INTRODUCCIÓN

La estática de fluidos estudia los gases y los líquidos en equilibrio o reposo. A diferencia de los líquidos, los gases tienen la cualidad de comprimirse, por lo tanto el estudio de ambos fluidos presentan algunas características diferentes; el estudio de los fluidos líquidos se llama hidrostática y el estudio de los gases se llama aerostática. Por tener un movimiento uniforme en sus planos adyacentes la estática de fluidos no tiene movimiento relativo u otras fuerzas que traten de deformarlo. El esfuerzo normal es la fuerza que actúa de forma perpendicular al cuerpo.

La estática de fluidos se utiliza para calcular las fuerzas que actúan sobre cuerpos flotantes o sumergidos. Es utilizada como principio de construcción de muchas obras de ingeniería, como presas, túneles submarinos, entre otros.

Agradecimientos

En primer lugar agradecemos a Dios por darnos la vida, de igual manera a nuestros padres por confiar en nosotros.En segundo lugar al Mg. TC. Ing. Loayza Rivas Carlos Adolfo , docente de la Universidad Señor de Sipán de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil, por su esmero en la enseñanza a sus alumnos y por ser la guía durante el desarrollo del informe; ya que gracias a ello hemos podido aprender y enriquecer nuestros conocimientos sobre la mecánica de fluidos.También a los integrantes del grupo, ya que con sus aportes se logró desarrollar el tema

JUSTIFICACIÓN

En el presente trabajo es de vital importancia en el estudio de la estática de fluidos, ya que estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática.

Desde el punto de vista de la ingeniería Civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua.

Dentro de este tema a sustentar plasmaremos lo relacionado con las fuerzas de presión sobre superficies planas. Esperando así cumplir con las expectativas de nuestro docente, y lograr contribuir al incremento en nuestro saber científico.

ESTATICA DE LOS FLUIDOS:

I. CONCEPTO:

La estática de los fluidos se refiere a un estudio de las condiciones en las que permanece en reposo una partícula fluida o un cuerpo.

Se distinguen dos tipos de fuerzas que pueden actuar sobre los cuerpos, ya sea en reposo o en movimiento: Las fuerzas másicas y las fuerzas superficiales.

Las fuerzas másicas incluyen todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el material en cuestión sin contacto directo, ejemplo la gravedad.

Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre su contorno, por su proximidad, por contacto directo; es por esto una acción de contorno o superficial, ejemplo las fuerzas de presión, de fricción, etc.

En mecánica de fluidos se usan las fuerzas relativas con las masas o áreas, así:

F I=ma→F I

m=a

ÓFG=mg→

FG

m=g

FP=pAN →FP

AN

=pÓF T =τA T →

FT

A T

=τ

I. Fuerzas Ejercida Por Un Liquido Sobre Un Área Plana

La fuerza P ejercida por un líquido sobre un área palana A es igual ala producto del peso específico (ϒ) del liquido por la profundidad (hcg) del centro de gravedad de la superficie y por el área de la misma es:

P=whG gA

Siendo las unidades:kg /m3

1. Fuerza Hidrostática sobre una Superficie Plana

Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana sumergida “A” forme un ángulo “α” con el plano piezométrico.

Determinación de la Fuerza (F)

- La fuerza elemental dF debida a la presión sobre el elemento dA es:

dF=p .dA ; Pero p=γh

dF=γ hdA ; Además: h= ysenα

Luego: dF=γ ysen α dA . .. . .. .. . .. .. . .. .(1)

- Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza resultante F, debida a la presión será:

, sustituyendo (1)

⇒F=∫ γ ysen α dA

F=γ sen α∫ ydA . .. .. . .. .. . .. ..(2 )

Por definición de centro de gravedad: ∫ ydA=YG A………….. (3).

Donde: ∫ ydA= momento del área con respecto al eje X

YG= Ordenada del centro de gravedad

A= Área total de la superficie plana sumergida

(3) en (2): F=γ sen αYG A …………. (4); pero YG sen α=hG

⇒F=γhG A .. . .. .. . .. .. . .. .(α )

Es decir:

“La fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida, es igual a la presión relativa al centro de gravedad, multiplicada por el área”.

b) Determinación del Centro de Presiones

- La línea de acción de la fuerza resultante “F” corta a la superficie en un punto que se llama centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (sólo en las superficies horizontales coinciden, porque (Yg=Yp)

Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema de los momentos (Teorema de Varignon): “El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes”

Cálculo de Yp

Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje “X”, se tiene:

MR=∫ dF∗y ; Pero MR=F∗y p . Donde:

MR= Momento de la resultante

∫ dF∗y=Momento de las componentes

⇒F∗ y p=∫ y∗dF .. . .. .. . .. .. . .. .(5)

De (1) dF=γ ysen α dA

(1) y (4) en (5): (γ senαyG A ) y p=∫ y (γ ysenα dA )

Y p=∫ y2dA

yG A

Donde: ∫ y2 dA=I x=momento de inercia de la superficie “A”, respecto al eje “x”.

