FUNCION DE GREEN

Un resultado bastante relevante a partir de la fórmula de Green es la derivación de la función de Green, la cual relaciona el término no homogéneo de la ecuación no homogénea y la solución correspondiente a la ecuación homogénea. Para esto supóngase que se tiene un sistema lineal de ecuaciones diferenciales no homogénea

(1.1)

si nosotros tenemos que se cumple

 

     (1.2)

 

entonces

(1.3)

si nosotros consideramos el sistema auto-adjunto referido en la pag ( ),

(1.4)

entonces se tiene que

(1.5)

de donde se desprende que

 

 

y usando lo anteriormente dicho se tiene

 

     (1.6)

 

De la condición (a) se puede implicar lo siguiente

cuya ecuación checa con la mencionada anteriormente, ecu. (VI.1.9) y muestra que G es la solución al sistema de ecuaciones diferenciales homogéneo.

(1.7)

Resolviendo el problema de Sturm-Liouville y aplicando los valores a la frontera se tiene

 

     (1.8)

 

en donde además se cumplen las siguientes propiedades para la función de Green

 

     (1.9)

 

Como se mencionó en los primeros capítulos, la conveniencia de tomar como una matriz, depende del aprovechamiento de todo el aparato matricial, esto es reflejado precisamente en la forma que deberá tomar . Proceder a tomar Z como una matriz de un cierto número de vectores columnas, ofrece una gran flexibilidad considerando un conjunto de condiciones, y no el aspecto restringido de haber tomado un vector fijo. Ahora bien, imponiendo las condiciones a la frontera respectivas

0  

0  

cuando y son matrices de y columnas

Por lo tanto, el problema de Sturm-Liouville se reduce al siguiente par de ecuaciones

0  

     (1.10)

0  

Se puede formar una ecuación matricial con estos sistemas de ecuaciones, los cuales quedan en la siguiente forma

(1.11)

para invertir la primer matriz izquierda se va a considerar lo siguiente

Lo que implica que la matriz inversa queda como

(1.12)

Finalmente aplicando la matriz inversa a la ecuación (VI.2.11) se tiene

 

     (1.13)

    

Cuando son cumplidas las siguientes proposiciones:

y

Figura (VI.2.1) cambiando límites y agrupando, se tiene

(1.14)

Entonces Z(t) queda expresado finalmente como

(1.15)

cuando r (t, ) es definido como

(1.16)

es la versión matricial de la función de Green para el problema de valores a la frontera y la cual sirve como el Kernel para la ecuación integral de tipo Fredholm, al respecto volveremos en un capítulo posterior con más de talle. Definiendo en términos de operadores proyectores

 

     (1.17)

 

se tienen las siguientes propiedades

(1.18)

Si tomamos en cuenta las propiedades (VI.2.9) la ecuación anterior se reduce a p . En resumen si se considera el mismo procedimiento para otras combinaciones, se tiene por conclusión las siguientes propiedades.

(1.19)

dando como resultado un par de operadores de proyección idempotentes y ortogonales.

Estas propiedades de los operadores ofrecen otra propiedad adicional con su suma. El resultado es obtenido por la observación directa a la derivación de la ecuación (VI.2.12), la cual quiere decir que

(1.20)

en donde

Finalmente de (VI.2.20) y considerando la definición de los operadores proyección se tiene

(1.21)

Una consecuencia importante de los operadores relacionados con la propiedad de composición (VI.2.9), es la relación que se tiene del tipo Sturm-Liouville y tipo Volterra

(1.22)

Lo cual significa que la función de Green del problema de Sturm-Liouville, es el producto de la función de Green para el

problema de valores iniciales (tipo volterra), por un operador de proyección con respecto a una matriz métrica con la siguiente forma

(1.23)

Otra consecuencia relevante es que la ecuación (VI.2.21) da la condición necesaria en verificar que la solución expresada en términos de la matriz de Green da una solución a la ecuación diferencial no-homogénea observando también la descontinuidad de

la matriz de Green que existe en . La comparación puede ser hecha para el caso de función de Green en su forma escalar, la cual tiene su descontinuidad en el orden de la derivada. (ver Courant-Hilbert [6] ). Algunas simplificaciones o resultados

adicionales pueden ser obtenidos a partir de algunas propiedades. La fórmula de Green y la invarianza de la forma

bilinealantisimétrica pueden ser usadas entre otras. Si resuelve la ecuación y la ecuación adjunta perteneciendo ambas al mismo eigenvalor, entonces

También se nota que cuando satisface la ecuación en con especificación inicial en , entonces

satisface la ecuación adjunta.

Si nosotros tomamos como una solución en del punto inicial y valor , y también como una solución

de la ecuación adjunta en de valor en . Entonces

tal que se cumple

como resultados particulares tenemos los dos siguientes:

1.

para cualquier punto intermedio

2.

Recordando que a y b son las condiciones a la frontera y que A y B son los vectores que cumplen con estas condiciones, nosotros tendremos

donde esos vectores pueden ser considerados como soluciones de las condiciones a la frontera dadas. Por un razonamiento similar

son soluciones a la ecuación adjunta al punto Z

En estos términos nosotros tenemos

el cual es de valor independiente de Z.

De una forma similar podemos escribir los operadores de proyección

Finalmente obtenemos

(1.24)

Estos resultados se aplicarán a cualquier ecuación diferencial auto-adjunta o no y con cualquier distribución de valores a la frontera. Algunas condiciones de elegancia surgiran cuando. a) La ecuación diferencial es auto adjunta b) Las condiciones a la frontera son canónicas

Por condiciones a la frontera canónicas nosotros queremos decir que la dimensión es y que ; en otras palabras los vectores expresan las condiciones a la frontera de un subespacio isotrópico maximal en una geometría simplectica definida por

(ver apéndice A.2). En tales circunstancias podemos elegir .

con el resultado

El cual nos relacionará los dos denominadores en la matriz de Green.

(1.25)

el cual demuestra que

MÉTODO DE VARIACIÓN DE CONSTANTES(Formula de Green):

Vamos a buscar el método para

. Será análogo para cualquier valor de

.

Hallamos la solución de la homogénea:

Hacemos:

Imponemos

Tenemos entonces:

Hacemos ahora:

Sustituyendo

,

, en la ecuación:

Teniendo en cuenta que

Nos queda:

Y junto con la condición impuesta:

:

Cuyo wronskiano es distinto de cero. Es, pues, un sistema compatible determinado:

Luego basta hacer:

Esto se puede resumir mediante la llamada formula de Green:

Y a se le llama función de Green.

Veamos un ejemplo:

Resolvemos la homogénea.

Con lo que:

Hacemos la variación de constantes:

Buscamos:

Operando:

Eliminando :

Nos queda:

Integrando:

Luego:

Por tanto: