Funciones

Concepto de función

Llamamos función f del conjunto A en el conjunto B a una relación de dependencia en la que a cada elemento x de A se corresponde con un único elemento y de B. Se simboliza mediante:

f : A→B

x→ y=f (x)

Donde A es el Dominio y B es el Recorrido o Imagen. Veremos estos conceptos en las siguientes diapositivas.

Como A y B van a ser subconjuntos del conjunto de los número reales R, a estas funciones se les denomina función real de variable real.

f(x)

Podemos “imaginarnos” las funciones como si fueran maquinas de forma que le metemos un número que cogemos de A y nos devuelve un número que está en el conjunto B.

Formas de definir una función

Una función puede venir expresada de diferentes formas. Normalmente trabajaremos con su forma analítica, pero puede venir dada de la siguientes formas:

Forma analítica Tabla de valores Gráfica

f (x)=2 x+3 x y=f(x)

-2 -1

0 3

1 5

Podemos pasar de la forma analítica a la gráfica realizando una tabla de valores y uniendo los puntos que hemos obtenido. Salvo en el caso de las rectas, que con dos puntos es suficiente, cuantos más puntos tengamos más exacta será la gráfica.

Dominio(I)

El subconjunto de números reales x para los que la función está definida se llama dominio de f, D(f). Veamos algunos ejemplos:

f (x)=3 x3+2 x2

−x+5 f (x)=x2

−1x−2

En funciones polinómicas el dominio es todo R ya que podemos introducir en la función cualquier valor.

En funciones racionales el dominio depende tanto del numerador como del denominador recordando además que el denominador no puede valer 0.

En estas funciones tenemos que ver cuales son los valores en los que el denominador vale 0.

x−2=0x=2

Por tanto el dominio de esta función es: D(f)= R-{2}

Por tanto el dominio de esta función es: D(f)= R

Dominio(II)

f (x)=2+√ x−3 f (x)=x

2−√ x−3

En ecuaciones con radicales el dominio son todos aquellos valores de x en los que los radicandos son positivos. Para ello debemos resolver una inecuación.

Todo lo anterior se puede combinar.

x−3≥0

x≥3

Por tanto el dominio de esta función es: D(f)= [3,+∞)

Cuando se combinan radicales y fracciones debemos primero hallar los intervalos donde los radicandos son positivos y luego los puntos donde el denominador vale 0.

2−√x−3=0

x=7

Por tanto el dominio de esta función es: D(f)= [3,7)U(7,+∞)

El dominio del numerador, x, al ser polinómica es R.

Nota: Si hubiesen más raíces se hace una inecuación por raíz y posteriormente se cogería la intersección de todas las soluciones.

x−3≥0

x≥3

Recorrido

Los valores de y que toma f forman un subconjunto llamado IMAGEN o RECORRIDO de f, R(f).

f (x)=sen (x)+2 f (x)=x2

Por tanto el recorrido de esta función es: R(f)= [1,3]

Por tanto el recorrido de esta función es: R(f)= [0,+∞)

Operaciones con funciones

La suma, resta, producto y cociente se hace de la forma habitual que ya hemos trabajado anteriormente en clase.

f (x)=1x

g(x)=x+2x−3

D ( f )=ℝ−{ 0 } D (g)=ℝ−{ 3 }

f (x)+g(x)=1x+x+2x−3

=(x−3)+x (x+2)

x (x−3)=x−3+x2

+2 xx (x−3)

=x2

+3 x−3x (x−3)

D ( f +g)=ℝ−{ 0,3 }

f (x)−g(x)=1x−x+2x−3

=(x−3)−x (x+2)

x (x−3)=x−3−x2

−2 xx(x−3)

=−x2

−x−3x (x−3)

D ( f−g)=ℝ−{ 0,3 }

f (x)⋅g(x)=1x

⋅x+2x−3

=x+2x(x−3)

D ( f ⋅g)=ℝ−{ 0,3 }

f (x)g(x)

=

1xx+2x−3

=x−3x(x+2)