⇒ En (6): Y p=

I xyG . A

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .(7 )

Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales, paralelos a los ejes “x” e “y”.

Para ello aplicamos el teorema de Steiner

Respecto al eje x :

I x=I x+AYG2 .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .(8)

(8) en (7):

Y p=I x+AYG

2

Y G A

Y p=I x

YG A+

AYG2

YG A

Y p=I x

YG A+YG

Y p=YG+I x

YG A. .. . ..( β )

Donde:

I x

YG A>0

Es decir:

El centro de presiones está debajo del centro de gravedad, excepto en las superficies

horizontales que coinciden (Y p=YG )

b.2: Cálculo de Xp

Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y:

MR=∫ dF∗x ; Pero MR=F∗X p

⇒F∗X p=∫ x∗dF……………( 9)

(1) y (4) en (9):

(γ senαY G A )X p=∫ x ( γ ysenα dA )

X p=∫ xydA

Y G A……………(10 )

Dónde: ∫ xydA=I xy

Producto de inercia de la superficie “A”, respecto a los ejes “x” e “y”.

⇒ en (10): X p=

I xy

YG A…………(11)

.

Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidalesx e y , se tiene:

I xy=I xy+XGYG A…………(12)

(12) en (11): X p=

I xy+XGY G A

YG A

X p=I xyYG A

+XGY G A

Y G A

X p=I xyYG A

+XG

X p=XG+ I xyYG A

…………(γ )

El valor I xy puede ser positivo o negativo de modo que el “Cp” puede encontrarse a uno u otro lado de de G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetría para que I xy=φ , en cuyo caso:

X p=XG

Comentario: Por lo general las situaciones de interés se relacionan con superficies planas que tienen uno o dos ejes de simetría, de modo que sólo se trata de determinar el valor de “Yp”.

2. Componentes de la Fuerza Hidrostática de una Superficie Plana Inclinada:

Fh=Fsen α

Fh=γhGSsenα

Fh=γhGSv

FV=F cos α

FV=γhGS cosα

FV=γhGSh

Siendo: FV=γhGSh

Luego:

“Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una superficie inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha superficie sobre planos perpendiculares a dichas componentes”.

3. FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS SUMERGIDAS

La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de ser dF perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente.Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la superficie.

FH=pG Sv

FV=pGSh

FV=γ∀

COMPONENTES DE LA FUERZA

Si se tiene la superficie mostrada en la figura.

La fuerza de presión en este caso está dada por:

dF= PdA

La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial:

FR=∫A

❑

P .dA

Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes:

FR=FRx i+F Ry j+FRz k

Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z respectivamente.Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:

FRx=∫A

❑

P .cosθx . dA=¿∫A

❑

P .dAx¿

FRy=∫A

❑

P .cosθy . dA=¿∫A

❑

P .dA y ¿

FRz=∫A

❑

P .cosθz . dA=¿∫A

❑

P .dA z ¿

DONDE:

θx , θ y , θ z Son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k respectivamente. Por lo tanto dAx,, dAy y dAz son las proyecciones del elemento dA sobre los planos perpendiculares a los ejes x, y, y z respectivamente.

Aquí se pueden diferenciar dos casos:

• Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual a la suma vectorial de las fuerzas de presión ejercidas sobre la proyección de la superficie curva en los planos verticales.

• La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso del líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha superficie hasta la superficie libre.

Esto ya que si analizamos la expresión para la fuerza vertical y tomando en cuenta que:

P=γ . h

Obtenemos lo siguiente:

FRz=∫A

❑

P .cosθz . dA=¿ γ∫A

❑

h .cos θz . dA=γ∫∀

❑

d ∀ ¿

LÍNEA DE ACCIÓN DE LA FUERZA:

Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar las líneas de acción de cada componente, utilizando el mismo criterio que para las superficies planas. Es decir la sumatoria de momentos de cada componente de la fuerza resultante debe ser igual al momento de la fuerza distribuida, respecto al mismo eje.

