗⃗⃗⃗ | = √52 + (−12 )2

|𝑅 ⃗⃗⃗⃗ | = √25 + 144

|𝑹 ⃗⃗ ⃗⃗ | = 𝟏𝟑[𝒖]

𝜃 = 𝑇𝑎𝑛 −1 (−12

5)

𝜽 = −𝟔𝟕 .𝟑𝟖°

Solución:

a) Calcular 𝑹 ⃗⃗ ⃗⃗

b) Calcular la magnitud del vector 𝑹 ⃗⃗ ⃗⃗

Por Teorema de Pitágoras.

c) Calcular la dirección del vector 𝑹 ⃗⃗ ⃗⃗

56

1. De la siguiente figura determinar la magnitud del ( 𝑨 ⃗⃗⃗⃗ )

2. A partir de dos vectores unitarios, determinar el vector resultante, la

magnitud y la dirección.

𝑨 ⃗⃗⃗⃗ = 𝟔 𝒊 + 𝟖 𝒋

𝑩 ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝟒 𝒊 + 𝟐𝟎 𝒋

Contrasta tu aprendizaje

¿Qué importancia tiene el uso de los vectores en la vida cotidiana? Justifique su respuesta y

de un ejemplo

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……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

¿En la construcción de una vivienda se utilizan los vectores? Justifique su respuesta y

de un ejemplo

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

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Problemas propuestos para su aplicación

2. Sumar los siguientes vectores y calcular la fuerza resultante y la dirección

1. Dos vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ , forman entre si un ángulo de 60° , el vector 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = 80 [𝑢] 𝑦 𝑅 ⃗⃗⃗⃗ =

330[𝑢 ] , determinar el valor de 𝑠𝑒𝑛 𝛽.

Indique a que se le denomina vectores unitarios.

………………………………………………………………………………………………………

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