D (fg)=ℝ−{ -2,0,3}

Nota: El dominio de la suma resta, producto es la intersección de los dominios de las funciones originales, es decir, no puede haber un punto que antes no estuviera. Por otra parte al cociente es necesario excluir los puntos donde el denominador vale 0.

g(x)=x+2x−3

=0→ x+2=0→ x=−2

Suma

Resta

Producto

Cociente

Composición

A grosso modo podemos definir la composición como introducir una función dentro de otra. No es una propiedad conmutativa como vamos a ver con unos ejemplos.

f (x)=1x g(x)=

x+2x−3

D ( f )=ℝ−{ 0 } D (g)=ℝ−{ 3 }

f (x)∘g (x)=f [g(x)]=1x+2x−3

=

11x+2x−3

=x−3x+2

D ( f ∘g)=ℝ−{ -2,3 }

Como se puede observar el dominio resultante es el dominio la función que introducimos dentro excluyendo los puntos donde la composición SIN SIMPLIFICAR no puede existir.

g(x)∘ f (x)=g [ f (x)]=

1x+2

1x−3

=

1+2 xx

1−3 xx

=1+2 x1−3 x

D (g∘ f )=ℝ−{ 0, 13

}

No podemos utilizar puntos que no pertenezcan al dominio de esta función. Por eso tenemos que excluir el 3 y el 0 en el dominio final.

g(x)=x+2x−3

=0→ x=−2

Como f(x) no puede valer 0 tenemos que excluir del dominio de g(x) todo aquellos valores que hacen que g(x) sea 0. En este caso tan solo el -2.

Como g(x) no puede valer 3 tenemos que excluir del dominio de f(x) todo aquellos valores que hacen que f(x) sea 3. En este caso tan solo el 1/3.

f (x)=1x=3→ x=

13

Funciones inversas (i)

Hasta ahora hemos visto como dándoles valores a la x podemos obtener los de la y=f(x). En algunas funciones es posible hacerlo a la inversa, es decir, dale valores a la y y obtener los de la x. No todas las funciones poseen esta propiedad. Para que exista la función no puede pasar dos veces por el mismo valor de y.

f (x)=x2+2 si x≥0

y=f (x)=x2+2

y−2=x2

x=√ y−2

f−1(x)=√ x−2

D ( f )=[0,+∞ )

R ( f )=[2,+∞ )

D ( f−1)=[2,+∞ )

R ( f−1)=[0,+∞ )

1º Paso: En lugar de f(x) ponemos y.

2º Paso: Despejamos la x.

f ∘ f−1=f [ f−1

(x)]=(√ x−2)2+2=x−2+2=x

f−1∘ f=f−1[ f (x)]=√x2+2−2=√x2=x

La composición de una función con su inversa es conmutativa y siempre da como resultado x

Tenemos que poner esta condición ya que x²-2 es una parábola y cada valor de y se corresponde con dos valores de x.

Funciones inversas (ii)

y=f (x)=1x−3

y=1x−3

x−3=1y

x=1y+3

f−1(x)=1x+3

D ( f )=R−{ 3 }

R ( f )=R−{ 0 }

D ( f−1)=R−{ 0 }

R ( f−1)=R−{ 3 }

1º Paso: En lugar de f(x) ponemos y.

2º Paso: Despejamos la x.

f ∘ f−1=f [ f−1

(x)]=x

f−1∘ f=f−1

[ f (x)]=x

La composición de una función con su inversa es conmutativa y siempre da como resultado x

Características (i)

Funciones periódicas

Una función f es periódica de periodo T si existe un número real positivo T, tal que para cualquier x del dominio de f se verifica f(x+T)=f(x). Es decir, se repite en intervalos de longitud T. Por ejemplo la función seno, f(x)= sen(x) se repite con periodo 2π.

Funciones acotadas

Una función f está acotada superiormente si existe un número que sea mayor que cualquier valor de la función. En este caso está acotada superiormente por 1. Análogamente sería con la cota inferior. En este caso la función está acotada inferiormente por -1.