Así se tiene:

x ´= 1FRy+FRz

∫A

❑

xP (dA y+dA z)

y ´= 1FRx+F Rz

∫A

❑

yP(dAx+dA z)

z ´= 1FRx+FRy

∫A

❑

zP(dAx+dA y)

3.1 CASO DE SUPERFICIE CON CURVATURA EN DOS DIMENSIONES

Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso de una superficie curva en dos dimensiones. Es decir una superficie curva con ancho constante en la dirección x. Por lo tanto no existirán fuerzas hidrostáticas en esa dirección.

La figura muestra un corte de la superficie con un plano yz.

En este caso las componentes de la fuerza se expresan:

FRy=∫A

❑

P .cosθy . dA=¿∫A

❑

P .dA y ¿

FRz=∫A

❑

P .cosθz . dA=¿∫A

❑

P .dA z ¿

Y la línea de acción se obtiene con las expresiones:

y ´= 1FRz

∫Az

❑

yP .dA z

z ´= 1FRy

∫Ay

❑

zP .dA y=¿ 1∀∫∀

❑

x .d ∀ ¿

Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura constante) es conveniente expresar el dA en función del ángulo de barrido en la circunferencia, es decir:

dA=W . R .dθ

Donde:

R: radio del cilindroW: ancho de la superficieθ: ángulo de barrido de la circunferencia.De esta forma se puede utilizarθcomo variable de integración, quedando la fuerza expresada de la siguiente forma:

FRI=∫A

❑

P .cosθ .dA=¿∫θ1

θ2

P .cosθ .W .R .dθ ¿

Donde θes el ángulo entre el vector dA y el vector unitario de la dirección l.

FUERZAVERTICAL

La fuerza vertical sobre cada una de las superficies planas horizontales es igual al peso del

líquido sobre ella. Si hacemos que el ancho de las superficies planas sea muy pequeño,

podemos llegar a tener la superficie curva y la fuerza vertical termina siendo igual al peso

del líquido entre la superficie sólida y la superficie libre del líquido:

FUERZA HORIZONTAL

La fuerza horizontal sobre cada una de las superficies planas verticales ya fue determinada.

Independientemente si la superficie es curva o plana, la fuerza horizontal es igual a la

fuerza de presión que actúa sobre la proyección de la superficie curva sobre un plano

vertical, perpendicular a la dirección de la fuerza.

Esta fuerza puede calcularse mediante el prisma de presiones o usando F=PCG x A

FUERZAS DEBIDO A LA PRESIÓN DE LÍQUIDOS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

¿Cuál es la fuerza sobre una superficie curva si el líquido está por debajo?

La situación es la misma que para el caso de superficies planas.

La fuerza vertical es igual al peso del fluido que existiría entre la superficie curva y la

horizontal definida por la superficie del líquido.

PROBLEMA1.-Determinar y ubicar las componentes de la fuerza que ejerce el agua por

metro delongitud sobre la compuerta que se muestra en la figura, si el radio de la misma es

de 2 m:

La fuerza horizontal será igual al valor que ejerce el agua sobre la proyección vertical de la

superficie, es decir, sobre una pared vertical de 2 m de altura, por lo tanto, la fuerza

horizontal será:

FH=γ hCM A=1000kgf /m3 x1mx1.2m2=2000 kgf

En donde hemos tenido en cuenta que el centro de gravedad de la pared vertical imaginaria está en su punto medio, y por lo tanto, a una altura de 1 m y que la longitud de la compuerta es 1 m, ya que, el problema nos dice que hagamos el cálculo por metro de longitud.

En cuanto al punto de aplicación de dicha fuerza, será el mismo que el que tendría la pared

vertical imaginaria sobre la que calculamos el apartado anterior, es decir:

Y P=Y CG+I x

Y CG A=1m+

1mx (2m)3

121mx 2m x1m

→1m+ 0.667m4

2m3 =1.33m

La componente vertical de la fuerza será igual al pesodel volumen de agua que existe encima de la superficie, es decir:

FV=γπR2

4L=1000

kgfm3 x π m2 x 1m=3141kgf

La componente vertical de la fuerza está sobre la vertical del centro de gravedad de la superficie, teniendo en cuenta lo que se expone en la tabla de los centros de gravedad:

CG=4 R3π

=0.85m.

El esquema de las fuerzas que actúan sobre la compuerta será el siguiente:

PROBLEMA2 .- El cilindro representado en la figura tiene un peso de 250 kg y tiene una longitud de 1 m. Se vierte agua y aceite en las partes izquierda y derecha hasta unas alturas de 0,6m y 1,2 m respectivamente. Halla las componentes de la fuerza que mantiene al cilindro fijo en el punto Bsabiendo que la densidad relativa del aceite es 0,89.gr/cm3

Para determinar las reacciones que mantienen fijo al cilindro, tendremos que calcular las fuerzas que sufre el cilindro.

Por un lado, tendremos la fuerza que ejerce el aceite situado en la parte izquierda del depósito, esta fuerza tendrá dos componentes, por un lado, una componente horizontal que será igual a la fuerza que ejercería el aceite del depósito sobre la proyección vertical de la superficie alcanzada por el fluido, esto es, sería la fuerza que ejerce el aceite sobre una pared de 0,6 m de altura, es decir:

FH=γ hCG A

Tendremos en cuenta que la altura a la que se encuentra el centro de masas es justamente la mitad de la altura total de la pared, es decir, 0,3 m, por lo tanto la fuerza horizontal será igual a:

FH=γ hCG A=0.89 x1000kgf

m3x0.3 x (1mx 0.6m )=160.2kgf

Por otro lado, la componente vertical de la fuerza será igual al peso, real o imaginario que tiene encima la superficie:

FV=γAL

El área que hay que calcular es A1, que es el área imaginaria de fluido que se encuentra encima de la superficie, para calcular A1 tendremos en cuenta las siguientes consideraciones:

A 14circunf .

=A1+A2+A3

A1=A 14circunf .

−A2−A3=π R2

4−bh

2−

α (rad )R2

2

Tendremos en cuenta que la altura del triángulo h es 0,6 m, y la base la podemos hallar por

Pitágoras, sabiendo que la hipotenusa es el radio de la circunferencia:

b=√¿¿

Por otro lado, necesitamos saber cuánto vale el ángulo en radianes que en la figura se denota por α y que es necesario para calcular el área 3 correspondiente al sector circular:

tan β=1.0390.6

=60 °→α=30 °=π6rad .

Ya contamos con todos los datos para poder calcular el área deseada:

A1=π R2

4−bh

2−

α (rad )R2

2=

π x (1.2m)2

4−1.039mx 0.6m

2− π

6x ¿¿

Y a partir de aquí, ya podemos calcular la componente vertical de la fuerza como:

FV=γAL=890kgf

m3x 0.422m2 x1m=375.58kgf

Ahora calcularemos la fuerza que ejerce el agua situada en el depósito de la derecha sobre el cilindro, sabemos que, al igual que en el caso anterior, vamos a tener dos componentes

para la fuerza, una componente horizontal igual a la fuerza que ejercería el agua sobre la proyección vertical de la pared, es decir sobre una pared de 1,2 m de agua, ya que el agua llega justo hasta la mitad del cilindro:

FH=γ hCG A=1000kgf

m3x 0.6mx (1mx1.2m )=720kgf

La componente vertical de la fuerza la calcularemos de igual manera que en el caso anterior, pero ahora, tendremos en cuenta que el agua situada sobre la superficie es la que corresponde a un área transversal determinada por un cuarto de circunferencia, por lo que la componente horizontal de la fuerza será igual a:

FV=γAL=γπR2

4L=1000

kgfm2 x

π x (1.2m)2

4x 1m=1130.96kgf =1131kgf

El esquema para la totalidad del cilindro será el siguiente.

La fuerza horizontal total será:

FHtot=720kgf−160.2kgf =559.8kgf dirigidos hacia laizquierda

La fuerza vertical total será:

FVtot=1131kg+375.58kgf−250 kgf=1256.58kgf dirigidos hacia arriba

En donde hemos tenido en cuenta 250 kgfhacia abajo correspondientes al peso del cilindro, por lo tanto las reacciones en el punto de apoyo serán iguales y de signo contrario a las fuerzas calculadas.

PROBLEMA3 .- Se tiene un cilindro de 2 m de diámetro, el cilindro tiene un peso de 2500 kg y tiene una longitud de 1.50 m.Determinar las reacciones en A y B despreciando el rozamiento.