Características (ii)

Funciones pares e impares

Una función f es par si para cualquier valor de su dominio f(-x)=f(x). Si una función es par es simétrica respecto al eje y.

f (x)=x2

f (−x)=(−x)2=x2

=f (x)

Una función f es impar si para cualquier valor de su dominio f(-x)=f(x). Si una función es par es simétrica respecto al origen.

f (x)=x3

f (−x)=(−x)3=−x3

=−f (x)

Características (iii)

Monotonía: Crecimiento y decrecimiento, Extremos absolutos y relativos.

Veamos estos conceptos directamente con un ejemplo. Usaremos la función f(x)=x⁵-5x en el intervalo [-1.5,+∞)

Podemos observar que la función es estrictamente creciente en el intervalo [-1.5,-1] y [1,+∞) y es estrictamente decreciente en el intervalo [-1,1].

Por otra parte vemos que tiene 2 extremos relativos (donde la función pasa de creciente a decreciente o viceversa) que sería el punto B, un máximo relativo, y el punto C, un mínimo relativo.

Además en este caso el punto C es también un mínimo absoluto ya que es se encuentra acotada por -4.

Por no estar acotada superiormente no tiene un máximo absoluto.

Características (iv)

Puntos de corte con los ejes.

A la hora de estudiar funciones o representarlas resulta muy útil hallar en que puntos corta a los ejes.

Para hallar el punto de corte con el eje y basta con hacer x=0 y ver el valor obtenido. Solo puede haber un corte con el eje y.

Para hallar los puntos de corte con el eje x se iguala la función a 0 y se resuelve la ecuación. No hay limite de cortes con el eje x.

Funciones algebraicas (i)

En este grupo incluimos todas las funciones cuya varaible independiente, x, está afectada solo por sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces.

Funciones polinómicas

Son aquellas funciones cuya expresión analítica viene dada por un polinomio. Vamos a ver los casos más representativos.

Función constante f(x)=K

Sea cual sea el valor de x, f(x) siempre valdrá k.

f (x)=3

Funciones algebraicas (ii)

Función afín f(x)=mx+n

Las funciones polinómicas de grado 1 tienen como gráfica una recta. Si n=0 se les llama funciones lineales. La función identidad f(x)=x es una función lineal.

f (x)=23x+3

x y=f(x)

0 3

3 5

Para representarla basta con hacer una tabla de valores con dos pares de ellos ya que su dibujo es una recta.

Nota: Para recordar como sacar una recta dados dos puntos mirar la parte de interpolación lineal.

Funciones algebraicas (iii)

Función cuadrática f(x)=ax² + bx + c

Las funciones polinómicas de grado 2 tienen como gráfica una parábola. Si a es positiva la parábola irá hacia arriba mientras que si es negativa irá hacia abajo.

f (x)=2 x2+x−1

Para representarla de una manera aproximada es necesario hallar su vértice así como los puntos de corte con los ejes.

−b2a

El valor x del vértice se encuentra en:

Por tanto en nuestro caso tenemos que el vértice se encuentra en:

x=−14

y=f (−14

)=2(−14

)2

+(−14

)−1=−98

V (f )=(−14,−

98)

Corte con el eje y (x=0)

y=f (0)=2(0)2+(0)−1=−1

Cortes con el eje x (y=0)

2 x2+x−1=0

−112

Funciones algebraicas (iv)

Funciones racionales

Son funciones de la forma: f (x)=P (x)Q (x)

Funciones racionales

Son funciones donde la x aparece dentro de una raíz de grado n. Recordemos que el dominio de estas funciones son aquellos intervalos donde la raíz tiene sentido.

Recordemos que hay que excluir de su dominio todos los puntos que hacen que Q(x) valga 0.

f (x)=1x

f (x)=−1x

A este tipo de funciones, donde P(x) es una constante se le denomina funciones de proporcionalidad inversa.

f (x)=√x

Funciones definidas a trozos

En ocasiones las funciones no vienen dadas por una única expresión y su expresión es diferente según la zona de su dominio que se considere.

https://www.geogebra.org/m/Ed32wTzG

f (x)={3 x−2 si x≤3x si x>3

Funciones con valor absoluto

Una función con un valor absoluto se puede expresar como una función definida a trozos. Recordemos que el valor absoluto no afecta a las expresiones que contiene si estas son positivas. Sin embargo les cambia el signo si son negativas.