DATOS

d = 2.0 m

r = 1.0 m

l = 1.50 m

ρr = 0.800

PRESIÓN = (FUERZA)/ (ÁREA)

FUERZA = (PRESIÓN) x (ÁREA)

SOLUCIÓN 1. Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la gráfica:

2. Analizando las componentes tanto horizontales como verticales:

a) La componente horizontal

FH = ɣ h A

FH = (800 kg/m3) x (1.0 m) x (2.0 m x 1.50 m)

FH = 2400 kg (hacia la derecha)

Entonces la reacción en A seria

RA = 2400 kg (hacia la izquierda)

b) La componente vertical

(Hacia arriba) Fv = 800 kg/m3 x 1.5 m x [ÁREA (DOB) + ÁREA (DOCE)]

(Hacia arriba) Fv = 800 kg/m3 x 1.5 m x [(π (1)2/4) m2 + (1.0 x 1.0) m2]

(Hacia arriba) Fv = 2142.47 kg

(Hacia abajo) Fv = 800 kg/m3 x 1.5 m x [ÁREA (DEC)]

(Hacia abajo) Fv = 800 kg/m3 x 1.5 m x [ÁREA (DOCE) – (ÁREA DOC)]

(Hacia abajo) Fv = 800 kg/m3 x 1.5 m x [(1.0 x 1.0) m2 – (π (1)2/4) m2]

(Hacia abajo) Fv = 257.52 kg

c) La componente vertical neta

Fv neta = (Hacia arriba) Fv – (Hacia abajo) Fv

Fv neta = 2142.47 kg – 257.52 kg

Fv neta = 1884.95 kg (hacia arriba)

Sumatoria de fuerzas verticales

ΣFv = 0

2500 kg -1884.95 kg - RB= 0

RB = 615.05 kg

Entonces la reacción en B es 615.05 kg

PROBLEMA4

Calcula FH ,FV , y FRpor metro de ancho debido a la acción del agua sobre el muro de retención parabólico que se muestra en la figura. El vértice de la parábola se encuentra en el punto A y es simétrica respecto al eje y.

SOLUCION:

La fuerza vertical es igual al peso del volumen del liquido sobre la superficie curva el cual es igual al área entre la superficie curva, la superficie del agua y el eje y multiplicada por el ancho y por el peso especifico del liquido.

La ecuación de la parábola puede expresarse como:

y=k x2

Esta se debe satisfacer para el punto B, de coordenas (2.50 , 3.00) ; es decir:

3.0=k ×2.502→k= 3.0

2.502=0.48

de donde la ecuación de la parábola es:

y=0.48x2

Luego el área descrita anteriormente se puede calcular de la siguiente manera:

dA=x dy

dA=√ y0.48

dy

A=∫0

3

( y0.48 )

12 dy

A= 1

(0.48 )12

∫0

3

y12dy

A=1

(0.48)1/2 ×[ 2 y3/2

3 ]0

3

A= 1(0.48)1/2 ×[ 2×33 /2

3 ]A=5.00m2

Por lo tanto la fuerza vertical será:

F v=γ∀

FV=1000Kgf

m3 ×1m×5m2

La Fuerza horizontal es igual a la fuerza que actúa sobre la proyección vertical de la superficie; es decir:

FH=γ . hCG . Aproy .

FH=1000Kgf

m3 ×1.5m×(3×1)m2

Luego la Fuerza resultante será:

FR=√( 5000Kg f )2+( 4500Kg f )

2

FV=5000 Kgf

FH=4500 Kgf

FR=6726.81Kg f

PROBLEMA 5

1.- para una compuerta de radial de la figura.

-Compuerta de ancho 2m

a) determinar la componente horizontal de la fuerza ejercida por el agua y su dirección.

b) determinar la componente vertical de la fuerza ejercida por el agua y su dirección.

Solución:

Se considera un volumen del fluido imaginario:

a .−¿

a. Determinamos la fuerza hidrostática horizontal por medio de la formula

FH=P .CG x A proy=ρ .g .hCG. Aproy

Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos:

¿1000kg

m3x 9.81

m

s2x 4 mx2.2m2

¿156.95 x1000 xkm

s2

¿156.96 KN

Hallamos la ubicación del centro de presiones

Y P=Y CG+I x

Y CG . A

¿4 m+

2mx (2m )3

124mx 2mx2m

→4 m+ 1.333m4

16m3 =4.083m

¿ yp=hp−3m=1.083m

La componente vertical de la fuerza será igual al pesodel volumen de agua que existe encima de la superficie, es decir:

b .−FV =(V 1+V 2 ) ρg

Remplazamos el volumen imaginativo del área proyectada + el volumen del área proyectada de la compuerta tenemos

¿(3mx2m x2m+ πR2

4x 2m)x 1000kg

x9.81ms2

¿(3mx2m x2m+ π x2m2

4x2m) x1000kg x

9.81ms2

¿18.283 x1000 x 9.81kgm

s2

¿179.356 KN

xG=A1 x1 +A2 x2

A1+¿ A2¿

xG=A1 x1 +A2 x2

A1+¿A2¿

xG=0.948m