f (x)={x2

−1 si x≤−1−(x2−1) si −1<x<1

x2+1 si x≥1

f (x)=|x2−1|

x2−1=0

x2=1

x=±1

−∞ +∞

+

-1 1

+ -

Interpolación lineal

En ocasiones las funciones vienen dados por datos, sobretodo cuando modelizamos actividades del día a día. En estos casos es necesario utilizar la interpolación para poder obtener información adicional.

x y

0 4

3 5

6 7

Como ejemplo vamos a utilizar esta función dada por la tabla. Nuestro objetivo es sacar el valor de la y cuando la x vale 4.

1º Paso: Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos entre los que se encuentran el nuestro. En este caso como queremos el valor de 4 usaremos los puntos (3,5) y (6,7).

y=mx+n m=7−56−3

=23

y=23x+n

5=23⋅3+n

5=2+n

n=3 y=23x+3

2º Paso: Sustituimos el valor de x y obtenemos la y.

y=234+3=

173

Por tanto el valor buscado es ( 4,173

)

Extrapolación lineal

La extrapolación se diferencia de la interpolación en que buscamos datos que están “fuera” de los datos que tenemos. Es decir, el dato que buscamos no se encuentra entre dos de los valores que tenemos.

Como ejemplo vamos a utilizar esta función dada por la tabla. Nuestro objetivo es sacar el valor de la y cuando la x vale 9.

1º Paso: Buscamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos más cercanos al nuestro. En este caso como queremos el valor de 9 usaremos los puntos (3,5) y (6,7) y obtenemos la misma recta que antes.

y=23x+3

2º Paso: Sustituimos el valor de x y obtenemos la y.

y=23

9+3=9 Por tanto el valor buscado es (9, 9 )

Nota: Hay que tener mucho cuidado con la extrapolación y no fiarse siempre de los resultados que nos da. Imaginemos por un momento que no nos dan el punto (0,4) en la tabla y nos piden el valor de x=0. Si interpolamos con la recta que hemos obtenido nos da el punto (0,3) no el (0,4).

x y

0 4

3 5

6 7

Interpolación y extrapolación cuadrática

Es exactamente igual que la lineal solo que en esta ocasión utilizamos una parábola. Para ello necesitamos utilizar 3 puntos y resolver un sistema de ecuaciones de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

x y

1 2

3 6

4 11

Como ejemplo vamos a utilizar esta función dada por la tabla. Nuestro objetivo es sacar el valor de la y cuando la x vale 2.

1º Paso: Buscamos la ecuación de la parábola que será del tipo y=ax2+bx+c. Para hallar los coeficientes a,b y c utilizamos los valores (x,y) de la tabla.

{2=1a+1b+c6=9a+3b+c

11=16a+4b+c

a=1b=−2c=3

y=x2−2 x+3

2º Paso: Sustituimos el valor de x y obtenemos la y.

y=22−2 ⋅2+3=3

Por tanto la solución sería el punto (2,3)

Modificaciones: traslaciones

f (x)=x2

f (x)=x2+2f (x)=x2−2

f (x)=x2

f (x)=(x+2)2

f (x)=(x−2)2

Si sumamos un número a a la función está se desplazará sobre el eje y hacia arriba si a es positivo o hacia abajo si a es negativo.

Si sumamos un número a a la variable la gráfica se desplazará sobre el eje x hacia la izquierda si es positiva y hacia la derecha si es negativa, en contra de lo que la intuición pudiese decirnos en un principio.

Modificaciones: dilataciones y contracciones

f (x)=sen(x)f (x)=2 sen(x)

f (x)=12sen(x)

f (x)=sen(x)

f (x)=sen(12x)

f (x)=sen(2 x)

Si multiplicamos la función por un valor a mayor que 1 la función se dilatará verticalmente. Si 0<a<1 la función se contraerá verticalmente.

Si multiplicamos la variable por un valor de a entre 0 y 1 la función se dilatará horizontalmente. Si a es mayor que 1 la función se contraerá horizontalmente.